微积分曲面体、曲面体的截切教材

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微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统称为二次柱面圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
第四节二次曲面
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线在坐标面上的投影三、小结思考题
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影

高等数学中的微分几何基础概念详解

高等数学中的微分几何基础概念详解微分几何是数学中一个研究空间曲面、空间曲线的分支学科，它通过微积分的手段来研究几何性质。

微分几何在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。

在微分几何中，微分是一个核心的概念。

本文将深入讲解微分几何中的基础概念，并介绍一些重要的定理和公式。

1. 曲面的切空间切空间是微分几何中一个十分重要的概念。

它描述了一个曲面在某一点的切平面和切向量的集合。

我们可以将曲面看成一个低维空间中的子集。

在该点上，我们可以找到一个切向量和切平面，这个切向量垂直于切平面。

切平面是切向量构成的空间，它是当前点曲面的局部近似。

2. 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定是微分几何中一个重要的记法。

它规定了当一个下标在式子中出现了两次时，那么它就代表着一个对该下标求和的操作。

据此，我们可以省略求和符号从而简化求和表达式。

在微分几何中，爱因斯坦求和约定被广泛地使用。

3. 一阶微分在微分几何中，一阶微分是我们研究的一个重要概念。

它是一种线性映射，它将一个标量场映射成一个切向量场。

一阶微分展示了曲面局部的变化率，因此在几何学上它是不可或缺的。

4. 曲面上的长度、面积和体积曲面上的长度、面积和体积是微分几何中的重要概念。

长度指的是一个空间曲线的长度，面积指的是一个平面曲面的面积，而体积则指的是一个三维曲面的体积。

在微分几何中，它们的计算是通过对弧长、曲率半径和偏微分方程进行求解得到的。

5. 积分曲线积分曲线是微分几何中一个重要的概念。

它是一个渐进曲线，它沿着向量场的方向和大小发展，并趋近于另一个点。

积分曲线描述了一个向量场在时空曲面上的发展过程。

通过积分曲线，我们可以了解空间曲面上的逐点性质。

6. 概率微分几何概率微分几何是微分几何的一个分支领域，它通过量化空间曲面上的随机性质来分析它们的变化。

概率微分几何在概率论、统计学、金融、信号处理等领域有着广泛的应用。

在计算机科学中，概率微分几何被用来开发新的图像处理和机器学习算法。

高等数学教材系列目录

高等数学教材系列目录引言：高等数学作为大学本科的基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。

为了满足学生对高等数学教材的需求，本文将探讨高等数学教材系列的目录，并介绍每本教材的内容和特点。

第一册：微积分导论1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的极限及其计算方法1.3 极限存在准则与极限运算法则1.4 极限的无穷性与无穷小2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的计算法则2.4 高阶导数与隐函数的导数3. 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理与罗尔定理3.2 导数的应用之极值与最值3.3 导数的应用之曲线的凹凸性与拐点 3.4 泰勒公式与函数的近似计算第二册：多元函数与微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的极限的定义与性质1.2 二重极限的计算方法1.3 多元函数的连续性与连续函数的性质1.4 多元函数的间断点与可去间断点2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数与偏导数的计算 2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 多元复合函数的偏导数与链式法则2.4 全微分与全微分近似计算3. 多元函数的极值与条件极值3.1 多元函数的极值与最值的概念3.2 多元函数的极值判定条件3.3 条件极值与拉格朗日乘数法3.4 多元函数的条件极值的应用第三册：重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标） 1.3 三重积分的概念与性质1.4 三重积分的计算方法（直角坐标与柱面坐标）2. 重积分的应用2.1 质量、质心与转动惯量2.2 二重积分中的面积与变量替换2.3 三重积分中的体积与变量替换2.4 重积分在物理问题中的应用3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分与第二类曲线积分3.2 曲线积分的计算方法3.3 曲面积分的概念与性质3.4 曲面积分的计算方法（参数表示与一般参数）结语：高等数学教材系列的目录旨在系统地介绍高等数学的各个分支领域，帮助学生全面理解数学的概念与方法，并培养分析问题与解决问题的能力。

大学微分几何的曲率与曲面积分计算

大学微分几何的曲率与曲面积分计算微分几何是数学中的一个分支，研究的是曲线、曲面等几何对象的性质及其与微积分的关系。

曲率和曲面积分是微分几何中的两个重要概念，在研究曲线和曲面特征时起到了关键作用。

一、曲线上的曲率计算曲线上的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，可以通过计算曲线的曲率半径来确定。

假设有一个平面曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t))，其中t是曲线上的参数。

我们可以通过以下步骤计算曲线C上的曲率：1. 计算曲线的切向量T(t)。

切向量是曲线在某一点的切线的方向向量，可以表示为:T(t) = (dx/dt, dy/dt) / √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)2. 计算曲线的单位切向量T'(t)。

单位切向量是切向量的归一化，即除以其模，可以表示为：T'(t) = T(t) / ||T(t)||3. 计算曲线的曲率K(t)。

曲率是刻画切线转动速度的量度，可以表示为：K(t) = ||T'(t)|| / ||r'(t)||4. 计算曲线的曲率半径R(t)。

曲率半径是曲率的倒数，可以表示为：R(t) = 1 / K(t)二、曲面上的曲率计算与曲线不同，曲面上的曲率不再是一个标量，而是一个张量。

曲面的曲率在每个点上有两个主曲率和两个主曲率方向。

设有一个曲面S，其参数方程为r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v是曲面上的参数。

我们可以通过以下步骤计算曲面S上的曲率：1. 计算曲面的法向量N(u, v)。

法向量是曲面在某一点的垂直于切平面的向量，可以表示为：N(u, v) = (rxu × rxv) / ||rxu × rxv||其中rxu和rxv分别表示对u和v求偏导数得到的向量，×表示向量的叉乘。

2. 计算曲面的第一基本形式E(u, v)、F(u, v)和G(u, v)。

数学中的微分几何与拓扑学

数学中的微分几何与拓扑学微分几何和拓扑学是数学中两个重要的分支。

微分几何是研究曲线、曲面、流形等几何对象上的微分结构和微分方程的学科，它给出了这些几何对象的内在性质和在局部和整体上的几何特征。

而拓扑学是研究空间中连通性、维数、同构和不变量的学科，它涉及到的对象可以是几何形状的，也可以是抽象的，如点、线、面、球等等，在拓扑上它们可以等价于彼此或者不等价。

