集值映射最小不动点理论

( i) x 0∈F( x 0 ) ; ( ii) ‖x 0‖= m in ‖y ‖ y ∈F( x 0 )
( 2. 3)
注记 2 如果 F 为单值映射, 由定理 2. 1 同样导出 Schauder 不动点定理; 在赋范线性空间
第1期
孔秀英等: 集值映射最小不动点 定理及其应用
93
中, 定理 2. 1 的条件与结论均比 F an-Kakut ani 定理强, 不相互包含.
下面引入集值映射及其上, 下半连续的概念[ 1] . 定义 1. 1 设 X , Y 为赋范线性空间, K X , G Y 为集合, 如果对于每个 x ∈K , 总有一个确 定的子集合 F( x ) G 与之对应, 则称 为从 X 到 Y 的集值映射, 记作:
F ∶K → →G 显然, 集值映射概括了函数和通常的映射, 集值映射在对策论、数理经济及许多数学分支均有 应用.
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应 用 泛 函 分 析 学 报
第5卷
连续集值映射, 则存在 x 0 ∈K , 满足 x 0∈F( x 0 ) . 定理 2. 1 X 为赋范线性空间, K 为 X 中非空闭凸集, F∶K →→K 为具有非空局部紧凸集值
的连续集值映射, 如果存在 K 的闭凸子集 K 0, 使 ∪ { y ∈ F( x ) ‖y ‖ = m in ‖z ‖} 为相对紧
孔秀英, 王玉文
( 哈尔滨师范大学数学系, 黑龙江 哈尔滨 150080)
摘要: 利用 F an-K akut ani 不动 点定理, 得到 赋范线性空间中集 值映射的最小不 动点的存 在定理. 作 为应用, 研究了半线性 n 阶常微分方程的不适定两点边值问题. 关键词: 集值映射; 最小不动点; Fan-K akutani 不动点定理; 不适定两点边值问题 中图分类号: O189. 2; O 177. 2
3 半线性常微方程的不适定 两点边值问题
讨论半线性常微方程的两点边值问题
n
∑ai ( t) u( i) ( t ) = f ( t, u( t ) ) , a < t < b
i= 0
( 3. 1)
n- 1
n- 1
∑ ∑ ju( j ) ( a) +
j u( j ) ( b) = 0
( 3. 2)
j= 0
( i) u∈L - 1P R( L) f u, 其中 P R( L ) 为从 L 2[ a, b] 到 R( L ) 上的正交投影; ( ii ) ‖u‖= { ‖v‖ v∈
( 3. 2) 是不适定的. 为此引入如下定义
94
应 用 泛 函 分 析 学 报
第5卷
定义 3. 1 如果 u∈D( L ) 满足
‖L u - f u‖2 = inf ‖y - f u‖2 y ∈R( L)
则称 u 为( 3. 10) [ 或( 3. 1) 、( 3. 2) ] 的极值解. 如果进而, 对满足
( 3. 4)
又在 H n[ a, b] 上定义边值泛函为
∑ =
n
ai ( t)
i= 0
di d ti
( 3. 5)
n- 1
n- 1
∑ ∑ B( u) =
j u( j) ( a) +
j u( j ) ( b) , u ∈ H n[ a, b]
j= 0
j= 0
然后, 在 L 2[ a, b] 上引入 n 阶微分算子 L 如下:
其中 H 0 [ a, b] = L 2[ a, b] , ( n 0 为自然数) H n[ a, b] 上的范数 · H n定义为
n- 1
∑ u H n =
max u( j) ( t) + ‖u( n) ‖2
j= 0 a t b
H n[ a, b] 在范数 · H n 下为 Banach 空间[ 4] , 记 n 阶形式微分算子为
( 3. 11)
‖L w - f u‖2 = inf ‖y - f u‖2 y∈R( L )
的 w ∈D ( L ) 均有‖u‖2 ‖w ‖2, 则称 u 为( 3. 10) [ 或( 3. 1) 、( 3. 2) ] 的最小极值解.
