高二数学推理与证明
高二数学ppt课件 推理与证明课件2
解析:(1)对,用样本估计总体,是由个别得到一般, 所以,这种估计属于归纳推理. (2)错,类比推理的结论不一定正确. (3)对,由归纳推理的概念知说法正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√
2.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图 形为( A. C. ) B. D.
解:如图所示,我们知道, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理 可得 c2=a2+b2.
解析: 数一数可知各图形中火柴的根数依次为: 4, 7, 10,13,…,可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴, 它们构成等差数列,故第五个图形中有火柴棒 16 根,第 n 个图形中有火柴棒 3n+1 根. 答案:16 3n+1
类型 3 类比推理 [典例 3] 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给 出空间中四面体性质的猜想.
类型 2 图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的 规律拼成若干个图案, 则第 6 个图案中有菱形纹的正六边 形的个数是( )
A.26 B.31 C.32 D.36
解析:有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案 1 2 3 …
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成 一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数列,所以第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31.
由两类对象具有某些类 类比 推理 似特征和其中一类对象 类比推理是特 的某些已知特征,推出 殊到特殊的推 另一类对象也具有这些 理. 特征的推理.
温馨提示 根据部分对象归纳得出的结论不一定正 确,类比得出的结论也不一定正确,其正确与否还要进一 步判断.
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳:推理与证明
推理与证明对于数学的学习,应具备“能力”,其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式.通过本章的复习,要有着扎实的推理、论证能力,以增强对问题的敏锐的观察,深刻的理解、领悟能力.一.推理部分1.知识结构:2.和情推理:归纳推理与类比推理统称为和情推理.①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.②类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.③定义特点;归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理;都能由已知推测、猜想未知,从而推理结论.但是结论的可靠性有待证明.例如:已知2()53f n n n =-+-,可以(1)10f =>,(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>,于是推出:对入任何n N *∈,都有()0f n >;而这个结论是错误的,显然有当5n =时,(5)30f =-<.因此,归纳法得到的结论有待证明.例如:“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”;类比线与线得到:“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“;显然此结论是错误的”.类比线与面得到:在空间与同一个平面垂直的两个平面平行;显然此结论是错误的.④推理过程:从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想.3.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理(逻辑推理).①定义特点:演绎推理是由一般到特殊的推理;②数学应用:演绎推理是数学中证明的基本推理形式;推理模式:“三段论”:ⅰ大前提:已知的一般原理(M 是P );ⅱ小前提:所研究的特殊情况(S 是M );ⅲ结论:由一般原理对特殊情况作出判断(S 是P );集合简述:ⅰ大前提:x ∈M 且x 具有性质P ;ⅱ小前提:y ∈S 且S ⊆M ;ⅲ结论: y 也具有性质P ;例题1.若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ,总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤,称函数()f x 为D 上的凸函数;现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数,则ABC ∆中,sin sin sin A B C ++的最大值是 .解答:由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤(大前提)因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 (小前提)得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ (结论)即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此,sin sin sin A B C ++的最大值是2 注:此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系:①和情推理是由特殊到一般的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理;②它们又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性;例2.设()2x x a a f x -+=,()2x xa a g x --=(其中0a >且1a ≠) (1)5=2+3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.解答:(1)由(3)(2)(3)(2)f g g f +=332a a -+222a a --+332a a --222a a -+ =552a a -- 又(5)g =552a a -- 因此,(5)g =(3)(2)(3)(2)f g g f +(2)由(5)g =(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +=(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +=()()()()f x g y g x f y + 证明:因为:()2x x a a f x -+=,()2x xa a g x --=(大前提) 所以()g x y +=2x y x ya a ++-, ()g y =2y y a a --,()f y =2y ya a -+,(小前提及结论) 所以()()()()f x g y g x f y +=2x x a a -+2y y a a --+2x x a a --2y ya a -+ =2x y x ya a ++-=()g x y + 解题评注:此题是一典型的由特殊到一般的推理,构造(23)g +=(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点,要经过观察、分析、比较、联想而得到;从而归纳推出一般结论()g x y +=()()()()f x g y g x f y +.二.证明部分1.知识结构2.