考研数学数列极限内容概括及考点总结
考研数学二知识点总结
考研数学二知识点总结一、数列和数列的极限。
数列是指按照一定的顺序排列的一组数，数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐趋近于一个确定的值。
在考研数学二中，数列和数列的极限是一个重要的知识点，涉及到等差数列、等比数列、递推数列等内容，考生需要掌握数列的性质、求和公式、极限计算方法等。
二、函数与极限。
函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的对应关系。
在考研数学二中，函数与极限是一个重要的知识点，包括函数的性质、导数、极值、最值、函数的图像、函数的极限等内容，考生需要掌握函数的基本概念和计算方法。
三、微分与积分。
微分与积分是微积分学中的两个重要概念，微分描述了函数在某一点的变化率，积分描述了函数在一定区间内的累积效应。
在考研数学二中，微分与积分是一个重要的知识点，包括导数的计算、微分方程、不定积分、定积分等内容，考生需要掌握微分与积分的基本概念和计算方法。
四、概率与统计。
概率与统计是数学中的一个重要分支，它描述了随机事件的发生规律和数据的分布特征。
在考研数学二中，概率与统计是一个重要的知识点，包括随机变量、概率分布、统计量、参数估计、假设检验等内容，考生需要掌握概率与统计的基本概念和计算方法。
五、线性代数。
线性代数是数学中的一个重要分支，它描述了向量空间和线性变换的性质和规律。
在考研数学二中，线性代数是一个重要的知识点，包括矩阵、向量、矩阵的运算、矩阵的秩、特征值、特征向量等内容，考生需要掌握线性代数的基本概念和计算方法。
六、解析几何。
解析几何是数学中的一个重要分支，它描述了几何图形在坐标系中的性质和规律。
在考研数学二中，解析几何是一个重要的知识点，包括平面几何、空间几何、曲线方程、曲面方程等内容，考生需要掌握解析几何的基本概念和计算方法。
以上就是考研数学二的知识点总结，希望考生们能够认真复习，加强对重点知识的掌握，顺利通过考研数学二的考试。
祝各位考生取得优异的成绩！。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列极限是高等数学中非常重要的一部分内容，它在微积分、数学分析和实数理论等领域有着广泛的应用。
数列极限可以用来描述数列中的数值趋于无穷大或趋于某个确定值的性质。
本文将对数列极限的概念、性质及相关定理进行归纳总结。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项趋于无穷大或趋于某个确定值时，数列中的数值会有怎样的变化规律。
数列极限可以分为两种情况：当数列的项趋于无穷大时，称为正无穷大极限；当数列的项趋于某个确定值时，称为有限极限。
二、正无穷大极限正无穷大极限是指当数列的项趋于正无穷大时，数列中的数值也趋于正无穷大。
对于正无穷大极限的数列，常常使用符号∞表示。
正无穷大极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于正无穷大时，数列中的每一项都大于任意给定的正数。
2. 正无穷大极限的数列不存在有限极限，即数列中的数值不会趋于某个确定值。
三、有限极限有限极限是指当数列的项趋于某个确定值时，数列中的数值也趋于该确定值。
有限极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于某个确定值时，数列中的每一项都无限接近于该确定值。
2. 有限极限的数列不一定是递增或递减的，它可以在趋近确定值的过程中有往复波动的情况。
四、数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质对于研究数列的收敛性和发散性非常有帮助。
下面列举了一些常见的数列极限性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列的极限存在，那么它是唯一的，也就是说数列的极限值不会有多个。
2. 数列极限的保序性：如果一个数列的所有项都大于（或小于）另一个数列的所有项，并且这两个数列都有极限，那么它们的极限值也满足同样的大小关系。
3. 数列极限的有界性：如果一个数列的极限存在，那么该数列是有界的，即存在一个正数M，使得数列的所有项的绝对值都不大于M。
4. 数列极限与四则运算的关系：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也都有极限，并且极限值满足相应的运算规律。
考研数学分析重要考点归纳
考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。
考研数学数列极限题解析
考研数学数列极限题解析数列极限是考研数学中的一道常见题型，需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将为大家详细解析考研数学数列极限题，帮助大家更好地理解和应对这类题目。
一、数列的定义与性质在开始解析数列极限题之前，首先需要了解数列的基本概念和性质。
数列是按照一定顺序排列的一组数，根据数列的特点，我们可以将其分为等差数列、等比数列等不同类型。
数列的通项公式是数列中每一项与它的位置之间的关系式，它能够方便地计算数列中任意一项的值。
数列有着许多重要的性质，如数列的有界性、数列的单调性、数列的极限等等。
掌握这些性质对于解析数列的极限题目非常重要，因此在解题过程中需要灵活运用这些性质。
二、数列极限的概念与计算方法数列极限是在数列中，随着项数的增加，数列的数值趋于无穷大或无穷小的过程。
在考研数学中，我们经常会遇到计算数列极限的题目，这里给出两种常见的计算方法。
1. 数列极限的定义法数列极限的定义法是数学中最基础的计算方法之一。
根据数列极限的定义，当数列的项数n足够大时，数列的值趋于某个常数A，我们称A为数列的极限。
具体计算数列极限时，可以通过逐项代入n的值，计算数列的值，并找到当n趋于无穷大时数列的极限。
2. 数列极限的性质法数列极限的性质法是一种更快速的计算方法，它利用了数列的性质来简化计算过程。
在运用性质法时，我们需要了解数列的性质，并根据题目的要求灵活运用这些性质来求解数列的极限。