在本文中，我们将介绍微分几何和拓扑学的相关概念和应用。

微分几何的基本概念微分几何最基本的概念就是流形。

流形是指一类局部像欧几里德空间的几何对象，也就是说，在每一个点处都有一个局部的线性结构。

流形有多种多样的类型，如常见的曲线、曲面、球面等等，它们都可以看成流形的一种。

流形的基本性质是可以用微积分来描述它们的几何性质。

微分几何的研究对象不仅仅是流形本身，还包括流形上的微分结构和微分方程。

微分结构是指在流形上定义的微分、导数、曲率等概念，而微分方程则是描述流形上的曲线、曲面、流形的运动和变形的方程。

在微分几何的研究中，往往会涉及到弯曲、张量、黎曼几何、广义相对论等高级数学和物理的相关知识。

微分几何的应用微分几何的研究中，经常会涉及到诸如曲率、切空间、黎曼流形等等概念。

曲率主要关注流形上的切向量的变化情况，它可以用来描述流形的弯曲和形状。

在工程、医学、计算机视觉、图像处理等领域，可以利用曲率检测、曲率流算法等技术进行数据处理、图像分割、拓扑优化等工作。

另外，微分几何对于广义相对论的研究有着重要的影响。

广义相对论是描述重力和引力的理论，它基于黎曼流形的理论，而黎曼流形就是一种具有弯曲的流形。

微分几何的黎曼流形理论，可以提供相对论的物理预言和几何直觉，而广义相对论也为微分几何理论提供了一个广阔的应用领域。

拓扑学的基本概念拓扑学是研究点集在连通性、维数、同构和不变量上的学科。

拓扑学强调点集在一定范围内的相对位置和连通性，不关心在其内的哪些部分有什么具体的几何或度量。

高等数学2 课本教材

高等数学2 课本教材高等数学2是一个涉及复杂概念和公式的学科。

它是数学的一个分支，主要研究了微积分、线性代数和概率论等内容。

本节文章将以教科书的形式，按照章节的顺序来介绍高等数学2课本的主要内容。

第一章微分方程微分方程是高等数学2中最重要的章节之一。

它涉及到描述变化过程的方程。

本章首先介绍了常微分方程的概念和基本理论。

然后，详细讨论了一阶和二阶常微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。

接着，介绍了线性常微分方程的解法及其应用。

最后，通过一些实际问题的案例，说明微分方程在物理、经济和生态学等领域的应用。

第二章无穷级数无穷级数是高等数学2中的另一个重要概念。

本章首先介绍了数列和数列极限的概念。

然后，引入了无穷级数的定义，并详细讨论了级数和部分和的性质。

接着，讨论了正项级数的收敛性质，包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。

最后，介绍了幂级数和傅里叶级数的基本概念及其应用。

第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的一个重要分支。

本章首先引入了多元函数的概念，并讨论了极限和连续等基础理论。

然后，详细讨论了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念。

接着，介绍了多元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则。

最后，引入了多元函数的泰勒公式和拉格朗日乘数法，通过实例讲解了这些概念的应用。

第四章多重积分多重积分是高等数学2中涉及到空间区域的重要内容。

本章首先引入了二重积分和三重积分的概念，并讨论了累次积分和重积分的性质。

然后，介绍了换元积分法和坐标变换法来计算多重积分。

接着，讨论了二重积分和三重积分的应用，包括质量、质心和转动惯量等问题。

最后，介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念及其应用。

第五章曲线与曲面的方程曲线和曲面的方程是高等数学2中的一个重要内容。

本章首先介绍了参数方程和方程组的基本概念。

然后，详细讨论了平面曲线和空间曲线的一般方程及其性质。

接着，介绍了曲线的切线和法平面方程的求解方法。

高等数学二教材涉及内容

高等数学二教材涉及内容高等数学二是大学数学专业的重要课程之一，其教材内容涵盖了多个专题和概念，包括微分方程、多元函数微积分、曲线与曲面积分、无穷级数等。

下面将对这些内容进行简要介绍。

一、微分方程微分方程是数学中研究函数的变化规律的一种重要方法。

高等数学二中，包括了一阶常微分方程、高阶常微分方程和线性方程组等内容。

通过对微分方程进行求解，可以得到函数的解析表达式，从而揭示出函数的行为与性质。

二、多元函数微积分多元函数微积分是研究多元函数的导数和积分的一门学科。

高等数学二中，主要包括了高阶偏导数、梯度、方向导数、多元函数的极值点、条件极值等概念和定理。

多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用，如工程中对曲面的切平面计算、经济学中的生产函数和效用函数等。

三、曲线与曲面积分曲线与曲面积分是研究曲线和曲面上的线元长度、面元面积以及函数在曲线和曲面上的积分的一门学科。

高等数学二中，主要包括了曲线积分和曲面积分的定义与计算方法，以及格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等定理应用。

曲线与曲面积分常用于物理学、流体力学和电磁学等领域的计算。

四、无穷级数无穷级数是数列的和无穷项而成的一种数列。

高等数学二中，主要包括了正项级数的概念与判敛法、一般项级数的收敛判定、幂级数和傅里叶级数等内容。

无穷级数在数学和物理学中有着广泛的应用，如泰勒级数展开、电路电压计算等。

总的来说，高等数学二涵盖了微分方程、多元函数微积分、曲线与曲面积分以及无穷级数等内容。

这些知识点是大学数学专业学习的基础，并在后续的学习和实践中起到重要的作用。

通过系统地学习和掌握这些内容，可以为数学专业的学生提供丰富的数学工具和解决问题的方法。

高等数学系列教材目录

高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。

微积分中的曲线积分和曲面积分

微积分中的曲线积分和曲面积分微积分作为数学的一个分支，涉及到许多非常重要的概念和工具。

其中，曲线积分和曲面积分是微积分中引人注目的两个概念。

在本文中，我们将简要介绍这两个概念以及它们的应用。

曲线积分曲线积分主要用于计算沿着曲线的函数的积分。

它既可以利用直线路径计算，也可以利用曲线路径计算。

曲线积分的计算方法有许多，但其中最常见的是参数化方法和向量场方法。

在参数化方法中，我们将曲线表示为一个参数方程形式，如r(t) = (x(t), y(t), z(t))。

然后，我们在曲线上选择一组点，将每个点的函数值与曲线的曲率相乘，再将所有值相加，从而得到曲线积分的值。

另一种方法是向量场方法。

此时，我们将曲线表示为向量场的形式，如F(x, y, z) = (<M(x, y, z)>, <N(x, y, z)>, <P(x, y, z)>)。

然后，我们需要在曲线上选择一个方向，以保证对称性。

然后，我们将并将它们相加。

曲线积分在物理学中也有广泛的应用。

例如，它可以用于计算沿着曲线的电场强度、磁场强度和压强等物理量。

它也可以用于计算沿着曲线的质点的力和工作。

曲面积分曲面积分是用于计算沿着曲面的函数的积分。

它既可以利用平面路径计算，也可以利用曲面路径计算。

曲面积分的计算方法有许多，但其中最常见的是参数化曲面和向量场。

在参数化曲面中，我们将曲面表示为一个参数方程形式，如r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。

然后，我们在曲面上选择一个区域，并计算每个小面元的积分，并将它们相加。

另一种方法是向量场方法。

此时，我们将曲面表示为向量场的形式，如F(x, y, z) = (<M(x, y, z)>, <N(x, y, z)>, <P(x, y, z)>)。

然后，我们需要在曲面上选择一个方向，以保证对称性。

然后，我们将并将它们相加。

《微分几何》教学大纲

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

空间解析几何基本知识《微积分》

2 2
39
例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x y z 1 2 2 a c 绕 z 轴旋转所成曲面方程为
2 2 2
z
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
7-1 空间解析几何基本知识
1
第七章第一节空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念三、几种常见的曲面及其方程
2
复习
1.空间直角坐标系
Ⅲ
z 轴(竖轴)
z zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
Ⅷ
o
y
Ⅵ
Ⅴ
Ⅰ
y轴(纵轴)
x
x轴(横轴)
3
复习
2.平面基本方程: 一般式截距式 3.平面一般方程 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0) 的几种特殊情况： (1) D 0, 平面A x + B y + C z = 0通过坐标原点；
y
7
一般的 (1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫
柱面的准线，动
直线L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: C
8
三、柱面
(1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
x2 y2 4
y x 1
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面