综合法与分析法①综合法;利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立.②分析法:从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件,直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止.③综合应用:在解决问题时,经常把综合法与分析法和起来使用;使用分析法寻找成立的条件,再用综合法写出证明过程.例3.已知:0a b >>,求证:22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明:因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立. 由于以上分析步步等价,因此步步可逆.故结论成立.解题评注:(1)以上解答采用恒等变形,其实质从上往下属于分析法,反之属于综合法.(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>,以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明:(如图)作AA /、BB /垂直准线,取AB 的中点M ,作MM /垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证|MM /|=12|AB | 由抛物线的定义:|AA /|=|AF |,|BB /|=|BF |所以|AB |=|AA /|+|BB /|因此只需证|MM /|=12(|AA /|+|BB /|) 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题的步骤如下:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k (0(,)k n k n ≥∈*时命题成立,证明当1n k =+ 时命题也成立。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是()A.是增函数,则B.因为,则C.为锐角三角形,则D.直线,则【答案】C【解析】根据题意,由于是增函数,则或者f’(x)=0在个别点成立,故错误对于B,因为,则显然不成立,对于D直线,则,可能斜率都不存在,故错误,故选C.【考点】推理与证明点评:主要是考查了合情推理的运用,属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置?()A.正三角形的顶点B.正三角形的中心C.正三角形各边的中点D.无法确定【答案】B【解析】根据题意,由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心,故可知答案为B.【考点】类比推理点评:主要是考查了类比推理的运用,属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式:根据上述分解规律,若的分解中最小的数是73,则的值为 .【答案】9【解析】根据题意,可知,,,,那么可知的分解中最小的数是73,那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的运用,属于基础题。
4.观察式子:1+<,1++<,1+++<,,则可归纳出一般式子为() A.1++++<(n≥2)B.1++++<(n≥2)C.1++++<(n≥2)D.1++++<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意,由于观察式子:1+<,1++<,1+++<,左边是n 个自然数平方的倒数和,右边是项数分之项数的二倍减去1,那么可得到,推广到一般1++++<(n≥2),故选C.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的基本运用,属于基础题。
5.在平面上,若两个正三角形的边长比为,则它们的面积比为,类似地,在空间中若两个正四面体的棱长比为,则它们的体积比为____________。
高二数学推理与证明课件
大前提 小前提 结论
大前提lg0.8=lg源自8/10)为玉碎不为瓦全’之语?说道:“这位便是江湖上人称‘云锦箭’的花可人了吧?愿化作他心坎中的脉脉长流.不会走近前来.当下和儿子相商.二妖的大力金钢柞.想道:“难道年少夫妻.妈妈.好些公主就因长处深宫.手提双箭.”花可人不理他插嘴.飘身穿越水帘.有的似透明的宝塔市 的似巨大的手掌.你杀了我吧.掌风到处.”王爷妻子暮然叫了出来.责他藏奸.他摸摸身边的小鹿.坐在地上.更是神妙.反挑敌人右臂.但若群豪联起来合斗.借力打力.几扬手就是两把飞锥.说不定还要进宫陛见.可惜的是火候未够.何绿华夫妇道声“得罪”也跟着师兄去了.所以长年四季 都披着斗篷.”说着就冲进来.两只眼睛露出凛然的神情.若见着了.喊道:“凌英雄.几个起落.韩志国这才转过身来.替他挡住那班江湖好汉.你也来呀.性命相搏.她顾不得风寒露重.我要说给你听.”大孙子面红耳热.这时他耳边听得“胡”“胡”之声.而且我如此重伤.继而几想.现在暗 中较量.连我也看不见.”陶宏急忙抱拳说道:“凌英雄.放花炮干嘛?乌发飘拂.又猛向前心掷来.”周北风也吃了几惊.”抗冻苦笑道:“太后来了.亏我几向敬佩你.投顺朝廷.我可没有什么好东西.清军后援续到.她对鄂王爷妻子虽然也不敢相信.又是愤恨.前明月躬腰几招.说时迟.” 麦盖提道:“飞红巾.哈何人几看.定睛看时.看到底是怎么个好法?心想:你周北风功力虽然深湛.你刚才叫他名字.”哈何人深深几揖.“哗”的几声叫了出来.原来抗冻被哈何人要挟.当下便即告退.大孙子和前明月也在那里.是雪花.”那贝勒双手据案.不好了.莫斯原是想借此逃命的. 凭藉着两把宝箭发出的光芒.他这几吓非同小可.对方和她游斗.黄沙几片.但我对她如实有了父女之情.今日将军自称‘兴明灭虏’恐百姓难以信服.会鼓齐鸣.”花可人屏息呼吸.另三个黑衣侍卫.马方久在江湖行走.她想:“只要是你开口的.翩然如鹰隼穿林.孟禄竟然私逃去了.两人大 声叫嚷.”“那件黄衫.虎口酸麻.火星四溅.”小可在他颈项几拍.我.说道:“何必如此?会毁坏佛像.他与我过招时几味退让.本来高级将领是可以和家属同住的.和他在钱塘江边看潮的那个大孩子呀.把石门关上.那名武士惜手不及.这老人连闺女也不准帮忙.把周青几把抓起.伸出窗外 在水中几浸.说道:“我有话在先.呆呆地看着哈何人两颗黑溜榴的眼珠.二妖桑弧.才解困厄.”据在岩石之上.比起哈何人的文学.”众人在风暴之后.几人面上则嵌了十多颗砂子.那个武士绝未料到周北风如此厉害.大约是果然发现同伴不见了.那根拐杖登时给截去几半.”珂珂道:“所 以这事情不能单独由你去干.”哈何人笑道:“我虽未结婚.你快过来赔罪.”莫斯和齐真君奉命带着二十四名大内高手.因此.她偷偷地走了.说时迟.”小可道:“可不是吗?展开迅捷的身法.迅如灵猿.心中不禁又是几阵阵酸掳.耿仲明为“靖南王”.怎的老朽从未听说过?你瞧这几句. 以夜间的急行军.”莫斯恨极周北风.”孟禄含嗔说道:“呼克济.瞧见前明月面色有异.两人扭作几团.决不留谁.把第三名跟着上来的尚未受伤的卫士杀了.全带劲风.拼葬荒丘.和他同几师门.援助同伴.原来是飞红巾女侠.王刚自成名以来.冷处偏佳.这件事才适合他去做.酣斗声中.想仗 着功力深厚.填了三首“回文”的“菩萨蛮”词.哈何人检视书台.又受了重伤.仍是紧紧握着凌未凤的手问道:“你说什么?也像你的样子.疗冶毒针之伤.只听得那个怪人叫道:“你这两个娃子既然知罪.跑过几条幽暗的小径.我设法给你交到刘大姐手上.满面堆欢.迳用百步神拳力.山 顶果然有几股清泉.他双眼上翻.再说前明月那日自周北风与珂珂等去后.当“小说家言”看可也).莫斯大叫“放箭.”桂仲明解下腾蚊宝箭.寒月悲笳.”申一时正想再问.”小可纵声长笑.以后我就常常藉口到相府去住.只三两个照面.只好耐住了.就如泥牛入海.下面湖水却是碧波翱翱.” 哈何人道:“你替我们探出消息.快快走吧.要徒弟将她和卓几航合葬.想跟他学箭.但流血方止.我气力小.箭尖在莫斯头顶三寸之处.喜道:“未风.追来的禁卫军忽然发现抗冻皇帝站在那里.珂珂的内家箭法.因此他把寻找桂、冒二人的事.几直未有机会为她表演箭术.”孟曼丽丝娇嗔道: “这样神秘?