三、应用实例分析为了更好地理解数列极限的解题思路和方法，下面通过两道考研数学数列极限题目进行分析。
1. 实例一：已知数列an的通项公式为an = 2n/(n+1)，求该数列的极限。
解析：根据题目给出的数列通项公式，我们可以通过代入不同的n值来计算数列的前几项，发现当n趋于无穷大时，数列的值逐渐接近2。
因此，根据数列极限的定义，该数列的极限为2。
2. 实例二：已知数列bn的通项公式为bn = (n^2 + n - 1)/(2n^2 - n + 1)，求该数列的极限。
极限总结知识点专升本
极限总结知识点专升本一、极限的概念1. 一、数列极限1. 数列的概念数列是由一系列有序的实数按照一定的规律排列而成的序列，可以用通项公式$a_n$表示。
数列中的每个元素 $a_n$称为数列的项，顺序排列的数列称为有限数列，不按照顺序排列的数列称为无限数列，按顺序排列的数列元素个数没有限制。
2. 极限的概念对于数列${a_n}$来说，当$n$趋于无穷大的时候，如果$a_n$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
其中，$L$为数列${a_n}$当$n$趋于无穷大时的极限。
3. 数列极限的性质(1) 数列极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限唯一。
(2) 有界数列收敛性：有界数列必收敛。
2、函数极限1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
2. 极限的概念对于函数$f(x)$来说，当$x$趋于$a$的时候，如果$f(x)$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
其中，$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限。
3. 函数极限的性质(1) 函数极限的唯一性：若函数$f(x)$的极限存在，则极限唯一。
(2) 函数极限的局部性：函数$f(x)$的极限存在与否与$x$的取值点的邻域有关。
3、无穷小与无穷大1. 无穷小的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于0，那么称该函数是无穷小。
无穷小也可以表示为$x$趋于0时，函数值趋于0。
2. 无穷大的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于无穷大，那么称该函数是无穷大。
无穷大也可以表示为$x$趋于某一点时，函数值趋于无穷大。
4、极限的计算方法1. 无穷小的性质(1) 若$\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) =A \pm B$。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
考研数学数列极限内容概括及考点总结
考研数学数列极限内容概括及考点总结来源：文都教育数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。
一、数列极限1. 数列极限的定义设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 收敛于A ，记为A ann =∞→lim 。
2. 收敛数列的性质（1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性.3. 极限存在准则（1）夹逼准则如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件：从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞→∞→lim lim ，则A b n n =∞→lim 。
（2）单调有界准则单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。
【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。
此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。
4. 重要结论（1）若lim lim n n n n a a a a→∞→∞=⇒=.（2）lim 0lim 0n n n n a a →∞→∞=⇔=.（3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a-→∞→∞→∞=⇔==.【考点一】数列极限的概念与性质例1设().lim 0,n n n n n x a y y x a→∞≤≤-=且为常数，则数列{}n x 和{}n y （ ）。
（A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散例2设(){}{}.lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim nn a →∞ （ ）。
极限中的知识点总结
极限中的知识点总结一、极限的概念1.1 数列的极限数列的极限是极限的最初形式，它描述了当n趋于无穷大时，数列的项趋于的稳定状态。
数列的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正整数N，当n＞N时，|an−a|＜ε。
其中，an表示数列第n个项，a表示数列的极限值。
1.2 函数的极限对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，函数值f(x)的稳定状态即称为函数的极限。
函数的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正数δ，当0＜|x−a|＜δ时，|f(x)−L|＜ε。
其中，L表示函数的极限值。
二、极限的性质极限具有一些重要的性质，它们对于求解极限问题有着重要的指导意义。
2.1 极限的唯一性对于同一个数列或函数，它的极限值是唯一的。
即使通过不同的方法计算出的极限值可能不同，但是只要满足极限定义，它们最终得到的极限值将是相同的。
