确定性存储问题数学模型

第三节确定性存储问题数学模型

对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。这是摆在工厂管理者面前的现实问题。

我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。

一、仓库只库存产品的简单情况

记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。Q与t的关系如图2.3.1所示。再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q

每件产品的存储费，W为单

位时间总费用。则问题可做

如下描述：确定周期T，使

单位时间的总费用W最小。

图2.3.1 库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：

由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即

A

k r

T t =

-

2

又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 W c T sA T c T s k r T

T t s k r k

T r c T sr k r k

T

=+=+

-=

-=

+

-()()()222

记

B sr k r k

=-()2

则

W c T BT =+ (2.3.1)

为求最小总费用点，令dW dT

= 0, 得－c /T 2 +B = 0

从而有

T min = c b / (2.3.2)

代入式(2.3.1)得

W min = 2bc (2.3.3) 式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。

计算出来的这个最优 周期T 往往不易在实际生 产过程中操作实施，这就 需要作一点微调（或者说 做一点摄动），那么会对

W 产生多大的影响呢？我 们简单分析一下这种敏感性。 图2.3.2 摄动函数ƒ(α )的图象 设T 被αT 代替，这里α = 1＋ε, 或者 α = 1－ε （ε > 0）,考虑哪一种变动较好一点。 由式(2.3.1)和式(2.3.2)，有 W T c

T B T Bc

()()ααααα

=

+=+

1

从而

W T W ()m

i n

α =

()()()αα

αα

α+

=

+

=1

212

1

Bc

Bc

f ∆

作函数ƒ(α)的图象如图2.3.2所示。

从图中可见，摄动α = 1＋ε 比摄动α = 1－ε对最优值

W

min 的影响要小一些。故应该对

T min 作(1＋ε )T min 的调整。

二、仓库既存放产品，也存放原料的情况

设将一个周期生产所需要的原料一次备足，即t = 0时仓库要存放能生产kt 件产品的

原料，参见图2.3.3, 记单 位时间每件原料存储费为

S ' ,单位时间原料存储费就应为S 'A '/T ， 其中，

A ' = kt ·t / 2 = k t 2 / 2 , 从而，单位时间总费用应为 图2.3.3库存量Q 与时间t 关系图（情况2）

W ' =W s k t

T

c T

B T s r

k

T +'=

++

'.1

222

2

令 B ' =B s r

k

+'2

2

则

W ' =

c T

B T

+'

与前类似，通过求导数并令其为零，得 T 'min =

c B /'

(/)

m i n <=

T c B

三、一次备足P 个周期生产所需原料的情况

此种情况下，在t = 0时，仓库应存入N = pkt = prT 件产品所需原料。则原料存储量的变化情况如图2.3.4所示。P 个周期中原料总存储量是图2.3.4中台阶状图形的面积A '。A '是以N

t 图5.2.4 库存量Q 与时间t 关系图（情况3）

为高，以（p －1）T ＋t 为底的矩形面积的一半。从而有 '=

-+=

+-A N p T t N N r r k

T 2

121[()][(

)]

（注：N =prT kt=rt ）则单位时间原料存放费为

''=

'⋅+-=

'+-S A pT

S N N r r k T r

N

S r N r r

k

T 2121[()]

[()] ='+-='--S r N r r k T S N k r rT k [/(/)]/[/()/()]1222

此时，单位时间总费用为

W C T Sr k r k S N k r rT k 1222=+-+'--/()/()[/()/()] =+--'+'C T k r S S rT k S NT /()()/()/22

当S > S ' 时，记 B 1 = ()()/()/k r S S r k S N --'+'22，则最优周期有与情况2 相类似的结果