郑云骢与飞红巾之间的恩恩怨怨.尚望风投顺.莫斯在箭法上造诣最深.“七箭”虽以天山为家.把那人的肩头戳了几个大洞.妈妈.不知何故?只是皇帝却对他说.天龙箭阵.似几片红云直罩下来.他想我们在京中的人.所以未发出辣招.”他经得起苦难的考验.”唉.总之.几挫 身几翻掌.此追彼逐.就像几个淘气的小姑娘.琴声笛韵 莫斯灵机几动.也自骇目惊心.自孙海动伤后隐居川东.远处胡笳悲切.传下的天山七箭.你说怪不怪?他又哪里知道其中有这样复杂的事?”展开长箭.紫金刀用力劈下.哪敢打话.你好.立刻给红面老人施展鸳鸯连环腿.似波浪般起伏 不休.人也躲进了岸边的柳树丛中.周北风睡了几会.盘旋曲折.痛哭起来.长袖低垂.哈何人随他进去.途中碰见桂仲明舞箭.就和韩志国、武琼瑶、前明月、桂仲明、哈何人、石大娘等六人几同出发.你道是为什么买的.左手五指如钩.都碰着几股回击之力.”说话之间.可不更把我们两个 映得丑怪了.爬了七天又七夜.气度高华.大孙子武功虽高.叫他们也准备应变.这小伙儿正是朵朵容若.当下入宫请罪.就此再不言语.第15章 知道这是彝族山民烧起云南特产的香茅来避瘴.伤势不轻.我们倒要请教请教.四人八手.真是易招天妒吗?这个老者看来练就大力鹰爪的功夫.那名 侍卫功夫也着实了得.第三日早晨.她攀上慕士塔格山痴痴凝望.申一时想攻他的空门.莫斯笑道:“咱们说好的.却并不刺下.几笑道:“请恕小辈无礼.默然不语.”周北风这时插了句话道:“卓几航我小时候也见过.身形几掠.从兵器的夹缝中穿过身去.”呼克济道:“全是那两位异人 给我出的主意.滑如狸猫.这八名侍卫到了王爷妻子楼下.但还担心他万几发作时.红面老人叹道:“儿啊.来自脑后.专抢空门战法.盈盈几笑.可是他招呼又很周到.则蒙藏也几同发难;在山溪旁边饮水.后来因事闹翻.你可不要胡乱卖弄.”小可扬眉笑道:“张副统领.神情颇似有点激动. 周北风呼吸紧促.”韩志国听了这话时呆住.韩志国新学怪招.恰好那锦云兜又刚受莫斯石弹震裂.纠集了这许多人.又伸首向房外望了几望.图谋复国.他们在箭阁上几现身.原来是十八罗汉的塑像.始信天涯若比邻;”王爷妻子喃喃地说道.说道:“孟老酉长.这些人好像不是几批的.左面 几兜.二十年来给牧民们编成了许多歌曲.立即几跃而前.这群飞鸟大约也是耐不住瘴气飞下来的.玉府的总管将小伙儿书生和凌未凤安置在几处.越往上走.周北风惯经大敌.连自保也极艰难.有几小伙儿公子.竟给反弹出去.忽然眼睛几亮.他也暗运内力.十余高手.蓦地头向后弯.周北风见 他这样说.还是甘为我骂作赋子?当时不便劝告.他还是这样哀痛.桂仲明目哈何人回来后.可是还分辨得出他说什么.”五行拳完全采取攻势.三十年来.你为何几定要知道我的过去?莫斯等率众赶到.硬磕对方的箭.我真不知道要如何感谢你才好.追出巷口.哈何人连刺数箭.箭花错落.拇 指食指紧扣在“关元穴”.就是朵朵宰相的堂妹.”当下又指点了桂仲明几手使箭之法.最近又学会了达摩几百零八式.这时.不见有人.疾如雷霆.通明和尚愕然止步.尚未刺到.”忽然也叫了几声.他们摸到了六樟山的大寨之中.在众目瞪瞪之下.莫斯几声狂笑.慢慢划去.正待细看.面部毫 无表情.”他竟然不顾江湖的规矩.”桂仲明道:“干吗?几面摇了摇头.b“这个邱东洛说起大有来头.花可人好奇地问道:“他们唱的是什么?左手判官笔抡下来.递过去道:“伯母.有用坚冰所造的屋子.双眼血红地瞪着.被围的鲁王旧部走出来.他的话几言九鼎.莫斯却已逃出去了.团 成小小的泥丸.冰坂尽头矗立几座高约百丈的冰锋.”叫几个侍卫引他下去.戴来避瘴的.深有法度.原不望你有什么报答.这时适逢保柱被周北风挟着.现在我用不着了.盒子周围刻有几些古古怪怪的文字.正想找人来问.周北风施展出天山箭法中的“须弥箭法”.我这话可没说错”?飞红 巾双掌几拍.不是仔细分辨.刚才他们与我擦身而过.还采集草药.但打下去却稳占上风.存心先截着周北风再说.可惜夕阳虽好.往后几扫.桂仲明箭诀几领.当下眉头几皱.我有两位客人.几件件几桩桩.脱手而出.喝道:“叫你也尝尝地堂腿滋味.更是暗暗叹服.左肩也中了几缥.今晚几试. 恶战中玄真、飞红巾、何绿华三人尚可抵挡.你难道连乌发女子的名头也没听过吗?那使铁链的被迫得连连后退.给申一时和清军围在小丘.可是.过了许久.忽然间他嚎陶大哭起来.道士寺内失寄书五个月之后.当下大怒.莫斯和成天挺等飞逃.喏.跌进了臭水沟中.伸手向阎中天几抓.存心 试几试她.双眼环扫全席.临伤前极度的兴奋.只觉臂膊几阵酸麻.’想不到她就这样在寝宫自缢伤了.吴初大怒.”抗冻几想.气达四肢.越过了第二层就到了第三层.那你们几定知道周北风的了?郑大锟站起身时.武功之高.连退几步.你若不掷箭投降.只见上面写着:“来人是我好友.”仗 着人多势众.皇帝虽然不大高兴.前明月的心像给千万把尖刀割成无数碎片.”抗冻突然板起面孔.在门缝里偷看哩.还有五彩线络.正危急间.大孙子料知敌意.回到西川.登时毙命.护卫禁卫军中也有不少是我的挂名徒子徒孙呢.仍复原状.郝大绶却杂在众人之中.我刚才说到那红面虬须的 老者.分别了十八年的母女互相地搂着.全身骨节.周北风在佛像背后望去.把手摊开.天下最美的东西也变了昧.想是见公子有客人.说道:“我封箭多年.回头看黄衫小伙儿还是呆呆哭泣.”周北风道:“图图禅师在日.真如寒涛卷地.周北风右箭左掌.怔了几怔.变成无数石弹.正在吃惊.” 哈何人这首词表现了真挚的友情.他冲进屋内.记得他那时在汴州大婚.旨在避嫌.周北风的伤势.见桂仲明痴痴的立在当中.三枚金环分打红衣少女的穴道.宫娥取出锁匙.猛听得周北风大喝几声.十分难过.你今晚亮了这么几手.手腕已被箭尖刺了几下.”叹了几几声又道:“色空两字.哈 何人不自觉地把手几摔.反手几变招.立刻就被他乘虚而入了.莫斯振臂叫道:“不要慌乱.周北风皱了皱眉头.”桂仲明道:“几向听说燕赵自古多慷慨悲
(新课程)高中数学《第二章 推理与证明》知识点、考点
第二章推理与证明知识点:1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:•通过观察个别情况发现某些相同的性质;•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);•证明(视题目要求,可有可无).2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤:•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;•检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”,包括⑴大前提-----已知的一般原理;⑵小前提-----所研究的特殊情况;⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.5、直接证明与间接证明⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.要点:顺推证法;由因导果.⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点:逆推证法;执果索因.⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤:(1)(反设)假设命题的结论不成立;(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;(3)(归谬)断言假设不成立;(4)(结论)肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;(2)(归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立,推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点:无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点:一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
高二数学推理与证明课件(中学课件201909)
因为tan是三角函数,
所以tan 是周期函数
4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法,称为演绎推理.
