2022届全国百强名校联考高三数学(理)+Word版含答案考】
2022年百校联盟高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年百校联盟高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M ＝{x |ln （x +4）≤2}，N ＝{x ||x ﹣3|＜6}，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣3，e 2﹣4]B ．（﹣4，9）C ．（﹣4，e 2]D ．[e 2，9）2．已知复数z 满足（6+8i ）•z ＝10（1+i ），则z 的虚部是（ ） A ．15B ．−15C ．−15iD ．753．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣3＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+2x ﹣3≤0”；命题q ：“x ＞1是x 4＞x 3的充分不必要条件”，则下面命题为真命题的是（ ） A ．￢（p ∧q ）B ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．p ∧q4．已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，f （5﹣x ）＝f （5+x ），且f （1）＝2022，则f （2020）﹣f （2021）＝（ ） A ．2026B ．4044C ．﹣2022D ．﹣40445．恩格尔系数是指食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕．2020年，某地居民人均可支配收入32189元，2020年某地居民人均消费支出及构成如图，则下列说法不正确的是（ ）A ．2020年某地居民人均消费各项支出的中位数是1937.5元B ．2020年某地居民人均消费支出中食品烟酒约是教育文化娱乐的3倍C ．根据恩格尔系数可知，2020年某地居民平均处于富裕阶段D ．2020年某地居民人均可支配收入中消费支出所占比约是65.9%6．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣3，﹣4），则1+sin2αcosα−sinα=（ ）A ．495B ．−495C ．4925D ．757．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5，a 25是方程x 2﹣4x +3＝0的两根，则S 29＝（ ） A ．60B ．116C ．29D ．588．已知正△ABC 的边长为2，A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC →⋅OA →的最大值是（ ） A ．√3B ．3C ．2D ．3√329．已知棱长为4的正四面体ABCD ，E ，F ，N 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则正四面体ABCD 的外接球被△EFN 所在的平面截得的截面面积是（ ） A ．73πB ．83πC ．103π D ．163π10．已知偶函数f(x)={(x 2−32x)e x ，0≤x ≤32x −2，x ＞32，若方程f （x ）﹣m ＝0有且只有6个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−12，0)B ．(−e2，0]C ．(−e2，0)D ．(−12，0]11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，点D 在线段BF 1上，且∠F 1AD ＝∠BAD ，AF 1→+2AF 2→=2AD →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√512．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA(1−2cosB)=√2sinB(√2cosA −1)，a =√6．当角C 取最大值时，△ABC 外接圆的直径是（ ） A ．2√3B ．3√3C ．3√6D ．3√6−3√3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2022届高三年级大联考数学参考答案
决胜新高考——2022届高三年级大联考数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）（解法1）在ABC △中，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc ．因为22cos c a b A ，所以222222b c a c a b bc，化简得222b a c ac ， ……3分所以2221cos 22a cb B ac ．又因为0B ，所以3B ． ……5分（解法2）在ABC △中，由正弦定理，得2sin sin sin a b c R A B C ，所以2sin sin 2sin cos C A B A ，即2sin 2sin cos sin C B A A ． 在△ABC 中，因为A B C ，所以sin sin(())sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B ， ……2分 所以2sin cos 2cos sin 2sin cos sin A B A B B A A，所以2sin cos sin A B A ． 因为sin 0A ，所以1cos 2B ，又因为0B ，所以3B ． ……5分（2）若选①．因为M 是AC的中点，所以111sin 222ABM ABC S S ac B △△． ……6分在ABC △中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B ，所以2222212222a c ac a c ac ac ac ac ≥， ……8分所以4ac ≤，当且仅当2a c 时等号成立，所以ABM △． ……10分若选②．在ABC △中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B ， 所以222221222a c ac a c ac ，所以224a c ac ． ……6分 因为M 是AC 的中点，所以1()2BM BA BC，所以22222111(2)()1442BM BA BC BA BC c a ac ac ． ……8分因为2242a c ac ac ≥，所以4ac ≤， 所以23BM ≤，当且仅当2a c 时等号成立，所以BM． ……10分18．解：（1）因为10a ，所以1212432112131b a a b a a a ，． ……2分因为2n n b a ，所以 12221221+112121n n n n n n b a a a a b． ……4分所以11222(1)n n n b b b ， 又因为112b ，所以1121n n b b ，所以数列{1}n b 是等比数列． ……7分 （2）因为11222n n n b ，所以21n n b ， ……8分当1n 时，111c b ．当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n c b b ．综上可知12n n c ， ……10分 所以0123191902022T ． ……12分19．解：（1）在平面11ABB A 中，延长1A P 与AB 交于点E ．因为1A P AB E ，所以E 是平面1PAC 与平面ABCD 的交点， 所以l CE ． ……2分 在长方体1111ABCD A B C D 中，11AA BB ∥．在三角形1A AE 中，因为P 为棱1BB 的中点，1AA PB ∥， 所以B 为棱AE 的中点． ……4分 在长方体1111ABCD A B C D 中，CD AB ∥且CD AB ， 所以CD BE ∥且CD BE ， 所以四边形BECD 是平行四边形，所以BD CE ∥，即BD ∥l ． ……6分 （2） 以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz ．则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，P (2，2，2)， C (0，2，0)．在长方体1111ABCD A B C D 中， DA ⊥平面11ABB A ，所以DA(2，0，0)是平面1A PB 的一个法向量． ……8分ECA PDBA 1B 1C 1D 1xy z设n ＝(x ，y ，z )为平面1A PC 的法向量，因为1A P(0，2，-2)，CP (2，0，2)，由n ·1A P＝0，n ·CP ＝0，得，2y -2z ＝0，2x +2z ＝0，取x ＝1，所以n ＝(1，-1，-1)为平面1A PC 的一个法向量． ……10分 记二面角1C A P B 的平面角为 ，因为cos ,DAn所以sin ． ……12分 20．解：（1）记该员工获得一等奖为事件A ，则2228()33327P A ． ……3分（2）记答题总数为X ，则X 的所有可能取值为3,4,5,6．，8(3)()27P X P A ，12122216(4)333381P X C ， 2214(5)33327P X ，816429(6)1((3)(4)(5))127812781P X P X P X P X ，……8分该员工获得奖金为Y ， 则8(100)(3)27P Y P X ，28(50)(4)(5)81P Y P X P X ，29(20)(6)81P Y P X ，所以828294380()10050205027818181E X ．答：（1）该员工获得一等奖的概率是827；（2）该员工获得奖金的期望超过50元． ……12分21．解：（1）因为221()a x a f x x x x，所以(1)1f a ， ……1分又因为(1)ln11a f a ，所以()f x 在1x 处的切线方程为：(1)(1)y a x a ．点(00)O ，代入切线方程可得12a ． ……4分（2）因为12111()a f x x x ，22221()a f x x x ，且1212()()()f x f x x x所以22121211a a x x x x ，所以2212121212111111()(a a a x x x x x x x x ，因为12x x ，所以1211()1a x x ． ……6分所以12121212()()ln ln ln()1a a f x f x x x x x x x ．因为1211()12a x x ，所以2124x x a ，所以21212()()ln()1ln(4)1f x f x x x a ． ……8分 设211()ln(4)22ln 2ln 22g a a a a a ，则222121()a g a a a a． 当1(0,2a 时，()0g a ，()g a 单调递减； 当1(,)2a 时，()0g a ，()g a 单调递增． ……10分所以当12a 时，min 1()(02g a g ，所以21ln(4)20a a ，所以21ln(4)13a a， 所以121()()3f x f x a． ……12分22．解：（1）由题意得1a ．设双曲线C 的焦距为2c ，则221a c，所以2c ， ……2分所以b ，所以双曲线C 的标准方程2213y x ． ……4分 （2）设1()2P t ，，则直线PA 的方程为：2(1)3t y x ．由22132(1)3y x t y x，得2222(427)84270t x t x t ．因为直线PA 与C 交于A ，M ，所以24270t，所以t因为22427427A M M t x x x t ，所以22427427M t x t ，2222242736(1)(1)33427427M M t t t t y x t t ， 所以22242736()427427t t M t t ，． ……6分 因为直线PB 的方程为：2(1)y t x ．由22132(1)y x y t x，得2222(43)8430t x t x t ． 因为直线PB 与C 交于B ，N ，所以2430t，所以t因为224343B N N t x x x t ，所以224343N t x t ， 22243122(1)2(1)4343N N t t y t x t t t ， 所以2224312()4343t t N t t ，． ……8分 所以当32t 时，直线MN 的方程为222222222123612434342743434274343427t t t t t t y x t t t t t t． 令0y ，得 22242222222224342712436496108434272123643434381843427t t t t t t t t x t t t t t t t t ． 所以直线MN 过定点(20)D ，． ……10分当32t 时，222242743242743t t t t ，所以直线MN 过定点(20)D ，． 所以当BD ⊥MN 时，点B 到直线MN 的距离取得最大值为1． ……12分。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试卷参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1230x x (1,)A B ．故选A ．2．C 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)12i 23i (23i)(23i)z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选C ．3．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，得41847(71)71620a a d a a,即1111372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1(1)6,n a a n d n 则104a ，故选D.方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174474447()7281622a a a a S a a a，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a 得151a d ，，所以5(1)16,n a n n 则104a ，故选D.4．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由214y x y x，得2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4，所以22||8sin pAB. 故选A ． 5．D 【解析】因为=(1,3),(3,4) a b ，所以3129 a b ，A 错误；因为(5,9) a b c ，所以|| a b c ，B 错误；因为()190 ，a b a 所以 a b 与a 的夹角为锐角，C 错误；由题意，知(2,7), a b 又=(7,2)c ，所以()0 a b c ，则 a b 与c 垂直，D 正确.故选D ．2283a283，所以1a ，所以该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为1(12)232S，故选B. 8．A 【解析】方法一：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有13C 3 （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 方法二：列举法：所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 9．C 【解析】由31n n S ，得当2n 时，1131n n S ，以上两式相减，得123n n a ，又当1n 时，14a ，所以14,123,2n n n a n ，所以2116,149,2n n n a n ，其前n 项和为121164(999)n n T 99923164192n n ．故选C ．10．C 【解析】211(),(1442222222222)x y x y x y x y x y +++，设(0)22x y t t ，则由题意得22222xyt t ，即22222xyt t ．因为22202222()2x y x y，即22022t t t ，当且仅当22x y ，即1x y 时等号成立，解得24t ，所以1122x y 的取值范围是(1,2]．故选C ． 11．B 【解析】由题意，知21(24)e (12)e 221a b a b b a ，∴21(24)e 21(21)e 2a b a a b b ，∴212(2)e 21(212)e 2a b a a b b ， ∴212[(2)e 2](212)e (21) 2.a b a a b b设()(2)e 2x f x x x ，则()(1)e 1x f x x ，令()()f x g x ，则()e x g x x ，当0x 时，()0g x ，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ，()f x 单调递增，()(0)0f x f ； 当0x 时()0g x ，，()f x 单调递增，∴()(0)0,()f x f f x 单调递增，()(0)0f x f . ∴()(0)0f a f .∴0()2()(21)f a f a f b ，∴()(21)f a f b ，∴21a b ，故选B ．12．C 【解析】由题意，知圆1C 的圆心坐标为(0,3，半径3r，12(2,0),(2,0)F F ，则12||4F F ，在11Rt F C O △（其中O 为坐标原点）中，因为111||||C O C F 所以1160,F C O 所以112120,F C F 121121602F MF F C F（同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半）.在12F MF △中，由余弦定理，得222221212121212||||||2||||cos 60(||||)||||4F F MF MF MF MF MF MF MF MF a12=16 ，所以1,a 又2,c 所以双曲线2C 的离心率为2e ，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年高考名校导航冲刺金卷理科数学试题(一)和答案详解(word版)