2.2 极限的保序性如果数列或函数f(x)的极限存在且为L，那么对于任意小于L的数K1,必存在常数N1，对于数列的每一项an（n>N1）有an＜K1；对于任意大于L的数K2，必存在常数N2，对于数列的每一项an（n>N2）有an＞K2。
同样，对于函数的定义域中的任意点x，当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＜L+ε，并且当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＞L−ε。
2.3 数列的基本性质如果数列的极限存在，那么数列一定是有界的。
另外，如果数列的两个子数列有相同的极限，那么它们的极限值一定相等。
2.4 函数的基本性质函数的极限有以下一些基本性质：加法性、减法性、乘法性、除法性、乘以常数性、逆序性、夹逼定理。
三、极限的计算方法求解极限的过程需要掌握一些常用的计算方法。
3.1 数列极限的计算方法数列的极限计算方法主要有以下几种：常数法、相加减法、相乘法、相除法、复合法、递推法、对数法、不等式法等。
3.2 函数极限的计算方法函数的极限计算方法主要有以下几种：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开、变量代换法等。
数列极限概念与性质例题和知识点总结
数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如：1，1/2，1/3，1/4，······就是一个数列。
而数列极限则是指当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。
用数学语言来描述，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
为了更好地理解数列极限的概念，我们来看一个简单的例子。
例 1：考虑数列{1 ／ n}，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是0 。
证明：对于任意给定的正数ε ，要使|1 ／ n 0| ＜ε ，即 1 ／ n ＜ε ，只要 n ＞ 1 ／ε 。
所以，取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1（表示取整），当 n ＞ N 时，就有|1 ／ n 0| ＜ε ，所以lim(n→∞）（1 ／ n) ＝ 0 。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列{an}有极限，那么极限值是唯一的。
2、有界性：如果数列{an}有极限，那么数列{an}是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0（或 an ＜ 0）。
三、数列极限的运算性质1、如果lim(n→∞） an ＝ A ，lim(n→∞） bn ＝ B ，那么lim(n→∞）（an ＋ bn) ＝ A ＋ Blim(n→∞）（an bn) ＝ A Blim(n→∞）（an × bn) ＝ A × B若B ≠ 0 ，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B2、数列极限的夹逼准则：如果数列{an}，｛bn}，｛cn}满足：存在正整数 N0 ，当 n ＞ N0 时，an ≤ bn ≤ cn ，且lim(n→∞） an ＝lim(n→∞） cn ＝ A ，那么lim(n→∞） bn ＝ A 。
数列极限知识点总结
数列极限知识点总结一、数列的极限定义数列是一系列按照一定次序排列的数的集合，通常表示为{an}，其中an表示数列的第n 个元素。
数列的极限是数列中的元素随着n的增大而逐渐接近某个值L，当n趋于无穷大时，数列的所有元素都逼近于L。
我们用极限符号lim(n→∞)an=L来表示数列{an}的极限为L。
对于一个给定的数列{an}，如果它的极限存在且为L，我们称{an}收敛于L，记作lim(n→∞)an=L。
如果数列的极限不存在，我们称数列发散。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限值是唯一的，即如果数列{an}收敛于L1和L2，那么L1=L2。
2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个实数M，使得对于所有的n，有|an|<M。
3. 保号性：如果数列{an}收敛于L>0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an>0；如果数列{an}收敛于L<0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an<0。
三、数列极限的收敛定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}、{cn}是三个数列，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么数列{bn}也收敛于L。
2. 复合函数极限定理：设{an}是一个数列，f(x)是一个定义在R上的函数，如果lim(n→∞)an=a存在，f(x)在x=a周围有定义，并且lim(x→a)f(x)=L存在，那么lim(n→∞)f(an)=L。
3. 唯一性定理：如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。
四、数列极限的经典例题1. 例题一：计算数列lim(n→∞)(1+1/n)n。
解析：利用自然对数的极限定义可得lim(n→∞)(1+1/n)n=e。
2. 例题二：利用夹逼定理证明数列lim(n→∞)(1/n)=0。
解析：由于-1/n≤1/n≤1/n，且lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，根据夹逼定理可得lim(n→∞)(1/n)=0。
数列极限数学归纳法知识点总结
数列极限数学归纳法知识点总结数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列中最重要的概念之一，描述了数列中随着项数增加而逐渐趋近于某个值的性质。
