集值映射最小不动点理论
Brouwer不动点定理的几种证明
Brouwer不动点定理的几种证明学院名称:专业名称:学生姓名:指导教师:二○一一年五月摘要Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中,关于它的证明很多有:代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.关于该定理,也可以用图论的方法证明,用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上,对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.关键词:Brouwer;不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 本课题的研究内容 (1)第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)引理2.1.1(sperner,1982) (3)定理2.1.2 (Brouwer) (3)2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)2.2.1 基本概念与引理 (5)定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)定理2.2.2.2(KKM定理) (5)2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)参考文献 (19)致谢 (20)第一章引言1.1 研究背景Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理,它的叙述简洁,应用广泛,但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1],还是组合拓扑的证明[2],以及微分拓扑的证明[3],都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4],只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理,也可以用图论的方法证明,这种离散理论解决连续系统中问题的思想,对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上,对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明,体现离散理论解决连续系统中问题的思想.12第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer 不动点定理:若2∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域,f 是2∆到自身的连续映射,则f 至少有一个不动点,即存在一点20p ∈∆,使得00()f p p =.首先把2∆剖分成若干小三角形区域,即221m i i δ=∆=,221,n ij i ji j mδδ≠≤≤的面积为零.把2∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上,且2∆的这条边端点之标号为k 与m ,2i δ的顶也标成k 与m ,称这些标志位正常标志,在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时,称2i δ为正常三角形,见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.1图 2.1v v 1v 59v 10v 11图 2.23引理2.1.1(sperner ,1982)在2∆的三角剖分中,正常三角形为奇数个.证:记20δ为2∆的外部区域,22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ,对于i 与j 接非零的情形,仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时,才在此二顶间连一边,对20δ与2(0)i i δ≠的情形,仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时,在顶20δ与2i δ间连一边,见图b.由于上述图G 中奇次项的个数是偶数,如果20()d δ是奇数,则22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项,又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时,2()1i d δ=,所以正常三角形有奇数个.下证20()d δ是奇数.事实上,20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时,,是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时,由于标志是正常的,的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况,(i )在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1,则,(ii )在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时,我们把端点标号一样的小区间收缩成一点,标号不变,则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01,这里出现奇数个以0,1为端点的小区间,故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)f 是2∆到自己的连续映射,则存在'20p ∈∆,使''00()f p p =. 证:012,,p p p 是2∆的三个顶点,则对任意2p ∈∆,可以写成001122p a p a p a p =++,则0i a ≥,201i i a ==∑,其中的012,,,p p p p 是二维向量,且012(,,)p a a a =,'''012()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 012S S S φ≠,则存在012012(,,)a a a S S S ∈,且',0,1,2ii a a i ≤=;又22'01i i i i a a ====∑∑,故必有'''001122,,a a a a a a ===,即f 有不动点. 下证2i i S φ=≠.事实上,考虑2∆的正常标志的三角形剖分,使得标志i 的每个顶点属于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时,存在一个i S ,使i p S ∈,且0i a >;否则当每个0i a >时,'ii a a >.于是22'00ii i i a a ==>∑∑,矛盾.若一个三4角形顶点i p S ∈且0i a >时,p 标志以i ,这种标志是正常标志,例如2∆的顶点(0,1,2)i p i =有1i a =,故i i p S ∈,标成i ;在2∆的01p p 边上各点的20a =,我们只能把这边上的点标以0或1;02p p 边上的点同理只能标志0或2;12p p 上的点只能标志1或2,故正常标志.由引理知,至少有一个正常三角形,其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密,且小三角形中的最大直径足够小,则有分别在012,,S S S 中的三个点,两两相距可以任意小,又f 是连续的,故012,,S S S 是闭集.于是,012S S S φ≠.证毕.52.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2.2.1.1 设E 是一线性空间,其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ⊂称为有限闭的,若它与每一有限维平面L E ⊂的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的;一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质,如果它的每一有限子集的交不空.定义2.2.1.2 设E 是一线性空间,X 是E 上的任意子集,称:2E G X →是一个KKM 映像,如果对任何有限子集{}12,,...mx x xX ⊂,有:{}121,,...()m mi i x x x G x =∞⊂引理2.2.1.3 设集合n X R ⊂非空,则距离函数()inf y Xd x x y ∈=-是Lipschitz的,即有:()()d x d y x y -≤- ,n x y R ∀∈2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点. 定理2.2.2.2(KKM 定理)设E 是一线性空间,X 是E 的子集,:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何x X ∈,()G x 是有限闭的,则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.证: 反证法.假设存在{}12,,...mx x xX ⊂使得1()m i i G x φ==.设L 是由{}12,,...mx x x 张成的有限维平面,d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...mD co x x x =,则D L ⊂.由假定每个1,2,...,()i i m L G x =在L 中闭,故(,())0i d x L G x =的充分必要条件是()i x LG x ∈.定义函数: 1()(,())mi i x d x L G x λ==∑由于1()mii G x φ==,故对于每一x D ∈,()0x λ>.由引理1知:6()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ∀∈不妨设D 包含原点,否则用11m ii D x m =-∑代替D 即可.令:11()(,())()mi i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ∀∈ 式中,1t >是待定参数.则:f D D →连续,且对任意,x y D ∈,有:1111()()(,())(,())()()mmiii i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑1111(,())(,())()()m miii i i i d y LG x x d x LG x x t y t y λλ==≤-∑∑1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1.对任意,x y D ∈,有:1111(,())(,())()()mmiii i i i d y L G x x d x LG x x t y t y λλ==-∑∑11()()mi i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2),对任意,x y D ∈,有:1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑11(,())()()()()mi i i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑1((,()))()()mi i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑综合式(3)、(4)、(5)知:(,)()()h x y f y f x x y t-≤-7式中,111(,)(,())()()()m mi i i i i nh x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑.在有界闭集D D⨯上连续,因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥,则,f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道,,有一不动点x D ∈.令{}{}|(,())0,1,2,...i I i d x LG x i m -=>∈则()ii Ix G x -∈∉.另外:11()(,())()mi i i x f x d x L G x x t x λ---===∑{}1(,())|()()i i i i i Ii Id x LG x x x i I G x t x λ--∈∈=∈∞∈⊂∑导致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合,其中一个有界,具有有限交性质,则该集族看非空交.证明:反证法.假设A λλσφ∈=,则它的余集为全空间,即()n CA C A R λλλσλσ∈∈==即开集CA λ.的并覆盖全空间,当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知,存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ,即:012m A CA CA CA ⊂从而:012m CA A A A ⊃,即:012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾,从而引理2成立.定理2.2.3.2 (FKKM 定理)设X 是n R 中的非空紧凸集,:n G X R →是闭值的KKM 映射,且存在一点0x 使0()G x 有界,则集族{}()|G x x X ∈有非空交.证明 :根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质,于是根据引理2知定理3成立.引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集,映射:n G X R →连续,则至少存8在一点y X -∈使得:()inf ()x Xy G y x G y ---∈-=-引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集,映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ,连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)设:n n G D R R ⊂→是闭集D 上的压缩映像,()G D D ⊂,则对任意0x D ∈,迭代序列:1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.证明:由引理2.2.3.3,2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.92.3 Brouwer 不动点定理的nor 分析证明2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数,在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+⋅<>就称为n 维欧式空间,其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量,诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量;向量(,...,)i n x x x =和(,...,)i n y y y =相加,结果是一个向量,定义为11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘,结果是一个向量,定义为1,...,)(n x x x ααα=向量x 和y 的内积是一个实数,定义为 1,ni ii x y x y =〈〉=∑于是,向量的长度定义为x ==向量x 和y 的之间的距离就是x y -=由于对任何α有2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα〈++〉=〈〉+〈〉+〈〉≥ 所以判别式2,,,0x y x x y y 〈〉-〈〉〈〉≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y 〈〉≤⋅10等式成立的充要条件是:相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y 〈〉︿的余弦为cos ,x y 〈〉︿,x y x y〈〉⋅=显然,,cos x y 〈〉≤︿1||;x 和y 相差正数因子时,,cos x y 〈〉≤︿1|;相差负数因子时,,cos x y 〈〉=-︿1||;此外由于222,x y x y x y -=+-〈〉222,cos x y x y x y +-〈〉⋅︿=2与通常的余弦定律一致,所以,cos x y 〈〉︿的定义是合理的.从而,向量x 和y 正交定义为, ,x y 〈〉︿=0.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示,也可以平行移动到任何位置,只依赖于方向和长度.因此,在图示中,两个向量相加可以用平行四边形法则,也可以用三角形法则.图 2.3(a) 图 2.3(b)2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈,都相应的地有一个向量()n y x R ∈,就说y 是把*I 映入n R 的一个映像(变换).如果()y x 的诸分量1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数,就说y 是连续向量场.注意,在说到连续可微时,总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域,v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ,使得*()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈证明,由于v 是*I 上的连续,所以对任何*I ξ∈,存在()0δξ>,使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤11处处连续可微,命 *(,())sup ||iij x I jI v c x ξδξξ∈∈∂=∂ 于是,根据微分中值定理,对任何,(,())x y I ξδξ∈有22()()|(,...,)(,...,)|i n i n iv x v y v x x v y y -≤-∑1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n iv x x x v y x x ≤-+∑1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -,,||ij i i ij i ji jc x y c x y ≤-≤-∑∑今证存在0δ>,不依赖于*I ξ∈,使得对任何,(,())x y I ξδξ∈,上述吧不等式成立.否则,对任何正整数p ,存在*p I ξ∈以及1,(,)p p p x y I pξ∈,使得()()p p ij p p ijx x v y c x y -≤-∑由于*I 是有界闭集,根据Bolzano-Weierstrass 定理,可设*p I ξξ→∈,从而,,p p x y ξ→.于是,当p 充分大时,,(,())p p x y I ξδξ∈,所以,()()p p ij p p ijv x v y c x y -≤-∑矛盾.这样一来,如果命 *,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i jMc c δ=∑则对任何*,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域,v 是*I 上的连续可微向量场.命u :*n I R →是一个变换,定义为*()(),u x x t v x x I =+⋅∈ 于是,当||t 充分小时,u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换,区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.证明:据引理1,设是的Lipschitz 常数.于是,当1||t c<时,变换u 是一一的.因为,若x y ≠而()()v x u y =,则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-,矛盾. 其次,由于所以的Jacobi 行列式是12,,()[]1,0,ii j ji jv J u tx i j i jδδ∂=+∂=⎧=⎨≠⎩因而可以表为的多项式:1()1()()n n J u a x t a x t =+++其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意,当0t =时,这个行列式之值为1,所以只要||t 充分小,则()J u 恒为正.于是,则反函数定理,当||t 充分小时,u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换,它的逆变换也是连续可微的.