2022年高考名校导航冲刺金卷理科数学试题（一）和答案详细解析(题后)一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 已知的展开式的各项系数之和为81，则（）A．3 B．4 C．5 D．64. 已知双曲线的离心率为2，则（）A．2D．B．C．5. 若，则（）A．B．C．D．6. 若实数，满足约束条件：，则的最小值为（）A． 5 B． 6C．7 D．17. 我国数学名著《九章算术·商宫》记载：“斜解立方，得两堑堵．其一为阳马，一为鳖臑．”其中的阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．已知网格中的网格是由边长为1的小正方形组成，某阳马的三视图如图中的粗实线所示，则该阳马的表面积为（）A．B．C．D．8. 函数（且）的图象可以是（）A．B．C．D．9. 已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝110. 已知三棱锥的外接球的体积为，是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．11. 在数列中，，则（）A．B．C．D．12. 已知，，且，，则（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知，，若，则______.14. 若则的最小值为_________.15. 设函数的零点为，若成等比数列，则_______.三、双空题16. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.则椭圆的标准方程___________.若过点的直线与交于不同的两点，，则面积的最大值___________.四、解答题17. 2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记表示了解，表示不了解，统计结果如下表所示：（表一）140 60（表二）合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为．试求出与，并比较与的大小．附：临界值参考表的参考公式，其中）18. 在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的范围.19. 如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，.(1)求证：平面；(2)求平面AFE和平面AFC所成角的正弦值.20. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）以为直径的圆与轴交于，两点，若，求的取值范围.21. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若且，证明：，．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求．23. 已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案详解1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.。
福建省2022-2023学年百校联考高三上学期第一次联考数学试题(解析版)
2023届福建省百校联考高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|237A x x =+<，(){}|ln 3B x y x ==+，则A B =（ ） A ．{}32x x -≤< B ．{}|32x x -<< C ．{}|32x x -<<- D ．{}32x x x -或【答案】B【分析】解不等式得到集合A ，求对数型函数的定义域得到集合B ，最后根据交集的定义求交集即可.【详解】因为{}2A x x =<，{}3B x x =>-，所以{}|32A B x x ⋂=-<<. 故选：B.2．命题“Q x ∃∈Q ”的否定是（ ）A ．Q x ∀∈QB ．Q x ∀∉QC ．∃∈x Q QD ．Q x ∀∈Q 【答案】A【分析】根据特称命题的否定即可得答案.【详解】解：因为命题“Q x ∃∈Q ”为特称命题，所以命题“Q x ∃∈Q ”的否定是：Q x ∀∈Q . 故选：A.3．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y 与时间x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.【详解】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C 选项符合. 故选：C4．在四边形ABCD 中，//AB CD ，则“90BAD ︒∠=”是“四边形ABCD 为直角梯形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】分别判断命题的充分性和必要性，即可得到答案.【详解】若90BAD ︒∠=，则四边形ABCD 为矩形或直角梯形，若四边形ABCD 为直角梯形，则BAD ∠不一定为90︒，所以“90BAD ︒∠=”是“四边形ABCD 为直角梯形”的既不充分也不必要条件. 故选：D5．已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16 B ．12 C ．8D ．4【答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -， 因为ln y x a =-，所以1y x'=， 切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--， 所以21e x -=，0ln 1x a b --=，所以1a b +=，又0a >，0b >， 所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立， 故11a b+的最小值是4. 故选：D. 6．()sin π2cos 15ππsin 2cos 22θθθθ-+=⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知，则cos 2θ=（ ） A ．45-B ．35-C ．45 D ．35【答案】C【分析】应用诱导公式化简条件得cos 3sin θθ=，再由平方关系及倍角余弦公式即可求值.【详解】由sin(π)2cos 2cos sin 15ππcos 2sin sin()2cos()22θθθθθθθθ-+-==+++-，则2c o s s i n c o s 2s i n θθθθ-=+，所以cos 3sin θθ=，又222cos sin 10sin 1θθθ+==，即21sin 10θ=， 则24cos 212sin 5θθ=-=. 故选：C7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，且当[]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则()2021f =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．0【答案】B【分析】依题意可得()f x 的周期为8，再由周期性计算可得. 【详解】解：由()+(4)=0f x f x -①，则(+4)+()=0f x f x -， 因为()f x 为偶函数，所以()=()f x f x -， 所以(4)()0f x f x ++=②，由①②知，(4)=(+4)=(4)f x f x f x --，所以()(8)f x f x =+，故()f x 的周期为8，所以()()()()2021=253?83=3=3f f f f --， 而()()3+43=0f f -，即()()3=1f f -，当[]0,2x ∈时，()2=+4f x x -，所以()()()()22021=3=1=1+4=3f f f ----．故选：B ．8．已知2log 3a =，35b =，则6log 15=（ ） A ．1a aba ++ B ．+1a a C ．1a abab ++ D ．1aab + 【答案】A【分析】利用换底公式用a ，b 表示lg2，lg3，然后将6log 15换底可求得答案. 【详解】解：由题意得： 因为2lg3log 3lg 2a ==，3lg51lg 2log 5lg3lg3b -=== 所以1lg2=+1ab ，lg31a ab =+，则611lg15lg3lg5lg3lg 2111log 151lg 6lg3lg 2lg3lg 2111a a abab ab a a ab ab -++-++++=====++++++.故选：A二、多选题9．已知函数()32f x x kx x a =+++有两个极值点()1212,x x x x <,则( )A ．1x 是()f x 的极大值点, 2x 是()f x 的极小值点B ．1213x x +=C ．1213x x =D．k <【答案】AC【分析】求导，根据导函数有两个变号零点分析即可【详解】()2321f x x kx '=++,因为()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <,所以24120k ->解得k >k <当()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时,()0f x '>,()f x 单调递增 当()12,x x x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减 故1x 是()f x 的极大值点, 2x 是()f x 的极小值点 且1223+=-kx x ,1213x x = 故选：AC10．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭）的部分图像如图所示，则（ ）A ．3A =，3ω=，6π=ϕ B ．π62f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．直线3π4x =是()f x 图像的一条对称轴 D ．函数π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】BC【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，代点求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论． 【详解】由题可知，3A =，()f x 的最小正周期2π45π5π2π512123T ω⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，解得3ω=，5π5π3sin 3124f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5π3π2π,Z 42k k ϕ+=+∈，又π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 不正确；()π3sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3π3sin 64f ⎛⎫== ⎪⎝⎭B 正确；当3π4x =时，π5π342x +=，所以直线3π4x =是()f x 图像的一条对称轴，C 正确；πsin 34f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，当π03x <<时，03πx <<，函数π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不单调，D 不正确．故选：BC11．若0c b a <<<，则（ ） A ．a c b c -<-B ．c b b a < C ． c b c a a c +>+D ．1a b ca b b c a c++>+++ 【答案】BCD【分析】利用不等式性质可判断AB ，作差比较可判断C ，利用放缩法可判断D. 【详解】b a <，由不等式的性质可得，b c a c -<-，故A 错误；0c b a <<<，||||b a ∴>，0c b ->->，||||c b b a ∴->-，即c b b a <，故B 正确； ()()()()()()b a c a b c c b a b b c a a c a a c a a c a a c ++-+-=-=++++，由0c b a <<<，得0b a -<，0a c +<，所以()()0c b a a a c ->+，即b b ca a c+>+，C 正确；因为a a ab a bc >+++，b b b c a b c >+++，c ca c ab c>+++，所以1a b c a b c a b b c a c a b c a b c a b c++>++=+++++++++，D 正确． 故选：BCD12．已知58ln 2a =-，44ln3b =-，54e 4c =-，则（ ） A ．b a > B ．c a >C ．b c >D ．a c >【答案】ABC【分析】构造函数()e 41xf x x =-+，利用导数得()f x 单调性，构造()ln 1g x x x =-+确定比较5ln3<<ln44，进而可得,,a b c 的大小关系.【详解】设函数()e 41x f x x =-+，则()e 4xf x '=-．由()0f x '>．得ln 4x >；由()0f x '<，得ln 4x ≤．则()f x 在(),ln 4-∞上单调递减，在()ln 4,+∞上单调递增． 设()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=．()0g x '>，得01x <<；由()0g x '<，得1x >.所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-，则33ln 1e e≤-，故35ln 3e 4≤<.因为ln 1x x ≤-，所以11ln1x x ≤-，所以1ln 1x x ≥-（当且仅当=1x 时，等号成立），所以4e ln 1e 4>-，即e 5ln4244>->.