高等数学大学所有教材目录

高等数学大学所有教材目录第一章：微积分- 微积分原理- 函数与极限- 导数与微分- 奇偶函数与对称性- 极值与最值- 微分中值定理- 泰勒展开与近似计算- 不定积分与定积分- 曲线的长度与曲面的面积- 定积分的应用第二章：向量代数与空间解析几何- 向量的概念与运算- 向量的数量积与夹角- 向量的叉积与混合积- 直线与平面的方程与位置关系- 空间曲线与曲面的方程与位置关系- 向量代数与几何应用第三章：多元函数与一元关系- 多元函数的极限与连续性- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值，凹凸性- 隐函数与显函数及其导数- 多元复合函数的导数- 多元函数的泰勒展开与近似计算- 一元关系与参数方程第四章：多元函数微分学- 多元函数的向量表示与全微分- 多元函数的极值问题- 二元函数的二阶偏导数与极值- 一元函数的高阶导数与极值问题- 隐函数的高阶导数与极值问题- 多元函数的泰勒展开- 多元函数的空间曲线与曲面第五章：重积分- 重积分的概念与性质- 重积分的计算方法- 重积分的应用- 重积分的计算应用- 曲面的面积与曲线的长度- 曲面积分与曲线积分- 重积分的物理应用第六章：曲线积分与曲面积分- 曲线的参数方程- 参数方程下的曲线积分- 向量场与曲线积分- 曲面的参数方程- 参数方程下的曲面积分- 向量场与曲面积分- 曲线积分与曲面积分的物理应用第七章：常微分方程与初值问题- 一阶常微分方程- 高阶常微分方程- 线性常微分方程组- 二阶线性常微分方程的求解- 高阶线性常微分方程的求解- 常微分方程的物理应用第八章：级数与幂级数- 数列与级数的概念- 收敛与发散的判断- 正项级数与比较判别法- 交错级数与绝对收敛- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛域和展开式- 幂级数的求和与逐项求导第九章：傅里叶级数与傅里叶变换- 周期函数与傅里叶级数- 傅里叶级数的性质- 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数的展开系数- 傅里叶级数的奇偶性和对称性- 傅里叶变换与傅里叶反变换- 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换第十章：线性代数- 矩阵与向量空间- 线性方程组与矩阵求逆- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化- 复数域与线性变换- 内积空间与正交变换- 非线性方程组与迭代法总结：高等数学大学所有教材的目录涵盖了微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数与一元关系、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程与初值问题、级数与幂级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数等重要内容。

《微分几何》教学大纲09

《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。

通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。

本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。

（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。

学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。

本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。

要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。

理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。

（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。

（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。

本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。

（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。

教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。

难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。

第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。

高等数学各类教材目录

高等数学各类教材目录一、微积分1. 函数与极限1.1 函数定义与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限计算方法2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 常见函数的导数计算2.3 微分的概念与应用3. 积分与定积分3.1 不定积分与定积分的概念3.2 常见函数的积分计算3.3 定积分的应用4. 微分方程4.1 一阶微分方程4.2 高阶微分方程4.3 常系数线性齐次微分方程二、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义与图像1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全微分2. 隐函数与参数方程2.1 隐函数的概念与求导2.2 参数方程的概念与性质2.3 高阶偏导数与全微分的应用3. 多元函数的极值与最值3.1 多元函数的极值点与极值 3.2 条件极值与拉格朗日乘数法3.3 多元函数的最值与边界三、级数与常微分方程1. 数列与级数1.1 数列的概念与性质1.2 级数的概念与性质1.3 收敛级数的判定方法2. 幂级数与泰勒展开2.1 幂级数的定义与收敛域2.2 幂级数函数的性质与求导2.3 泰勒展开与函数逼近3. 常微分方程3.1 高阶常系数线性微分方程3.2 欧拉方程与变量分离方程3.3 线性方程组与二阶线性常微分方程四、多元积分与曲线积分1. 二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算方法1.3 重心与质心的坐标2. 三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算方法2.3 几何体的体积与质量3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分3.2 第二类曲线积分3.3 曲面积分与高斯公式五、向量与空间解析几何1. 二维向量与三维空间1.1 向量的定义与性质1.2 向量的运算与表示1.3 三维空间中点、线、面的方程2. 空间曲线与曲面2.1 参数方程与运动方程2.2 长度、曲率与曲率半径2.3 曲面与曲面积分3. 空间向量的导数与积分3.1 向量导数与曲线的切向量3.2 向量场与向量积分3.3 位矢与线积分六、概率统计与常用数学方法1. 概率与概率分布1.1 随机事件与概率公理1.2 离散型随机变量与概率分布1.3 连续型随机变量与概率密度2. 期望与方差2.1 随机变量的期望与方差2.2 均值、方差与协方差2.3 大数定律与中心极限定理3. 参数估计与假设检验3.1 参数估计的方法与性质3.2 假设检验的基本概念与步骤3.3 假设检验的常用分布与检验方法以上为《高等数学》各类教材目录的总结，不同版本的教材可能会有细微差异，请根据具体教材的章节安排进行查阅。

