电磁场镜像法与电轴法(完美解析)资料重点

d
d
任一点场强
E
q
4π 0
(
1 r2
er
R dr12
er1
R dr22
er2
)
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第一章
静电场
任一点电位
q (1 R R ) 4π0 r dr1 dr2
球面电位
＝ q 4π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
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第一章
3. 不同介质分界面的镜像
r12 d 2 R2 2Rd cos r22 b2 R2 2Rb cos
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第一章
将 r1, r2 代入方程 qr2 q'r1 0 ，得
静电场
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
联立求解
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
解：
b2
b
2
h12 h22
a12 a22
d h1 h2
确定 b, h1, h2
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第一章
静电场
例1.7.5 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。
解： 确定电轴的位置
b2 h2 a2
d
2h
b (d )2 a2 2
设电轴线电荷 ，任一点电位
ln 2 2π0 1
图1.7.5 球外的电场分布
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第一章
静电场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。
解： 边值问题
2 0（除q点外的空间)
const S
思路
SD dS 0
球面等位（ q'位于球心）
通量为零（ q', - q'大小相等）
图1.7.6 不接地金属球的镜像
则
q' R q, b R2
解： a) 取圆柱坐标系
电轴位置 b h2 a2
图1.7.16 平行传输线电场的计 算
b) 圆柱导线间的电场与电位
EP
2π 0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π 0
ln
2 1
( 以 y 轴为参考电位)
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第一章
静电场
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
静电场
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2t
q
4π1r 2
cos
q'
4π1r 2
cos
q''
4π 2r 2
cos
D1n D2n
q 4πr 2
sin
q' 4πr 2
sin
q'' 4πr 2
sin
解得 q' 1 2 q 和 q'' 22 q
1 2
1 2 返 回 上 页 下 页
用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分
布，使计算场域为无限大均匀媒质；
镜像法（电轴法）的关键是：
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：
圆半径
a
2bK K 2 1
图1.7.14 两根细导线的等位线
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
a2 b2
( K2b2 K1)2 b2
(
K K
2 2
1 1
b)2
h2
a、h、b满足关系
a2 h2 b2 (h b)(h b) 返 回 上 页 下 页
第一章
2. 电轴法
静电场
例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。
第一章
思考
静电场
1中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
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第一章
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
静电场
边值问题
2 0 (导线以外的空间) 导体A const
P
ln 2π 0
2 1
2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2
令：P C， 等位线方程
(x b)2 (x b)2
y2 y2
K2
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第一章
静电场
整理后，等位h线方K程2 1(bx K2 1
K K
2 2
1 b)2 1
y2
(
2bK
K
2
) 1
2
圆心坐标 h, 0
方程相同，边界条件相同，解惟一。
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第一章
静电场
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解：设点电荷 q 镜像后
E E E （方向指向地面）
E
2
q cos 4π0r 2
qh
2π 0 (h2 x2 )3/ 2
p＝Dn
0 E
qh 2π(h2 x2 )3/2
地面上感应电荷的总量为
得到
R2 b
d
镜像电荷位置
q' b q R q 镜像电荷大小 dd
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第一章 图1.7.4 球外的电场计算
静电场
球外任一点 P 的电位与电场为
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
EP
q
4π 0 r12
er1
qR
4π 0 dr2 2
er2
镜像电荷放在当前求解的场域外。
镜像电荷等于负的感应电荷总量。
第一章
1.7 镜像法与电轴法
静电场
Image Method and Electric Axis Method
1.7.1 镜像法（Image Method)
1. 平面导体的镜像
a 2 0
空气中除点电荷外
导板＝0
图1.7.1 平面导体的镜像
b 2 0 上半场域除点电荷外
q q 0 4π0r 4π0r
S D dS , 电荷分布不均匀
导体B const
1.7.12 长直平行双传输线
S D dS , 电荷分布不均
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第一章
静电场
1. 两根细导线产生的电位
1
Q
1
d 2π 0
2π 0
ln
1
C1
2
2π 0
ln
2
C2
P
1
2
2π 0
ln
2 1
C
以 y 轴为参考电位， C=0， 则 图1.7.13 两根带电细导线
U0
2π 0
ln
b b
(h (h
a) a)
ln
b b
Байду номын сангаас
(h (h
a)
a)
所以
2 ln
U0 b (h
a)
ln
2 1
b (h a)
图1.7.19 电压为U0的传输线
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第一章
镜像法（电轴法）小结
静电场
镜像法（电轴法）的理论基础是：
静电场惟一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是：
S
pdS
0
qh 2π(h2 x2 )3/2
2πxdx
图1.7.2 地面电荷分布
q
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第一章
2. 球面导体的镜像
点电荷位于接地导体球外的边值问题
静电场
2 0（除q点外的空间) r 球面 0
设镜像电荷 q'如图，球面电位
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像