确定性存储问题数学模型

第三节确定性存储问题数学模型
对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。

要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。

库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。

如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。

这是摆在工厂管理者面前的现实问题。

我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。

一、仓库只库存产品的简单情况
记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。

仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。

Q与t的关系如图2.3.1所示。

再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q
每件产品的存储费，W为单
位时间总费用。

则问题可做
如下描述：确定周期T，使
单位时间的总费用W最小。

图2.3.1 库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：
由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即
A
k r
T t =
-
2
又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 W c T sA T c T s k r T
T t s k r k
T r c T sr k r k
T
=+=+
-=
-=
+
-()()()222
记
B sr k r k
=-()2
则
W c T BT =+ (2.3.1)
为求最小总费用点，令dW dT
= 0, 得－c /T 2 +B = 0
从而有
T min = c b / (2.3.2)
代入式(2.3.1)得
W min = 2bc (2.3.3) 式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。

这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。

计算出来的这个最优 周期T 往往不易在实际生 产过程中操作实施，这就 需要作一点微调（或者说 做一点摄动），那么会对
W 产生多大的影响呢？我 们简单分析一下这种敏感性。

图2.3.2 摄动函数ƒ(α )的图象 设T 被αT 代替，这里α = 1＋ε, 或者 α = 1－ε （ε > 0）,考虑哪一种变动较好一点。

由式(2.3.1)和式(2.3.2)，有 W T c
T B T Bc
()()ααααα
=
+=+
1
从而
W T W ()m
i n
α =
()()()αα
αα
α+
=
+
=1
212
1
Bc
Bc
f ∆
作函数ƒ(α)的图象如图2.3.2所示。

从图中可见，摄动α = 1＋ε 比摄动α = 1－ε对最优值
W
min 的影响要小一些。

故应该对
T min 作(1＋ε )T min 的调整。

二、仓库既存放产品，也存放原料的情况
设将一个周期生产所需要的原料一次备足，即t = 0时仓库要存放能生产kt 件产品的
原料，参见图2.3.3, 记单 位时间每件原料存储费为
S ' ,单位时间原料存储费就应为S 'A '/T ， 其中，
A ' = kt ·t / 2 = k t 2 / 2 , 从而，单位时间总费用应为 图2.3.3库存量Q 与时间t 关系图（情况2）
W ' =W s k t
T
c T
B T s r
k
T +'=
++
'.1
222
2
令 B ' =B s r
k
+'2
2
则
W ' =
c T
B T
+'
与前类似，通过求导数并令其为零，得 T 'min =
c B /'
(/)
m i n <=
T c B
三、一次备足P 个周期生产所需原料的情况
此种情况下，在t = 0时，仓库应存入N = pkt = prT 件产品所需原料。

则原料存储量的变化情况如图2.3.4所示。

P 个周期中原料总存储量是图2.3.4中台阶状图形的面积A '。

A '是以N
t 图5.2.4 库存量Q 与时间t 关系图（情况3）
为高，以（p －1）T ＋t 为底的矩形面积的一半。

从而有 '=
-+=
+-A N p T t N N r r k
T 2
121[()][(
)]
（注：N =prT kt=rt ）则单位时间原料存放费为
''=
'⋅+-=
'+-S A pT
S N N r r k T r
N
S r N r r
k
T 2121[()]
[()] ='+-='--S r N r r k T S N k r rT k [/(/)]/[/()/()]1222
此时，单位时间总费用为
W C T Sr k r k S N k r rT k 1222=+-+'--/()/()[/()/()] =+--'+'C T k r S S rT k S NT /()()/()/22
当S > S ' 时，记 B 1 = ()()/()/k r S S r k S N --'+'22，则最优周期有与情况2 相类似的结果
T
C
B m i n
=
1
当S≤S'时，最好的策略是使T尽可能大，即p = 1 。

也就是说，当单位时间每件原料存放费大于商品存放费时，最好只存一个周期的原料。

四、成批到货，不允许缺货的模型
所谓成批到货，不许缺货，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取（假设需求是确定的）投入使用，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足，不允许缺货。

这是因为，对某些工厂的实际来说，一旦缺货，造成停产，其损失是不可估量的。

这种情况下，库存量Q变动情况如图2.3.5所示。

t
图2.3.5 库存量Q示意图（情况4）
假设周期初始时，原料库存应为Q = RT，一个周期内原料存储费用应该是c2与图5.2.5中三角形QOT的面积的乘积，即
1 2
2
RT, 则周期总费用为
c1＋c2·1
2
2
RT
从而，周期内平均单位时间费用为
W
c
T
c RT =+
12
2
为求使W 达到最小的T ，令 dW /dt = 0，并注意到Q = RT ,得 T min =212c R c / (2.3.4) Q =212c R c / (2.3.5) 式(2.3.4)是经济理论中著名的经济批量公式（Economic ordering quantity, 简记为EOQ 公式）。

公式表明：定货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；而存储费越高，则每次定货批量应越小。

这些都是复合实际情况的。

这个结论与前面第一种情况下得到的结论是相似的。

五、只存储原料，允许缺货
在实际的存储问题中，有时因缺货造成的损失是有限的，这就可以根据实际情况建立允许缺货的存储问题数学模型，建立这个模型只需对上一个模型做如下修改。

在前面已设条件基础上，在设每天每单位原料缺货费为c 3, 每次所订原料Q 吨在 t = T 1时用完，有一段时间缺货，在t = T 时得到补充。

于是存储量Q 如图2.3.6所示。

显然有Q = RT 1，
t
图2.3.6 库存量Q 示意图（情况5）
一个订货周期T 内的缺货费是c 3与图中小三角形T 1DT 面积
12
12
R T T ()
的乘积。

总费用为
c 1＋c 2·
12
12
12
312
RT c R T T +-.
()
再注意到Q = RT 1，则平均每天的费用为 c (T , Q ) = 122122
32
T c c R
Q
c R
RT Q [()]+
+
-
令
∂∂ c T
=0
和
∂∂ c Q =0
解出
T =212
233c Rc c c c .
+ (2.3.6) Q =
212
323
c R c c c c .
+ (2.3.7)
容易看出，当c 3远远超过c 2 ,即缺货损失很大时，（2.3.6）和（2.3.7）两式就化为前面不允许缺货模型中的（2.3.4）和（2.3.5)
两式了。