因为()ln 4a f =，()ln 3b f =，54c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且5ln3<<ln44，()f x 在(),ln 4-∞，上单调递减，所以b c a >>. 故选：ABC.三、填空题13．所数y =______.【答案】(]3,3-【分析】根据分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为y =290+30x x -≥≠⎧⎨⎩，解得33x -<≤，即函数的定义域为(]3,3-； 故答案为：(]3,3-14．函数()22x f x a +=+（0a >，且1a ≠）的图象过定点P .则点P 的坐标是_________.【答案】()2,3-【分析】令20x +=，可计算得()0223f a -=+=，从而可得定点坐标.【详解】当20x +=，即2x =-时，()0223f a -=+=，所以函数()f x 的图象过定点()2,3-. 故答案为：()2,3-15．已知正数a ，b 满足①27ab a b ++=，②2a b ab +=两个条件中的一个，则+a b 的最小值为______.【答案】选①：3；选②：【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为0a >，0b >，若选①，由27ab a b ++=，可得()()219a b ++=，因为()()221212a b a b +++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以()2336a b ++≥，所以3a b +≥，当且仅当213a b +=+=，即=1a 、=2b 时取等号；若选②，2a b ab +=，可得211b a+=，所以()212333a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且2a bb a=，即1a =，2b = 故答案为：选①：3；选②：16．已知函数241,0,()22,0,x x x x f x x ⎧--≥=⎨-<⎩若方程2[()]2()40f x af x -+=有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】522a -<<- 【分析】令()t f x =，则2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解或2240t at -+=的一个解为1-，另一个解在(2,1)--内，或2240t at -+=的一个解为2-，另一个解在(2,1)--内.【详解】函数()f x 的大致图象如图所示，对于方程2[()]2()40f x af x -+=有5个不同的实数解，令()t f x =，则2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解或2240t at -+=的一个解为1-，另一个解在(2,1)--内，或2240t at -+=的一个解为2-，另一个解在(2,1)--内， 当2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解时，设2()24g t t at -=+，则()()()24160,2840,1520,529100,a g a g a g a ⎧=->⎪-=+<⎪⎨-=+>⎪⎪-=+>⎩解得522a -<<-，当2240t at -+=的一个解为1-时，52a =-，此时方程的另一个解为4-，不在(2,1)--内，不满足题意， 当2240t at -+=的一个解为2-时，2a =-，此时方程的另一个解为2-，不在(2,1)--内，不满足题意， 综上可知，实数a 的取值范围为522a -<<-，故答案为：522a -<<-．四、解答题17．设集合{}2340A x x x =--≤， {}221B x a x a =-<<+.(1)当0a =时，求A B ； (2)若A B A ⋃=，求a 的取值范围. 【答案】(1){}11A B x x ⋂=-≤< (2)(]3,31,2⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先求解集合A ，当0a =时，得集合B ，直接求解交集即可；（2）利用集合之间的关系确定B A ⊆，分类讨论当B =∅时，当B ≠∅时，分别满足B A ⊆，得a 的取值范围.【详解】(1)解：由题意得{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤.当0a =时，集合{}21B x x =-<<， 则{}11A B x x ⋂=-≤<.(2)解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.①当B =∅时，则221a a -≥+，解得3a ≤-；②当B ≠∅时，则22121421a a a a -<+⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，解得312a ≤≤.综上，a 的取值范围为(]3,31,2⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.18．已知幂函数()()211m m m f x x +=+-在()0,+∞上是减函数.(1)求()f x 的解析式；(2)若()()11521mma a ->-，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1f x x= (2)（2，5）.【分析】（1）根据幂函数的性质可求得m 的值.（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数. 【详解】(1)解：由题意得：根据幂函数的性质可知211m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或=1m . 因为()f x 在()0,∞+上是减函数，所以10+<m ，即1m <-，则2m =-.故()11x xf x -==. (2)由（1）可得2m =-，设()12g x x -=，则()g x 的定义域为()0,+∞，且()g x 在定义域上为减函数.因为()()1122521a a --->-，所以50,210,521,a a a a ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得25a <<.故a 的取值范围为（2，5）.19．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->．(1)若()f x 在(0,π)上有且仅有2个极值点，求ω的取值范围； (2)将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()g x 的最小正周期为π，求()g x 的单调递减区间．【答案】(1)58,33⎛⎤⎥⎝⎦；(2)3π7ππ,π()88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【分析】（1）根据辅助角公式，结合函数极值的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数图象变换性质，结合正弦型函数的周期公式、单调性进行求解即可.【详解】(1)π()2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0>ω，所以当π()0,x ∈时，πππ,π666t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，依题意可得，函数2sin y t =在ππ,π66ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有2个极值点，则3ππ5ππ262ω<-≤，解得5833ω<≤，故ω的取值范围是58,33⎛⎤⎥⎝⎦；(2)依题意可得，ππ()2sin 2612g x x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，即1ω=， 所以π()2sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 则3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故()g x 的单调递减区间为3π7ππ,π()88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T ，那么经过t 分钟后，温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 为室温，h 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75C 的茶水放在25C o 的房间，10分钟后茶水降温至50C .（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈）(1)若欲将这杯茶水继续降温至35C ，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x 千台空调，需另投入成本()f x 万元，且()2460,040,36003013700,40.x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与x 的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】(1)由题意可得()101502575252h⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得10h =.设经过t 分钟，这杯茶水降温至35C ，则()101352550252t ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭， 解得2110log 51010213lg2t ⎛⎫=-=⨯-≈ ⎪⎝⎭（分钟）.故欲将这杯茶水降温至35C ，大约还需要13分钟.(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为()W x ，当040x <<时，()223002004604(30)3400W x x x x x =---=--+，当30x =时，()W x 取得最大值3400万元；当40x …时，()3600360030020030137003500W x x x x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭，因为3600120x x+…，当且仅当60x =时，等号成立， 则当60x =时，()W x 取得最大值3380万元.因为34003380>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21．已知函数()431f x x ax =+-．(1)若()f x 在[]1,2上有零点，求a 的取值范围．(2)试问直线52y x =-+能否为曲线()=y f x 的一条切线？说明你的理由．【答案】(1)15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)答案见解析【分析】（1）由()=0f x 得31a x x =-，构造函数31()(12)g x x x x =-剟，求出()g x 的值域即可得解；（2）设切点为(,52)m m -+，由题意列出关于m 的方程组，得出41090m m -+=，由=1m 是该方程的一个解，即可得出结论．【详解】(1)由()=0f x ，得31a x x =-， 设函数31()(12)g x x x x =-剟，则()g x 为减函数， 因为15(1)0,(2)8g g ==-， 所以()g x 的值域为15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[1,2]上有零点，所以a 的取值范围是15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． (2)直线52y x =-+可能为曲线=()y f x 的一条切线．证明如下：32()43f x x ax '=+，设切点为(,52)m m -+，则32434+3=5,+1=5+2,m am m am m ---⎧⎨⎩消去a ，得41090m m -+=，因为=1m 是方程41090m m -+=的一个解，所以该方程至少有一个解，当=1m 时，3a =-，直线52y x =-+为曲线=()y f x 的一条切线．故直线52y x =-+可能为曲线=()y f x 的一条切线．22．已知函数()()22e 21x f x x a x =-+--(1)若0a =，证明：当0x >时，()0f x >.(2)若()0,x ∀∈+∞，()()ln 1f x a x >+，求a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)[)2,-+∞【分析】（1）求导得到()()222e 222e 1x x f x x x =--=--'，构造()2e 1x g x x =--，求导，得到函数的单调性，从而得到()()00g x g >=，进而得到()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，证明出结论；（2）利用同构构造()2ln h x x a x =+，得到()()e 1x h h x >+，证明出e 11x x >+>，结合()22x a h x x+'=，分2a ≥-与2a <-讨论得到答案. 【详解】(1)证明：因为()22e 21x f x x x =---，所以()()222e 222e 1x x f x x x =--=--'今函数()2e 1x g x x =--，则()22e 1x g x '=-当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增.故当0x >时，()()00f x f >=(2)()()ln 1f x a x >+等价于()()22e 21ln 1x x a x a x -+-->+等价于()()22e ln 1n e l 1x x a a x x +>+++令函数()2ln h x x a x =+，则()()22e lne ln 11x x a a x x +>+++等价于()()e 1x h h x >+ 令函数()e 1x x x ϕ'=--，则()e 1x x ϕ'=-．当(),0x ∈-∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，故()()00x ϕϕ≥=，即e 11x x >+>恒成立．若2a ≥-，则()2220a x a h x x x x+'=+=≥在()1,+∞上恒成立，()h x 单调递增， ()()e 1x h h x >+恒成立．符合题意.若2a <-，则()222a x a h x x x x x =+=='+，当x ⎛∈ ⎝时，()0h x '<，()h x 单调递减；当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．此时e 1h h h ⎛⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这与()()e 1x h h x >+恒成立矛盾，不符合题意． 综上所述，a 的取值范为[)2,-+∞．【点睛】同构是一种重要方法，常常用在处理复杂的函数，且同时存在e x 与ln x 的函数，要注意总结常用的同构函数.。
安徽省2022-2022届高三联考试题数学(理)试卷(含答案)