( 3. 12)
注记 3. 1 u∈D( L ) 为( 3. 10) 的最小极值解当且仅当
1 引言与预备知识
关于映射的不动点定理, 一直是数学科学的主流中的课题, 1910 年, Bro w er 不动点定理的 诞生是不动点理论研究的一个里程碑. 1927 年, Schauder 把 Bro w er 不动点推广到无穷维空间, 这可称得上是第二次突破. 1941 年, Kakut ani 给出了集值映射的不动点定理, 由于它成功地应 用于对策论、数理经济等方面, 由此掀起了不动点理论研究及应用的第三次浪潮[ 1] . 1968 年, Br ow der 不动点定理[ 2] 及 Fan-K akutani 不动点定理[ 3] 的出现, 为其显著标志, 相关文献不下近 千篇. 本文在 Fan-Kakut ani 不动点定理的基础上, 在赋范线性空间中, 对于集值映射的最小不 动点, 给出存在性定理, 作为其直接应用, 我们在第二部分, 研究了半线性的 n 阶常微分方程的不 适定两点边值问题. 其对应的线性问题已由 J. Lo cker [ 4—5] 进行了研究.
证明 ( 见文献[ 4] P93 的注记 6. 8) 在 L 2[ a, b] 中定义 Caratheodary 算子 f
f u( t ) = f ( t , u( t ) ) , u ∈ L 2[ a, b]
( 3. 9)
由 Carat heo dary 条件及( 3. 3) , 可知 f 为从 L 2[ a, b] 到 L 2[ a, b] 中的有界连续( 非线性) 算
f ( t, u) a( t) + b u , b > 0, a( t ) ∈ L 2[ a, b]
( 3. 3)
函数空间 L 2 [ a, b] 其范数记为‖·‖2 , 其子空间 H n [ a, b] 定义为
H n[ a, b] = { u ∈ Cn- 1[ a, b] u(n- 1) 在[ a, b] 上绝对连续, u( n) ∈ L 2 [ a, b] }
如果集值映射既是上半连续又是下半连续的, 则称它为连续映射. 由上述定义可以看到, 将 X , Y 换为拓扑空间, 其定义依然有效. 下面是 Fan-K akut ani 不动点定理[ 3] 定理 A [ 3] 设 K 为局部凸空间 X 中的紧凸集, 又设 F∶K →→K 为具有非空闭凸集值的上半
收稿日期: 2002-03-01 基金项目: 国家自然科学基金( 19971023) , 黑龙江省自然科学基金( A 00-08)
x ∈K0
z ∈F( x)
集, 则存在 F 的最小不动点, 即存在 x 0∈K , 满足
( i) x 0∈F( x 0 ) ; ( ii) ‖x 0‖= m in ‖y ‖ y ∈F( x 0 ) .
证明 对任意 x ∈K , F( x ) 为 K 的非空局部紧子集, 定义
( x ) = y ∈ F( x ) ‖y ‖ = zm∈Fin(x ) ‖z ‖ x ∈ K
D ( L ) = { u ∈ H n[ a, b] B( u) = 0}
( 3. 6) ( 3. 7)
定义
L u = u, u ∈ D( L ) 以 N ( L ) , R( L ) , 分别记 L 在 L 2[ a, b] 中的零空间, 及值域, 则有下面结果.
( 3. 8)
引理 3. 1[ 4] L 2 [ a, b] 中如上定义的 n 阶微分算子 L 具有如下性质: ( i) L 为 L 2[ a, b] 中稠定 闭线性算 子; ( ii ) R ( L ) 在 L 2[ a, b] 中 闭; ( iii) dim N ( L ) < ∞, dim ( R( L ) ⊥) < ∞.
( 2. 1)
由 F( x ) 的局部紧性及范数‖·‖的连续性, 可知
( x ) ≠ , x ∈K . 再令 C =
co
∪
x∈K
0
( x ) , 由假设
条件 ∪ x ∈K 0
(x)
为紧集, 从而其闭凸包 C
为非空紧凸子集.
下面证: ∶C → →C 具有非空闭凸集值.
