(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵

及其乘法

1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 00－2对应的变换作用下得到

的点的坐标．

解：矩阵⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 00－2表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸

压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)

2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的

值．

解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨

⎪⎧

－m ＝－2，k ＝－4. 解得⎩

⎪⎨⎪⎧m ＝2，

k ＝－4.

3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用

变换为(x ，2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x 2x ，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴ T ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤10

20

.

4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．

解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

01

10

的作用下点变换成(x′，

y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x′y′，所以⎩

⎪⎨⎪⎧x′＝y y′＝x .因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y.

5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

0011 对应的变换作用下得到的图形．

解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0011的作用下点变换成(x′，

y ′)，则⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0011⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x′y′，所以⎩

⎪⎨⎪⎧x′＝0y′＝x ＋y .因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得

到的图形是点(0，5)．

1. 变换

一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的

一个平面点(向量)(x′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤

x y →⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

x′y′. 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

ax ＋by cx ＋dy ，那么根

据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y (a 、b 、c 、d∈R )的

矩阵形式，反之亦然．

2. 几种常见的平面变换

(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1001时，则对应的变换是恒等变换．

(2) 由矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

100k

(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换． (3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．

(4) 当M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

cos θ

－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时

针旋转θ角度．

(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．

(6) 由矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

10k 1确定的变换称为切变变换．

3. 变换的复合与矩阵的乘法

(1) 一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3) 矩阵的乘法不满足消去律． [备课札记]

题型1 求变换前后的曲线方程

例1 设椭圆F ：x 2

2＋y

2

4＝1在(x ，y )→(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另

一个图形F′，试求F′的解析式．

解：变换矩阵为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1201，任取椭圆上一点(x 0，y 0)，

则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x 0＋2y 0y 0，令⎩⎪⎨

⎪⎧x′＝x 0＋2y 0，y ′＝y 0， 则⎩

⎪⎨⎪⎧x 0＝x′－2y′，

y 0＝y′. 又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，

故（x′－2y′）22＋y′2

4

＝1，

所以2x′2

－8x′y′＋9y′2

－4＝0，

即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2

－4＝0. 变式训练

设M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程． 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12002， 设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y ′)． 则⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x

y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x′y′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，

代入y ＝sinx 得1

2y ′＝sin2x ′，即y′＝2sin2x ′.

即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x. 备选变式（教师专享）

已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12 00 1，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．

解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢

⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥

⎤12002， 设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有

⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝2y 0，所以⎩

⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0

＝12y.

又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝1

2

sinx.

所求曲线C 的方程为y ＝sinx.

题型2 根据变换前后的曲线方程求矩阵

例2 二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1) 求矩阵M ；

(2) 若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．

解：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－3 6，