高三年级联考数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5}B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<}D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2iB.-3+2iC.-3-2iD.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1B.1C.-2D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=t e1+2e2(t<0),则A.的最大值为-B.的最小值为-2C.的最小值为-D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.9.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为A.2+3B.1+3C.2+D.1+10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=A.B.C.D.12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为A.B.4 C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知tan(α+)=6,则tanα=.14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=.15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|F A|,则k=.16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.(1)证明:数列{+1}为等比数列.(2)求数列{+2n}的前n项和S n.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.(1)证明:BC⊥A1D.(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有4名维修工人.(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?20.(12分)已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e2x-3-2x.(1)求f(x)的单调区间与最小值.(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求l和C的普通方程;(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.数学参考答案(理科)1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.2.D z===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|F A|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), ...................................................................................................................................................... 2分又+1=2, ............................................................................................................................................................................. 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. ............................................................................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,.......................................................................................................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1............................................................................................................................................................. 7分所以S n=+=2n+1+n2-2............................................................................................................ 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. ....................................................................................................................................................................... 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB........................................................................................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1............................................................................................................................. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. .................................................................................................................................. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)........................................................................................................................................ 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 .................................................................................................................................... 8分令x=4,则n=(4,-,2)...................................................................................................................................................... 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................................................................................... 10分则cos<m,n>==................................................................................................................................................. 11分故所求锐二面角的余弦值为.................................................................................................................................... 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,........................................................................................ 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ........................................................................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ............................................................................................................................................... 6分P(X=31)=()5=,................................................................................................................................................................ 7分P(X=44)=1-=,.............................................................................................................................................................. 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. ........................................................................................................................................ 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, ............................................................ 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人...................................................................................................... 12分20.(1)证明:依题意可得,解得,...................................................................................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................................................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................................................................................................. 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列............................................................................................................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ....................................................................................... 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0,.............................................................................................. 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, ........................................................................................................ 8分则|y1-y2|==,........................................................................................................ 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==,.............................................................. 10分解得m=0, ............................................................................................................................................................................. 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0........................................................................................................................................ 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, ............................................................................................................................................................ 1分令f'(x)=0,得x=; .................................................................................................................................................................. 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. .................................................................................................