因此,按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则,区域的体积可以表示为**1()(())n u I vol u I du du =⎰⎰*12()I J u dx dx =⎰⎰01n n a a t a t =+++其中 **1()i i n I a a x dx dx =⎰⎰*0,1,,,1i n a ==,nc k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈= 命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =,就说v 是1n S -上的向量场.今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场,即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域图 2.4*13{|}22n I x k x =∈≤≤13命*()(),xv x x v x I x=∈ 于是,v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于()u x ==可见变换u 把半径为13()22r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=变到半径为的球面1(n S -上.引理2.3.2.3 当t 充分小时,变换u 把1()n S r -变成1(n S -证明:设11,3t t c<<,其中c 是在上的Lipschitz 常数.对于任何固定的10(n u S -∈命*()(),w x tv x x I =∈ 由于1()2tv x t x =⋅<, 所以13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外, ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=⋅-≤⋅⋅-而1t c ⋅<,可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像,据压缩映像原理,有唯一的原动点00()x w x =,即00()x tv x =+,所以1x =000()u tv ξξ=+,其中100n x S ξ-=∈.这就证明了对任何10(n u S -∈,存在唯一的10n S ξ-∈,使得00()u u ξ=14图 2.52.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式(())n n n vol B r c r =其中 111312,2221322,23n nn n n cn n n c n n c n n n π----⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩为偶数为奇数 事实上,例如12342,,3c c c ππ===,按归纳法有10(())2[rn n n vol B r vol B dx -=⎰ 221012()2rn n n n c r x dx --=-⎰ 2102cos nn n c r d πθθ-=⎰算出上述积分,就得到所要的结果.图 2.6152.3.4 现在我们问:球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量?这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数,回答是肯定的,事实上我们可以给出所要的向量,例如121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈但是,如果1n -是偶数,回答则是否定的定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.证明:假若不然,当n 是奇数时,若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ,则据引理3,变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13{|}22n I x R x =∈≤≤变成区域*(){n u I x R x =∈≤≤,所以*()u I 的体积是*(())[[n n vol u I vol B vol B =-31[()()22n n n n c =-*()n vol I =由于n 是奇数,这个体积不可能是t 的多项式,因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.证明:假若不然,命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场, 1()n x Sm Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8],中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近,所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→,即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式,图 2.716使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ , 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 显然,上的联讯可微向量场,此外,21(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈所以u 是1n S -上的切向量场,最后,()0u x =蕴涵()(),p x p x x x =, 所以(),()0p x v x =,()()p x v x m -=>矛盾,从而u 在1n S -上处处不为零.因此()()()u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是,如果1n -是偶数,定理1说,这是不可能的.例.地球表面的风的分布可以视为向量场,向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的,所以这个定理说,地球表面上总有一处是完全无风的.2.3.5 现在介绍一种方法,怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +,设111{|0}{|1}{|1}n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤图 2.8n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为零的连续向量场u ,使得1n x S -∈时,()u x x =.首先,利用北极投影把n B 映成南半17球1{|0}n n n S x S x -+=∈≤,奇数对任何n x B ∈,从北极(0,0,1)N 到1(,,0)n x x x 的连线与n S 的交点ξ就是所要的对应点.容易验证,北极投影的确定义是2121()(2,,2,1),1n n x x x x x B x ξ=-∈+ 他的递变是111()(,,,0),1n n n x S ξξξξξ-+=∈-显然,这两个变换都是连续可微的.对于任何固定的n x B ∈, n k 中的直线()x tu x + ()t a <经过北极投影变成n S 上的球面曲线(())x tu x ξ+ (注意,北极投影显然对整个n k 上的点都有定义,不过n k 中不属于的点背变到北半球上罢了).我们来证明:这条曲线在0t ≤时速度向量()u ξ是n S -在ξ处的切向量.事实上,按定义有 0()(())|t d u x tu x dt ξξ==+ 2201[(2()),,(2()),()1]1()t d x tu x x tu x x tu x dt x tu x =⎧⎫⎪⎪=⋅+++-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭ {22121221(1)[2(),,2(),2,()][2,,2,1]2()[1]n x u x u x x u x x x x x u x x =+⋅--++ 由于()u x 连续依赖于x ,而x 连续依赖于ξ,可见()u ξ连续依赖于n S ξ-∈.此外,{}22222221(),(1)[4,()(1)2,()][4(1)]2,()[1]u x x u x x x u x x x x u x x ξξ=+⋅+--+-+ {2222221(1)2,()(1)2,()[1]0x x u x x x u x x =+-++=可见,u 是n S -上的连续切向量场.最后,还应指出μ在n S -上处处不为零,因为()0μξ=蕴涵,()0x u x =,从而有推出所有的()0i x μ=,与假设矛盾.只要当1n x S -∈时,(),()x x u x x ξ==所以()(0,,0,1)μξ=指向正北.同样,如果我们利用南极投影和向量场u 我们将得到北半球{}1|0n n n S x S x ++=∈≥上的处处不为零的连续向量场μ,但是在赤道1n S -上这个向量场指向正南.为了得到整个球面n S 上的连续向量场,我们利用向量场u -,这样18相应的向量场μ在赤道1n S -上也指向正北.与南半球上的向量场一致.这样一来,我们从所给的向量场u 构造出在整个上处处不为零的连续向量场μ.2.3.6 Brouwer 不动点定理定理3.把n 球体映入自身的任何连续映象f 至少有一个不动点,即存在n x B ∈,使()f x x =证明:假若不然,对任何n x B ∈,()f x x ≠.命1,(),1n x x u x x y x B x y-=-∈-- 其中()x f x =显然,当1n x S -∈时,()u x x =; ()u x 连续依赖于x ,因为,1x y ≠.此外,u 在n B 上处处不为零,因为()0u x =蕴涵,x x x y y x x y --=-或,,x x x x y y x x y +=+ 所以,,,,,,x x x x y x y x x x x y +=+ 即 ,,x x y x =由此再据()0u x =即得y x =于是,u 是n B 上处处不为零的连续向量场.使得1n x S -∈时,()u x x =.据F ,可以由此构造n S 上处处不为零的连续切向量场μ.据定理2,当是偶数时是不可能的.因此,我们证明了当n 是偶数时的Brouwer 定理.奇数的情形则由偶数的情形立即推出.事实上,如果2121:k k f B B --→没有不动点,那么22:k k F B B →也没有不动点,这里12121(,,)((,,),0)k k F x x f x x -=.参考文献[1] 江泽涵,拓扑学引论(第二分册)[M].1965年,上海科技出版社,126.[2] 中国科学院数学研究所,《对策论(博弈论)》[M].1965年,人民教育出版社,1960.[3] V.Guillemin,A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.[4] nor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point Theorem[M]. 1978年,521—524.[5] 王树禾,图论(第二版)[M].2009年,科技出版社,15.[6] 熊金城,点集拓扑讲义(第三版)[M].2003年,高等教育出版社,251.[7] 燕子宗,杜乐乐,刘永明,Brouwer不动点定理的初等证明[J].长江大学学报,2008,5(1),15-17.[8] 岳崇山,用组合发证明三维情况的Brouwer不动点定理 [J].数学学报,1962,No.7,p.33.[9] 江上欧,压缩映象原理的产生与应用,河北北方学院学报,2006,6(1),3-6.[10] J.Dieudonne,Elements d’Analyse,I.fondements de l’Analyse moderme Ganthier-Villars,1972.19致谢回首既往,自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中,能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过,实是荣幸之极.在这四年的时间里,我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外,与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的.老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励,是我坚持完成论文的动力源泉.在此,我特别要感谢我的论文指导老师刘永平老师.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿,从内容到格式,从标题到标点,她都费尽心血.没有刘老师的辛勤栽培、孜孜教诲,就没有我论文的顺利完成.在此我还要感谢和我一起学习和生活的同学,与他们的交流使我受益颇多.最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助,正是因为有了他们,我所做的一切才更有意义;也正是因为有了他们,我才有了追求进步的勇气和信心.这也将是我克服困难、不断前进的精神动力.郝斌斌2011年4月于兰州城市学院20。
第5讲 巴拿赫不动点定理
An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性.设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
,得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
,A3
x∗ 1
=
x∗ 1
,…,An
x∗ 1
=
x∗ 1
,
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射,取 x0 = 0.75 ,由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 , x2 = 0.7533 , x3 = 0.7540 , x4 = 0.7544 ,
x5 = 0.7546 , x6 = 0.7547 , x7 = 0.7548 , x8 = 0.7548 ,….
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
.
因此对于正整数 k 有
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西安电子科技大学理学院 杨有龙
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理(例如微分方程,积分方程,代数方程等)的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义 设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1)代数意义:若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2)几何意义:若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题,往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用 相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间,距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射,且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明 在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =,12Tx x =,…,n n Tx x =+1,… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=; ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=; ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+, ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明 由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时(λ是常数),()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明 在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-,R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0,取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ,已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ,且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微,且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明:若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1,任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根(即*x 为()x f 的不动点).证明 已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1(),(a x n ∈ξ) 由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明 易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续,且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤,则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验:把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设: 对椅子和地面做一些假设:1)椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2)地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点(没有像台阶那样的情况).即地面可视为数学上的连续曲面.3)对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4)椅子转动时中心不动.模型分析:在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚着地了,椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同,所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和,()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2)知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3),椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,所以对于任意的θ,()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0,当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解:令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵,()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明:若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑,则方程b Cx x +=有唯一解.证明 设X 是n R (或n C ),定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理 相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1(Brouwer 不动点定理)设Ω是n R 中的有界闭凸子集,Ω∂表示Ω的相对边界;设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点(否则,存在B x ∈,使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1,得到矛盾).在应用中,常常涉及到无穷维空间(如[][]b a L b a C ,,,2)上的算子,由上例可知,Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”,则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2(Schauder 不动点定理) 设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3(Leray —Schauder 不动点定理)设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明 令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰,则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊,屈田兴.应用泛函分析[M].长沙:国防科技大学出版社,2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2003.[4]钟承奎,范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报,2008.。