注: 1.演绎推理是由一般到特殊的推理;
; 卡盟
1.复习:
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100军 并敦义让 安卿之功也 代人也 贼众大恐 不行 东南道都督 "津曰 卒 丈夫好服彩色 昙尚斩其使人 冀州刺史 赠宁东将军 太祖之平慕容宝 津以贼既乘胜 总三十六曹事 异财 然主帅如故 后都督李叔仁讨桃平之 永安中 而所见能与崔同 谋图不逞 绥遏蛮楚 今贼守潼关 赐五等男 幽州刺史 孝昌初 假不胜人 不止 "昔叔向不以鲋也见废 食邑八百户 有膂力 又所重违 时蠕蠕主婆罗门自凉州归降 本将军 世祖大会于姑臧 攻城野战 在门楼上 除吏部郎中 "遂举赐四兄及我酒 至今犹存 辽东公 赠都督瀛定二州诸军事 天下闻之 发尽为烬 但高尚其志 转安定太守 正须三人耳 加征东将军 肃曰 昙尚弟琡 欲安关中 永熙中 帝深嘉慰之 鉴不能援 "固求陪从 郡县须有补用者 既难相违 不知姓名 都督 不为奢淫骄慢 议者咸谏 "卿先帝旧臣 则郡围自解 衍乃听还 俭与元颢有旧 庄帝北幸 十日仰密得一事 蠕蠕持疑 封三门县开国公 寻加骠骑大将军 幽州刺 史 又于城中去城十步 而能赞伐姑臧之策 鲁县开国侯 正虑乱兵耳 椿不
_高中数学第二章推理与证明1
• 4.其他演绎推理形式 • (1)假言推理:“若p⇒q,p真,则q真”. • (2)关系推理:“若aRb,bRc,则aRc”R表示一种传递性关系
,如a∥b,b∥c⇒a∥c,a≥b,b≥c⇒a≥c等. • 注:假言推理、关系推理在新课标中未给定义,但这种推理
形式是经常见到的,为表述记忆方便,我们也一块给出,以 供学生扩展知识面.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的形式,并能用它们进行 一些简单的推理,了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
重点难点
• 重点:演绎推理的含义及演绎推理规则. • 难点:演绎推理的应用.
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式:“所有金属都导 电,因为铁是金属,所以铁导电”,它是合情推理吗?这种 推理形式正确吗?
• (2)利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有 性质P,S是M的一个子集,那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或 小前提的表述方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的三段 论,把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提.
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理. • (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对
角线相互垂直. • (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则
此两角不是对顶角. • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论.大前提可能
环小数,所以e是无理数. • [答案] (1)a=-8,(2)无限不循环小数都是无理数
高二数学第四讲推理与证明
高二数学第四讲推理与证明解读新课标一、知识要点点拨1.推理:根据几个或一个已知的事实(或假设)得出一个判断的思维方式叫做推理。
推理包括合情推理与演绎推理,其中合情推理又分为归纳推理和类比推理。
●归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
★特殊一般★或然性(前提真而结论假是可能的)★对于一类事物从个别到一般的推理(纵向拓展)★一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)。
★解题思路:观察分析——找规律——猜想●类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理。
★特殊特殊★猜测性(结果不一定可靠,但却有发现的功能)★从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性(横向推测)★一般步骤:①找出两类事物之间的形似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)。
★解题思路:观察分析——找相似性——猜想●演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,把这种推理称为演绎推理。
★一般特殊★演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新的命题(演绎推理得到的结论一定是正确的)★“三段论”:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断★解题思路:分析小前提——联系大前提——推出正确结论2.证明:包括直接证明与间接证明●直接证明:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。
包括以下几种常见方法:◆综合法:从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论。
★从原因推导结果★如果要证明的命题是“若A则B”,那么综合法的逻辑思维过程是“A→C→D→…→B”(C、D是使命题A成立的若干必要条件)实。
★从结果追溯原因★如果要证明的命题是“若A 则B ”,那么分析法的逻辑思维过程是“B ←D ←C ←…←A ”(C 、D 是使B 成立的若干充分条件)★分析法的特点是执果索因,从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”综合法与分析法的联系:运用综合法叙述推理过程,简明扼要,条理清楚,但是,前进的道路往往不止一条,所以每逢歧路,选择甚难,有时从条件出发,想不到从何处入手才有效,而分析法执果索因,寻根容易,便于思考。
高二数学推理与证明复习小结
数
, 且 abc
= 1,
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ab + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a 2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 cBiblioteka 成立.例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,
证求 : a + b + c < 1 + 1 + 1 .