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), .................................................................................................. 4分从而f(x)min=f()=-2............................................................................................................................................................... 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号........................................................................................................................... 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤,.......................................................................................................................................... 8分令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. .......................................................................................................................... 9分设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ................................................................................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2................................................................................................................................................................ 11分综上,x=,y=-..................................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, .................................................................................................................................................... 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, ............................................................................................................................ 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................................................................................. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,..................................................................................................................... 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, ................................................................................................................................................. 8分即=2,解得m=2(m=-<0舍去). .................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=1时,f(x)=, .............................................................................................................................. 3分故不等式f(x)<x的解集为(3,5). ............................................................................................................................................ 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, .............................................................................................................................. 6分∴|a-4|≥-1=,................................................................................................................................................................ 7分当a<0或a≥4时,不等式显然成立; ...................................................................................................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4................................................................................................................................................... 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). ..................................................................................................................................... 10分。
百校大联考全国名校2022年高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤2．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3103．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．54．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．137．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >8．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．199．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1610．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-11．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max37a c+-=B ．max37a c-+=C ．min37a c+-= D ．min37a c-+=12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
百校联盟2022年高三压轴卷数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 2．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明B ．小红C ．小金D ．小金或小明4．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．CD ．5．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+6．20201i i=-（ ）A ．2B ．C ．1D ．147．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．C ．D ．629．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．510．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 12．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
百校大联考2022年3月高三新高考标准卷数学试卷(PDF版)
高三数学参考答案一、单选题1.B 【解析】由已知可得{}32|≤≤−=x x A ，|2a B x x ⎧⎫=≤−⎨⎬⎩⎭， 又{|21}A B x x ⋂=−≤≤，12a ∴−=， 2a ∴=−.故选：B.2.A 【解析】因为()()()()53i 1i 53i 1i 1i 1i z +++==−−+28i 14i 2+==+， 所以复数z 对应的点的坐标为(1，4)，位于第一象限.故选：A3.B 【解析】由0,00a f ，0a b c 可知0,0a c ><，抛物线开口向上．因为()00,f c =<()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，故选：B ．4.D 【解析】因为αααsin 3cos tan −=，所以ααααsin 3cos cos sin −=， 即ααα22cos sin sin 3=−，所以1cos sin sin 322=+=ααα， 即31sin =α，又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以322cos =α， 则sin 6sin cos cos sin 663226故选：D. 5.C 【解析】设CO yBC =，因为03=+DC BC ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以()3,0∈y ，所以AO AC CO =+AC yBC =+()AC y AC AB =+−(1)y AB y AC =−++ 因为(1)AO x AB x AC =+−，所以x ＝－y ，所以()0,3−∈x ，故选：C. 6.B 【解析】11111ln 52345137ln 560，又ln 5ln10ln 2 2.3030.693 1.6105ln 与实际的5ln 的误差绝对值近似为096.0610.1577.060137=−−故选：B 7.C 【解析】如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M ，O 分别为线段PF ，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|=12|PF′|=12（|PF|﹣2a ）=12|PF|﹣a ＝|MF|﹣a ，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2的位置关系是相内切．故选：C ．8.A 【解析】设点,,,C A B D 的横坐标分别为,,,C A B D x x x x ，则结合函数2log y x =的图象，易得1A B C D x x x x ==.由题意得，A C ax x 11B D x x D B B D x x x x ，B D x x b −=，故B D b x x a =， 因此222log log log B D b x x a 192m m 92129929m m 1242399， 当且仅当291929+=+m m ，即91=m 时，取等号. 因此当2log b a 取得最小值时，91=m .故选：A. 二、多选题9.ACD 【解析】对于A ，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为%1616.010.004.002.0==++，所以比率估计为16%，故选项A 正确；对于B ，因为0.020.040.100.140.200.5++++=，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故选项B 不正确；对于C ，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为0.100.140.200.200.640.5+++=>，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C 正确；对于D ，该地农户家庭年收入的平均值为30.0240.0450.1⨯+⨯+⨯60.1470.2+⨯+⨯80.290.1+⨯+⨯100.1110.04+⨯+⨯120.02130.02+⨯+⨯140.027.68+⨯=故选项D 正确.故选：ACD.10.BD 【解析】()cos f x x x=22sin cos x x +−2cos 2x x=−π2sin 26x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 对于A ：令()z k k ∈+=2127πππ，可得z k ∉=121，所以直线127π=x 不是()f x 的图象的对称轴，故选项A 不正确；对于B ：当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,636x ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤−∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[]π2sin 21,26f x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭，故选项B 正确； 对于C ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以若()()122f x f x ==，则12πx x k −=，Z k ∈，故选项C 不正确； 对于D ：将()f x 的图象向右平移π6个单位得()ππ2sin 266g x x ⎡⎤⎛⎫=−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2cos 2x =−的图象，故选项D 正确； 故选：BD11.BC 【解析】对于A ，113C EFG ECF V S CC △−=⋅⋅132132=⋅⋅=，故A 错误； 对于B ，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()10,2,0,2,0,2,C A ()()1,0,0,2,1,0,E F ()1,2,2G ，()2,0,0A ，则()12,2,2AC =−−，()1,1,0EF =，()0,2,2EG =，10A C EF ⋅=，10A C EG ⋅=，则1A C ⊥平面EFG ，B 正确；对于C ，()1,1,0EF =，()1,2,2AG =−，12cos ,623EF AG ==⋅，故C 正确； 对于D ，作11C D 中点N ，1BB 的中点M ，1DD 的中点T ，连接,,,,GN GM FM TN ET ，则正六边形EFMGNT 为对应截面面积，则截面面积为：26S ==故D 错误.故选：BC12.ABD 【解析】对于A ：由||||1n n x y ±+±=，故选项A 正确；对于B ：当0n >时,取0,1x y ==±;取0,1y x ==±，曲线C 总过四个整点(0,1)±和(1,0)±.故选项B 正确；对于C ：当0>n 时,取曲线C 在第一象限的面积为1S ,则14S S =.又在第一象限的曲线为,1=+n n y x 1111=⨯<∴S ,在4<S .故选项C 错误对于D: 当1n =−时, 曲线C: 111||||x y +=，即1||1||1y x =+−, 由函数图象, 结合对称性,可知第一象限内点(2, 2)到原点距离最近,最近距离为D 正确;故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022百师联考理科数学参考答案