微分几何陈维桓第三章讲稿

目录第三章曲面的第一基本形式 (27)§ 3.1 正则参数曲面 (27)一、参数曲面 (27)二、参数变换 (28)三、正则曲面 (29)四、正则曲面的例子 (30)§ 3.2 切平面和法线 (33)一、曲面的切空间，切平面和法线 (33)二、连续可微函数的等值面 (35)三、微分dr的几何意义 (35)§ 3.3 第一基本形式 (36)§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 (39)§ 3.5 保长对应和保角对应 (40)一、曲面到曲面的连续可微映射 (40)二、切映射 (41)三、保长对应(等距对应) (42)四、保角对应(共形对应) (45)§ 3.6 可展曲面 (46)第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§ 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面2的一个区域(region ，即连通开集)D 到3E 中的一个连续映射3:()r D S r D E→=⊂的象集()S r D =称为3E 中的一个参数曲面(parameterized surface). 在3E 中取定正交标架{;,,O i j }k ，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面S 可以通过参数(parameter)(,)u v 表示成参数方程(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩2(,)u v D ∈⊆， (1.1)或写成向量参数方程 ()(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)r r u v x u v i y u v j z u v k x u v y u v z u v ==++=，(,)u v ∈Ω. (1.2) 为了使用微积分工具，本书中要求向量函数(,)r u v 都是3次以上连续可微的. u -曲线：让0v v =固定，u 变化，向量0(,)r u v 的终点描出的轨迹.v -曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面S 就是将平面中的区域D 经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间3E 中的结果.曲纹坐标()(,)()p S u v D ∈↔∈，即(,)(,)Op u v r u v =.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点(,)p u v 与该点的参数(,)u v 之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件. 定义设:(,)S r r u v =为3E 中的参数曲面. 如果在00(,)u v 点，两条参数曲线的切向量 r 图3.1 00(,)r u v0000(,)(,)u u v r r u v u ∂=∂，0000(,)(,)v u v r r u v v ∂=∂ (1.3) 线性无关，即0000(,)0000(,):|[(,)][(,)]0u v u v u v u v r r u v r r r u v r u v ⨯=⨯=⨯≠，则称00(,)u v 或000(,)p u v 是S 的正则点(regular point). 如果S 上每一点都是正则点，则称S 是正则参数曲面.以下总假定S 是正则曲面. 在正则曲面上每一点000(,)P u v ，由于0000(,)(,),,0uu u u u u u v v v v v vv u v y z x z x y r r u v y z x z x y ⎛⎫⨯=-≠ ⎪⎝⎭， (1.4)通过重新选取正交标架{};,,O i j k ，不妨设 0000(,)(,)(,):0(,)uu v v u v u v x y x y x y u v ∂=≠∂.根据反函数定理，存在00(,)u v 的邻域U D ⊂，使得(,),(,)x x u v y y u v ==有连续可微的反函数(,)u f x y =，(,)v g x y =，即有((,),(,)),((,),(,))x f x y g x y x y f x y g x y y ≡≡.此时有()000000(,)(,),(,)x y x u v y u v =的邻域2V ⊂和同胚映射:V U σ→. 从而有连续映射:()|U r r V r U S S σ=→=⊂. 于是S 在000(,)P u v 的邻域|U S 内可用参数方程表示为()()(,)(,),(,),,((,),(,))r x y r u x y v x y x y z f x y g x y ==， (*)或表示为一个二元函数(,)z F x y =的图像，其中()(,)(,),(,)z F x y z f x y g x y ==. (1.5)上式称为曲面片|U S 的Monge 形式，或称为|U S 的显式方程.从(*)式可见():|:(,),,((,),(,))U r V S x y x y z f x y g x y →是一一对应，从而1:()|U r r U r U S S σ-=→=⊂也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了:r D S →局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面()S r D =与其定义域D 之间总是一一对应的，从而参数(,)u v 可以作为曲面上点(,)p u v 的曲纹坐标.反之，由显式方程(,)z z x y =表示的曲面总是正则的：如果()(,),,(,)r r x y r x y z x y ==， (1.6)则()1,0,x x r z =，()0,1,y y z r =，从而 (),,10x y x y r r z z ⨯=--≠.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面:(,)S r r u v =，规定u v r r ⨯所指的一侧为S 的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换(,),(,)u u u v v v u v == (1.8)满足：(1) (,),(,)u u v v u v 是(,)u v 的3次以上连续可微函数；(2) (,)(,)u v u v ∂∂处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下， u u v u v r r r u u ∂∂=+∂∂， v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此 (,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭. (1.10) 上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将3E 与3等同，赋予普通的度量拓扑，即以3的标准度量确定的拓扑. 定义1.1 设S 是33E ≡的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点p S ∈，存在p 在S 中的一个邻域U (U V S =⋂，其中V 是p 在3E 中的邻域)，和2中的一个区域D ，以及同胚 ()::(,)(,)(,),(,),(,)r D U u v r u v x u v y u v z u v →=，使得(,)r u v 是3E 中一个正则参数曲面()r D ，则称S 是3E 中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域U 和同胚r 的逆映射1r ϕ-=合在一起，将(,)U ϕ称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart). 注 S 的拓扑是作为3E 的子集从3E 诱导的相对拓扑，即作为3E 的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化11(,)U ϕ，22(,)U ϕ满足12U U ⋂≠∅，那么正则参数曲面12U U ⋂就有两个参数表示111(,)r u v 和222(,)r u v . 由此自然产生了参数变换 211122121122:()():(,)(,)r U U U U u v u v ϕϕϕ⋂→⋂.利用正则参数曲面12U U ⋂的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面S 是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的112()U U ⋂1212()r U U -⋂1r 2r 1ϕ21r量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化{}(,)|U A ααϕα∈(A 为指标集)，使得{}|U A αα∈构成S 的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.例1.1 圆柱面(cylinder) 222x y a +=(,)(cos ,sin ,)r u v a u a u v =，2(,)u v D ∈⊂. (1.15) 其中0a >.当(0,2)D π=⨯时，圆柱面上少了一条直线 ,0,x a y z v ===. 如果取(,)D ππ=-⨯，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线,0,x a y z v =-==.显然(,)r u v 是任意阶连续可微的. 又 (sin ,cos ,0)u r a u a u =-，(0,0,1)v r =，(cos ,sin ,0)0u v r r a u a u ⨯=≠.所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：(,)r u v =，2(,)\{(0,0)}u v D ∈=.例1.2 球面(sphere) {}22222(,,)|S x y z x y z a=++=，参数方程为(,)r θϕ(,)r u v(,)(cos cos ,cos sin ,sin )r a a a θϕϕθϕθϕ=，222(,)(0,2)(,)ππθϕπ∈⨯-⊂. (1.16) 其中0a >. 由于(cos sin ,cos cos ,0)r a θϕθϕθ=-，(sin cos ,sin sin ,cos )r a ϕϕθϕθϕ=--，2cos (cos cos ,cos sin ,sin )0u v r r a ϕϕθϕθϕ⨯=≠，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)例1.3 旋转面(revolution surface)设:(),()((,))C x f v z g v v a b ==∈是xOz 平面上一条曲线，其中()0f v >. 将C 绕z 轴旋转得到的旋转面S 参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，2(,)(0,2)(,)u v a b π∈⨯⊂. (1.18)旋转面S 上的u -曲线称为纬线圆，v -曲线称为经线. 因为 ()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，||(u v r r f v ⨯=所以当C 是正则曲线，并且()0f v >时，S 是正则曲面.(,)r u v设两条直线1L 和2L 垂直相交. 将直线1L 一方面绕2L 作匀速转动，同时沿2L 作匀速滑动，1L 的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线1L 为x 轴，2L 为z 轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为 ()(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =，2(,)u v ∈. (1.19)由 ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v a =-，()sin ,cos ,0u v r r a v a v u ⨯=-≠可知正螺面是正则曲面.例1.5 直纹面(ruled surface)简单来说，直纹面就是由单参数直线族{}|(,)u l u a b ∈构成的曲面.设:()C a a u = ((,)u a b ∈)是一条空间正则曲线. 在C 上对应于参数(,)u a b ∈的每一点有一()a u ()a u条直线u L ，其方向向量为()l u . 这条直线的参数方程可以写成:(;)()()u L r v u a u vl u =+.让u 在区间(,)a b 内变动，所有这些直线就拼成一个曲面S ，称为直纹面. 它的参数方程为(,)()()r r u v a u vl u ==+，(,)(,)u v a b ∈⨯. (1.20) 曲线C 称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线u L 都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面S 的v -曲线.为了保证直纹面的正则性，要求 ()()()0u v r r a u vl u l u ''⎡⎤⨯=+⨯≠⎣⎦. (1.21)因为直母线的方向向量()0l u ≠，通过参数变换u u =，|()|v v l u =，可设|()|1l u ≡.再通过选取新的准线:()()()()C a u a u u l u λ=+，其中()u λ是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即()()0a u l u '⋅≡. 因为()a l a l l l a l λλλ''''''⋅=++⋅=⋅+，只须取()()()u a u l u du λ'=-⋅⎰即可.1. 当()l u c =为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面S 称为柱面(cylindrical surface).2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面S 称为锥面(cone).3. 当()//()l u a u '时，S 称为切线曲面(tangent surface)，由准线:()C a a u =的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.课外作业：习题2，5§ 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则曲面，(,)u v ∈Ω是曲面上点的曲纹坐标. 设00(,)p u v 是S上任意一个固定点. 则S 上过p 点的一条可微(参数)曲线:()C r a t =可以表示为:(,):()((),())a r S ta t r u t v t αδδ=-→=， (2.2)其中 ():(,):(),()t u t v t αδδ-→Ω (2.1)是Ω中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足0(0)u u =，0(0)v v =. 因此00(0)((0),(0))(,)r r u v r u v α==，正是p 点的位置向量. 曲线C 在p 点的切向量为0000(0)(,)(0)(,)(0)u v a r u v u r u v v '''=+. (2.3)定义 2.1 曲面S 上过00(,)p u v 点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S 在p 点的一个切向量(tangent vector).