课件——应用随机过程(英文版—G.A. PAVLIOTIS)

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《随机过程及其应用》PPT课件

• 我们称这个极限limP(x(n)=0)＝为{x(n),n 0} 的绝灭概率，显然 0 1 • 定理2.5设{x(n),n 0}是一个初始状态为1的以 f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。为其绝灭概率，则 • (1) =f( ) =1 • (2)当 1,p(1)<1时有 • (3)当1< 时, 是s=f(s)在[0,1)内的唯一解
• 所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 • 二、分枝过程 • • • • 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一单位时间，一个质点可分离成k个质点（k=0,1,2…)并设 • （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具有共同分布 • （2）质点的分离情况与其年龄无关
k

(5) 2 (1) n(0) 2 , 2 f " (1) f ' (1) ( f ' (1))2 (6) 当 1时, 2 (n) n(0) 2 n ( n 1) /( 2 ) 2 2 当 = 1时， (n) n0 n 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n 0} 的一切信息都知道了。对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。下面来讨论过程灭绝的概率 • 因为{X(n)=0} {x(n+1) =0} • 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0)1,即 {P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故其极限一定存在。 • • • • • •
• Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 (n+1)时刻分离出的质点数。 • X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 • X(0)=n(0) • X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0)) • X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)） • ……………. • X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n)) • 上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i 1,n 0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)

应用随机过程(第三章)PPT课件

Poisson的特性
平稳增量性。
由 E N tt ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
k 0
k 0 m m k pm 1pkm t m k k !e t
k 0m m !k k !!pm 1pkm t m k k !e t
pm tet 1pktk
m ! k0 k!
tpm ept
m!
Poisson过程的推广
非齐Poisson过程
定义3.3.1 计数过程 N t,t0称作强度函
过程 N t,t0 ，每次的赔付金额Yi都相
互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔额与与它发生的时间无关。则[0，t]内保险
公司赔付的总额 X t,t0 就是一个复
合Poisson 过程，其中：
XtNtYi i1
例3.3.3
（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某
服务系统的时刻 S1, S2, ,形成一个
t 6 6 1 02
1 第i位顾客在商场买东西 Yi 0 第i位顾客在商场未买东西
• 以 N1t 表示在时间[0，t]内到达商场的人
数， E N 112 4320
• 以 N2t 表示在时间[0，t]内在商场买东西
的人数，
E N 1 t E N 1 tY i t 0 .9 i 1
• 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且
Z i~ B 2,0 .5 0
•则
N3 t N 1tZi i1

应用随机过程PPT模板

机过程的基本概念
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ）的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分解
§5.2.2平稳过程的谱分解
§5.2.1相关函数的谱分解
§5.2.3平稳过程的线性运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变系统
§5.4.2输入为平稳过程的情形
§5.4.3平稳相关过程和互谱函数
第五章平稳过程
§5.5平稳过程的采样定理
§5.5.1采样定理
1
§5.5.2白噪声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变量空间H
§4.1.2二阶矩随机变量空间H
§4.1.1二阶矩过程
§4.1.3均方极限的性质
第四章随机分析与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积分
§4.2.1均方连续性
01
§4.2.3均方积分
03
§4.2.5均方导数与均方积分的分布
§1.3随机变量的数
字特征
§1.4概率论中常用的几个变

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》教学大纲英文名称Stochastic Process课程代码0212713适用对象研究生统计学、数量经济学类专业先修课程数学分析、概率论与数理统计考考试方式课程论文一、课程的性质、教学目的和要求（一）性质和目的随机过程是研究随机变量在时间参数的变化过程中所呈现出的统计规律性的一门学科，具有较高的理论和应用价值，是研究生相关专业的选修课。

本课程着重学习在经济金融领域中有较高应用价值的一些内容，如随机过程的基本概念和基本类型，泊松过程，更新过程，马尔可夫链，鞅，等基础知识，从而为学生学习后继课程和毕业论文打下必要的基础。