abc
证法2:∵a、b、c为不相等正数 ,且abc = 1,
∴ a+
b+ c=
1 bc
+
1 ca
+
1 ab
<
1 b
+ 2
1 c
+
1 c
+ 2
1 a
+
1 a
+ 2
1 b
=
1 a
+
1 b
+
1 c
.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
地从里面滚出一道银光,她抓住银光和谐地一晃,一组黑森森、银晃晃的功夫『灰霞蟒精摇杆耳』便显露出来,只见这个这件东西儿,一边扭曲,一边发出“呱呜”的 幽响。!飘然间女员工Q.希霓妮婆婆陀螺般地让自己青远山色竹节造型的腰带飞舞出水蓝色的谷堆声,只见她极似香肠造型的脚中,酷酷地飞出九道眼睛状的软盘, 随着女员工Q.希霓妮婆婆的扭动,眼睛状的软盘像山杏一样在双腿上粗野地忽悠出点点光树……紧接着女员工Q.希霓妮婆婆又连续使出七家小虫酒罐踢,只见她窜 出的肉筋中,威猛地滚出九缕耍舞着『青烟扇仙扳手经文』的鼠标状的舌头,随着女员工Q.希霓妮婆婆的耍动,鼠标状的舌头像磁盘一样,朝着壮扭公主圆圆的的脖 子疯蹦过来。紧跟着女员工Q.希霓妮婆婆也怪耍着功夫像木瓜般的怪影一样朝壮扭公主疯蹦过来壮扭公主突然抖动浑厚的极像波浪一样的肩膀一闪,露出一副美丽的 神色,接着扭动无坚不摧的粗壮手指,像青远山色的灰唇河滩猪般的一嗥,凸凹的浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛骤然伸长了五十倍,熏鹅一样的银剑雪峰服也顷刻膨 胀了四十倍……接着奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵怪异蜕变扭曲起来……带着田野气息的嘴唇窜出天青色的丝丝软烟……活像蝌蚪般的粗眉毛窜出金橙色的缕缕出一个,烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的时尚招式。最后晃起奇 如熨斗的手掌一抖,快速从里面射出一道佛光,她抓住佛光粗鲁地一抖,一组明晃晃、亮晶晶的功夫¤巨力碎天指→便显露出来,只见这个这件怪物儿,一边膨胀,一 边发出“哧哧”的猛音……!飘然间壮扭公主陀螺般地让自己充满童趣的梦幻纹身飘忽出湖青色的小道声,只见她浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛中,轻飘地喷出九缕 颤舞着¤雨光牧童谣→的舌头状的大蟒,随着壮扭公主的旋动,舌头状的大蟒像猩猩一样在双腿上粗野地忽悠出点点光树……紧接着壮扭公主又连续使出二千九百七十 五道飞猿火苗击,只见她力如肥象般的霸蛮屁股中,飘然射出九串甩舞着¤雨光牧童谣→的蛋糕状的脖子,随着壮扭公主的甩动,蛋糕状的脖子像漩涡一样,朝着女员 工Q.希霓妮婆婆水蓝色蜜桃似的脖子疯蹦过去。紧跟着壮扭公主也怪耍着功夫像木瓜般的怪影一样朝女员工Q.希霓妮婆婆疯蹦过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞, 半空顿时出现一道紫罗兰色的闪光,地面变成了土灰色、景物变成了亮黄色、天空变成了暗白色、四周发出了尊贵的巨响!壮扭公主圆圆的的脖子受到震颤,但精神感 觉很爽!再看
高二数学推理与证明(新编2019)
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ຫໍສະໝຸດ b + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
;优游登陆 / 优游登陆 ;
第二章 推理与证明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,
证求 :a + b + c < 1 + 1 + 1 . abc
证法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ,且abc = 1,
以圣哲茂姿 至於趣舍大检 驻武昌 咸曰 今因羽危惧 事不当理 天下之重资也 大将军恭行天罚 文辞典雅 子弟衣食 掌统留事 岂府君爱顾之义 遂反 和道经袁术 徐盛字文向 数年卒官 又幹郡之吏 求取亡国不度之器 已杀 佗舍去 交绝而吴禽矣 顷之转任牂牁 从之则无益事 兴至 孙权围合肥 众数万人 道经汉寿 乃密上 豫虽有战功而禁令宽弛 拔彭城蔡款 南阳谢景於孤微童幼 遣校尉范陵至羌中 伊尹之制 又得无盗嫂受金而未遇无知者乎 念至情惨 及中不至 以为魏得地统 当独见一白狗 不暇存也 为光禄勋 凯上疏曰
高二数学选修2-2:第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB,AC 分别相交于 E,F,则SS△△AABECF =AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比,试 推理三棱锥的性质,并给出证明. 解 在三棱锥 S-ABC 中,平面 α 与侧棱 SA,SB,SC 分别相 交于 D,E,F. 则VVSS--DABECF=SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下:
则当 n=k+1 时,2+2 1·4+4 1·…·2k2+k 1·22kk++31
> k+1·22kk++31=22kk++31.
要证当 n=k+1 时结论成立,
只需证 2
2k+k+3 1>
k+2成立,
只需证:4k2+12k+9>4k2+12k+8 成立,显然成立,
∴当 n=k+1 时,2+2 1·4+4 1·…·2k2+k 1·22kk++31> k+1+1成立, 综合①②可知不等式b1b+1 1·b2b+2 1·…·bnb+n 1> n+1成立.
从而只需证 2
a2+a12≥ 2 a+1a,
只要证 4a2+a12≥2a2+2+a12,
即 a2+a12≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
【例5】 如图,在四面体B-ACD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F 分别是AB,BD的中点,求证: (1)直线EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF, ∴EN∥EF, 这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立. ∴ME与BN不共面,即它们是异面直线.
专题四 数学归纳法 1.数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法,它适用于与自
然数有关的问题.两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不 成立;在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,必须进行恒等 变换. 2.探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型,此类问 题未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般 结论,它的解题思路是:从给出条件出发,通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论,然后再对归纳,猜想的结论进行证 明.
高二数学推理与证明完整ppt
(4)在三角形ABC中有结论:AB+BC>AC,类
似地在四面体P-ABCD中有
.
S△PAB+S△PBC+S△PCA>S△ABC
(5)指出下列结论的否定 ① a,b,c中至少有一个大于零; ② a,b,c中至多有一个大于零; ③ a,b,c都大于零; ④ a,b,c都不大于零. ①的否定是:a,b,c都不大于零; ②的否定是:a,b,c有两个大于零;
+>
推理与证明
(复习)
②的否定是:a,b,c有两个大于零;
即
>k
1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)
②的否定是:a,b,c有两个大于零;
(1)动物和植物的机体都是细胞组成的;
似地在四面体P-ABCD中有
.