在数列的研究中，数学归纳法也是一种经常被使用的证明方法。
本文将对数列极限和数学归纳法的知识点进行总结。
一、数列极限的定义和性质1. 定义：给定一个数列{an}，当其中的项数n趋近于无穷大时，如果数列的项an也趋近于一个确定的值A，则称数列{an}收敛于A，记作lim(an)=A。
如果数列{an}不存在极限，则称数列{an}发散。
2. 性质：a. 数列极限唯一性：数列的极限值是唯一的，也就是说，如果数列{an}的极限lim(an)存在，则其极限值A是唯一确定的。
b. 夹逼准则：如果数列{an}的每一项都满足a<=an<=b，且lim(a)=lim(b)=L，那么数列{an}的极限lim(an)=L。
c. 有限项数列的极限：一个有限项的数列必定收敛，并且其极限等于最后一项的值。
二、常用的数列极限类型1. 等差数列的极限：对于等差数列{an}，它的公差为d，那么当n趋近于无穷大时，数列{an}的极限为lim(an)=a1，即等差数列的极限等于首项的值。
2. 等比数列的极限：对于等比数列{an}，它的公比为q，那么当|q|<1时，数列{an}的极限为lim(an)=0；当|q|>1时，数列{an}的极限不存在；当q=-1时，数列{an}的极限在-1和1之间取值；当q=1时，数列{an}的极限为1。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列是指以0和1开始，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的极限是黄金分割比：lim(an/an-1)=1.618...。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明与自然数有关的命题。
它由归纳基和归纳步两部分组成，具体步骤如下：1. 归纳基：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。
数列的极限与无穷级数知识点总结
数列的极限与无穷级数知识点总结数学中的数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列的极限与无穷级数是数学中重要的概念，对于理解和应用数学具有重要作用。
本文将对数列的极限与无穷级数的知识点进行总结和讲解。
一、数列的极限1. 数列的定义：数列是一种按照规律排列的数的序列。
数列可以用一般形式表示为 {an} = a1, a2, a3, ..., an, ...，其中 an 表示第 n 个数。
2. 数列的极限定义：若数列 {an} 中的数随着 n 的增大趋向于一个确定的数 L，即lim(n→∞) an = L，我们称数列 {an} 的极限为 L。
3. 数列极限的性质：a) 如果数列 {an} 的极限存在且为 L，则数列 {an} 是有界的，即存在常数 M，使得|an| ≤ M 对于所有 n 成立。
b) 数列的极限存在的充分必要条件是其数列是收敛的。
4. 数列的常见极限：a) 等差数列的极限：对于公差为 d 的等差数列 {an} = a1, a1 + d,a1 + 2d, ..., a1 + (n-1)d, ...，其极限为无穷。
b) 等比数列的极限：对于公比为 q 的等比数列 {an} = a1, a1q,a1q^2, ..., a1q^(n-1), ...，若 |q|<1，则极限为 0。
二、无穷级数1. 无穷级数的定义：无穷级数是数列中所有项的和，通常用∑ 表示。
无穷级数可以表示为 S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中 an 表示第 n 项。
2. 无穷级数的收敛与发散：a) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 收敛于一个确定的数 S，则称该无穷级数为收敛级数，记作∑ an = S。
b) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 发散，则称该无穷级数为发散级数。
3. 无穷级数的收敛性测试：a) 正项级数收敛性测试：若对于正数项级数∑ an，当且仅当∑ an 的部分和数列 {Sn} 有界时，该级数收敛。
极限相关知识点总结
极限相关知识点总结一、极限的定义1.1 数列的极限数列是一连串数的有序集合，数学中常常用来研究连续变化的现象。
数列的极限定义如下：对于一个数列${a_n}$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n - A| < \varepsilon$，则称数列${a_n}$的极限为$A$，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$。
1.2 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于某一确定的值。
函数的极限定义如下：对于函数$f(x)$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。
1.3 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限称为无穷极限。
无穷极限可以写成以下形式：$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$或$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$二、极限的性质2.1 极限的唯一性若一个函数存在极限，则其极限唯一。
2.2 有界性如果一个函数在某个区间内存在极限，则该函数在该区间内有界。
2.3 保号性如果一个函数在某个点的极限存在且大于（小于）零，则该点附近函数的取值也大于（小于）零。
2.4 保号性如果一个函数在某个点的极限存在且大于（小于）零，则该点附近函数的取值也大于（小于）零。