（二）教学方法主要是理论教学，采取多媒体辅助教学。

（三）教学安排本课程总学时48学时，其中习题课6学时。

二、课程内容和学时分配第一章金融领域中的数学模型（5节）教学重点：资产组合和期权定价理论及套利定价难点：期权定价理论和套利定价第一节债券和利率第二节证券市场和股票的波动第三节资产组合第四节期权定价理论和套利定价第二章随机过程（6节）教学重点：随机过程基本概念难点：Poisson过程第一节随机过程的基本概念第二节随机过程的数字特征第三节离散时间和离散型随机过程第四节正态随机过程第五节 Poisson过程第六节平稳随机过程第三章 Poisson过程（6）教学重点：Poisson过程的几个等价定义难点：更新过程第一节齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布第二节非齐次Poisson过程和复合Poisson过程第三节年龄与剩余寿命第四节更新过程第四章离散参数Markov链（9）教学重点：Markov链在金融中的应用难点：状态空间的分解第一节Markov链的基本概念第二节 Chapman-Kolmogorov方程第三节 Markov链的状态分类第四节闭集与状态空间的分解第五节转移概率的极限状态与平稳分布第六节从随机游动到Black-Scholes公式第七节 Markov链在金融、经济中的应用举例第五章连续时间Markov链（3节）教学重点：生灭过程难点：极限定理第一节连续时间Markov链的定义第二节极限定理和Kolmogorov方程第三节生灭过程第四节生灭过程与股票价格过程第六章 Brown运动（9节）教学重点：Brown运动的推广难点：Brown运动联合分布第一节 Brown运动的背景及应用第二节 Brown运动的定义及基本性质第三节 Brown运动的推广第四节标准Brown运动的联合分布第五节 Brown运动的首中时及最大值第六节 Brown运动轨道的性质第七节 Brown运动在金融、经济中的应用举例第八节 Poisson过程在证券价格波动中的应用第七章鞅及其应用（6节）教学重点：条件期望即鞅的应用难点：随机微分方程第一节鞅的定义及其性质第二节上鞅、下鞅及分解定理第三节停时与停时定理第四节条件期望的投影性及鞅的应用三、教科书和参考书（一）教科书《随机过程及其在金融领域中的应用》王军王娟主编清华大学出版社2007。

应用随机过程PPT课件

k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
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60
同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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61
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62
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63
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2021/7/1
概率
16
1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积点集的面积
隐含了等可能条件
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17
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性；的集函数。
可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
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65
Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
2021/7/1
66
条件数学期望
2021/7/1
(iN)
67
2021/7/1
68
2021/7/1
69
用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）
2021/7/1
70
例：随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，

应用随机过程泊松分布课件-PPT

特点:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤武汉大学什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本缪柏其若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版）及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤武汉大学定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取《随机过程论》胡迪鹤武汉大学注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、及相应的实际背景; 例随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:

《随机过程》教程.ppt

无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之间不能建立双射的关系。
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
原像集
像集单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两个集合，其所含元素的“个数”一样多。
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的一个子集建立双射关系的集合称为可数集合；否则称为不可数集合。可数和不可数是人类认识“无穷”所产生的概念，是对无穷的分类。已经证明连续的区间，和实数集等都是不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件必然事件基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
《随机过程》教程
第三讲随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。

随机过程讲义英文版

1
Answer: That X and Y are independent and have densities X and Y means the following. For any intervals I and J, possibly unbounded,
P{X ∈ I, Y ∈ J} = P{X ∈ I}P{Y ∈ J} =
3. Sum of independent random variables. Convolution Suppose that X and Y are independent random variables deﬁned on some probability space and have densities f and g respectively. Calculate the density of the random variable Z X + Y .
/itprnn/book.html).
Answer: Page 60 - 61 of [1]. Remark: If you remember, I wrote P{H = i|D = 3} for the ﬁrst question and P{H = i|D = 2, H = 2} for the second. Actually we should also write P{H = i|D = 3, H = 3} for the ﬁrst one. However, for the ﬁrst set of conditional probabilities, the information {H = 3} is already contained in {D = 3} because we are sure that the M.C. opens an empty door (but not for the second set, why?), so the results are the same. But for clarity, we should have written down everything.