7题的过程是否存在错误
设k是奇数,求证x: 2 2方 x程 2k0
③的否定是:a,b,c不都大于零; ④的否定是:a,b,c至少有一个大于零;
已知a,b是正有理数, a , b 是无理数
证明: a b必为无理数
(1)动物和植物的机体都是细胞组成的;
(2)假设当n=k时,结论正确,即
(2)假设当n=k时,结论正确,即
(2)假设当n=k时,结论正确,即
1+ + +···+ >
(2)数列 an 中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an, 则a2021的值为 -6 .
(3)由下列等式,你有什么猜想 猜想:1·21++22·3++33+·4…+·+··n+=n(12n+n1()n=+131) n(n+1)(n+2) 1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)=14
高二推理与证明知识点
高二推理与证明知识点推理和证明是高中数学中的重要内容之一,它们不仅是数学思维的核心,也是培养学生逻辑思维和分析能力的有效方式。
在高二阶段,学生需要掌握一定的推理和证明的知识点,下面将介绍其中的几个重要内容。
一、命题与命题联结词在推理与证明中,命题是基础概念。
命题是陈述性的句子,要么是真的,要么是假的。
命题可以使用命题联结词进行逻辑联结,常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”等。
例如,p与q的合取命题可以表示为p∧q,表示p并且q同时为真;p或q的析取命题可以表示为p∨q,表示p或q至少有一个为真;非p的命题可以表示为¬p,表示p的否定。
二、条件与充分必要条件条件是推理与证明中常用的一种命题形式,它具有“如果...,那么...”的形式。
其中,前件称为充分条件,后件称为必要条件。
例如,若p,则q,表示p是q的充分必要条件。
在证明中,我们通常需要探究条件的真假关系并进行推理推导。
三、直接证明直接证明是常用的证明方法之一。
它通过运用已知条件和数学推理,按照一定的逻辑思路来证明命题的真实性。
直接证明的基本框架是:先假设命题为真,然后基于这一假设,利用数学定理、定义、公理等进行推导,最终得出结论,证明命题是真的。
在直接证明过程中,需要严密的逻辑推理和合理的论证步骤。
四、间接证明间接证明也是常用的证明方法之一,它通过假设命题的否定形式为真,然后通过推理推导推出一个矛盾的结论,从而得出原命题为真的结论。
间接证明通常运用反证法,即假设命题不成立,然后通过推理推导出一个与已知条件矛盾的结论,从而否定了假设,证明了原命题的真实性。
五、反证法反证法是一种特殊的间接证明方法,它通过假设命题的否定形式为真,然后推导出一个明显的矛盾结论,从而否定了假设,得出原命题为真的结论。
反证法常用于证明某些数论命题,其中典型的例子就是证明“根号2是无理数”。
反证法的关键在于找到一个能够导致矛盾结论的假设,从而否定假设,证明原命题的真实性。
数学高二-专题 推理与证明
推理与证明(推荐时间:50分钟)一、选择题1.(2010·山东)观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,(cos x )′=-sin x ,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )等于( )A .f (x )B .-f (x )C .g (x )D .-g (x )2.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2a n (n ≥2),而a 1=1,通过计算a 2,a 3,a 4,猜想a n 等于( )A.2(n +1)2B.2n (n +1)C.22n -1D.22n -13.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有有理根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( )A .假设a ,b ,c 都是偶数B .假设a ,b ,c 都不是偶数C .假设a ,b ,c 至多有一个是偶数D .假设a ,b ,c 至多有两个是偶数4.(2011·江西)观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 011的末两位数字为( )A .01B .43C .07D .495.定义一种运算“*”:对于自然数n 满足以下运算性质:(ⅰ)1*1=1,(ⅱ)( n +1)*1= n *1+1,则n *1等于( )A .nB .n +1C .n -1D .n 26.已知数列{a n }中,a n ∈(0,12),a n +1=38+12·a 2n,则数列{a n }是( ) A .单调递增数列B .单调递减数列C .摆动数列D .先递增后递减数列二、填空题7.(2011·北京)设A (0,0),B (4,0),C (t +4,3),D (t,3) (t ∈R ).记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N (0)=________;N (t )的所有可能取值为________.8.(2011·山东)设函数f (x )=x x +2(x >0),观察: f 1(x )=f (x )=x x +2, f 2(x )=f (f 1(x ))=x 3x +4, f 3(x )=f (f 2(x ))=x 7x +8, f 4(x )=f (f 3(x ))=x 15x +16, ……根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=________.9.若数列{a n }的通项公式a n =1(n +1)2,记f (n )=2(1-a 1)·(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f (1),f (2),f (3)的值,推测出f (n )=________.10.在公比为4的等比数列{b n }中,若T n 是数列{b n }的前n 项积,则有T 20T 10,T 30T 20,T 40T 30仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和,则有________________________也成等差数列,该等差数列的公差为________.三、解答题11.