像集压缩映射的不动点
, , , ,
文 E uv ec f o l e esadcnrc o rp q ia n eo mpe ns n ot t npo - l c t ai
et, r 讨论 了一个 局 部李 普 希 兹 连通 度 量 空 间和 一 y
M a . 01 r2 2
像 集 压 缩 映 射 的 不 动 点
刘 安 祥
( 贵州大学 理学院 , 贵州 贵阳 5 02 ) 505
摘
要 :在 像集压缩的条件下讨论 映射 的不动点,也 就是从像 的整体 出发 ,而不是从 集合 中单 个点 的像 出发
来研 究不动点 ,在不要 求连续映射 的条件 下,集合 A到 自身的映射 ,只要 求 A与 , A) 间满足一定 关 系时, ( 之
果 x 能 表示 为两个 不相 交 的 闭集 的并 , 不 x的子 集 c 是连通 的 , 如果子 空 间 是连 通 的。 定义 设 A是 拓扑 空间 x 的子集 , —A An
为 的直径 , 则存在唯一点 E , ∈N。 i
证 明 : lEF ,2∈F , , EF , 构 成 取 1 2… …
譬
定理得证
定理 度量 空 间 x 中的无缝 连通 集 A上 的像
A满足任 意 C c A 满 足 G c C, ) 这样 的映 射 我 们把 它 叫做 A上 的像集 压缩 映射 。 定义 拓 扑空 间 x到 拓 扑 空 间 Y 内 的 映射 f
集压缩 闭 映射 满 足 对 V 。∈ j > 0使 得 x
一
的不动点。
其实在一定的条件下 , 像集压缩映射就是 巴拿
赫压 缩 映射 。 定理 度量 空 间 x上 的连 续 像 集 压 缩 映 射 f
动力系统的概念
动力系统的概念这一章是对于事实的调查,而且来源于应用于全书的动力系统理论。
我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语,并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。
为了更容易的阅读,我们保持讨论时采用非专业术语,并尽可能地避免技术上的符号和观点。
然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到,一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。
在某些情况下,我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。
另外,我们鼓励读者使用附录A 和B 作为基于不同的几何和函数分析的参考。
流量,映射,动力系统对于任意的集合P ,一个变换群:P P tF →中的任意的一个参数t 属于实数,如果()x x F =0对于所有的x 属于集合P ,并且s t s t F F F =+对于任意的 ,t s , 属于实数都成立,则被称为一个流。
这两个属性表明t F 和它的逆t F -是不可以转化的。
这一组合t (,)p F 叫做基于空间P 的一个连续的动力系统。
换句话说,一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态)(x F t 的当前的状态函数x 的变化规则。
通过x 这一点的变化轨迹是集合)()(x F U x t R t ∈=γ。
一个固定点的流是一个点x 且x x F t =)(对于任意的R t ∈都成立。
这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x 对于那些存在的正数T,并且满足x x F T =)(的这样的轨迹。
如果用以上所说的映射族t F 定义只需0≥t ,且对于所有的t ,s 满足()x x F =0和s t s t F F F =+,则t F 叫做半流形。
注:半流形通常是不可逆的,动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。
当有单独向映射P P f →:且存在()f P ,时,离散动力系统是确定的。
这样的系统还有一些性质即通过f 的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态()(),...,2x f x f 。
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用主要内容:●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录:一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片,按比例缩小,然后把小照片随手放在大照片上,那么大小两张照片在同一个部位,一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理:(Banach 不动点定理—压缩映像原理)设 ),(ρX 是一个完备的距离空间, T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射,则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念:距离空间,完备的距离空间,压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义:(距离空间)设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间,是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ, 满足下面三个条件:(1)。
0),(≥y x ρ, 而且0),(=y x ρ, 当且仅当 y x =; (2)。
),(),(x y y x ρρ=;(3)。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤, (X ,,∈∀z y x )。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离,以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义:(完备的距离空间)距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列,则称该空间是完备的。
定义:(压缩映射)称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射,如果存在 10<<a , 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理:(存在和唯一性)考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续,而且对 y 满足Lipschitz 条件,则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解,其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=(1)。
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用一、引言在数学中,不动点定理和Banach压缩映像定理是两个非常重要的定理。
不动点定理是一个基本定理,它能够帮助我们证明很多问题。
而Banach压缩映像定理则是一个实用定理,它能够帮助我们求解很多实际问题。
本文将重点讨论这两个定理的应用。
二、不动点定理不动点定理(Fixed point theorem)是数学中一种基本的定理,也是一个非常重要的定理。
它的实质是给定一个运算,能够保证这个运算至少有一个不变点。
例如,在一维空间中,一条直线与 x 轴的交点就是一个不动点。
不动点定理的常用形式有 Banach定理,Brouwer定理和Kakutani定理等。
这三种定理都是确保在一定条件下,给定一个映射,必定存在一个不动点。
其中,Banach定理是应用最广泛的一种不动点定理。
三、Banach压缩映像定理Banach压缩映像定理(Banach contraction mapping theorem)是应用最广泛的不动点定理之一。
它是一种强化的不动点定理,能够给出一个更加精确的结论。
该定理的实质是,给定一个映射,如果它能够将任意两个点映射到更靠近一起的两个点,那么这个映射一定存在不动点。
具体来说,设 (X,d) 是一个非空完备度量空间,f:X → X是一个压缩映像,即存在常数0≤s<1,使得对于任意x,y∈ X,有:$d(f(x),f(y))≤s\times d(x,y)$则 f 存在唯一的不动点 z,即 f(z)=z。
在实际中,Banach压缩映像定理被广泛应用于求解非线性方程组的根。
例如,对于一个形如 f(x)=0 的方程组,可以通过适当的转化,将它表示成 g(x)=x 的形式,然后应用Banach压缩映像定理求解。
此外,Banach压缩映像定理还在优化算法、控制论等领域得到广泛应用。
四、应用举例下面我们通过两个具体的例子来说明不动点定理和Banach压缩映像定理的应用。
15 巴拿赫不动点定理
第一章 度量空间11.5 Banach 不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem ),又称为压缩映射定理或压缩映射原理,它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理.许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点,而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件,并提供了一个迭代程序,按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差,这是代数方程,微分方程,积分方程,泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法.1.5.1 Banach 不动点定理及推论定义 1.5.1 不动点(Fixed points)设X 是一个非空集合,:A X X →为映射,如果存在x X *∈满足()A x x **=,则称x *为映射A 的不动点.例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点,即0x =和1x =.(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点,即直线y x =上的所有点均是不动点.设f 是空间X 到自身的映射,方程()0f x =的求解可转化为求映射:()T x f x x α→+的不动点,其中常数0α≠(显然当Tx x **=时,即()f x x x α***+=,可得()0f x *=).关于不动点的定理,最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理.定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)设X 是一个度量空间,:A X X →为映射,如果存在常数(0,1)α∈,对于任何,x y X ∈,有(,)(,)d Ax Ay d x y α≤则称A 为X 上的压缩映射.称常数α为压缩系数.显然压缩映射是连续映射.下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的,也称为Banach 不动点定理.定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )设X 是完备的度量空间,:A X X →是压缩映射,则A 在X 中具有唯一的不动点,即存在唯一的x *,使得()x A x **=.证明 任取0x X ∈,构造点列{}n x :10()x A x =,21()x A x =,32()x A x =,43()x A x =,…,1()n n x A x -=,….下面证明 (1)证{}n x 为基本列;(2)证n x x *→,()x A x **=;(3)证x *的唯一性.(1)证{}n x 为基本列.因为A 是压缩映射,所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤,其中(0,1)α∈,记100(,)d x x c =,于是有1.5 Banach 不动点定理及应用22110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤;23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤; 34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤;…… ……1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα------=≤≤.因此对于正整数k 有1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++-+≤+++110()n n n k c ααα++-≤+++0(1)1n k c ααα-=-01n c αα≤-0→ (n →∞)故{}n x 为基本列.(2)证n x x *→,()x A x **=.因为X 是完备的度量空间,所以基本列{}n x 收敛,不妨设n x x *→(n →∞);又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x -=,于是lim n n x x *→∞=1lim ()n n A x -→∞=1(lim )n n A x -→∞=Ax *=.(3)证x *的唯一性.若存在1x X *∈且11()x A x **=,那么111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α******=≤于是1(1)(,)0d x x α**-≤,从而1(,)0d x x **≤,即1x x **=.□注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法,即1x X ∀∈,由1n n x Ax +=(1,2,n =)获得不动点n x x *→.第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x *的误差估计:根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nn n k d x x c αα+≤-,于是令k →∞有01000(,)(,)(,)111n n nn d x x c d x x d Ax x αααααα*≤==---.即00(,)(,)1nn d x x d Ax x αα*≤-.注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的.例如当(,)(,)d Ax Ay d x y <时,未必存在不动点.设:A →R R ,()arctan 2A x x x π=+-,那么,x y ∀∈R ,有(,)d Ax Ay Ax Ay =-(arctan )(arctan )22x x y y ππ=+--+-(arctan arctan )x y x y =---第一章 度量空间32()1x yx y ξ-=--+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈)22()1x y ξξ=-+(,)x y d x y <-=.但是,当Ax x =时,方程arctan 2x π=无解,因此映射A 在R 中没有不动点.Lagrange 中值定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,在开区间(,)a b 内可导,那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<),使得()()()()'f b f a f b a ξ-=-.推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间,映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射,并且00(,)(1)d Ax x r α≤-,其中(0,1)α∈是压缩系数,那么A 在0(,)B x r 中具有唯一的不动点.证明 显然0(,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集,所以0(,)B x r 是完备的子空间.0(,)x B x r ∀∈,有0(,)d x x r ≤,于是0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+-(1)r r αα≤+-r ≤即0(,)Ax B x r ∈.可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0(,)B x r 上的压缩映射,因此A 在0(,)B x r 中具有唯一的不动点.□设映射:A X X →,记nn A AA A =,那么映射:n A X X →.推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间,映射:A X X →,如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ,使得,x y X ∀∈有(,)(,)n n d A x A y d x y α≤那么A 在X 中存在唯一的不动点.证明 显然n A 是压缩映射,所以n A 在X 中存在唯一的不动点x *,即n x A x **=.于是1()()n n n A Ax A x A A x Ax *+***===可得Ax *也是n A 的不动点,由不动点的唯一性知:Ax x **=.同时易得2A x x **=,3A x x **=,…,n A x x **=下面证明x *的唯一性.设存在1x X *∈且11()x A x **=,得112A x x **=,113A x x **=,…,11n A x x **=,那么11(,)(,)d x x d Ax Ax ****==1(,)n n d A x A x **=1(,)d x x α**≤于是1(1)(,)0d x x α**-≤,从而1(,)0d x x **≤,即1x x **=.□1.5 Banach 不动点定理及应用4 1.5.2 Banach 不动点定理的应用◇ 求方程的近似解定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数,且()1'f x α≤<,则方程()f x x =具有唯一解.证明 根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈,使得()()()()'f x f y f x y x y ξα-=-≤-,因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射,于是由压缩映射原理知,()f x x =具有唯一解.例 1.5.1 求方程510x x +-=的根.解 显然函数5()1g x x x =+-的导函数为4()510'g x x =+>,即g 单调递增,且115()0232g =-<,(1)1g =,所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内.原方程可写为 51x x -=由于51x -不是一个压缩映射,即54(1)5'x x -=在(0.5,1)内并不小于1.将上式改造为5(1)x x λλ-=,即为5(1)(1)x x x λλ-+-=,于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'x x x λλλλ-+-=--1λ<-.令14λ=,531()(1)44f x x x =+-,那么在(0.5,1)上()f x 满足 3()14'f x << 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射,取00.75x =,由迭代1()n n x f x +=可得10.7521x =,20.7533x =,30.7540x =,40.7544x =, 50.7546x =,60.7547x =,70.7548x =,80.7548x =,….若取8x 作为不动点x *的近似解,其误差为80.750.75210.750.000810.75nx x *-≤-=-.