随机过程理论及应用(中英文0600006

随机过程理论及应用（中英文0600006）一、课程代码：0600006课内学时： 48 学分： 3二、适用范围（学科、专业、层次等）控制科学与工程、控制工程三、先修课程线性代数、微积分、概率论四、教学目标随机过程理论及应用是自动控制专业研究生所必修的一门基础课程，该课程覆盖了概率论和随机过程的基本知识，包括泊松过程、马尔可夫链、鞅和布朗运动等。

在这门课程中，我们旨在讲授随机过程的一些基本理论，并扩展到其在控制、通信、经济和金融等领域的一些应用。

通过学习这门课程可以让学生学会以概率的方式来思考问题、看待问题和解决问题。

五、考核与成绩评定：成绩以百分制衡量。

成绩评定依据：课堂成绩10%，课后作业20%，考试70%。

六、教学方式课堂讲授、课堂讨论、论文分析七、教学大纲（大纲撰写人：闫莉萍）1．预备知识 6学时1.1概率的公理化定义1.2随机变量与数字特征1.3矩母函数与特征函数1.4条件数学期望1.5随机过程的基本概念1.6随机过程的有限维分布和数字特征1.7随机过程的分类2．二阶矩过程与均分分析 6学时2.1基本概念2.2H空间与均方分析2.3宽平稳过程的概念和基本性质3．泊松过程 6学时3.1定义3.2与泊松过程相关的若干分布3.3泊松过程的推广3.4泊松过程的应用4. 离散时间马尔可夫过程 8学时4.1定义4.2转移概率矩阵4.3Chapman-Kolmogorov方程4.4状态的分类与状态空间分解4.5平稳分布4.6离散参数马尔科夫链的随机模拟与蒙特卡罗方法4.7应用5. 连续时间马尔可夫过程 6学时5.1定义与基本概念5.2转移概率矩阵5.3Kolmogorov微分方程5.4强马尔可夫性与嵌入马尔可夫链5.5连续马尔可夫过程的随机模拟5.6应用6. 鞅 6学时6.1基本概念6.2上（下）鞅及分解定理6.3停时和停时定理6.4鞅收敛定理6.5连续参数鞅7. 布朗运动 6学时7.1定义7.2布朗运动的性质7.3最大值与首中时7.4布朗运动的变形与推广8. 伊藤过程 4学时8.1伊藤积分8.2伊藤公式8.3伊藤微分8.4应用实例九、参考书及学生必读参考资料：1. 闫莉萍, 夏元清, 杨毅. 随机过程理论及其在自动控制中的应用[M]. 北京:国防工业出版社, 2012.2. Sheldon M. Rose. Stochastic Processes (Second Edition) [M]. John Wiley & SonsInc., 1996.3. 龚光鲁, 钱敏平. 应用随机过程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2007.4. 林元烈. 应用随机过程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002.。

第一次课应用随机过程简介1

❖ [16] 谢衷洁，平稳时间序列分析，北大出版社， 1990。
❖ [17] 赵达纲, 应用随机过程, 机诫工业出版社， 1993。
❖ [18] Robert.B.Ash,Topics in the Stochastic Processes , Academic Press INC.New york,1975
❖ 从1942年开始，日本数学家伊藤清（Itó）引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支—— 随机分析的创立与发展奠定了基础.
❖ 1930年左右，Wiener对概率论布朗运动研究使人们常常将此类运动称为Wiener过程；另外，他在时间序列的预测与滤波之理论建立亦做出贡献.
❖ [3] 复旦大学：《概率论第三册——随机过程》，人民教育出版社，1981。
❖ [4] A.M.雅格龙：平稳随机函数导论，数学进展，第2卷，第1期，1955。
❖ [5] 汪荣鑫编：《随机过程》，西安交通大学出版社，2001
❖ [6] 安鸿志等：《时间序列的分析与应用》，科学出版社，1986。
❖ [19] K.L,Chung.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion,SpringerVerlag,1982
❖ [20] Edward,An Introduction to Stochastic Processes,Wadsworth Publishing Company(China Mashine Press,1997)
❖ 1931年Kolmogrov用分析的方法奠定了 Markov过程之理论基础；Kolmogrov之后，在此研究中作出重大贡献而影响了整个概率论的重要代表人物有P. Levy，（18861971）、辛钦（Khinchine 1894-1959）、