命题曲面S 在p 点的切向量全体记为p T S ，它是一个2维实向量空间，{}0000(,),(,)u v r u v r u v 是p T S 的一个基. 事实上，{}0000(,)(,)|,p u v T S ar u v br u v a b =+∈，称为曲面S 在p 点的切空间(tangent space).证明记{}0000(,)(,)|,u v V ar u v br u v a b =+∈. 由(2.3)可见p T S V ⊆. 反之，对任意0000(,)(,)u v X ar u v br u v V =+∈，令00()(,)a t r u at v bt =++. 则()a t 是过00(,)p u v 的可微曲线，并且0000(0)(,)(,)u v a ar u v br u v X '=+=.所以p X T S ∈. 因此p V T S ⊆，从而p T S V =.显然V 按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于0000(,),(,)u v r u v r u v 线性无关，它们构成V 的基. □在空间3E 中，经过点(,)p u v S ∈，以两个不共线向量(,),(,)u v r u v r u v 为方向向量的平面称为曲面S 在p 点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为(,)(,)(,)(,)u v X r u v r u v r u v λμλμ=++，2(,)λμ∈. (2.6) 它的单位法向量(unit normal vector)为(,)(,)||u v u v r r n u v u v r r ⨯=⨯. (2.7) 经过点(,)p u v S ∈且垂直于S 在p 点的切平面的直线称为曲面S 在p 点的法线(normal line). 它的参数方程为()(,)(,)X t r u v t n u v =+，t ∈. (2.8)曲面S 在p 点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 曲面上的自然标架：{}(,);(,),(.),(,)u v r u v r u v r u v n u v .r 图3.1 x 00(,)r u v 0v =设3D E ⊂是一个区域，(,,)f x y z 是定义在D 上的连续可微函数. 对于一个常数c ∈，集合{}13()(,,)|(,,)f c x y z E f x y z c -=∈=称为函数f 的等值面. 如果在1()f c -的每一点，都有():,,0x y z f f f f ∇=≠， (2.9)则等值面1()fc -是一个正则曲面. 事实上，设在1000(,,)()p x y z f c -∈，有000(,,)0z f x y z ≠，则方程 (,,)f x y z c = (2.10)在p 点的邻近确定了一个隐函数(,)z g x y =，使得(,,(,))f x y g x y c =，,x y ∀.于是等值面1()f c -局部地可以用参数方程表示为()(,),,(,)r r x y x y g x y ==. (2.11)由于(),,10x y x y r r g g ⨯=--≠，等值面1()f c -是正则曲面.在等值面上每一点p ，梯度向量(,,(,))f x y g x y ∇是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底{}(1,0,),(0,1,)x x y y r g r g ==. 由(2.10)两边分别对,x y 求偏导数并注意(,)z g x y =，得0x z x f f g +=，0y z y f f g +=，即有 ()(),,1,0,0x y z x f f f g ⋅=，()(),,0,1,0x y z yf f fg ⋅=. 三、微分dr 的几何意义设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =. 微分得到(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+. (2.13)将,,,u v du dv 看作4个独立的变量，则对于(2.13)中,du dv 的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值:du dv 来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求,du dv 不能全为0.变量,du dv 是切向量(,)dr u v 关于切空间p T S 的基底{}(,),(,)u v r u v r u v 的分量，因此是向量空间p T S 上的线性函数，即,p du dv T S *∈(对偶空间). 事实上，按照定义 121::()p u vdu T S R X X r X r du X X →=+=. nu r vr同理，2()dv X X =.注. 由于切空间的自然基底{},u v r r 一般不是单位正交的，在把(,)du dv 看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底{},u v r r 的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5.§ 3.3 第一基本形式设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则参数曲面. 则(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+ (3.1)是曲面上任意一点(,)r u v 处的切向量，这个向量作为3E 中的向量可以计算它的长度. 令()(,)(,)(,):(,)u u u u E u v r u v r u v r r u v =⋅=⋅，()()(,)(,)(,)u v v u F u v r r u v r r u v =⋅=⋅，()(,)(,)v v G u v r r u v =⋅. (3.2)这三个函数,,E F G 称为曲面S 的第一类基本量. 而矩阵E F F G ⎛⎫⎪⎝⎭(3.3) 称为切空间(关于基底{},u v r r )的度量矩阵(metric matrix). 由于3E 的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均0>：0u u E r r =⋅>，()()()2220u u v v u v u v EG F r r r r r r r r -=⋅⋅-⋅=⨯>. (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量,,E F G 的定义，有222()2u v dr dr r du r dv Edu Fdudv Gdv ⋅=+=++.这是一个关于变量,du dv 的二次型，称为曲面S 的第一基本形式(first fundamental form)，记为22I 2(,)E F du dr dr Edu Fdudv Gdv du dv F G dv ⎛⎫⎛⎫=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (3.4) 对曲面S 作可允许的参数变换(,)u u u v =，(,)v v u v =， (3.5) 并记(,)((,),(,))r u v r u u v v u v =. 则由微分形式的不变性得u v u v dr r du r dv r du r dv =+=+. (*)记参数变换(3.5)的Jacobi 矩阵为u v u uuv vv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (3.10) 则有uv u u u u uu v v v v vv r r r J r r r ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.7, 3.9) ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭. (3.8)因此在新的参数(),u v 下，度量矩阵成为()(),,u u T T u v u v v v r r E F E F r r J r r J J J r r F G F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.12)从而第一类基本量之间的关系为()()()()()2222222,,2.u u v v u u u u u u u u v u v v vu v u v u v v u u vu u v v v v v v v E r E F G F r r E F G G r E F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎧==++⎪⎪=⋅=+++⎨⎪==++⎪⎩(3.13)在新的参数(),u v 下，第一基本形式保持不变：I (,)(,)(,)I T du E F du E F du E F du dv du dv J J du dv dv F G dv F G dv F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此第一基本形式与参数选择无关，也与3E 的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：2I ||dr dr dr =⋅=.如果u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+是(,)r u v 处的两个切向量，则它们的内积为(,)()E F du dr r du dv Edu u F du v dv u Gdv v F G dv δδδδδ⎛⎫⎛⎫⋅==+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (3.15) 因此切向量u v dr r du r dv =+的长度为2||2dr Edu Fdudv =+ (3.16)两个切向量u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+之间的夹角(,)dr r δ∠满足cos (,)||||dr r dr r dr r Eduδδδ⋅∠==. (3.17)它们相互正交的充分必要条件是()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++=. (3.18)定理3.1 在参数曲面:(,)S r r u v =上，参数曲线网是正交曲线网0F ⇔≡. □ 对于参数曲面:(,)S r r u v =上的一条曲线:(),(),[,]C u u t v v t t a b ==∈，它的弧长为|||((),())|()b b baaaL dr r u t v t dt t dt '===⎰⎰⎰. (3.21)定义称d σ为曲面:(,)S r r u v =, (,)u v D ∈的面积元素，称DA d σ==⎰⎰⎰⎰(3.18)为曲面S 的面积.命题曲面上曲线的弧长L ，曲面的面积元素d σ以及曲面的面积A 都是几何量.1r r ϕ=1r 1D α证明假设参数变换为1::(,)(,)D D u v u v ϕ→，其中(,),(,)u u v v v u v ==.则在新参数(,)u v 下，S 的参数方程1(,)r u v 与原参数方程(,)r u v 之间满足11(,)((,),(,))(,)r u v r u u v v u v r u v ϕ==.1. 曲线的参数方程由((),())([,])r r u t v t t a b =∈变成了1111((),())(((),()),((),()))((),())((),())r r u t v t r u u t v t v u t v t r u t v t r u t v t r ϕ=====.所以11||||b baaL dr dr L ===⎰⎰.2. 由(3.12)可见，在新参数(,)u v 下，第一类基本量,,E F G 满足()222(,)(,)T u v E F E F EG F J J EG F F G u v F G ∂⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭. 其中(,)(,)u v u v ∂∂是ϕ的逆映射1ϕ-的Jacobi 行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，(,)(,)u v dudv dudv u v ∂=∂.所以在新参数(,)u v 下的面积元素(,)(,)u v d dudv dudv d u v σσ∂===∂.3. 根据二重积分的变量代换公式，有11D D DA d dudv d A σσ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. □例1 求旋转面()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =的第一基本形式. 解 ()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=. 所以2(,)()E u v f v =，0F =，22(,)()()G u v f v g v ''=+.这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为22222I ()[()()]f v du f v g v dv ''=++. (3.24)这说明在旋转面上经线(v -曲线)和纬线(u -曲线)构成正交参数曲线网. □例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解设正则参数曲面:(,)S r r u v =的第一基本形式是22I 2Edu Fdudv Gdv =++.再设二等分角轨线的切向量为u v dr r du r dv =+.由题意，它与u -曲线的夹角要等于它与v -曲线的夹角，而u -曲线的切方向为0v δ=，v -曲线的切方向为0u δ=，所以||||||||u vu v drr dr r drr dr r ⋅⋅=±.将u v dr r du r dv =+和||,||u v r E r G ==代入上式，得))Edu Fdv Fdu Gdv +=+，即))E F duF dv -=.由于220u vEG F r r -=⨯>，即)0F F >-，所以上式可化简为0±=，(3.25)或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为22Edu Gdv =. □注求解一阶常微分方程初值问题du dv E=±，00()u v u =(00(,)u v D ∈) 得到的解()u f v =是曲面S 上过00(,)r u v 点的一条曲线:()((),)C r v r f v v =，在C 的每一点()r v ，切方向()r v '与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定0v ，让初始条件0u 变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.课外作业：习题2，5，8§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：22I Edu Gdv =+. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设(,)(,)f u v du g u v dv ω=+是定义在区域2D ⊂上的连续可微的1次微分形式，且ω处处不为零. 则对于任意一点00(,)u v D ∈，ω在00(,)u v 的某个邻域U D ⊂内存在积分因子，即有定义在U 上的非零连续可微函数(,)u v λ，使得(,)u v λω是某个定义在U 上的连续可微函数(,)F u v 的全微分：[](,)(,)(,)(,)u v f u v du g u v du dF u v λ+=.