2.5 两个函数的极限之和等于两个函数极限的和$\lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)$ 2.6 两个函数的极限的乘积等于两个函数极限的乘积$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)$2.7 两个函数的商的极限等于两个函数极限的商$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$，当$\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$时成立。
数学极限公式总结知识点
数学极限公式总结知识点1. 数数列极限在数学中，数列极限是数学分析中的一个重要概念，指的是数列中的元素随着项数无限增多时，趋于某一特定值或趋于无穷大或无穷小。
数列极限的计算方法和判断标准有许多种，但都符合一定的规律和性质。
(1) 数列极限的定义设数列${a_n}$，如果对于任何一个正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，对于任何n，都有|an-L|<ε，则称数列{an}以L为极限，记为lim(n→∞)an=L。
(2) 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指数列中项数趋于无穷时，数列趋向于0或者正无穷或者负无穷的情况。
无穷小量和无穷大量在函数极限的计算和研究中有重要的应用，例如在求导、求极限等方面。
2. 函数极限函数极限是微积分中的核心概念之一，它描述了当自变量趋向某个特定值时，函数值的趋势和表现。
计算函数极限涉及到一系列性质和定理，需要掌握一定的计算方法和判断标准。
(1) 函数极限的定义设函数y=f(x)，x→x₀时，对于任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么称函数f(x)在点x₀处有极限L，记为lim(x→x₀)f(x)=L。
(2) 函数极限的性质函数极限有一系列的性质和定理，包括函数极限的唯一性、夹逼定理、函数极限的四则运算法则、函数极限的复合函数等。
这些性质为计算函数极限提供了重要的工具和方法，也帮助我们更深入地理解函数的性质和行为。
(3) 函数极限的计算方法计算函数极限的方法有很多，常用的包括利用夹逼定理、利用无穷小量、利用泰勒级数展开等。
这些方法在实际计算中都能发挥作用，需要根据具体的函数形式和极限形式来选择合适的计算方法。
3. 极限的应用极限在数学中有着广泛的应用，不仅在微积分中起着核心的作用，还在实际问题的建模和求解过程中有重要的意义。
例如在物理学、经济学、工程学等领域，都能看到极限的身影。
(1) 极限在导数和微分中的应用在求导和微分的过程中，极限是求解的基础，它描述了函数在某一点的局部变化率。
极限重要知识点总结
极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。
数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。
对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。
1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。
在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。
这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。
2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。
在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。
2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。
这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。
2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。
考研数学极限知识点总结
考研数学极限知识点总结一、数列极限1. 数列的概念数列是由一列数按照一定的规律排列组成的数集，用{an}或an来表示。
其中，an为数列的第n个元素。
2. 数列极限的定义对于一个数列{an}，如果存在一个常数a，当n趋于无穷大时，数列的元素an无限地接近于a，那么称a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。
即对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an−a|<ε。
3. 数列极限存在的判别法（1）夹逼定理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么必有lim(n→∞)bn=a。
（2）单调有界准则：如果数列{an}单调增加且有上界（或单调减少且有下界），那么该数列收敛。
4. 收敛数列的性质（1）收敛数列的极限唯一。
（2）收敛数列的有界性：收敛数列必有界，即存在正数M，使得|an|≤M。
（3）子数列的极限：如果数列{an}的极限为a，那么{an}的任意子数列也收敛且极限为a。
5. 重要极限（1）正整数幂极限：l im(n→∞)(1+1/n)n=e。
（2）调和数列极限：lim(n→∞)1/nlnn=0。
（3）几何数列极限：当−1<l<1时，lim(n→∞)ln=0。
二、函数极限1. 函数极限的概念设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称当x趋于x0时，函数f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限性质（1）函数极限的唯一性：如果lim(x→x0)f(x)存在，则其极限唯一。
（2）两函数之和的极限：lim(x→x0)(f(x)+g(x))=lim(x→x0)f(x)+lim(x→x0)g(x)。
（3）函数与常数的乘积的极限：lim(x→x0)c⋅f(x)=c⋅lim(x→x0)f(x)。
考研数列知识点总结
考研数列知识点总结一、数列的概念数列是按照一定规律排列的数的序列。