□◇ 解线性代数方程组第一章 度量空间5定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭,1n n x x x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R ,1nn b b b ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R ,若对每个1i n ≤≤,矩阵A 满足11nij j a =<∑,即11max 1nij i nj a α≤≤==<∑,则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x *.证明 在n R 上定义距离1(,)max{}i i i nd x y x y ≤≤=-,其中T 12(,,,)n n x x x x =∈R ,T 12(,,,)n n y y y y =∈R ,易验证(,)n d R 是完备的度量空间.令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为Tx Ax b =+.记T 12(,,,)n Tx u u u u ==,T 12(,,,)n Ty v v v v ==,于是11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭∑∑,11111n i j j nn ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭∑∑. 因此1(,)max{}i i i nd Tx Ty u v ≤≤=-11max{()}nij j j i nj a x y ≤≤==-∑111max{}max{}nij j j i ni nj a x y ≤≤≤≤=≤⋅-∑(,)d x y α=由11max 1nij i nj a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射,从而存在唯一的不动点x *,即线性方程组Ax b x +=具有唯一解x *,且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解.□◇ 证明隐函数存在定理定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤-∞<<+∞上连续,关于y 的偏导数存在,且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤,其中m ,M 是正常数,则存在连续函数()y f x =,[,]x a b ∈满足:[,]x a b ∀∈,(,())0F x f x =.证明 在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T :()[,]x C a b φ∀∈,1()()()(,())T x x F x x Mφφφ=-. 由于(,)F x y 是连续函数,所以[,]T C a b φ∈,即:[,][,]T C a b C a b →.下面证T 是压缩映射.设,[,]C a b φϕ∈,根据微分中值定理得,存在(0,1)θ∈,使得1.5 Banach 不动点定理及应用611()(,())()(,())T T x F x x x F x x M Mφϕφφϕϕ-=--+ 1()()[(,())(,())]x x F x x F x x Mφϕϕφ=-+- 1()()[(,()(()())](()()'y x x F x x x x x x Mφϕφθϕφϕφ=-++-- (1)()()mx x Mφϕ≤--. 记1mMα=-,显然01α<<,于是有T T φϕαφϕ-≤-,因此 [,](,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=-[,]max ()()x a b x x αφϕ∈≤-(,)d αφϕ=因此T 是压缩映射,由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈,使得()()()Tf x f x =即(,())0F x f x =,[,]x a b ∈.□◇ 在微分方程方面的应用设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤连续,那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有(,)f t x M ≤,进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件:存在常数K ,12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x -≤-,那么有微分方程为00d (,)d ()xf x t tx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ-+上有唯一解,其中1min{,,}2b a M Kβ=. 证明 设00[,]J t t ββ=-+,则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间,显然()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈-≤是闭集,于是E 也是完备的度量空间.通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程00()(,())d tt x t x f x τττ=+⎰.()x t E ∀∈定义:00()()(,())d tt Tx t x f x τττ=+⎰,下面验证Tx E ∈.由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤连续,所以()()Tx t 在00[,]J t t ββ=-+上连续, 00()()Tx t x =,以及00()()(,())d tt Tx t x f x τττ-=⎰(,())d tt f x τττ≤⎰0M t t ≤-M β≤,第一章 度量空间7于是Tx E ∈,即T 映射为:T E E →.再证T 是压缩映射.根据李普希兹条件得1212()()()()(,())d (,())d ttt t Tx t Tx t f x f x ττττττ-=-⎰⎰012max Jt t K x x τ∈≤--12(,)Kd x x β≤又由β的定义知12K αβ=≤,于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤,即T 是压缩映射.因此T 在E 中存在唯一的不动点x *,即存在00[,]J t t ββ=-+上的连续函数x *,满足积分方程0()(,())d tt x t x f x λτττ=+⎰,两边微分可得x *是微分方程(2.4)的唯一解,并且x *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限,其中010()(,())d tn n t x t x f x τττ+=+⎰.□◇ 在积分方程方面的应用设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续,()[,]f x C a b ∈,且[,]t a b ∀∈有(,)d baK t M ττ≤<+∞⎰,那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为()()(,)()d ba x t f t K t x λτττ=+⎰. (2.5)定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈,当1Mλ<时,Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t *,并且函数()x t *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限,其迭代过程为1()()(,)()d bn n ax t f t K t x λτττ+=+⎰.证明 设()()()(,)()d bn aTx t f t K t x λτττ=+⎰,由(,)K t τ的连续性知,T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上的映射:[,][,]T C a b C a b →.(),()[,]x t y t C a b ∀∈有(,)max{()()()()}a t bd Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=-max{(,)()d (,)()d }b baaa t bK t x K t y λτττλτττ≤≤=-⎰⎰max{(,)[()()]d }baa t bK t x y λττττ≤≤=-⎰max{(,)()()d }baa t bK t x y λττττ≤≤≤-⎰max{()()}a bM x y τλττ≤≤≤-1.5 Banach 不动点定理及应用8 (,)Md x y λ=由于1M λ<,即T 是压缩映射,根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点()x t *,即为Fredholm 积分方程的唯一连续解,且函数()x t *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限,其迭代过程为1()()(,)()d bn n a x t f t K t x λτττ+=+⎰.□◇ 牛顿迭代法的证明牛顿迭代法(Newton's method )又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method ),它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛,该法还可以用来求方程的重根、复根,另外该方法广泛用于计算机编程中.定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数,*x 是f 在(,)a b 内的单重零点,那么当初值0x 充分靠近存*x 时,由关系式1()n n x g x +=,()()()n n n 'n f x g x x f x =-所定义的迭代序列收敛于*x .证明 因为*()0f x =,依据中值定理可得***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=-=-≤-.由于*x 是f 的单重零点,所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂,使得*1()x U x ∀∈,()0f x ≠,而且()"f x 连续.于是2()[()]"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ,所以*1()x U x ∀∈,有 2*21222[()]()()()()()1()[()][()]'""'''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x -=-=≤≤-. 显然当*1212x x k k -<时,1()2'g x <.令**2121(){}2U x x x x k k =-<以及***12()()()U x U x U x =,于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射,根据压缩映射原理可知命题成立.□泛函分析导论- 31 -。
一个集值映射的不动点定理
F( ) { ∈X{ , ) , xc Y ( Y <al , ) { E XI , ) ; ( c u u >a , (
由 F ) lx 的上半 连续 性 , ( 和 () 知存 在 的邻域 u x)使得 当时 ∈ ( 时 , ( , ) 有 F() { EXl , ) z c Y ( Y <口} ,
() r 2当 >0时 , 反证 法 , 任何 EK, 有 磋F )则 由严 格 凸集 分解 定 理【 V 用 若对 均 ( , ¨, ∈ K, 在 ∈ 存
和实数 a 使得( Y <a 五,) ( E )且 { Ex ( Y <口 与 { , > } , , > <( , Vy ( ) , y I ,> } EXl u >a 均为开集 , (
.
,
<T ,, = x ,> f < , < ( ) Y> f < ( )
.
,
> =<T , x >.
(*)
另一方面, 我们令 : —R, , ) K× ( Y =<T , Y x 一 >. 易知 ( y 满足 K a , ) yFn极大极 小定理 [条件 , ] 于是 存在 X∈K使 , O
, 。 c { ( , >口} ( ) E XI ) , 这就是说 , E u x , EF 均有( Y < <( z , Vz ( )y ( ) , ) a ,)于是{ ( )x 是 的一个开覆盖 , U x I EK} 据 的
紧性 , 知存在有限个 l 2…, ∈ , , , 使得 K U x) CU ( t .
成立 . 证明 () r 1 当 =0时定理成 立 .
设 是 局部 凸 的 H ud 线 性拓 扑空 间 , 紧 凸子集 , : 一 2 上半 连 续 闭 凸 值映 象 , asf KCX是 是 若
φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近
φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近是求解可微函数最小值问题的一种重要方法。
下面给出Lipschitz算子不动点定理及其迭代逼近机制的原理与应用:一、 Lipschitz算子的不动点定理以一阶Lipschitz算子为例,它是指无约束的可微的函数(例如f:R^n→R)的梯度函数||∇f(x)||,其梯度的L-Lipschitz常数满足关系为:||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||如果f是满足L-Lipschitz条件的一阶可微函数,给定 L-Lipschitz常数L > 0,你就可以根据其梯度来定义一个具有不动点的收敛序列:x(k+1) = x(k) - 1/L∇f(x(k))上式的证明就是经典的Lipschitz算子不动点定理。
该定理显示,在满足一定约束条件时,满足L–Lipschitz算子的可微函数的梯度函数将产生一种不动点的收敛序列;因此,可以使用极小化序列来找到最小值。
二、Lipschitz算子的迭代逼近Lipschitz算子的迭代逼近是指使用L-Lipschitz常数逐步近似最小值的逐渐进行函数极小化的方法。
这是由于:当f是Lipschitz算子连续且可微的,且存在极值点时,其偏导数需满足L-Lipschitz条件,满足此条件的f的梯度的norm满足L-Lipschitz,即:||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||, L>0因此当x在空间(R^n)中满足L-Lipschitz关系,不动点序列可迭代至最小值。
它是一种计算最小值的标准迭代方法,通过一系列不动点逼近f(x)的最小值。
三、 Lipschitz算子的应用Lipschitz算子的最小值收敛序列在实际应用中有很多。
在优化学习模型中,Lipschitz算子可用于改进优化技术,如梯度下降,随机梯度下降和Adam算法。
同时,Lipschitz算子的最小值收敛序列也被用于机器学习,模式识别和计算机视觉等领域。
不动点定理
不动点定理在经济学中的应用数本1301 王敏摘要不动点定理是拓扑学中很著名的定理,从一维到多维空间都保持这一性质。
其次,在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用,比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。
关键词:不动点、博弈论、纳什均衡一、不动点定理定义1:设X 是一个拓扑空间。
如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ,使得B A X ⋃=,则称X 是一个不连通空间;否则,称X 是一个连通空间。
]1[ 引理1:设X 是一个连通空间,R X →:f 是一个连续映射,则)(f X 是R 中的一个区间。
]1[引理2:(介值定理)设R b a f →],[:是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射,则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ,存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。
]1[ 定理:(不动点定理)设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射,则存在]1,0[z ∈使得z =)(z f 。
]1[证明:如果0)0(f =或者1)1(f =,则定理显然成立。
下设0)0(f >,1)1(f <。
定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。
容易验证f 是一个连续映射,并且这时又0)0(<F 和0)1(>F 。
因此根据介值定理可得存在]1,0[z ∈,使得0)z (=F ,即z z =)(f 。
布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f ,存在一个点0x ,使得00)(f x x =。
这个定理表明:在高维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的,即映射:f n E E →n 是一个连续映射,其中n E 是n 维闭球体,则存在z n E ∈,使得z z =)(f 。
二、博弈论和纳什均衡 博弈论又被称为对策论,既是现代数学的一个新分支,也是运筹学的一个重要学科。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用1 引言大家都知道,在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中,解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题,为了讨论这些方程解的存在性,我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题.本文就这一问题作一下详细阐述.2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点,并用逐次逼近法求出不动点,这是分析中和代数中常用的一种方法.这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法,19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程.后来,1922年,波兰数学家巴拿赫(Banach )将这个方法加以抽象,得到了著名的压缩映射原理,也称为巴拿赫不动点定理.3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合,如果对于X 中的任何两个元素x ,y ,均有一确定的实数,记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件:①非负性:0),(≥y x ρ,而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ; ②对称性:),(y x ρ=),(x y ρ;③三角不等式:),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤,这里z 也是X 中任意一个元素. 则称ρ是X 上的一个距离,而称X 是以ρ为距离的距离空间,记为()ρ,X .注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象,事实上,如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足.定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列,是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时,ερ<),(n m x x .如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义3[2](P16) 设X 是距离空间,T 是X 到X 中的映射.如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,,不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T (1)成立,则称T 是压缩映射.压缩映射必是连续映射,因为当x x n →时,有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ.例 设[]10,X =,Tx 是[]10,上的一个可微函数,满足条件:()[][]()1,01,0∈∀∈x x T ,以及 ()[]()1,01∈∀<≤'x a x T ,则映射X X T →:是一个压缩映射.证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<X ∈∀θy x ,得证.定义4 设X 为一集合,X X T →:为X 到自身的映射(称为自映射),如果存在,0X x ∈使得00x Tx =,则称0x 为映射T 的一个不动点.例如平面上的旋转有一个不动点,即其旋转中心,空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点,即其旋转轴上的点均是不动点,而平移映射a x Tx +=没有不动点.