对于任意的 x ∈C( K ) , 任取 y 1, y 2∈ ( x ) , 及 ∈( 0, 1) , 由 F( x ) 的凸性, 可知
‖y n‖ ‖z n ‖ n = 1, 2, …
令 n→∞, 由范数的连续性, 有
即 从而 因此由定义 1. 2,
‖y 0‖ ‖z ‖ z ∈ F( x 0)
‖y 0‖ = l im ‖z n‖ z ∈F( x0)
y0 ∈ ( x0) ∶C → →C 为上半连续的.
应用 F an-K akutani 不动点定理 A , 存在 x 0∈C, 满足 x 0∈ ( x 0) , 换言之, 有
j= 0
其中 ai∈H i [ a, b] ( i = 0, 1, …, n) ; j , j 为( 实或复) 常数( j = 0, 1, …, n- 1) ; 以 K 记( 实或复) 数
域; f ∶( a, b) ×K →K 满 Caratheodary 条件: 即
( i) 对几乎所有的 t , f ( t , u) 关于 u 连续; ( ii) 对每个 u∈K , f ( t, u) 关于 t 可测. 此外, 设
子[ 6] .
在引入如上记号后, 问题( 3. 1) 、( 3. 2) 化为算子方程 Lu = f u, u ∈ D ( L )
( 3. 10)
如 所 周 知, 如果 N ( L ) ≠ { 0} , 则 ( 3. 10) , 从 而 ( 3. 1) ( 3. 2) 的 解 不唯 一; 如 果 R ( L ) ∩ f u u ∈ D ( L ) = , 则( 3. 10) , 从而( 3. 1) ( 3. 2) 的解不存在. 因此, 在一般情况下, 问题( 3. 1)
从而 ( x ) 为凸集.
又设{ y n} ( x ) , y n→y 0 ( n→∞) , 由 F( x ) 的闭性, 可知
y0 ∈ F(x)
且
‖y 0‖ =
m in
n→∞
‖
yn
‖
=
m in ‖z ‖
z ∈F( x)
即 y 0∈ ( x ) , 于是 ( x ) 为非空闭凸集. 下面证: ∶C → →为上半连续的, 设
{ x n} C, x n → x 0 ∈ C, n → ∞,
及
yn ∈ ( x n ) , y n → y 0 ∈ C, n → ∞
注意到 y n∈F( x n ) 由集值映射 F 的上半连续性, 可知 y 0 ∈F ( x 0 ) , 另一方面, 任取 z ∈F ( x 0 ) 由 F 的 下半连续性, 可选 z n ∈F ( x n ) , 使得 z n →z ( n→∞) . 因为 y n ∈ ( x n ) , z n ∈F ( x n ) , 由 ( x n) 的定 义, 有
y1 + ( 1 - ) y2 ∈ F( x)
பைடு நூலகம்
而且
‖ y 1 + ( 1 - ) y 2 ‖ ‖y 1 ‖ + ( 1 - ) ‖y 2‖
= min ‖z ‖ + ( 1 - ) m in ‖z ‖
z ∈F( x)
z ∈F( x)
= min ‖z ‖ z ∈F( x)
( 2. 2)
即
y1 + (1 - )y2 ∈ (x)
定义 1. 2 称集值映射 F ∶K → →G 在 x-∈K 是上半连续的, 如果对任何 x n∈K , x n→x-∈K 及 y n∈F( x n) , y n→y-∈G, 总有 y-∈F( x-) 成立. 倘若 F 在 K 中每一点都是上半连续的, 则称 F 在 K 上是上半连续的.
定义 1. 3 称集值映射 F ∶K → →G 在 x- ∈K 处是下半连续的, 如果对任何 x n∈K , x n→x- ∈K 及 y-∈F ( x-) , 总有 y n∈F( x n) , 使得 y n→y- 可成立. 倘若映射 F 在集合 K 中每一点都是下半连续 的, 则称 F 在集合 K 上是下半连续的.
第 5卷 第 1期 2003年3月
应用泛函分析学报
ACT A ANAL YSIS F UNCT IONAL IS AP PL ICA T A
文章编号: 1009-1327 ( 2003) 01-0091-06
Vo l . 5 N o . 1 M ar ch, 2003
集值映射最小不动点定理及其应用