引理的证明见附录§1定理1.2.定理 4.1 假定在曲面:(,)S r r u v =上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场(,)a u v ,(,)b u v . 则对每一点p S ∈，必有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足//u r a ，//v r b .分析：设12u v a a r a r =+，12u v b b r b r =+. (4.2)则由,a b 线性无关可知121221120a a A a b a b b b ==-≠. (4.3) 如果这样的可允许参数变换(,),(,)u u v v u v 存在，则应有函数,λμ使得12()u v u uv u v u u r r r a a r a r λλ∂∂∂∂=+==+，12()u v v uv u v v v r r r b b r b r μμ∂∂∂∂=+==+， (4.5)即有1212u v u uuv vv a a J b b λλμμ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4.7) 在上述等式两边取逆矩阵得221111uv u uu v vv b a Jb a A μλμλλμ∂∂∂∂-∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.8)因此逆参数变换(,),(,)u u v v u v 应满足121121(),().uu u v A v v uvAdu du dv b du b dv dv du dv a du a dv λμ∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎪⎨=+=-+⎪⎩ (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式21b du b dv α=-，21a du a dv β=-+. (4.10)由引理可知存在积分因子(,),(,)u v u v ξξηη==使得,ξαηβ是全微分，即有函数(,)u u v ，(,)v u v 使得2121(),().u uu v v vu v du du dv b du b dv dv du dv a du a dv ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎨=+=-+⎩ (4.11) 由此可见2211u v u uu v vv b a b a ξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.12) 因为0uu u v v v uvA ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=≠，参数变换(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v =是可允许的. 在新的参数(,)u v 下，()()()()12121212//.u v u vu v u v u v u u v v uu v v u v u u uvuva a r a r a rr a r r aar aar Ar r ξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++=+++=同理有//v b r . □注满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得,u v r a r b ==.定理4.2 在曲面:(,)S r r u v =上每一点p S ∈，有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足0u v F r r =⋅=.证明. 取向量场,u u v a r b Fr Er ==-+. 则,a b 线性无关，且0a b ⋅=. □ 注在曲面:(,)S r r u v =上，令 11u e r E =，()2211()u v e b Fr Er b E EG F ==-+-.则{}12,e e 是曲面上的单位正交切向量场，称为{},u v r r 的Schmidt 正交化.课外作业：习题1，3§ 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面11111111:(,),(,)S r r u v u v D =∈和22222222:(,),(,)S r r u v u v D =∈. 因为曲面上的点p 与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面1S 到曲面2S 的映射12:S S ϕ→可以通过它们的参数表示出来，即有映射12:D D ψ→使得121r r ϕψ-=，或121r r ψϕ-=.ϕ31E S ⊃ 32S E ⊂1r2r2D将映射12:S S ϕ→通过它们的参数用两个函数表示出来，则有211211(,),(,).u f u v v g u v =⎧⎨=⎩ (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射ϕ是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射ϕ有足够的连续可微性.二、切映射设两个曲面12,S S 的参数方程分别为111(,),(,)r r u v u v D =∈和22(,)r r u v =，2(,)u v D ∈. 映射12:S S ϕ→是连续可微的，它的参数表示为121r r ϕψ-=，其中12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==. (5.1)’则对每一点1p S ∈，可以通过下面的方法定义一个线性映射()()1()211::p p u vT S T S X a r b r X ϕϕϕ**→=+，其中()()()()()()()1111:u v u v X a r b r a r b r ϕϕϕϕ****=+=+()()()()22222()()u v u v u u v v u v u v u v a r r b r r a b r ϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤=+++≡+⎣⎦⎣⎦()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.9) 上面定义的映射ϕ*称为由连续可微映射ϕ诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射ϕ*把11()()p u v X a b r T S ∂∂∂∂=+∈映为[]12()2()()()()p u v u v a b r a b r T S ϕϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂+=+∈.在(5.9)中令,a du b dv ==，可知()()1111p u v dr r du r dv T S =+∈在切映射ϕ*下的象是()()()()()()()()122222u u v vu v u vu v u v dr du dv r du dv r r du r dv d r ϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂=+++=+=. (5.9)’ 由于每个切向量()()111p u v X a r b r T S =+∈都是1S 上的某一过p 点的曲线:()C u u t =，()v v t = (5.2)在p 点的切向量：()01|((),())dt dt X r u t v t ==，其中00((0),(0))(,)u v u v =为p 点的曲纹坐标，且(0)u a '=，(0)v b '=(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：ϕ将1S 上的曲线C 映为2S 上的曲线:()((),())C u t u u t v t =，()((),())v t v u t v t =. (5.3)定义()X ϕ*为C 在0t =处的切向量，即[][]0202()|((),())|(((),()),((),())ddt t dt dtX r u t v t r u u t v t v u t v t ϕ*==== (5.5) ()[]()[]22(0)(0)(0)(0)u u v v u v u v u v r u v ru v ∂∂∂∂∂∂∂∂''''=+++ 1D ψ()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.4) 在(5.3)’中分别取(,)(1,0)a b =和(,)(0,1)a b =，可得()()()()()()1122,,u uu v u v u v v v u v r r r r ϕ∂∂∂∂*∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (5.7) 因此切映射ϕ*在自然基()(){}11,u v r r 下的矩阵恰好是映射ψ的Jacobi 矩阵. 由此可知在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，当且仅当在p 点映射(5.1)’的Jacobi 行列式(,)0(,)pu v u v ∂≠∂.定理5.1 设映射12:S S ϕ→是(3次以上)连续可微的. 如果在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，则分别有p 点的邻域11U S ⊂和()p ϕ点的邻域22U S ⊂，12()U U ϕ⊂，以及12,U U 上的参数系11(,)u v 和22(,)u v ，使得映射1|U ϕ的参数表示为12112211id ::(,)(,)(,)u v u v u v ψ=Ω→Ω=，其中11111222(),()r U r U --Ω=Ω=. 这种参数系称为映射ϕ的适用参数系.证明设12,S S 的参数方程分别为11(,)r r u v =和22(,)r r u v =，ϕ的参数表示为12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==.由条件，(,)0(,)pu v u v ∂≠∂. 设p 点的曲纹坐标为00(,)u v ，()p ϕ点的曲纹坐标为00(,)u v .由于(,)(,)u v u v ∂∂是连续的，存在00(,)u v 在1D 中的邻域11D Ω⊂，使得在1Ω上(,)0(,)u v u v ∂≠∂，且在1Ω上1|ψΩ有连续可微的反函数121::(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v ψ-Ω→Ω=，其中212()D ψΩ=Ω⊂是00(,)u v 在2Ω中的邻域. 在1Ω上对曲面1111()U r S =Ω⊂作参数变换11,u u v v ==. 在2'Ω上对曲面2222()U r S '=Ω⊂作参数变换22(,),(,)u u u v v v u v ==. 则在新的参数下，ϕ的参数表示为112112211::(,)(,)((,),(,)(,)(,)(,)u v u v u u v v u v u v u v u v ψψ-Ω→Ω====.11S U ⊃ 22U S ⊂1r 2r(,)u v 11D ⊃Ω 22D Ω⊂ (,)u v|| || 1ψ-1ψ-1Ω三、保长对应(等距对应)设12:S S ϕ→是连续可微映射，(,)u v 和(,)u v 分别是12,S S 的曲纹坐标.ϕ的参数表示为(,),(,)u u u v v v u v ==.因为ψ1|Uϕ1Ωψ11(,)u v 22(,)(,)u v u v =(,)(,):(,)u v uu uv vvdu dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭，对于曲面2S 上的任意一个二次微分式22(,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv dv B C ω⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.11)我们可定义曲面1S 上的一个二次微分式22T (,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv J J dv B C ϕω*⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.12)其中u vu u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭，T u v uuuu uv u v v v v vuvA B A B A B J J B C B C B C ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5.15) 其中,,A B C 作为复合函数，是,u v 的函数，即()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,),u u vu u uvuA u v A u u v v u v u vB u u v v u v u v u vC u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++()()()()()()()()(,)((,),(,))(,)(,)((,),(,))[(,)(,)(,)(,)]((,),(,))(,)(,),u u u vu v v uuv v v uvuvB u v A u u v v u v u v u v B u u v v u v u v u v u v u vC u u v v u v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++(5.13)()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,).u u vv v vvvC u v A u u v v u v u v B u u v v u v u v u v C u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++二次微分式ϕω*称为2S 上的二次微分式ω经过映射ϕ拉回(pull back)到1S 上的二次微分式. 简单来说，ϕω*就是将(,)(,)(,)uv uu uv vvdu dv du dv J du dv ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭代入(5.11)右端而得.例曲面2S 上的第一基本形式222I 2Edu Fdudv Gdv =++是一个二次微分式. 拉回到1S 上，()()()222T (I )2(,)(,).A du B dudv C u v dv du A B du dv J J dv B C ϕψψψψψψψ*=++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()()222222I u v dr r du r dv ⎡⎤==+⎣⎦，上式可以简单地写成()222(I )d r ϕψ*=⎡⎤⎣⎦ (*)定义5.1设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 如果对每一点1p S ∈，切映射ϕ*都保持切向量的长度，即X X ϕ*=，1p X T S ∀∈，1p S ∀∈.则称ϕ是从1S 到2S 的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry ).注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若12:S S ϕ→是等距对应，则有()()X Y X Y ϕϕ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈.反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有()(())L C L C ϕ=.注 2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，从而局部地ϕ是微分同胚，存在适用参数系.由(5.9)’可知()()()()2122(,)u v r dr du dv J d r r ψϕψψ*⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 利用(*)得到()()()112I dr dr ϕϕϕ***⋅=，其中222I 2Edu Fdudv Gdv =++是2S 的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 则ϕ是等距对应的充分必要条件是()()()()()211111I I dr dr dr dr ϕϕϕ***=⋅=⋅=，即在对应点，成立T uvuuuuuvu v v v v v uv E F E F E F J J F G F G F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. □ (5.20) 将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面12,S S ，是否存在等距对应12:S S ϕ→这相当于已知(5.20)中的函数,,,,,E F G E F G ，求解未知函数(,)u u u v =，(,)v v u v =，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难.利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3 曲面1S 和2S 之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在1S 和2S 上选取适当的相同参数系(,)u v ，使得在这个参数系下1S 和2S 有相同的第一基本形式. □例5.1 证明：螺旋面1S : 1(cos ,sin ,)r u v u v u v =+，2(,)u v ∈与单叶旋转双曲面2:S 2(cos ,sin r ρθρθ=，(,)(1,)(0,2)ρθπ∈∞⨯之间可以建立等距对应.证明计算得到1S 和2S 的第一基本形式分别为2221I 22(1)du dudv u dv =+++，22222221I 1d d ρρρθρ-=+-.对1S 作参数变换,arctan u u v u v ==+，这是可允许参数变换. 则22222221222112I 2(1)(1)111du u du u dv du u dv u u u +⎛⎫⎛⎫=-+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 对2S 作参数变换2,u v ρθ==. 则22222212221I (1)I 1u u du u dv u u ⎛⎫+=++= ⎪+⎝⎭.等距对应12:S S ϕ→的参数表示为arctan u v ρθ==+. □四、保角对应(共形对应)定义5.2设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 如果()(),,X Y X Y ϕϕ**∠=∠，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)其中0,0X Y ≠≠，则称ϕ是从1S 到2S 的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence ).注对于保角对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，否则(),X Y ϕϕ**∠无意义. 因此可以选取适用参数系(,)u v 使得映射ϕ就是具有相同参数的点之间的对应.引理设,V W 是两个欧氏空间(即带有内积,⋅⋅的实向量空间)，:V W →是线性同构. 如果保持向量之间的夹角：(,)(,),,u v u v u v V ∠=∠∀∈，则λ+∃∈，使得2,,,,u v V u v u v λ=∀∈. (1)反之，若λ+∃∈，使得(1)成立，则保持向量之间的夹角.证明取V 的单位正交基{}1,,n e e . 因为是同构，{}1,,n e e 是W 的基，且两两正交.令||0i i a e =>， 1||i i i e e e =， 1,2,i n =.则{}1,,n e e 是W 的单位正交基，且i i i e a e =， 1,2,i n =. (2)对于i j ≠，由条件，有(,)(,)i j i i i j j i i e e ea e a e a e ∠+=∠+，所以,,||||||||i j i i i j j i i i j i i i j j i i e e e a e a e a e e e e a e a e a e ++===++. 这说明1:0n a a λ===>. 于是对1n i i i u u e V =∀=∈∑，有11n ni i i i i i u u e u e λ====∑∑，从而(1)成立.反之，设(1)成立. 则2,,u u u u λ=，2,,v v v v λ=，2,,u v u v λ=, ,u v V ∀∈. (3)从而对任意两个非零向量,u v V ∈，有,,cos (,)cos (,)||||||||u v u vu v u v u v u v ∠===∠. □推论设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 则ϕ是保角对应的充分必要条件是存在1S 上的正的连续函数1::()S p p λλ+→，使得()()()2(,)X Y u v X Y ϕϕλ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)’其中(,)u v 是p 点的曲纹坐标.当函数1λ≡时，ϕ其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)’等价于()()()()()22211111I I dr dr dr dr ϕϕϕλλ***=⋅=⋅=， (5.23)即有2T u v u u u u u v u v v v v v u v E F E F E F J J F G F G F G λ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以在适用参数系下，保角对应的条件(5.22)’就简化为222,,E E F F G G λλλ===. (5.24)综上所述，我们就有下面的定理. 定理 5.4设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 则ϕ是保角对应的充分必要条件是存在1S 上的正的连续函数1:S λ+→，使得221I I ϕλ*=， (5.23)其中1I ，2I 分别是1S ，2S 的第一基本形式. □定理5.5 任意正则参数曲面S 必局部共形于平面，即S 上任意一点p 都有一个邻域U 可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.推论任意正则曲面S 上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数(,)u v 使得222I ()du dv λ=+，其中(,)u v λλ=是局部定义的函数.定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法.例5.2 球面的Mercator 投影课外作业：习题1§ 3.6 可展曲面本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应.考虑下面的三种直纹面：1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，其中0l ≠是常向量，(,)(,)u v a b ∈⨯.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，其中a 是常向量，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞.3. 切线曲面(,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠. 它们的单位法向量分别是 1. ()|()|a u l n a u l '⨯='⨯；2. ()()|()()|l u l u n l u l u '⨯='⨯；3. ()()|()()|a u a u n a u a u '''⨯='''⨯. 这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线0u u =切平面相互重合. 定义6.1 设S 为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称S 为可展曲面. 定理6.1 设直纹面S 的方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则S 是可展曲面的充要条件是()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀. (6.1) 证明因为(,)()(),(,)()u v r u v a u vl u r u v l u ''=+=，所以()u v r r a vl l a l vl l ''''⨯=+⨯=⨯+⨯. 由定义，S 是可展曲面的充要条件是：对0u ∀，沿着直母线0u u =，向量0(,)u v r r u v ⨯具有固定方向. 由第一章定理2，这等价于[][]00(,)(,)0d u v u v dv r r u v r r u v ⨯⨯⨯=，即000000()()()()()()0a u l u vl u l u l u l u '''⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦，也就是0000()()()()0a u l u l u l u ''⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦.用二重外积公式将上式左端展开，得()0000(),(),()()0a u l u l u l u ''=. 所以上式等价于()0000(),(),()0,a u l u l u u ''=∀ 这就是(6.1). □注1 如果直纹面S 上有2族不同的直母线，那么S 只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面. 单叶双曲面2222221y x z a b c =+-，参数方程为 ()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+()()cos ,sin ,0sin ,cos ,a u b u v a u b u c =+-.双曲抛物面22222y x a bz -=，参数方程为 ()()()(,)(),(),2,,0,,2r u v a u v b u v uv au bu v a b u =+-=+-.注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关.定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类.证明设S 是可展曲面. 则S 是直纹面. 选取直母线的方向向量()l u 为单位向量，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即S 的参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+，其中|()|1l u ≡，()()0a u l u '⋅≡. 由定理6.1，有()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀.即(),(),()a u l u l u ''处处线性相关.如果()()0l u l u '⨯≡，则由()()0l u l u '⋅≡可知()l u 是常向量. 此时S 是柱面.假设()()0l u l u '⨯≠. 则()a u '可用(),()l u l u '线性表示. 由()()0a u l u '⋅≡得到()()()a u u l u λ''=. (6.2) 令()()()()b u a u u l u λ=-. (6.3)则()[()]()r b u v u l u λ=++.由(6.2)，(6.3)得()()()b u u l u λ''=-.如果()0b u '≡，则()b u c =是常向量，从而S 是锥面：(,)()r r u v c v l u ==+，其中()v v u λ=+.如果()0b u '≠，则()b u 是正则曲线，并且()0u λ'≠，从而S 是切线曲面：(,)()()r r u v b u vb u '==+，其中[()]/()v v u u λλ'=-+. □定理6.3 局部地，可展曲面可以与平面建立保长对应.证明根据定理6.2，可展曲面只有柱面，锥面和切线曲面三类. 下面分别证明它们都可以与平面建立保长对应.1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，(,)(,)u v a b ∈⨯.取单位常向量l 为直母线的方向向量，u 为准线C 的弧长参数，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即柱面的方程为 l v u a v u r +=)(),(，其中1||=l ，0=⋅l a . 于是由a r u =，l r v =可得1||2==a E ，0=⋅=l a F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为22I dv du +=. 它与xOy 平面)0,,(v u r = 有相同的第一基本形式.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞. 取)(u l 为单位向量，即1|)(|≡u l . 则有0)()(='⋅u l u l . 于是由)(u l v r u '= ，)(u l r v =可得22|)(|u l v E '= ，0=⋅'=l l F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为 2222|)(|I dv du u l v +'= . 由于0|)(|≠'u l (否则锥面退化为一条直线)，可作参数变换⎰'=du u l u |)(| ，v v =. 则第一基本形式化为222I v d u d v +=. 它与xOy 平面)0,sin ,cos (u v u v r =有相同的第一基本形式. 3. 切线曲面:S (,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠.取u 为准线)(:u a a C =的弧长参数，它的Frenet 标架为{}γβα ,,;a ，曲率为κ.由βκα v r u +=，α =v r 可得)(122u v E κ+=，G F ==1. 所以第一基本形式为22222))(1(I dv dudv du u v +++=κ. (*) 根据曲线论基本定理，存在平面曲线)0),(),(()(:11u y u x u a C = ，以u 为弧长参数，以)(u κ为曲率.显然1C 的切线曲面1S 是平面的一部分. 另一方面按照上面同样的方法，1S 的第一基本形式也是(*). 所以S 与1S 是等距的. □。