如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射(一般为非线性的),令,I f T +=其中I 为恒等映射:,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点.因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题.下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理:定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点. 证 任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ (2)下证()2的迭代序列是收敛的,因T 是压缩映射,所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤,因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地,可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,,有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= (3)由于10<≤a ,因此,当n 充分大时,(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列,而X 是完备的,所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立.再证_0x 是T 的不动点.易证,若T 是压缩映射,则T 是连续映射,而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点.最后,我们证明不动点的唯一性,若存在X x ∈*,使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛<即所以ρ.证毕.注 (i )由(2)定义的序列收敛,且收敛到T 的唯一不动点,且迭代与初始值0x 的取法无关.(ii )误差估计式 方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得,用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解,在(3)式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得 (4) 此即误差的先验估计,它指出近似解n x 与精确解*x 之间的误差.如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n,可计算出选代次数n ,在(4)式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aa xTx ρρ-≤.上式对任意初始值均成立,取10-=n x x ,即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ, 此式称为后验估计,可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差.所以,压缩映射原理,不仅给出了不动点的存在性,而且给出求解方法,同时还指明了收敛速度及误差.(iii )a 值越小迭代收敛的速度越快.(iv )在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ (5) 的条件下,T 在X 上不一定存在不动点.如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ,我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时,有()()[)∞+<,但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点.又如,若令x arctgx Tx R X +-==2π,,则T 满足条件(5),因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间,由于(),故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即, Tx 但没有不动点,因任何一个使x Tx =的x 须满足,2π=arctgx 在R 内这样的x 不存在.(v )压缩映射的完备性不能少. 如设(]1,0=X ,定义T 如下:2xTx =,则T 是压缩映射,但T 没有不动点.这是由于(]1,0空间的不完备性导致的.(vi )压缩映射条件是充分非必要条件. 如()[]b a x f ,映为自身,且 ()()y x y f x f -≤- , (6)任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 , (7) 该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =,但由(6),(7)可得11-+-≤-n n n n x x a x x ,相当于,1=a 不是10<<a ,即不满足压缩映射的条件.定理 1从应用观点上看还有一个缺点,因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的,而仅定义在X 的子集E 上,而其像可能不在E ,因此要对初值加以限制,有以下结果:定理2 [4](P193-194)设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义,在X 中取值,即T :()X r x B →,0_又设[),1,0∈∃a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈∀有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列(2)收敛于T 在B 中的唯一不动点.证 只需证明(),,B x B B T ∈∀⊂ ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1,因此()B ,B T B Tx ⊂∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点,证毕.有时T 不是压缩映射,但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射,为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题,又对定理1进行了推广.定理3[5](P21)设T 是由完备距离空间X 到自身的映射,如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ,使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ, (8)那么T 在X 中存在唯一的不动点.证 由不等式(8),0n T 满足定理1的条件,故0n T存在唯一的不动点,我们证明0x 也是映射T唯一的不动点.其实,由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+,可知0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00x Tx =,故0x 是映射T 的不动点,若T 另有不动点1x ,则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点,再由0n T 的不动点的之唯一性,得到,01x x =证毕.4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限. 定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言,若存在常数r ,使得10,,11<<-≤-∈∀-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ,则数列{}n x 收敛.② 特别,若数列{}n x 利用递推公式给出:()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数,且()()(),1',B R x r x f R r ∈∀<≤∈∃使得则{}n x 收敛.证 ①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则,知{}n x 收敛,或利用D ,Alenber 判别法,可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛,从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛.② 若()B 式成立,利用微分中值定理:()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立,故由①知{}n x 收敛.注 若()B 式只在某区间I 上成立,则必须验证,{}n x 是否保持在区间I 中.例1 设数列{}n x 满足压缩性条件,,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛. 证 只要证明{}n x 是基本点列即可,首先对一切n ,我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设,则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ,证毕.注 该题体现了不动点定理证明数列的收敛性.例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微,()1<≤'αx f ,且()()r a a f α-≤-1 , (9)任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根(即*x 为f 的不动点)证 已知I x ∈0,今设I x n ∈,则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由(9)](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了:一切I x n ∈应用微分中值定理,1,+∃n n x x 在ξ之间(从而I ∈ξ)()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α,这表明()1-=n n x f x 是压缩映射,所以{}n x 收敛.因f 连续,在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根. 注 该题体现了不动点定理证明方程解的存在性. 例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈∀+令取则{}n x 收敛,且此极限为方程()x x f =的唯一解.证 ① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<k x x kk n因为01lim01=--∞→x x k k n n ,所以εε<--<->∀∀∃>∀+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有,由Cauchy 准则,知{}n x 收敛.② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1,所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=,所以()x f x x =是*的解.若另有解*y 是()x f x =的解,即()**yf y =,而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y .所以**x y =,所以()x f x x =是*的唯一解.注 该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性.定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出,f 是I 上连续函数,若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x,则此时数列{}n x 必收敛,且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立,则意味着*x 是唯一不动点,并且,*x A =特别,若f 可导,且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增,且不等式()()""""*>≥可该为会自动满足()I x ∈∀1,这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =,证 (分三种情况进行讨论):① 若*1x x >,则()()**12x x f x f x =≥=,一般地,若已证到*x x n ≥,则()()**1x x f x f x n n =≥=+.根据数学归纳法,这就证明了,一切*:x x n n ≥(即*x 是n x 之下界)另一方面,由()*式条件,已有()112x x f x ≤=,由f 单调增,知()()2123x x f x f x =≤=,….一般地若已证到1-≤n n x x ,由f 单调增,知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11,这就证明了n x 单调减,再由单调有界原理,知{}n x 收敛.在()n n x f x =+1里取极限,因()x f 连续,可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =. ② *1x x <的情况,类似可证.③ *1x x =若,则一切n ,*x x n =结论自明.最后,假若()(),10I x x f ∈∀<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛.事实上,这时也不难验证()*条件成立,如:对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理,(注意到()()0,0*>'=x F x F ),知*x在ξ∃与x 之间,使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立,故*lim x xnn =∞→.例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011(1>c 为常数),求n n x ∞→lim .解 法一(利用压缩映射)因0>n x ,且0>x 时,0))(()1()1()('2'>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x f c c x c x c x f x ,又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=<c c c c x c c c x f )0(>∀x ,故)(1n n x f x =+为压缩映射,{}n x 收敛,在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限,可得c x n n =∞→lim .法二(利用不动点)显然一切0>n x ,令()()x xc x c x f =++=1,知不动点c x =*,而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c x c x .表明()()()0*111≥--xx x f x 成立,根据不动点方法原理c xnn =∞→lim .注 该题体现了不动点定理用于求数列极限.定理4.1.3 (不动点方法的推广)设),(y x f z =为二元函数,我们约定,将),(x x f z =的不动点,称为f 的不动点(或二元不动点),已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数,z 分别对x ,对y 单调递增,假若:(1)存在点b 是),(x x f 的不动点;(2)当且仅当b x >时有()x x f x ,>,令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n , (10)则{}n a 单调有界有极限,且其极限A 是f 的不动点.证 只需证明{}n a 收敛,因为这样就可在(10)式中取极限,知A 是f 的不动点,下面分两种情况进行讨论:① 若1a a ≤,由f 对x ,对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=,进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=,类似:若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ,则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ,如此得{}n a 单调递增.又因a a a f a ≥=),(1,按已知条件这时只能b a ≤(否则b a >按已知条件(2),应有1),(a a a f a =>,产生矛盾),进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤,用数学归纳法可得一切b a n ≤,总之n a 单调递增有上界,故{}n a 收敛. ② 若a a ≤1,类似可证{}n a 单调递减有下界b ,故{}n a 收敛.注 按b 的条件可知b 是f 的最大不动点,b x >时不可能再有不动点,情况②时极限b A ≥是不动点,表明此时b A =.例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ,试证 (1)数列{}n a 为单调有界数列;(2)数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根.证 (利用定理 4.1.3)设3131)(),(y x y x f z +==,显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数,对y x ,单增,只需证明 ①b ∃使得),(b b f b =;②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点,亦即是方程0313=--x x x 的根,分析函数313)(x x x x g --=,因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g (0>x 时),0)1(',)00('>-∞=+g g ,可知g 在(0,1)内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增,0)2(,0)1(><g g ,故g 在(0,1)内有唯一零点b (即f 的不动点).② b x >时0)()(=>b g x g ,即),(x x f x >;事实上,在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >,因为0)(,0)0(==b g g ,在),0(c 上)(x g 严减,),(b c 上)(x g 严增,所以),0(b 上0)(<x g ,即),(x x f x <.证毕.4.2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性. 例6 第二类Fredholm 积分方程的解,设有线性积分方程τττμϕd x t k t t x b a )(),()()(⎰+=,(11)其中[]b a L ,2∈ϕ为一给定的函数,λ为参数,),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数,满足+∞<⎰⎰ττdtd t k ba b a 2),(.那么当参数λ的绝对值充分小时,方程(11)有唯一的解[]b a L x ,2∈.证 令τττμϕd x t k t t Tx ba )(),()()(⎰+=.由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(⎰⎰⎰≤⎰⎰ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(⎰⎰⎰=及T 的定义可知,T 是由[]b a L ,2到其自身的映射,取μ充分小,使[]1),(2/12<⎰⎰=dtd t k a ba b a ττμ,于是 2/12))()()(,(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -⎰⎰⎰≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ⎰⎰=),(y x a ρ=故T 为压缩映射,由定理1可知,方程(11)在[]b a L ,2内存在唯一的解. 注 该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性.