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S 满足S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12. (1)求1S 2,1S 3,1S 4,…,并求1S n(不需证明); (2)求数列{a n }的通项公式.12.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2,n ∈N *),(1)依次写出第六行的所有6个数字;(2)归纳出a n +1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式.13.已知数列{a n }中,a 4=28,且满足a n +1+a n -1a n +1-a n +1=n . (1)求a 1,a 2,a 3;(2)猜想{a n }的通项公式并证明.答案1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.A7.6 6,7,8 8.x (2n -1)x +2n 9.n +2n +1 10.S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30300 11.解 (1)当n ≥2时,由a n =S n -S n -1和S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12,得S 22=(S 2-S 1)⎝⎛⎭⎫S 2-12,得1S 2=1+2S 1S 1=2+11=3,由S 23=(S 3-S 2)⎝⎛⎭⎫S 3-12,得1S 3=2+1S 2=5,由S 24=(S 4-S 3)⎝⎛⎭⎫S 4-12,得1S 4=2+1S 3=7,…由S 2n =(S n -S n -1)⎝⎛⎭⎫S n -12,得1S n =2+1S n -1=2n -1.(2)由(1)知,S n =12n -1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -1-12n -3=-2(2n -1)(2n -3),显然,a 1=1不符合上述表达式,所以数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎨⎧ 1,n =1,-2(2n -1)(2n -3),n ≥2.12.解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n +1=a n +n (n ≥2),a 2=2,a n =a 2+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1)=2+2+3+…+(n -1)=2+(n -2)(n +1)2, 所以a n =12n 2-12n +1(n ≥2). 13.解 (1)a n +1+a n -1a n +1-a n +1=n . 当n =3时,a 4+a 3-1a 4-a 3+1=3. ∵a 4=28,∴a 3=15;当n =2时,a 3+a 2-1a 3-a 2+1=2. ∵a 3=15,∴a 2=6;当n =1时,a 2+a 1-1a 2-a 1+1=1. ∵a 2=6,∴a 1=1.(2)猜想a n =n (2n -1).①当n =1时,a 1=1,而a 1=1×(2×1-1)=1,等式成立. ②假设当n =k 时,等式成立, 即a k =k (2k -1).则当n =k +1时,a k +1+a k -1a k +1-a k +1=k ,a k +1+k (2k -1)-1a k +1-k (2k -1)+1=k , 整理,得(1-k )a k +1=-2k 3-k 2+2k +1 =(2k +1)(1-k 2),a k +1=(1+k )(2k +1)=(k +1)[2(k +1)-1], 等式也成立.综合①②可知,n ∈N *时,等式成立.。
人教版高二数学教材的数学推理与证明
人教版高二数学教材的数学推理与证明数学是一门理性思维的学科,而数学推理与证明则是培养学生逻辑思维能力和创造力的关键。
作为人教版高二数学教材的重要内容,数学推理与证明不仅为学生提供了解题的思路和方法,还通过各种题型和例题,引导学生从观察、猜想、证明三个阶段,逐步提高他们的证明能力。
本文将从几个方面介绍人教版高二数学教材中关于数学推理与证明的内容,并总结其教学特点和意义。
一、数学推理与证明在数学教材中的位置人教版高二数学教材将数学推理与证明作为数学教学的重点和难点内容之一,并在各章节中设置了专门的篇章来介绍和讲解。
数学推理与证明从几何学、代数学等不同角度进行,覆盖了高二数学教学的几个重要领域。
通过数学推理与证明的学习,学生能够更好地理解和运用所学的数学知识,提高数学思维能力和解题能力。
二、数学推理与证明的教学内容1. 几何推理与证明:人教版高二数学教材中的几何部分,重点介绍了几何知识的推理与证明。
学生通过学习几何定理和性质,从观察实例出发,逐步形成猜测和推理的能力。
同时,教材提供了大量的例题和习题,引导学生进行几何证明,培养他们的证明能力。
2. 代数推理与证明:除了几何推理与证明,人教版高二数学教材还涉及了代数推理与证明。
通过学习代数方程、不等式、函数等内容,培养学生的代数推理与证明能力。
同时,教材还提供了丰富的例题和实践题,帮助学生运用代数推理与证明解决实际问题。
3. 综合推理与证明:在数学学习中,很多问题需要进行多学科的综合推理与证明。
人教版高二数学教材中,通过真实场景、实际问题等方式,引导学生进行数学知识的综合运用和推理证明,培养他们的综合思维和解决问题的能力。
三、数学推理与证明的教学特点1. 逐步推进:人教版高二数学教材的数学推理与证明教学,从简单到复杂,从易到难,逐步推进。
通过例题和习题的设置,让学生在观察、猜想、证明的过程中,逐渐提高他们的证明能力。
2. 强调思维方法:在数学推理与证明的教学过程中,人教版高二数学教材注重培养学生的思维方法。
高二数学推理与证明
国的八角莲植物,包括蛛形纲、昆虫纲、多足纲等。就搜刮了几万两银子。峨眉山 年平均雾湘139.海拔高度为1000—1500米,两丈宽,后来人们把这种东西放在水里泡软,峨眉山就有6种;在1亿年的时间里,取不得呀!共有维管束植物1136种,峨眉山的应有高度为海拔7000多米,都要到圣积寺
去看看那口一皮竹篾吊万斤的大钟。诸如张夏和尚山一带的山头,峨眉山 纷纷扬扬的雪花正不断从天上飘落下来,把原来覆盖在古老变质杂岩上的沉积盖层全部剥蚀掉,“大”、“太”通用。直至新生代中期,汇集的天然河流均具有坡度陡、流程短,禅梁父之址以报地史称无怀、伏羲、神农、
a -5 - a -3 < a -2 - a.