微分几何第二章曲面论曲面的概念

VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴几何量的重要代表，反映了曲面在一点处的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。法截面与曲面交于一条曲线，该曲线称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集合称为该点的法截线族。法截线族在微分几何中具有重要的研究价值，与曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改变距离的情况下完全展开到一个平面上。也就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。

微分几何(第一课)

有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。

课程的主要内容

本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，主要内容有：（1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和 Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。（2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。（3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。

曲面几何的入门教材

曲面几何的入门教材
曲面几何是现代数学极为重要的分支之一，其核心是研究在三维空
间中的曲面及其相应的性质。

下面推荐几本适合入门学习曲面几何的
教材：
1.《微积分基础拓展：曲面微积分》
该书由著名数学家Michael Spivak所著，是一本曲面微积分的入门教材。

它从基础的微积分出发，逐渐引入曲面微积分的概念和方法，是初学
者学习曲面几何的绝佳工具。

2.《曲面几何学基础》
该书由大师级数学家S. P. Novikov所著，是一本关于曲面几何的基础
教材。

它介绍了曲面的定义、性质、曲率以及曲面的局部和整体性质，非常适合初学者学习引导。

3.《微分几何学基础》
该书是一本微分几何学基础的入门教材，着重介绍了曲面的微分几何
学基础知识。

学习该书可以了解曲面上的曲率，以及曲面上的各种几
何量，如切向量，微分形式等。

4.《曲面与流形》
该书主要介绍了曲面和流形的概念、局部和整体性质、微分几何和拓
扑几何等相关内容。

它包含了一定的复杂度和深度，对于有较高数学
水平的读者进行更深入的学习非常有用。

总之，曲面几何是一个比较抽象、深奥的数学分支。

初学者可以通过以上几本入门教材进行学习，逐渐建立起对曲面几何的基本认识和技能，进一步深化自己的数学素养。