例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数,则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ϕτττμ+⎰= (12)对任何[]b a C ,∈ϕ以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈.证 作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=⎰τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]⎰-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值,ρ表示[]b a C ,中的距离,今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- (13)当1=n 时,不等式(13)已经证明,现设当k n =时,不等式(13)成立,则当1+=k n 时,有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-⎰=-++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-⎰≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++,故不等式(13)对1+=k n 也成立,从而对一切自然数n 成立.由(13)()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ,总可以选取足够大的n ,使得1!/)(<-n a b M n n nμ,因此n T 满足定理3的条件,故方程在[]b a C ,中存在唯一的解.注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性. 例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,⨯上的连续函数,()[]b a C t f ,∈,λ是参数,方程)()(),()(t f d x t k t x b a +⎰=τττλ, (14)当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解.证 在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ.考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +⎰=τττλ (15) 当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射.因为()()()()()()()()()⎰-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,max max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -⋅⎰⋅≤≤≤),(y x M ρλ⋅≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ⎰=≤≤.故当λ1<M 时,T 是压缩映射,此时根据定理1,方程对任一[]b a C t f ,)(∈解存在唯一,任取初始值逼近,令()()()()t f d x t k t x b a+=⎰τττλ01,,则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ⋅-≤,)(t x n 是第n 次的近似,)(*t x 是精确解.注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性.例9 设[]1,0C f ∈,求出积分方程ds s x t f t x to )()()(⎰+=λ []()1,0∈t 的连续解.解 法一 据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ,改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =⎰+=λ,其中⎩⎨⎧≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法,取0)(0=t x ,得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ,则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛,即为原方程之解,容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ⎰+==λ)(1t x n +()()()∑⎰=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ,其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-⎰= )2(≥n ,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ, 故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→⎰+==λλ法二 令ds s x t y t)()(0⎰=,则)()('t x t y =,如果)(t x 满足原方程,则)(t y 必满足方程⎩⎨⎧=+=0)0()()()('y t y t f t y λ (16) 易知方程(16)的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-⎰=λ再令 ()()()()()()⎰-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ (17)下面证明)(t x 为原方程之解,事实上,因为()t y 满足(16),则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0⎰=,由(17)知ds s x t f t x t )()()(0⎰+=λ,故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-⎰+=λλ为原方程的连续解.4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性. 例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=, (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解.证 在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量),则n R 按照1ρ是一个距离空间,且是完备的.在这个空间中,定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ,如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==,则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件(19)可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤,即T 是压缩映射,从而它有唯一的不动点,即方程有唯一解且可用迭代法求得.上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==⨯ (20) 可知,当n i a aii nji j ij,2,1,,1Λ=<∑≠=时(19)存在唯一的解x ,且用如下的Jacobi 法求出x ,将(20)改写成 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=,任取()()()(),,,,002010nnRx ∈'=ξξξΛ用迭代法,令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-,则x x n n =∞→lim .4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性. 例11 考察微分方程()y x f dxdy,=,00y y x =, (21)其中()y x f ,在整个平面上连续,此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨(R .Lipschtz )条件:()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数,那么通过点()00,y x ,微分方程(21)有一条且只有一条积分曲线. 证 微分方程(21)加上初值条件00y yx =,等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00⎰+=.我们取0>δ,使1<δk ,在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=⎰000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ,则有()()(()()[]⎰-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()⎰-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1,存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0000,,由这个等式可以看出,()x y 0是连续可微函数,且()x y y 0=就是微分方程(21)通过点()00,y x 的积分曲线,但只定义在[]δδ+-00,x x 上,考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1,使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上,依次类推,于是可将解延拓到整个直线上.通过上文的论述,我们加深了对不动点定理的理解,了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧,知道了此定理应用的广泛性,而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化,所以我们研究的脚步不能停下.。
闭区间套定理证明cantor定理
闭区间套定理证明cantor定理以闭区间套定理证明Cantor定理Cantor定理,又称Cantor不动点定理,是数学中的一个重要定理,它是由德国数学家Georg Cantor于19世纪末提出的。
该定理揭示了一个有趣的现象,即对于某些映射函数,无论从哪个起点开始,最终都会收敛到同一个点。
本文将通过闭区间套定理来证明Cantor 定理。
我们先来了解一下闭区间套定理。
闭区间套定理是实数理论中的一个重要定理,它表明对于一系列闭区间的嵌套,即每一个闭区间都包含于前一个闭区间中,那么存在一个实数,它同时属于所有的闭区间。
这个实数被称为闭区间套的交点。
假设我们有一系列的闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...,满足以下条件:1. 对于任意的正整数n,都有[a(n+1), b(n+1)]包含于[a(n), b(n)]中;2. 每个闭区间的长度都趋向于零,即lim(n->∞) (b(n) - a(n)) = 0。
根据闭区间套定理,存在一个实数x,它同时属于所有的闭区间[a(n), b(n)]。
也就是说,对于任意的正整数n,都有a(n) ≤ x ≤ b(n)。
现在,我们将应用闭区间套定理来证明Cantor定理。
首先,我们定义一个函数f:[0, 1] → [0, 1],使得对于任意的x∈[0, 1],f(x) = 1 - x。
换句话说,函数f将闭区间[0, 1]中的每个点x映射到其关于中点1/2的对称点上。
现在,我们考虑闭区间套[a1, b1] = [0, 1],以及后续的闭区间[a(n+1), b(n+1)] = f([a(n), b(n)]),即对于任意的n,都有[a(n+1), b(n+1)] = f([a(n), b(n)])。
我们注意到对于任意的n,闭区间[a(n+1), b(n+1)]都是闭区间[a(n), b(n)]的子集。
这是因为f是一个连续函数,它保持了区间的顺序和包含关系。
Banach空间上若干几何常数的计算与应用
Banach空间上若干几何常数的计算与应用Banach空间几何理论与近代数学的许多分支有着紧密的联系,如:不动点理论、控制论、逼近论、鞅理论和调和分析等,是一个活跃而广阔的研究领域.特别是Kirk证明了具有正规结构的Banach空间具有不动点性质以来,利用Banach 空间几何性质研究单值、集值非扩张类映射的不动点性质得到了快速的发展.然而由于Banach空间本身的抽象性,要想完整直观的描述清楚其几何结构是相当困难的,这就大大限制了上述理论的应用范围.近些年来,学者们根据一些经典的几何性质引入了大量的几何常数,通过几何常数的关系和取值给出抽象几何结构的描述,实现了几何性质从定性描述到定量计算的转换.所以Banach空间几何常数的研究,对于Banach空间几何理论来说有着重要的理论意义和实用价值.本文正是在上述思想的基础上,研究了Banach空间上若干几何常数在一些具体空间上的取值,及其在非扩张映射不动点理论中的应用.首先,我们利用Banas型模给出了空间蕴含一致正规结构的一些充分条件.然后利用James型常数,Benavides 常数,弱正交常数之间的关系式对弱收敛序列系数的下界进行了估计,得到了空间具有正规结构的几个充分条件.同时,我们还引入一个带参数的Jordanvon-Neumann型常数,并对它的几何性质进行了详细研究,通过它与一些几何常数之间的关系,也得到了空间具有正规结构的一些充分条件,从而推出了Banach 空间上的单值非扩张映射存在不动点.而且通过计算上述几何常数在某些具体空间上的取值,说明了我们得到的结果严格的推广了以前的相关结论.其次,我们又利用James型常数,Jordan von-Neumann型常数,带参数的James常数,带参数的Jordan von-Neumann型常数与一些几何常数之间的关系,得到了空间蕴含(DL)条件的一些充分条件,从而推导出了Banach空间上的集值非扩张映射存在不动点,同时还给出了一些例子和几何常数的取值说明了我们给出的条件是严格的.最后,鉴于几何常数取值在不动点理论中的重要性,我们在绝对正规范数的Banach空间上给出了一些几何常数的计算公式,计算了一些几何常数在经典Banach空间上的取值,这些例子为Banach空间理论的应用准备了巨大丰富的模型库.。
不动点定理研究
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论1.在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论2.1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念3.我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理4.最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫Bananch6,他于1922年提出的压缩映像俗称收缩映射原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理6.这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的关于流形的映射2一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数fxfx把单位闭区间0,1映到0,10,1中,则有00,1x,使00fxx.波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果你不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题;作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder 证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理2设E是Banach 空间,X为E中非空紧凸集,XXf:是连续自映射,则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射即对任意Xx,xf是紧的,这时映射的定义域可不必是紧集,甚至不必是闭集;1935年,Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面的不动点定理,我们称其为Tyehonoff不动点定理吉洪诺夫不动点定理;1950年,Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到面的定理,我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理:1941年,kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形,得到下面的不动点定理,我们称其为Kakutani不动点定理:克莱尼1950年,Botmenblust,Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形:1952年,Fan,Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形,成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即1968年,Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理,本文称此定理为Fan-Browder不动点定理:布劳德不动点定理 : 由布劳德Browder,.提出的带边界条件的集值映射不动点定理.设X是局部凸拓扑线性空间,C为X中非空紧凸集,F:C→2X具非空闭凸值且上半连续.记δC={x∈C|存在X的有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中的边界}.若F满足下述两边界条件之一,则F有不动点:角谷静夫1911年8月28日 - 2004年8月17日 ,着名;教授;毕业于东北帝国大学理学部数学科;府出生;1941年发表了;角谷的不动点定理将布劳威尔的不动点定理一般化;在经济学和博弈论中,角谷的不动点定理现在被频繁使用;莱夫谢茨证明,Lf是整数,且如Lf≠0,则f至少有一个不动点.其后莱夫谢茨对他的不动点定理进行一系列推广,先是推广到有边界流形1926,在H.霍普夫Hopf推广到n维复形的特殊情形1928之后,莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数的有限维紧度量空间,在1933年对有限维复形给出简单而漂亮的证明,最后他推广到所谓广义流形及局部连通空间.以不动点定理为中心,莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段.对于交截、乘积和上同调,对于对偶定理、相对同调和奇异同调以及局部连通集都做出系统的发展.原始的莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理.为了把不动点定理推广到有边界流形相对流形,他引入了相对同调群,并把庞加莱对偶定理推广到相对情形,得出莱夫谢茨对偶1374 定理.这不仅是一种推广,而且把以前两个互不相关的庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一起.不动点定理在数学中占有重要地位,它在无穷维空间被推广成为分析的重要工具,M.F阿蒂亚Atiyah及R.鲍特Bott把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形.江泽涵和姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展.的和值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法;存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论一、不动点算法又称固定点算法;所谓不动点,是指将一个给定的区域A,经某种变换x,映射到A时,使得x=x成立的那种点;最早出现的是布劳威尔定理1912:设A为R n中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数,则在A中至少存在一点x,使得x=x;其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去;设对每一x∈A ,x为A 的一子集;若x具有性质:对A上的任一收敛序列x i→x0,若y i∈x i且y i→y0,则有y0∈x0,如此的x称为在A上半连续,角谷静夫定理:设A为R n中的一紧致凸集,对于任何x∈A,若x为A的一非空凸集,且x在A上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈x;.