a１ ＋a３ ＋ ＋a２１ )＋ (
a２ ＋a４ ＋ ＋a２２ ) １０ 分
＝(
b１ ＋b２ ＋ ＋b１１ )＋ (
c１ ＋c２ ＋ ＋c１１ )
１１×１０
１１×１０
＝１×１１＋
× (－１)＋２×１１＋
c３ ＝a６ ＝a５ ＋１＝a４ －２＋１＝０, ３ 分
由题意知,
bn＋１ ＝a２n＋１ ＝a２n －２＝a２n－１ ＋１－２＝a２n－１ －１＝bn －１,所以数列{
bn }是首项为 １,公差为 －１ 的等差数列 ． ６ 分
e,＋ ∞ )
g
g
g(
x
x２
时,
′(
x)＜０,
x)单调递减,
１)＝０,
e)＝
g
g(
g(
g(
１
,当 x＞e时,
x)＞０,所以 g(
x)的大致图象如图:
g(
e
若 g(
x)＝a 和g(
x)＝２a 共有 ４ 个实数根,则有 ０＜a＜
【解析】(
１７．
１)∵x＝
∵c＝ (－３,
４),
π
,∴a＝ (２,
２c
o
sθ)．
c＜a＜b．
２０２２
２０２３
故 f(
且y＝f(
１１．
C 【解析】
２
x＋１)最小正周期为 １,
x＋１)最小正周期为 ２,
x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(
x＋１)＝f(
x－１)＝
y＝f(
则f[
－f(－x＋１)≠f(－x＋１),故 A 错误;
２x＋１)的最小正周期为 １,
吉林省百校联盟2022届高三TOP20九月联考(全国II卷)数学(理)试题 Word版含答案
百校联盟2022届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷) 理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|3410A x x x =-+≤,{}|43B x y x ==-,则A B =( )A ．3(,1]4B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13[,)342.已知实数m 、n 满足()(42)35m ni i i +-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z m ni =+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，呈现了一种相互转化，相对统一的形式美．依据太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．181 C ．112D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11927a a =+，则25S =（ ） A ．1452B ．145C ．1752D ．1755.甲、乙、丙三人参与某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了6.运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,i =…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．597.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．16(1)3π+ B ．8(1)3π+C ．4(23)3π+ D ．4(2)3π+ 8.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ，N 两点，若'MM l ⊥，'NN l ⊥，垂足分别为'M ，'N ，则''M N F ∆的面积为（ ） A ．33B 83C 163D ．339.已知7cos()3sin()26ππαα+=+，则tan()12πα+=（ ）A ．423-B ．234-C ．443-D ．434-10.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，向量122e e +与122e e λ+的夹角为23π，则λ=（ ）A ．23-B ．3-C ．3-或23- D ．1-或3-11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BB BC ==，点P 是长方体外的一点，过点P 作直线l ，记直线l 与直线1AC ，BC 的夹角分别为1θ，2θ，若1sin(50)θ-︒2cos(140)θ=︒-，则满足条件的直线l （ ）A ．有1条B ．有2条C ．有3条D ．有4条12.已知当(1,)x ∈+∞时，关于x 的方程ln (1)1x x k xk+-=-有唯一实数解，则距离k 最近的整数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.210(2018)()x y x y +-开放式中56x y 的系数为 ．14.函数2()cos 3sin sin()2f x x x x π=-++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 ． 15.已知实数x ，y 满足20,4,1,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2y x +的取值范围为 ．16.已知双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直的直线l 与C 的两条渐进线分别交于M ，N 两点，若11||2||NF MF =，则双曲线C 的渐进线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且203SBA AC ⋅+=，其中S 是ABC ∆的面积，4C π=．（1）求cos B 的值； （2）若24S =，求a 的值．18.如图所示，在已知三棱柱ABF DCE -中，90ADE ∠=︒，60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M 在线段BE 上，点G 是线段AD 的中点．（1）试确定点M 的位置，使得//AF 平面GMC ；（2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．（1）试估量该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：售价x （元） 25 30 38 45 52 销量y （万份）7.57.16.05.64.8依据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.0y bx =-，求b 的值；（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望． 20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥，且*m N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点，A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若(3,0)D ，且11A B D ∆的面积是ABD ∆面积的5倍，求ABD ∆面积的最大值． 22.已知函数()(2)xf x x e =-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2()()2xg x f x e ax =+-，()h x x =，且对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，都有[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->成立，求实数a 的取值范围．百校联盟2022届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案 一、选择题1-5:BABDC 6-10:CABBB 11、12：DB二、填空题13.210 14.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.y x = 三、解答题17.解:∵203S BA AC ⋅+=，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =， 即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-，所以29sin 10A =，又3(0,4A π∈），∴sin 0A >，故sin 10A =，cos 10A =，故cos cos()cos cos sin sin 102102525B AC A C A C =-+=-+=-+⨯==． （2）24S =，所以sin 48bc A =，得bc =①，由（1）得cos 5B =，所以sin 5B =， 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C ==② 联立①②，解得8b =，c =2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a =18.解：（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BCME PE==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥， 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==， ∴ADC ∆为正三角形，GC =∴(0,0,0)G，C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =，(3,0,0)GC =，设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =，则由10n GE ⋅=，10n GC ⋅=可得0,0,y z +=⎧⎪=令1y =，则1(0,1,1)n =-，∵(CD =-BA =，且(0,1,0)A -，故2,0)B -，故(2,0)BG =-， 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14sin 7||||n BG n BG θ⋅==⋅． 19.解：（1）依题意，设中位数为x ，0.3 2.5(0.2)0.5x +⨯-=，解得0.28x =．（2）25303845521903855x ++++===，7.57.1 6.0 5.6 4.8316.255y ++++===，∴10.0 6.20.138b -==．（3）X 的可能取值为0,1,2，故(0)P X =022325310C C C ==，1123256(1)10C C P X C ===，2023251(2)10C C P X C ===， 故X 的分布列为故6()10105E X =+=．20.解：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则由2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =，得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =-，∴1(1)214m a a m m =+-⨯=-=， ∴5m =，故26n a n =-．（2）32(6)252n n n m a n --+⨯=⨯；下面先求{}22n n -⨯的前n 项和n T ，10321222(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯…①； 012121222(1)22n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯…②；两式相减得1212222n n n T n ----=+++-⨯…11112(12)1222122n n n n n n -----=-⨯=--⨯-，∴11(1)22n n T n -=-⨯+（*n N ∈）． 故{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和为155(1)22n n --⨯+． 21.解：（1）依题意222221,21231,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，111115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+，由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即22(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，121||2ABDS y y ∆=-===， 令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++，由于11333()t t t t+=+，所以13t t +在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t+≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立），故ABD S ∆的最大值为3．22.解：（1）依题意，'()(2)(1)xxxf x e x e x e =+-=-，令'()0f x >，解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞． （2）当11()()0g x h x ->，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x ->； 当11()()0g x h x -<时，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x -<；故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立， 而()()(1)xg x h x x e ax -=--，设函数()1xp x e ax =--，(0,)x ∈+∞．则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立，'()xp x e a =-， ①当1a ≤时，∵(0,)x ∈+∞,∴1xe >，∴'()0p x >恒成立， ∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，(0)0p =， 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立，符合题意．②当1a >时，令'()0p x =，得ln x a =，令'()0p x <，得0ln x a <<， 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减，所以(ln )(0)0p a p <=， 而2()1ap a e a =--，设函数2()1aa e a ϕ=--，(1,)a ∈+∞，则'()2aa e a ϕ=-，令()2aH a e a =-，则'()2aH a e =->（(1,)a ∈+∞）恒成立， ∴'()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴'()'(1)20a e ϕϕ>=->恒成立， ∴()a ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()a ϕ(1)20e ϕ>=->恒成立， 即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意． 综上，故实数a 的取值范围为(,1]-∞.。
