直线的倾斜角与斜率(教学案)

直线的倾斜角与斜率

教学目标：

1、了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) .

2、对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围．

3、理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

1. 直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是________．

答案：45°

解析：tan α＝k ＝1，∴α＝45°.

2. (必修2P 115习题2改编)已知过两点A(－a,3)，B(5，－a)的直线的斜率为1，则实数a ＝________.

答案：－4

解析：由k ＝－a －35＋a

＝1，得a ＝－4. 3. 已知过两点A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m 2－m,2m)的直线l 的倾斜角为45°，则实数m ＝________.

答案：－2

解析： ∵m 2－3－2m m 2＋2－(3－m 2－m )

＝tan45°＝1，∴m 2＋3m ＋2＝0，解得 m ＝－1或－2. 但当m ＝－1时，A 、B 重合，舍去. ∴m ＝－2.

4. 在直角坐标系中，直线y ＝－

33

x ＋1的倾斜角为________． 答案：5π6

解析：∵tanα＝k ＝－

33，又α∈[0，π)，∴α＝5π6.

1. 直线倾斜角的定义

在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：

与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；

直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．

2. 直线斜率的定义

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．

3. 过两点的斜率公式

过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tanα＝y 2－y 1x 2－x 1

，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.

题型1 求直线的倾斜角和斜率

例1 在△ABC 中，A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．

解：因为A 、B 两点的横坐标相同，所以边AB 垂直于x 轴，倾斜角为π2

，斜率不存在；因为A 、C 两点纵坐标相同，所以边AC 平行于x 轴，即垂直于y 轴，倾斜角和斜率均为0；

B 、

C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝

－1－13－1＝－1，所以BC 边所在直线的倾斜角为3π4

，斜率为－1. 变式：已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3

，求点B 的坐标． 解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tanθ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3

，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．

题型2 直线的倾斜角和斜率之间的关系

例2 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．

答案：α1＜α2＜α3

解析：由tanα1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝⎛⎭

⎫0，π2. tanα2＝k 2＝－12

<0， 所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α2>α1.tanα3＝k 3＝－13

<0， 所以α3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13

，正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2. 综上，α1<α2<α3.

变式1： 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6

，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎦

⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 解析：由k ＝tanα关系图(如下)知k ∈⎝⎛⎦

⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．

变式2：直线l 的倾斜角是直线2x ＋y ＋2＝0倾斜角的一半，则直线l 的斜率是多少？

反馈练习

1、直线xtan π7

＋y ＝0的倾斜角是________． 答案：6π7

解析：k ＝－tan π7＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π7＝tan 6π7，且6π7

∈[0，π)． 2、直线l 经过A(2,1)、B(1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．

答案： ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭

⎫π2，π 解析：k ＝m 2－11－2

＝1－m 2≤1.又k ＝tanα，0≤α＜π，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π.

3、直线l 的倾斜角是直线2x —y ＋2＝0倾斜角的两倍，则直线l 的斜率是 ．

4、若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________．

答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：由条件知直线的斜率存在，由公式得k ＝a －1a ＋2

，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a 的取值范围是{a|a>1或a<－2}．

（思考题）5、如图所示，直线l 过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(4,0)为端点的线段恒相交，求直线l 的斜率范围．

解：设直线l ，PA ，PB 的倾斜角分别为θ，α1，α2，因为直线l 与线段AB 恒相交，所

以α1≤θ≤α2，其中，tanα1＝5，tanα2＝－25，α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α2∈π2

，π，所以，tanθ≥tanα1或tanθ≥tanα2，即k ≥5或k ≤－25

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