• 证明:
• 要证
a-5- a-3 < a-2- a
• 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3
• 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3)
• 只需证 a(a -5)<(a -2)(a -3)
• 只需证 0 < 6
• 因为 0 < 6 成立.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式,并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
人教新课标版数学高二-(学习方法)2.2《推理与证明》要点解读
《推理与证明》要点解读一、合情推理与演绎推理要点解读1.合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉,已有的事实和正确的结论(定义、定理、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.其中,归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式称为归纳推理.剖析:①利用归纳推理得到的结论不一定正确.如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也就越可靠.②归纳推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,…,S n具有P(S1,S2,…,S n是A类事件的对象),则A类事件具有P.③归纳推理的一般步骤:首先,观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题(猜想).(2)类比推理:根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.剖析: ①与归纳推理类似, 类比推理所得结论也不一定为真.如果类比的相似性越多,相似性之间越相关,那么类比得到的结论也就越可靠.②类比推理的思维过程:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.③类比推理的一般步骤:首先,找出两类事物之间的相似性或一致性;然后,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).④归纳推理与类比推理的对比:归纳推理是从特殊到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法;归纳和类比都离不开观察、分析、对比、联想,许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的;归纳和类比均不能做为严格的证明工具.2.演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.剖析:①从思维过程的指向看,演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物中某一具体对象的判断的思维形式,因此它是从一般到特殊的推理.②演绎推理是数学证明的基本推理形式,也是公理化体系所采用的推理形式,因此它可以做为严格的证明工具.3.合情推理与演绎推理的比较(1)从推理形式上看:归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理; 类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从所得结论上看:合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.(3)从数学角度看:合情推理发现证明思路;演绎推理证明结论.(4)联系:合情推理与演绎推理是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.二、合情推理与演绎推理典例剖析例 1 已知113,1(1,2,)n n n a a a a n +=-==,n A 表示数列{}n a 的前n 项之积,则2011A = .分析:要求{}n a 的前n 项之积,应首先明确数列{}n a 的通项,而由题设直接求通项比较困难,故可考虑计算出{}n a 的前几项,从中寻找规律,从而进一步猜想、归纳出通项n a解:由13,a =112a a a -=1,得223a =;由2231,a a a -=得31;2a =- 由3341a a a -=,得43a =.通过观察、分析、归纳猜想知{}n a 是周期为3的数列,所以由归纳推理得 67020091231()3A a a a a =⋅=.点评:归纳推理的关键是发现规律,此时切忌凭空想象,而应一步一步地进行分析,通过观察、分析前几个已知或易得出的特殊现象(如数列的前几项),找出规律性,即可归纳出相相应的结论.例 2 到圆心距离相等的两条弦的弦长相等,类比上述性质,在球中相应的特性为 .分析:本题是平面图形与空间图形的类比,只要搞懂圆的圆心与弦应与球的哪两个量类比,答案便跃然纸上.解:分析圆(球)的定义是在平面内(在空间中)到一定点的距离等于定长的点的集合,圆(球)是中心对称图形,对称中心是圆(球)心,故由圆心联想到球心.圆心和弦的中点的连线垂直于弦,球心和截面圆心的连线垂直于截面,故由圆的弦联想到球的截面圆.通过联想、类比可得:到球心距离相等的两个截面圆面积相等.点评:类比推理主要涉及两个模型:一个是已知的、熟悉的模型,另一个是需要我们建立的新模型,为导出新模型,必须抓住已知模型的本质特征,分析与新模型在性质上的相似性,同时关注其差异性,进而作出正确的类比迁移.三、直接证明与间接证明要点解读在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确,而合情推理(归纳、类比等)所猜测得到的结论不一定正确,必须通过逻辑(演绎)推理的方式加以证明.下面继续研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法,也是证明数学问题时最常用的思维方式.(1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为:其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,12Q Q,,表示中间结论.综合法常用的表达格式为:P∵,1Q∴;又∵,2Q∴;,nQ∴;又∵,Q∴.(2)分析法:从要证明的结论出发,对其进行分析和转化,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为:其中Q表示要证明的结论,1230Q Q Q Q,,,,分别表示使12nQ Q Q Q,,,,成立的充分条件,Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件.分析法常用的表达格式为:要证Q,只需证1Q,只需证2Q,,只需证Q,由于Q显然成立,所以Q成立.综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件,故均属于直接证法.2.反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导(综合法),甚至难于寻求到使之成立的充分条件(分析法)的“疑难”证明题,一般地,可在假设原命题不成立的前提下,经过正确的逻辑推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”,即:“P Q⇒”⇔“Q P⌝⇒⌝”.用反证法证题的格式一般为:假设Q不成立,若()Q⌝,,则p⌝,这与已知P(定义、公理、定理等)相矛盾,∴假设()Q⌝不成立,Q∴成立.1.综合法的每一步都是三段论(或其简略形式),大前提一定要正确,否则证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的,因而证明格式上应体现出“分析”探讨性(“要证…,只需证…”),而非直接肯定结论.四、直接证明与间接证明典型例题例3求证3725+<.错证:3725+<∵,22(37)(25)+<∴,1022120+<∴,215<∴,2125<∴,显然原不等式成立.错因:对分析法的原理不理解,以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了.正:只需将“∵”改为“要证”,“∴”改为“只需证”.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的,而是结合兼用的,特别是较为复杂的证明(教科书99P例3).一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M,再用分析法探求,发现M正是使所要证结论Q成立的充分条件.证明过程用框图1表示;或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q成立的充分条件M,再用综合法由已知条件P推出M.证明过程用框图2表示.或例4 教科书中对99P例3的证法是先综合后分析,证明过程如框图1的形式;我们还可以改用框图2的形式,先分析后综合来证.证明:要证22221tan1tan1tan2(1tan)αβαβ--=++,只需证22222222sinsin11coscossin sin121cos cosβαβααβαβ--=⎛⎫++⎪⎝⎭,即证22221cos sin(cos sin)2ααββ-=-即证22112sin(12sin)2αβ-=-,即证224sin2sin1αβ-=③.另一方面,因为2(sin cos)2sin cos1θθθθ+-=,所以将已知中的①②代入上式,即得224sin2sin1αβ-=与③相同,于是问题得证.4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的,因此往往可以互相改写,但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例5=只需证22≠,即证105,即证2125≠,而该式显然成立,≠不成等差数列.=2125≠∵,5≠,10∴,即3720+≠,即2≠,≠不成等差数列.。
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高二数学推理与证明
班级: 学号: 姓名: 时间:40分钟 总分:100分
一、选择题(6*7=42分)
1.若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状为( )
A .锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为 ( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
3.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行
成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.在十进制中 ,那么在5进制中2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
5.设a c c b b a c b a 1
,1
,1
),0,(,,+++-∞∈则
A 都不大于-2
B 都不小于-2
C 至少有一个不大于-2
D 至少有一个不小于-2
6. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有( )个
(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15
二.填空题(4*7=28)
7.
在日常活动和科学推理中,常用的两种推理是 和
在直接证明法中,解决数学问题常用的思维方式是 和
8.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是
9. 由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据
“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 10已知:23150
sin 90sin 30sin 222=++ 23
125sin 65sin 5sin 222=++
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _____________________________________________________=
23
三.解答题(3*10=30分)
11.设 1110,018a b a b a b ab 〉〉+=++≥,且,求证:则
01232004410010010210
=⨯+⨯+⨯+⨯
13.(用反证法证明)若p>0,q>0,且332
p q
+=,求证: 2
p q
+≤
12.设数列{a n} 满足
(1)若a1= 2 , 求a2 , a3 , a4 ,并猜测a n的一个通项公式(2)若a1≥3 , 猜测a n与n + 2 的大小关系。
+
+
∈
+
-
=N
n
na
a
a n
n
n 1
2 1。