数学答案：名校联盟全国优质校2022届高三大联考(1)
名校联盟全国优质校2022届高三大联考数学试题参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-4：C D A B 5-8：D B C B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BC 10.ABD 11.BD 12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3π14.-1015.42ln 2-16.7913(,4)(,]222选填、填空部分题解析：7.2cos cos 10αα--=，故22sin 1cos cos ααα=-=-，42sin cos αα=，则242sin sin cos cos 1αααα+=-+=8.分别过F 1,O ,F 2作P 处的切线的垂线，垂足分别为：N ,O 1,Mθ=∠21PF F ,则θ=∠=∠M PF N PF 21,414cos ,432cos =∴=θθ 214cos 221)cos cos (21221211=⋅⋅=⋅+⋅=+==θθθa P F P F M F N F OO d 11.由0n a >，得0c >.122n n n a c a a c+=+≥，故101n a +<≤，又根据{}n a 是等差数列，且n a 有界，则{}n a 必为常数列.设n a x =，2c x x x c =+，得2(2)(0,1]c c x -=∈，解得02c <<.12.取AB 中点P ，CD 中点Q .当AB 和CD 平行时，PQ 则为其距离.设AB 和CD 所在截面的距离为r ，由题意25r ≤≤2214413PQ r r ≤--=2222331414114PQ r r r r ≥--=≥=+---设AB 和CD 公垂线段长度为d ，则213d PQ OP OQ ≤≤+=+=当AB 和CD 夹角为θ时，11sin 243466V AB CD d θ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=当AC 为直径时，AB AD =，CB CD =，若,,,A B C D 四点共面，则显然AC BD ⊥，否则，取BD 中点E ，则BD ⊥平面ACE ，故BD AC ⊥.15.设12()()(1)f x f x t t ==≤，则11x t =-，2t x e =，则21222t x x e t -=-+，求导可知，ln 2t =时，21min (2)42ln 2x x -=-16.1sin()62x πω-=，则522,666x k k k Z πππωππ-=++∈或243x ππ<<时，246636x πππππωωω-<-<-，情况①：522646613217226366k k k k πππππωππππππωπ⎧+≤-<+⎪⎪⎨⎪+<-≤+⎪⎩，即48843793322k k k k ωω⎧+≤<+⎪⎪⎨⎪+<≤+⎪⎩解得0k =时，742ω<<情况②：72264665213226366k k k k πππππππππππωπ⎧-≤-<+⎪⎪⎨⎪+<-≤+⎪⎩，即48483373322k k k k ωω⎧-≤<+⎪⎪⎨⎪+<≤+⎪⎩解得1k =时，91322ω<≤综上所述，ω的取值范围是7913(,4)(,]222四、解答题：本题共6小题，共70分.17.解：（1）2sin sin 2sin cos C B A B -=，--------------------------------------------------------------1分则有2sin()2sin cos sin A B A B B +-=.----------------------------------------------------2分即2cos sin sin A B B =，------------------------------------------------------------------------3分又sin 0B ≠，所以1cos 2A =.------------------------------------------------------------------4分由于0A π<<，所以3A π=.------------------------------------------------------------------5分（2）由sin ()cos 22b B c B +-=2πcos()cos 3b B c B -+=，-----------------6分又π3A = ，cos cos b C cB ∴+=，-------------------------------------------------------7分a ∴=．-------------------------------------------------------------------------------------------8分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，227b c bc ∴=+-，27()b c bc ∴=-+，2b c -= ，74bc ∴=+，3bc ∴=．---------------------------------------------------------9分设BC 边上的高为h ．11333sin 32224ABC S bc A ∆∴==⨯⨯=．12ABC S ah ∆= ，13324h =，32114h ∴=．---------------------------------------------------------------------------------------10分18.解：（1）当n>1时，2423n n n S a a =+-，1211423n n n S a a ---=+-所以111()()2()n n n n n n a a a a a a ----+=+．--------------------------------------------------------2分0n a > ，12n n a a -∴-=．------------------------------------------------------------------------3分当n=1时，2111423S a a =+-，得1131a a ==-或（舍）.----------------------------------4分故{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，32(1)21n a n n =+-=+.------------5分（2）数列{}n b 中对应的项1k a +之前总项数为(3)234...(1)2k k k ++++++=，-------6分令(3)502k k +≤，解得8k ≤，-----------------------------------------------------------------7分此时(3)442k k +=，故{}n b 第50项在9a 和10a 之间.-----------------------------------------------------------------8分所以{}n b 前50项的和为：241129(...)(22...2)a a a +++++++41199()2(21)221a a +-=+-42297=+--------12分19.解：（1）设平均喜爱程度为x ，则711.09515.08525.0753.06515.05505.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x -----------------4分（2）每人分数值在区间[70,80)内的概率114p =，在区间[80,100]内的概率214p =，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分由题意，X 的可能取值为0，1，2，3，4----------------------------------------------------6分2121(0)(1)4P X p p ==--=；---------------------------------------------------------------7分121121(1)(1)4P X C p p p ==--=；----------------------------------------------------------8分21122125(2)(1)16P X p C p p p ==+--=；------------------------------------------------9分12121(3)8P X C p p ===；---------------------------------------------------------------------10分221(4)16P X p ===；-------------------------------------------------------------------------11分故1511312344168162EX =⋅+⋅+⋅+⋅=-----------------------------------------------------12分解法2：每人分数值在区间[70,80)内的概率114p =，在区间[80,100]内的概率214p =，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分设抽取一名游客赠送玩偶的个数为Y ，Y 的可能取值为0，1，2，3，4-------------6分121(0)12P Y p p ==--=；-------------------------------------------------------------------7分11(1)4P Y p ===；-------------------------------------------------------------------------------8分21(2)4P Y p ===；------------------------------------------------------------------------------9分故11312444EY =⋅+⋅=--------------------------------------------------------------------------10分由随机抽取2人是相互独立的，则有322EX EY ==-----------------------------------12分20.解：（1）连接AC 交BD 于点O ，由AD =BD ，CD =CB ，得AC ⊥BD ，--------------------------1分故1AO ==，---------------------------------------------------------------2分2CO ==，------------------------------------------------------------------3分由PA ∥平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC 平面BDE =OE ，故PA ∥OE ，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分所以13PE AO PC AC ==.-------------------------------------------------------------------------------6分解法1：（2）由PB =PD ，故PO ⊥BD ，又平面PDB ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，故PO ⊥平面ABCD .------------------------------------------------------------由13PE PC =，故1233P BDE P ABCD V V --==，得2P ABCD V -=.--------------------------------------------------------------------------------------所以11232PO BD CO ⋅⋅⋅=，解得：PO =3.--------------------------------------------------在线段CO 上取点H ，使得13OH OC =，则EH ∥PO ，此时EH ⊥平面ABCD.过H 作HM ⊥CB 交CB 于M ，此时，BC ⊥HM ，BC ⊥EH ，HM EH H = ，故BC ⊥平面EHM ，有BC ⊥EM ，则∠EMH 为二面角E-BC-D 的平面角.----------10分223EH PO ==,又23HM OB BC OC =，解得：4515HM =，2214515EM EH HM =+=，----------------------------------11分2cos 7HM EMH EM ∠==，故二面角E BC D --的余弦值为27.---------------------12分解法2：建系（2）由PB =PD ，故PO ⊥BD ，又平面PDB ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，故PO ⊥平面ABCD .------------------------------------------------------------由13PE PC =，故1233P BDE P ABCD V V --==，得2P ABCD V -=.------------------------------所以11232PO BD CO ⋅⋅⋅=，解得：PO =3.--------------------------------------------------又PO ，BO ，CO 两两互相垂直，依题意可建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，(1,0,0)B ,(1,0,0)D -,(0,2,0)C ,(0,0,3)P ,2(0,,2)3E ，(1,2,0)BC =- ,4(0,,2)3EC =- 设平面EBC 的一个法向量为(,,)m x y z = 由1111220403m BC x y m EC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅-==⎪⎩ ，取12z =，可得()6,3,2m = ，-------------------------------10分易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n = -------------------------------------------------------11分2cos ,7m n m n m n ⋅<>==⋅ ，故二面角E BC D --的余弦值为27.-------------------------12分21.解：（1）由题意，点(,0)2p F ，由||2PF =，则2220((20)22p x -+-=，-----------------1分故有02p x =.