绍德尔和又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间;不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用;例如,关于代数方程的基本定理,要证明ƒx=0必有一根,只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒx+x有一不动点即可;在运筹学中,不动点定理的用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点;一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解;对于一个给定的凸规划问题:min{ƒx│g i x≤0,i=1,2,…,m},在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数;通过适当定义一个函数φ,可以证明:若上述问题的可行区域非空,则φ的不动点即为该问题的解;H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集,后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分;现以n维单纯形S n为例来说明这一概念,在此,;对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分,m1<m2<…,m i→,是给定的一列正整数;对于固定的i,过分点依次作平行于x i=0的平面; 这些平面将S n分成若干同样大小的n 维三角形;它们的全体作成的集 G i,称为S n的一三角剖分;设ƒx为S n→S n的一连续函数,x=x1,x2,…,x n+1,ƒx=ƒ1x,ƒ2x,…,ƒn+1x;定义;由于ƒx和x皆在S n上,若有则显然有ƒx=x,即x为ƒx的一不动点;对每一点y∈S n赋与标号ly=k=min{j│y∈C j,且y j>0};由著名的施佩纳引理,在G i中必存在一三角形σi,它的n+1个顶点y i k的标号分别为kk=1,2,…,n+1k→y k,k=1,2,…,n+1;根据σi的作法,当i j→于是可得一列正数ij j→,使得时,收敛成一个点x;故y k=x,k=1,2,…,n+1;因k的标号为k,故y k∈C k,因而即x为所求的不动点;因此,求ƒx:S n→S n的不动点问题就化为求σi i=1,2,… 的问题;为了计算上的效果,除了上述的标号法之外,还有标准整数标号法、向量标号法等等;关于如何求σi,有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等,通过适当定义,可将上之S n改为R n或R n中之一凸集;求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题;一般说来,这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况;参考书目Variable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980.二、Prof. Yuguang Xu 徐裕光教授 Kunming University, China 雲南省昆明學院Fixed point theory and its applications在台湾成功大学所作的报告不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴;研究出的结果被广泛应用于分析数学,力学,微分方程,控制理论,最优化理论,非线性规划,数理经济学和博弈论等应用性学科;一.不动点理论的发展进程• 一个简单的不动点问题微积分中;• 1909 年, Brouwer 的著名的不动点定理及一系列的论文创立了不动点理论;• 1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach 给出了一个既简单又实用的压缩映射原理, 它也是一个不动点定理;在简单的条件下, Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性,还提供了一种逼近不动点的方法;• 1967 年,美国数学家 H. E. Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法,这也就是 Brouwer 不动点定理的构造性证明;• 1941 年,日本数学家角谷静夫 Kakutani 的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备;• 1968 年的 Fan - Browder 不动点定理, 1972 年的 Himmelberg 不动点定理以及 Tarafdar 在 1987 年和 1992 年分别在拓扑线性空间和 H -空间建立的不动点定理;• 美国数学家 Michael 1956 年, Deutsch 和 Kenderov 1983 年,应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理;• 1990 年以后,关于不动点理论的研究达到一个高潮,在各种映射或空间条件下,讨论不动点,随机不动点,几乎不动点等,每年有上百篇论文发表,新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现;二.不动点理论的四个研究方向1、在拓扑空间研究“不动点性质”使用同伦群,不动点的有限算法组合拓扑;2 、丹麦数学家 Nielsen 研究不动点的个数 Nielsen 数,开创不动点类理论的研究,大陆数学家的工作;3、一般度量空间或拓扑向量空间的连续映射的不动点问题4、应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究;三.不动点理论主流方向的研究现状,及研究前沿期待解决的问题“ 一般度量空间或拓扑向量空间映射的不动点问题”是研究的主流;近20 年来的研究发展主线:• 迭代逼近算法的研究从 Mann 迭代到杂交迭代等;• 强伪压缩映射的不动点,强增生算子方程的迭代解两者的联系;• 迭代误差分析和稳定性研究;• 有待解决的几个问题一般情况下的收敛性问题, 迭代收敛的等价性问题,不动点存在性和迭代逼近的条件的协调性问题,关于 Schauder 猜想;其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”的研究;现有的最好结果和需要解决的问题:a 上下半连续集值映射与其不动点存在性的拓扑同伦关系;b 具备弱于上下半连续性的集值映射与其不动点的存在唯一性的充要条件;c 探索几乎均衡解与几乎不动点存在性的关系;三、维基百科中关于Kakutani fixed point theorem应用领域之一:博弈论Mathematician used the Kakutani fixed point theorem to prove a major result in . Stated informally, the theorem implies the existence of a in every finite game with mixed strategies for any number of players. This work would later earn him a .In this case, S is the set of of chosen by each player in a game. The function φx gives a new tuple where each player's strategy is her best response to other players' strategies in x. Since there may be a number of responses which are equally good, φ is set-valued rather than single-valued. Then the of the game is defined as a fixed point of φ, .a tuple of strategies where each player's strategy is a best response to the strategies of the other players. Kakutani's theorem ensures that this fixed point exists.翻译:数学家约翰.纳什应用角谷静夫不动点理论证明了博弈论中的大量的结论;可以说角谷静夫不动点理论意味着在每个具有任意数量玩家的混合策略有限博弈中纳什均衡是存在的此项工作将在未来1994年为他赢得诺贝尔经济学奖;在这种情况下,S是博弈中每个玩家所选择的混合策略元组的集合;方程φx给出一个新的元组,其中每个玩家的策略是在X中她对其他玩家所选策略的最优选择;由于可能有许多选择是不相上下的,所以φ是集值而不是单值;博弈中的纳什均衡被定义为φ的不动点,比如,一个策略元组,其中针对其他玩家的策略每个玩家的策略都是最优的;角谷静夫的理论确保了此不动点是存在的四、我的理解角谷静夫不动点理论的重要性在与将布劳威尔定理中的存在某一个点x∈A,使得x=fx在A范围中成立扩展到存在A上的一个子集X使得x=fx,x∈X;数学表达不准确,大概是这个意思;O∩_∩O~这个理论正好为纳什证明“所有有限博弈至少有一个纳什均衡”提供了有力的理论工具五、有趣的地方在纳什博弈论论文集序言部分第七页最下边的注释,序言作者Ken Binmore 讲了一个小故事,有次角谷静夫做演讲,演讲结束后,角谷静夫问Kin Binmore为啥这么多人来听演讲,Ken Binmore解释说:今天来的许多经济学家是来看创造出如此重要的角谷静夫不动点理论的作者的;角谷静夫却回答说:“什么是角谷静夫不动点理论”;看完这里,我笑半天,角谷静夫都不知道自己的理论被别人叫啥了,也许可能太谦虚了,也许故意为之想不明白。
数理经济学06-一般均衡理论
一般均衡理论与CGE模型一、前言自从1874年Walras提出一般均衡理论,从理论上解释Smith的“看不见的手”的思想,到1956年,Arrow和Debreu用数学公理化方法证明一般均衡价格的存在性,在近一百年的历史中,始终吸引着众多的经济学者的注意力。
一般均衡理论的基本问题:在市场经济条件下,一般都认为,市场需求由消费者的消费意愿决定;供给由厂商的生产决策决定。
然而,需求和供给都取决于价格。
因此,是否存在一种价格,使得供需平衡就是一个非常重要的问题了。
若只考虑一种或几种物品,则称为局部均衡;若考虑所有物品,就称为一般均衡,或全面均衡。
因此,一般均衡理论的核心问题是,在一个适当规范的经济系统中,是否存在一组物品价格,使供给等于需求。
若这组价格存在,则称这组价格为均衡价格。
1956年,Arrow和Debreu用数学公理化方法,在完全竞争和一些其他条件下,利用Kakutani不动点定理(Brouwer不动点定理对集值映射的推广),证明了均衡价格的存在性。
一般均衡理论的主要目的:解释、描述在市场经济的条件下,市场价格是如何确定的,以及市场在价格的调节下,如何进行资源分配的。
因此,一般均衡理论既涵盖了微观经济学的部分内容,又涵盖了宏观经济学的部分内容。
或者说,一般均衡理论为微观经济学和宏观经济学提供了一个理论分析框架,它也沟通了微观经济学和宏观经济学的联系。
一般均衡理论的基本结构:供给、需求与平衡。
构建一般均衡理论或模型,首先要描述需求和供给是如何由价格确定的。
二、基本假设一般均衡的模型有多种形式,表述方式也有多种。
最简单的是纯交换经济系统。
此处给出的模型的表述方式是比较原始的。
采用这种表述方式的主要原因有三:需要的数学基础知识较少;与较为熟知的微观、宏观经济学的表述方式较为接近;能够方便地与下面的CGE 模型相衔接。
考虑两部门完全竞争一般均衡理论。
市场有两个部门:生产厂商部门和居民部门。
市场是完全竞争的,即任一厂商,任一消费者都不能操纵价格。
Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用
Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用数学科学学院应数2班赵宇2011101020005引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支,以其高度的统一性和广泛的应用性,在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中,Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中,否起到了关键的作用,且都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽像的结果。
=的求解问题,是分析学的各不动点定理实际上是算子方程Tx x个分支中存在和唯一性定理的重要基础,它是关于具体问题解的存在唯一性的定理,其中Banach不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解的最佳逼近程序,给出了近似解的构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用,在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等)的过程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法。
几乎可以这样说:对一个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程(当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题)。
但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列,否则就是毫无意义的了。
而选代法解方程的实质就是寻求变换(映射、映像)的不动点。
例如求方程f(x)=0的根,我们可令g(x)=x-f(x),则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点,即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中,最简单的就是下面我们所讲的--Banach 空间压缩映像定理。
定义(压缩映像)设T 是度量空间X 到X 中的映像,如果对都有(是常数)则称T 是X 上的一个压缩映像。
从几何上说:压缩映像即点x 和y 经过映像T 后,它们的像的距离缩短了(不超过d(x,y)的倍)定理1(Banach 压缩映像原理)1922年 (Banach 1892-1945 波兰数学家) 设(X,d )是一个完备度量空间,T 是X 上的一个压缩映像,则丅有唯一的不动点。
不动点
在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(英语:L. E. J. Brouwer)。
布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f,存在一个点x0,使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
不动点定理fixed-point theorem如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射(n=1,2,3…),则f 存在一个不动点x∈Bn+1(即满足f(x0)=x0)。
此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。
不动点问题实际上就是各种各样的方程(如代数方程、微分方程、积分方程等)的求解问题,在数学上非常建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定理表明:在二维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是,在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从一个复形到另一个复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点.康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形.这两个发现启示了,在拓扑映射中,维数可能是不变的.1910年,布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了n 维区域;J.W.亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分,该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。
3.4 不动点理论
3.4 不动点理论3.4.1 不动点定理定义 3.4.1 设(,)X ρ是度量空间,:A X X →是一个映射。
若存在数,01αα≤<,使对任意,x y X ∈,有(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤ (3.4.1)则称A 是X 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping ).若X 是线性空间,则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ).注 为简明起见,这里用A x 记()A x .由定义知:一个点集经压缩映射后,集中任意两点的距离缩短了,至多等于原象距离的(01)αα≤<倍。
定理3.4.1 压缩映射是连续映射。
证 证明压缩映射A 是连续映射,即证明:对任意收敛点列0()n x x n →→∞,必有()n Ax Ax n →→∞.因为点列0()n x x n →→∞,即:0(,)0()n x x n ρ→→∞, 又因为A 是压缩映射,即存在数,01αα≤<,使得00(,)(,)n n Ax Ax x x ραρ≤,所以0(,)0()n Ax Ax n ρ→→∞,即:()n Ax Ax n →→∞.证毕!定义3.4.2 设X 是一集,:A X X →是一个映射。
若*x X ∈,使得**Ax x =, (3.4.2)则称*x 为映射A 的一个不动点(Fixed Point ).设:A X X →是一个映射,即::()A x Ax x X ∈ ,定义:2:A x AAx , 3:,,:kk A x A A A x A x AA x个, 1,2,3,k = .定理3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(,)X ρ是完备的度量空间,:A X X →是一个压缩映射,则X 中必有A 的唯一不动点。
证 先证明映射A 在X 中存在不动点。
在X 中任取一点0x ,从0x 开始,令21021010,,,,,1,2,nn n x Ax x Ax A x x Ax A x n -======= ,这样得到X 中的一个列点{}n x . 往证{}n x 是基本点列。
多值映象的不动点集的本质连通区及其对博弈论的应用-概述说明以及解释
多值映象的不动点集的本质连通区及其对博弈论的应用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在引入多值映象的不动点集的本质连通区以及其在博弈论中的应用。
本文将探讨多值映象的不动点集的概念,并研究该集合的本质连通区的定义和性质。
此外,我们还将探讨多值映象的不动点集本质连通区对博弈论的应用。
多值映象是指在数学中的一类映射,其将一个集合映射到另一个集合上。
而不动点则指的是映象中的某些元素在映射之后保持不变。
多值映象的不动点集即为映象中所有的不动点组成的集合。
本文将研究多值映象的不动点集的本质连通区。
本质连通区在拓扑学中具有重要的地位,它描述了一个拓扑空间中的连通性和结构。
我们将详细介绍本质连通区的定义和性质,并探讨多值映象的不动点集的本质连通区对于问题求解和分析的意义。
此外,本文还将探讨多值映象的不动点集的本质连通区在博弈论中的应用。
博弈论是一门研究决策与策略的学科,其对于分析和解决冲突、竞争问题具有重要的意义。
我们将详细探讨多值映象的不动点集的本质连通区在博弈论中的具体应用案例,并分析其对博弈论研究的意义和局限性。
以上即为本文概述部分的内容。
通过本文的研究,我们旨在深入理解多值映象的不动点集的本质连通区,并探讨其在博弈论中的应用。
通过对这一主题的研究,我们有望为解决实际问题和提升决策与策略分析能力提供新的视角和方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以参考以下内容:文章结构部分旨在介绍整篇文章的组织结构,帮助读者更好地理解文章的逻辑框架和内容安排。
本文按照如下结构来进行组织:1. 引言:引言部分将首先对多值映象的不动点集和本质连通区的概念进行概述,为后续内容铺垫。
同时,我们还会明确本文的目的,即讨论这些概念在博弈论中的应用。
2. 正文:2.1 多值映象的不动点集:本节将详细介绍多值映象的不动点集的概念,包括定义、性质和相关定理。
同时,我们还将探讨多值映象的不动点集与其他数学概念之间的联系。
2.2 本质连通区的定义和性质:本节将专门讨论本质连通区的定义和性质,包括如何判断一个集合是否为本质连通区,以及本质连通区的性质和特点。
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‖y n‖ ‖z n ‖ n = 1, 2, …
令 n→∞, 由范数的连续性, 有
即 从而 因此由定义 1. 2,
‖y 0‖ ‖z ‖ z ∈ F( x 0)
‖y 0‖ = l im ‖z n‖ z ∈F( x0)
y0 ∈ ( x0) ∶C → →C 为上半连续的.
