厦门大学研究生《高级微观经济学(I)》课程复习资料

高级微观经济学复习题

一、设某消费者的马歇尔需求函数为

1

(,),1,2,...,k L

l

l w

x p w k L p

==

=∑，求解如下问题：

（一）这一需求函数在(,)p w 上是零次齐次的吗？

（二）这一需求函数满足预算平衡性吗？

（三）这一需求函数是否满足显示偏好弱公理（WARP ）？

（四）求这一需求函数的斯卢茨基（替代）矩阵，并判断其是否为（半）负定矩阵以及对称矩阵。

二、设市场上只有三种物品，令消费者的效用函数为：123123(,,)f q q q q q q =，预算约

束为：112233y

p q p q p q =++。假设1212(/)c q q p p q =+为一种复合物品，试

以c q 的方式阐述消费者的最优化问题，并求出c q 的马歇尔需求函数。 三、设消费者的效用函数为()ln u w w =。该消费者现在面临一个赌局：若他下注x 元，

硬币正面朝上时他将有()w x +元，正面朝下时他将有()w x -元。设硬币正面朝上的概

率为π，求解如下问题：

（一）求证消费者最优赌注x *

为π的函数。 （二）当1/2π=时，此消费者是否会参加该赌局？如果参加，则会下注多少？试给

出解释。

四、设消费者的间接效用函数为：12(,),(0,0)v p w wp p αβ

αβ=<<。试求消费者

对应的直接效用函数。

五、一个厂商有两个生产车间生产同一种产品，其中一个车间按照成本函数2

111()c y y =进行生产，另一个车间按照成本函数2

222()c y y =进行生产，设厂商的总产量为y ，求

该厂商的成本函数。

六、设某一厂商的生产函数为：

/12(),(1,01)y x x ρρβρβρ=+<≠<。求该厂商

的供给函数、条件投入需求函数和利润函数。 七、设某人的效用函数为1212(,)

u x x x x =，其收入100m =，最初商品价格为

0(1,1)p =，假设现在商品价格变化为1(1/4,1)p =，试计算对应的CV

与CS ∆。

高级微观经济学复习题参考答案

一、解：

（一）由于（设0α>）：

1

11

(,)(,),1,2,...,()

k k L

L

L

l

l l

l l l w

w w

x p w x p w k L

p

p p

αααααα====

=

=

==∑∑∑

故这一需求函数在(,)p w 上是零次齐次的。 （二）由于：

1

1

1

11

(,)()

L

k

L L

k k k k

L

L

k k l l

l l p

p w p x p w w w

p p

=

=======∑∑∑

∑∑

故这一需求函数满足预算平衡性。

（三）运用反证法：假设该需求函数不满足显示偏好弱公理，则对于不同的两个消费束0x 与1x 以及对应的价格向量0p 与1p ，消费者在价格向量为0p 时选择0x ，在价格向量为1p 时选择1x ，但是在

0001p x p x ≥时，有1110p x p x ≥。对相关记号作如下变换：

01010011

,,(,),(,),,p p p p x p w x x p w x w p x w p x ''''====== 经过上述变换，有：

(,),(,)px p w w p x p w w ''''≤≤

由

(,)p x p w w ''≤，可得：

1

1

L

l

l L

l

l p w

w p ==''

≤∑∑

即：

1

1

L

L

l

l

l l w

w p p =='

≤

'∑∑

同理，由

(,)px p w w ''≤，可得：

1

1

L

L

l l

l l w w

p p =='

≤

'

∑∑

因此，由上述两式有：

1

1

L

L

l l

l l w w

p p

=='

=

'

∑∑

即(,)

(,)x p w x p w ''=，这意味着01x x =，与0x 和1x 是不同的消费束矛盾。故

假设不成立，这一需求函数满足显示偏好弱公理。

（四）这一需求函数的斯卢茨基矩阵中的任意元素为：

2

11

1

(,)(,)(,)

1

0,(,1,2,...,)()l l lk k k L

L

L l l l l l l x p w x p w S x p w p w w w

l k L p p p

===∂∂=+∂∂=-

+

==∑∑∑

故对应的斯卢茨基矩阵为：

*0...0(,).........0...0L L

s p w ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，显然该矩阵是对称的，而且是半负定的（对应的二次型等于0）。

二、解：消费者的效用最大化问题为：

123

123123,,112233

max :(,,)..:q q q f q q q q q q s t y p q p q p q ==++

用

1212(/)c q q p p q =+代入消去1q ，消费者的效用最大化问题可以改写为：