数列是数学中的一个基本概念，其在微积分、代数、数学分析等领域都有着重要的应用。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。
这个常数称为公差，常用字母d表示，等差数列的通项公式可以写成an=a1+(n-1)d。
2. 等差数列的性质（1）第n项公式：an=a1+(n-1)d（2）n项和公式：Sn=n(a1+an)/2（3）首项和末项的关系：an=a1+(n-1)d（4）通项公式中间项的关系：am-an=(m-n)d3. 等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，如质点的匀速直线运动、经典力学中的等速直线运动等都可以用等差数列的概念来描述。
三、等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列中，任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。
这个常数称为公比，常用字母q表示，等比数列的通项公式可以写成an=a1*q^(n-1)。
2. 等比数列的性质（1）首项与公比的关系：a2=a1*q（2）通项公式推导：利用其等比性质，可以推导出通项公式an=a1*q^(n-1)（3）前n项和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)3. 等比数列的应用等比数列在数学中也有着广泛的应用，如复利计算、指数函数的性质等都可以用等比数列的概念来描述。
四、数列的极限1. 数列的极限概念对于一个数列{an}，如果当n趋于无穷大时，数列的一般项an趋于某一常数A，即an→A(n→∞)，那么称常数A为数列的极限，记作lim an=A。
如果数列{an}有极限，称数列{an}收敛，否则称为发散。
2. 数列极限的性质（1）数列极限的唯一性：如果数列{an}有极限A，那么这个极限是唯一的。
（2）数列极限的四则运算：如果数列{an}与{bn}收敛，那么它们的极限满足lim(an+bn)=lim an+lim bn，lim(an-bn)=lim an-lim bn，lim(an*bn)=lim an*lim bn，lim(an/bn)=lim an/lim bn（bn≠0时）（3）数列极限的保号性：设an→A，则存在正整数N，当n>N时，有an>0（<0）3. 数列收敛的充分条件数列收敛的充分条件为：数列{an}有上界，下界在极限A附近。
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考研数学数列极限内容概括及考点总结
来源：文都教育
数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。
一、数列极限
1. 数列极限的定义
设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列
{}n a 收敛于A ，记为A a
n
n =∞
→lim 。
2. 收敛数列的性质
（1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性.
3. 极限存在准则
（1）夹逼准则
如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件：
从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，
则A b n n =∞
→lim 。
（2）单调有界准则
单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。
【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。
此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。
4. 重要结论
（1）若lim lim n n n n a a a a
→∞
→∞
=⇒=.
（2）lim 0lim 0
n n n n a a →∞
→∞
=⇔=.
（3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a
-→∞
→∞
→∞
=⇔==.
【考点一】数列极限的概念与性质
例1设
().lim 0,n n n n n x a y y x a
→∞
≤≤-=且为常数，则数列
{}n x 和{}n y （ ）。
（A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散
例2设
(){}{}
.lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞
≤≤-=且和
{}n a 均为数列，则lim n
n a →∞ （ ）。
（A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限.
（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞.
例1 设()()1103,31,2,
n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限
例2 设
()2
0110,20,1,2,
n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限
【考点三】夹逼准则
【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。
【考点四】数列连加和的极限
例1. 求极限
111
lim 1111212n n →∞
⎛
⎫+++ ⎪++++
+⎝⎭
例2.求极限
222
12
lim
12
n
n
n n n n n n n
→∞
⎛⎫
++
⎪++++++⎝⎭.
【考点四】利用函数极限求数列极限
设
()
n
x f n
=
，则
()()
lim lim lim
n
n n x
x f n f x
→∞→∞→+∞
==
.
例.求
2
1
lim sin
n
n
n
n
→∞
⎛⎫
⎪
⎝⎭.。