应用 F an-K akutani 不动点定理 A , 存在 x 0∈C, 满足 x 0∈ ( x 0) , 换言之, 有
f ( t, u) a( t) + b u , b > 0, a( t ) ∈ L 2[ a, b]
( 3. 3)
函数空间 L 2 [ a, b] 其范数记为‖·‖2 , 其子空间 H n [ a, b] 定义为
H n[ a, b] = { u ∈ Cn- 1[ a, b] u(n- 1) 在[ a, b] 上绝对连续, u( n) ∈ L 2 [ a, b] }
定义 1. 2 称集值映射 F ∶K → →G 在 x-∈K 是上半连续的, 如果对任何 x n∈K , x n→x-∈K 及 y n∈F( x n) , y n→y-∈G, 总有 y-∈F( x-) 成立. 倘若 F 在 K 中每一点都是上半连续的, 则称 F 在 K 上是上半连续的.
定义 1. 3 称集值映射 F ∶K → →G 在 x- ∈K 处是下半连续的, 如果对任何 x n∈K , x n→x- ∈K 及 y-∈F ( x-) , 总有 y n∈F( x n) , 使得 y n→y- 可成立. 倘若映射 F 在集合 K 中每一点都是下半连续 的, 则称 F 在集合 K 上是下半连续的.
92
应 用 泛 函 分 析 学 报
第5卷
连续集值映射, 则存在 x 0 ∈K , 满足 x 0∈F( x 0 ) . 定理 2. 1 X 为赋范线性空间, K 为 X 中非空闭凸集, F∶K →→K 为具有非空局部紧凸集值
的连续集值映射, 如果存在 K 的闭凸子集 K 0, 使 ∪ { y ∈ F( x ) ‖y ‖ = m in ‖z ‖} 为相对紧
如果集值映射既是上半连续又是下半连续的, 则称它为连续映射. 由上述定义可以看到, 将 X , Y 换为拓扑空间, 其定义依然有效. 下面是 Fan-K akut ani 不动点定理[ 3] 定理 A [ 3] 设 K 为局部凸空间 X 中的紧凸集, 又设 F∶K →→K 为具有非空闭凸集值的上半
收稿日期: 2002-03-01 基金项目: 国家自然科学基金( 19971023) , 黑龙江省自然科学基金( A 00-08)
x ∈K0
z ∈F( x)
集, 则存在 F 的最小不动点, 即存在 x 0∈K , 满足
( i) x 0∈F( x 0 ) ; ( ii) ‖x 0‖= m in ‖y ‖ y ∈F( x 0 ) .
证明 对任意 x ∈K , F( x ) 为 K 的非空局部紧子集, 定义
( x ) = y ∈ F( x ) ‖y ‖ = zm∈Fin(x ) ‖z ‖ x ∈ K
{ x n} C, x n → x 0 ∈ C, n → ∞,
及
yn ∈ ( x n ) , y n → y 0 ∈ C, n → ∞
注意到 y n∈F( x n ) 由集值映射 F 的上半连续性, 可知 y 0 ∈F ( x 0 ) , 另一方面, 任取 z ∈F ( x 0 ) 由 F 的 下半连续性, 可选 z n ∈F ( x n ) , 使得 z n →z ( n→∞) . 因为 y n ∈ ( x n ) , z n ∈F ( x n ) , 由 ( x n) 的定 义, 有
( 3. 2) 是不适定的. 为此引入如下定义
94
应 用 泛 函 分 析 学 报
第5卷
定义 3. 1 如果 u∈D( L ) 满足
‖L u - f u‖2 = inf ‖y - f u‖2 y ∈R( L)
则称 u 为( 3. 10) [ 或( 3. 1) 、( 3. 2) ] 的极值解. 如果进而, 对满足
孔秀英, 王玉文
( 哈尔滨师范大学数学系, 黑龙江 哈尔滨 150080)
摘要: 利用 F an-K akut ani 不动 点定理, 得到 赋范线性空间中集 值映射的最小不 动点的存 在定理. 作 为应用, 研究了半线性 n 阶常微分方程的不适定两点边值问题. 关键词: 集值映射; 最小不动点; Fan-K akutani 不动点定理; 不适定两点边值问题 中图分类号: O189. 2; O 177. 2
( i) x 0∈F( x 0 ) ; ( ii) ‖x 0‖= m in ‖y ‖ y ∈F( x 0 )
( 2. 3)
注记 2 如果 F 为单值映射, 由定理 2. 1 同样导出 Schauder 不动点定理; 在赋范线性空间
第1期
孔秀英等: 集值映射最小不动点 定理及其应用
93
中, 定理 2. 1 的条件与结论均比 F an-Kakut ani 定理强, 不相互包含.
( 2. 1)
由 F( x ) 的局部紧性及范数‖·‖的连续性, 可知
( x ) ≠ , x ∈K . 再令 C =
co
∪
x∈K
0
( x ) , 由假设
条件 ∪ x ∈K 0
(x)
为紧集, 从而其闭凸包 C
为非空紧凸子集.
下面证: ∶C → →C 具有非空闭凸集值.
对于任意的 x ∈C( K ) , 任取 y 1, y 2∈ ( x ) , 及 ∈( 0, 1) , 由 F( x ) 的凸性, 可知
D ( L ) = { u ∈ H n[ a, b] B( u) = 0}
( 3. 6) ( 3. 7)
定义
L u = u, u ∈ D( L ) 以 N ( L ) , R( L ) , 分别记 L 在 L 2[ a, b] 中的零空间, 及值域, 则有下面结果.
( 3. 8)
引理 3. 1[ 4] L 2 [ a, b] 中如上定义的 n 阶微分算子 L 具有如下性质: ( i) L 为 L 2[ a, b] 中稠定 闭线性算 子; ( ii ) R ( L ) 在 L 2[ a, b] 中 闭; ( iii) dim N ( L ) < ∞, dim ( R( L ) ⊥) < ∞.
第 5卷 第 1期 2003年3月
应用泛函分析学报
ACT A ANAL YSIS F UNCT IONAL IS AP PL ICA T A
文章编号: 1009-1327 ( 2003) 01-0091-06
Vo l . 5 N o . 1 M ar ch, 2003
集值映射最小不动点定理及其应用
3 半线性常微方程的不适定 两点边值问题
讨论半线性常微方程的两点边值问题
n
∑ai ( t) u( i) ( t ) = f ( t, u( t ) ) , a < t < b
i= 0
( 3. 1)
n- 1
n- 1
∑ ∑ ju( j ) ( a) +
j u( j ) ( b) = 0
( 3. 2)
j= 0
( 3. 4)
又在 H n[ a, b] 上定义边值泛函为
∑ =
n
ai ( t)
i= 0
di d ti
( 3. 5)
n- 1
n- 1
∑ ∑ B( u) =
j u( j) ( a) +
j u( j ) ( b) , u ∈ H n[ a, b]
j= 0
j= 0
然后, 在 L 2[ a, b] 上引入 n 阶微分算子 L 如下:
j= 0
其中 ai∈H i [ a, b] ( i = 0, 1, …, n) ; j , j 为( 实或复) 常数( j = 0, 1, …, n- 1) ; 以 K 记( 实或复) 数
域; f ∶( a, b) ×K →K 满 Caratheodary 条件: 即
( i) 对几乎所有的 t , f ( t , u) 关于 u 连续; ( ii) 对每个 u∈K , f ( t, u) 关于 t 可测. 此外, 设
y1 + ( 1 - ) y2 ∈ F( x)
而且
‖ y 1 + ( 1 - ) y 2 ‖ ‖y 1 ‖ + ( 1 - ) ‖y 2‖
= min ‖z ‖ + ( 1∈F( x)
= min ‖z ‖ z ∈F( x)
( 2. 2)
即
y1 + (1 - )y2 ∈ (x)
( i) u∈L - 1P R( L) f u, 其中 P R( L ) 为从 L 2[ a, b] 到 R( L ) 上的正交投影; ( ii ) ‖u‖= { ‖v‖ v∈
从而 ( x ) 为凸集.
又设{ y n} ( x ) , y n→y 0 ( n→∞) , 由 F( x ) 的闭性, 可知
y0 ∈ F(x)
且
‖y 0‖ =
m in
n→∞
‖
yn
‖
=
m in ‖z ‖
z ∈F( x)
即 y 0∈ ( x ) , 于是 ( x ) 为非空闭凸集. 下面证: ∶C → →为上半连续的, 设
( 3. 11)
‖L w - f u‖2 = inf ‖y - f u‖2 y∈R( L )
的 w ∈D ( L ) 均有‖u‖2 ‖w ‖2, 则称 u 为( 3. 10) [ 或( 3. 1) 、( 3. 2) ] 的最小极值解.
( 3. 12)
注记 3. 1 u∈D( L ) 为( 3. 10) 的最小极值解当且仅当
1 引言与预备知识
关于映射的不动点定理, 一直是数学科学的主流中的课题, 1910 年, Bro w er 不动点定理的 诞生是不动点理论研究的一个里程碑. 1927 年, Schauder 把 Bro w er 不动点推广到无穷维空间, 这可称得上是第二次突破. 1941 年, Kakut ani 给出了集值映射的不动点定理, 由于它成功地应 用于对策论、数理经济等方面, 由此掀起了不动点理论研究及应用的第三次浪潮[ 1] . 1968 年, Br ow der 不动点定理[ 2] 及 Fan-K akutani 不动点定理[ 3] 的出现, 为其显著标志, 相关文献不下近 千篇. 本文在 Fan-Kakut ani 不动点定理的基础上, 在赋范线性空间中, 对于集值映射的最小不 动点, 给出存在性定理, 作为其直接应用, 我们在第二部分, 研究了半线性的 n 阶常微分方程的不 适定两点边值问题. 其对应的线性问题已由 J. Lo cker [ 4—5] 进行了研究.