应用随机过程PPT课件

(1) 0 F ( x1, x2 ,, xd ) 1；
(2) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是单调的；
(3) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是右连续的；
(4) lim F (x1,, xi ,, xd ) 0,
xi
(i 1,2,, d )
lim
xi
7. 分布：密度函数
f
(x)
(
)
x
1ex
,
0,
x0 x0
（ 0）
称之为以，为参数的分布，函数定义为
( ) 0 x 1exdx （ 0）
函数的性质：
(1) ( 1) ( );
(2) (1) 1;
(3) (1) ;
2 (4) (n 1) n!
8.指数分布：在分布中，令 0， 0
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
(F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
性质假设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n ,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
Borel - 代数, 记作B(R)，其中的元素称为Borel集合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数, 记作B(Rn ). 显然 B ((, a),a R).
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足（1）对任意A F，有0 P(A) 1;

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StochProc
January 16, 2011 2 / 367
This is a basic graduate course on stochastic processes, aimed towards PhD students in applied mathematics and theoretical physics.
The course will consist of three parts: Fundamentals of the theory of stochastic processes, applications (reaction rate theory, surface diffusion....) and non-equilibrium statistical mechanics.
Pavliotis (IC)
StochProc
January 16, 2011 5 / 367
3. PART III: NON-EQUILIBRIUM STATISTICAL MECHANICS. Derivation of stochastic differential equations from deterministic dynamics (heat bath models, projection operator techniques etc.). The ﬂuctuation-dissipation theorem. Linear response theory. Derivation of macroscopic equations (hydrodynamics) and calculation of transport coefﬁcients.
The emphasis of the course will be on the presentation of analytical tools that are useful in the study of stochastic models that appear in various problems in applied mathematics, physics, chemistry and biology.
Lectures: Mondays, 10:00-12:00, Huxley 6M42.
Ofﬁce Hours: By appointment.
Course webpage: /~pavl/stoch_proc.htm
Text: Lecture notes, available from the course webpage. Also, recommended reading from various textbooks/review articles.
Pavliotis (IC)
StochProc
January 16, 2011 4 / 367
2. PART II: APPLICATIONS.
Asymptotic problems for the Fokker–Planck equation: overdamped (Smoluchowski) and underdamped (Freidlin-Wentzell) limits. Bistable stochastic systems: escape over a potential barrier, mean ﬁrst passage time, calculation of escape rates etc. Brownian motion in a periodic potential. Stochastic models of molecular motors. Multiscale problems: averaging and homogenization.
APPLIED STOCHASTIC PROCESSES
G.A. Pavliotis
Department of Mathematics Imperial College London, UK
January 16, 2011
Байду номын сангаас
Pavliotis (IC)
StochProc
January 16, 2011 1 / 367
Pavliotis (IC)
StochProc
January 16, 2011 3 / 367
1 PART I: FUNDAMENTALS OF CONTINUOUS TIME STOCHASTIC PROCESSES
Elements of probability theory. Stochastic processes: basic deﬁnitions, examples. Continuous time Markov processes. Brownian motion Diffusion processes: basic deﬁnitions, the generator. Backward Kolmogorov and the Fokker–Planck (forward Kolmogorov) equations. Stochastic differential equations (SDEs); Itô calculus, Itô and Stratonovich stochastic integrals, connection between SDEs and the Fokker–Planck equation. Methods of solution for SDEs and for the Fokker-Planck equation. Ergodic properties and convergence to equilibrium.
The lecture notes are still in progress. Please send me your comments, suggestions and let me know of any typos/errors that you have spotted.
Pavliotis (IC)