------------------------------------------------------------------------------------------2分将点(,2)2p P 带入抛物线方程得：422p p =⋅，-------------------------------------------3分解得：2p =.故抛物线E 的方程为.24y x =.-----------------------------------------------4分（2）设直线AC 的方程为：1x my =+，----------------------------------------------------------5分与24y x =联立，得2440y my --=.设(,)A A A x y ，(,)C C C x y ，有4A C y y =-，------------------------------------------------6分不妨设22212111221122(,2),(,2),(,2),(,2)A t t B t t C t t D t t ------.则直线AB 的斜率122AB k t t =+，---------------------------------------------------------------7分直线AB 的方程为：2221222()y t x t t t -=-+，---------------------------------------------8分令0y =，得：112x t t =-，----------------------------------------------------------------------9分同理：2121x t t =-.---------------------------------------------------------------------------------11分所以121x x =.---------------------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）当0k =时，'()ln g x x x =，当01x <<时，'()0g x <，()g x 递减；当1x >时，'()0g x >，()g x 递增；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------1分当0k >时，令'()0g x =，得x k =或kx e =.构造函数()ln s x x x =-，11'()1x s x x x-=-=，故01x <<时，()s x 递减；1x >时，()s x 递增.故()(1)1s x s ≥=.即ln x x >，故x e x >，有k e k >.-------------------------------------------------------------2分故0x k <<时，'()0g x >，()g x 递增；故k k x e <<时，'()0g x <，()g x 递减；故k x e >时，'()0g x >，()g x 递增；-------------------------------------------------------4分综上所述：0k =时，()g x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞；0k >时，()g x 的增区间是(0,)k 和(,)k e +∞，减区间是(,)k k e .----------------------------------------------------5分（2）当0k =时，'()1ln f x x =+，令'()0f x =，得01x e=，当10x e <<时，'()0f x <，()0f x <递减；当1x e >时，'()0f x >，()0f x <递增；故()f x 有唯一极值点01x e =，此时0111()()4f x f e e ==-<-.-----------------------6分当0k >时，1'()(ln )()ln 1k f x x k x k x k x x =-+-⋅=--+，由0k >，显然'()f x 递增;由（1）中结论，ln k k >和k e k >得：()ln 0f k k k '=-<，()10k k k f e e'=->故存在唯一0(,)k x k e ∈，使得0()0f x '=.此时()f x 在0(0,)x 递减，0(,)x +∞递增.因此，0x 是()f x 的唯一极值点.----------------------------------------------------------------7分由0()0f x '=，则00ln 10k x k x --+=，000(1ln )1x x k x +=+，由0k >，得01x e >.200000020(ln )()()(ln )(1)x x x f x x k x k x --=--=+.--------------------------------------------8分故01()4f x ≤-012⇔≥，---------------------------------------------------9分(t t =>上式等价于22(2ln )112t t t t -≥+2124ln 0t t t t ⇔---≥----------------------------------10分令21()24ln (h t t t t t t =--->，-------------------------------------------------------11分3222241441(1)(41)(1)'()41t t t t t t h t t t t t t --++--=--+==由14t >>，故01t <<时，'()0h t <，()h t 递减；1t >时，'()0h t >，()h t 递增；因此()(1)0h t h ≥=，故原式得证.------------------------------------------------------------12分综上所述，01()4f x ≤-.。
河南省2022届高三百校2月大联考理科数学试题 附答案
【答案】C
11.已知正方体 的棱长为2，M为 的中点，N为 的中点，过 的平面 与DM， 都平行，则平面 截正方体所得截面的面积为（）
A.4B. C.5D.
【答案】B
12.已知函数 ，当 时， 取得最大值，且 在区间 上为减函数，则 的最大值为（）
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
【答案】D
3.若等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 （）
A.nB.n＋1C. D.
【答案】C
4.已知 ， ，则 的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
5.函数 在 上的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
6.若双曲线 渐近线 斜率为k，且 ，则m的取值范围是（）
A.（0，2）B.（1，2）C.（0，3）D.（1，3）
2022届普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】A
2 已知复数z满足 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
7.执行如下程序框图，则输出的S为（）
A B.0C.1D.2
【答案】A
8.在三棱锥 中， ，平面 平面ABC， ， ，则三棱锥 外接球的半径为（）
A.1B. C.2D.
【答案】B
9.已知 ，则以下式子正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
10.已知抛物线 的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线于A，B（B在第一象限）两点，且 上存在点M，满足 ，则r的最小值为（）
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2019－2020学年下学期全国百强名校联考
高三数学(理数)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12z i i
=--，则z ＝ A.3＋3i B.1＋3i C.3－3i D.1－3i 2.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|(
12)x <2}，则 A.4∩B ＝{x|－2<x<1} B.A ∩B ＝{x|1<x<2} C.A ∪B ＝{x|x>－2} D.A ∪B ＝{x|x<1}
3.已知角α的终边经过点P(－3，1)，则cos2α＝
A.35
B.－35
C.45
D.－45
4.已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝lny ，其变换后得到一组数据如下：
由.上表可得线性回归方程4z x a =-+，则c ＝
A.－4
B.e －
4 C.109 D.e 109 s.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与圆x 2＋y 2－2x ＋15
＝0相切，则双曲线C 的离心率为
5 2 5 17
6.已知实数x ，y 满足约束条件220
220
11x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥--≤⎪⎪⎩，则3x －y 的取值范围是
A.[72-，4]
B.[52
-，4] C.[－2，2] D.[－2，3] 7.(x 2－3)(2x ＋1)5的展开式中的常数项为 A.77 B.37 C.－3 D.－23
8.已知f(k)＝k ＋(－1)k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是
A.s>3?
B.s>5?
C.s>10?
D.s>15?
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为
5 132 52 2
10.已知a>0且a ≠1，()181,212log ,2
a x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若f(x)有最大值，则a 的取值范围是 A.(12，1) B.(0，12] C.(0，12)∪(1，＋∞) D.[12
，1)∪[2，＋∞) 11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：22
1(0)2x y a a a
+=>+的蒙日圆为x 2＋y 2＝4，a ＝
A.1
B.2
C.3
D.4
12.关于函数f(x)＝|sinx|＋3cosx有下述四个结论：
①f(x)是周期函数：②f(x)的图象关于直线x＝2kπ(k∈Z)对称；
③f(x)在(－π，0)上没有零点；④f(x)的值域为[－3，2]，其中正确结论的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.f(x)＝e x－1－2x的图象在x＝1处的切线方程为。
14.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足(a＋tc)·b＝0，则t＝。
15.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＝2ccosB，c＝2，且△ABC 面积为1，则sin2B＝。
16.已知三棱锥P－ABC中PA＝AB＝3，AC＝5，BC＝7，PB＝2，PC34
P－ABC的外接球表面积为。
三、解答题：共70分。
解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
已知数列{a n}满足a1＋a2＋…＋a n＝a n＋1－2。
(1)若a1＝2，求数列{a n}的通项公式；。
(2)若数列1，a2，a4，b1，b2，…，b n，…成等差数列，求数列{b n}的前n项和为S n。
18.(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中AD//BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD2，点E为PD中点。
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)若PA＝2，PD＝22，∠PAB＝2
3
π
，求平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值。
19.(12分)
已知过点P(4，0)的动直线与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于点A，B，且OA OB
⋅＝0(点O为坐标原点)。
(1)求抛物线C的方程；
(2)当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q，使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由。
20.(12分)
2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客。
购买商品人次，统计了10月1日7：00～23：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次，顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00～11：00，11：00~15：00，15：00~19：00，19：00~23：00，依次记作[7，11)，[11，15)，[15，19)，[19，23]。
(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N(μ，δ2)，其中µ近似为x，δ＝3.6，估计2019年国庆节假期期间(10月1日－10月7日)该商场顾客在12：12～19：24之间购买商品的总人次(结果保留整数)；
(3)为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本(假设这10个样本为10个不同顾客)作为幸运客户，再从这10个幸运
客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00～19：00之间购买商品的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；
参考数据：若T ～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ<T ≤μ＋σ)＝0.6827；
②P(μ－2σ<T ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<T ≤μ＋3σ)＝0.9973。
21.(12分)
已知函数f(x)＝a(lnx ＋1x
)＋lnx －x －1。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)＝f(x)－lnx 有2个不同的极值点x 1，x 2 (x 1<x 2)，求证：f(x 1)＋f(x 2)－2x 1x 2>5ln 2
4e 。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212
x y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数，a ∈R)。
在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin 2θ＝3。
(1)若点A(0，4)在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；
(2)已知a>0，若点P 在直线l 上点Q 在曲线C 上，若|PQ|
a 的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知f(x)＝x 2＋2|x －1|。
(1)求不等式f(x)>2x x
的解集； (2)若f(x)的最小值为M ，且a ＋b ＋c ＝M(a ，b ，c ∈R)，求证
：。