《空间解析几何》教学大纲

《空间解析几何》教学大纲
课程代码：090532001
课程英文名称：Analytic Geometry
课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0
适用专业：应用统计学
大纲编写（修订）时间：2017.6
一、大纲使用说明
（一）课程的地位及教学目标
《空间解析几何》是应用统计学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，高等代数，数学分析等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。

空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。

通过本课程的教学，使学生受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习基础课程打下坚实基础。

同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求
基本知识：通过本课程的学习，要求学生掌握矢量的概念；矢量的运算及矢量的坐标法；平面与空间直线方程；空间中的点、直线、平面两两之间的相互关系的代数形式的联系；曲线与曲面的一般方程；参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域；平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换；二次曲线（二次曲面）方程的化；二次曲线（二次曲面）的不变量等。

基本能力：培养学生空间想象能力和运用解析方法研究几何问题以及在实际中应用这一方法的能力；严密的科学思维及分析问题解决问题的能力；用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。

基本技能：使学生获得空间解析几何的基本运算技能；运用数学软件进行具有一定难度和复杂度的空间解析几何运算技能。

（三）实施说明
1.本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《空间解析几何教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。

2.课程学时总体分配表中的章节序号在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考，打“*”号的章节可删去或选学。

3.教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。

4.教学手段：建议采用多媒体等现代化手段开展教学。

（四）对先修课的要求
本课程的先修课：初等数学行列式矩阵。

（五）对习题课、实验环节的要求
习题课不单独安排。

教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学们在课堂上通过讲、练结合的方式进行。

主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。

（六）课程考核方式
1.考核方式：考试
2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。

3.成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况等）占20-30%，期末考试成绩占70-80%。

（七）参考书目
《解析几何》，苏州大学吕林根、许子道等编，高等教育出版社，2001；
《空间解析几何引论》，南开大学几何教研室编，南开大学出版社，1992；
《解析几何》，丘维声编，北京大学出版社，1996；
《解析几何方法与应用》，郭健等编，天津科学技术出版社，1998；
二、中文摘要
本课程是应用统计学专业的主要基础课程之一。

主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。

通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

三、课程学时分配表
四、教学内容及基本要求
第1部分矢量代数
总学时(单位：学时):6 讲课:6 实验:0 上机:0
具体内容
1.正确理解矢量、单位矢量的概念。

相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢量的定义。

2.正确理解决定一个矢量的两要素（模长与方向），标架、坐标系、矢量及点的坐标定义、方向角与方向余弦的定义。

3.正确理解矢量乘法（叉积，点积，混合积双重矢性积）的定义、矢量线性相关与矢量共线、共面之间的关系、射影矢量与射影的定义。

4.掌握矢量的运算律。

5.理解矢量运算的几何意义，矢量的各种运算与重要几何性质的关系，矢量的分解与所在空间的维数无关，矢量代数与实数代数的异同。

6.熟练掌握矢量加、减，数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算、二矢量线性相关的等价条件，三矢量线性相关的等价条件，定比分点坐标的表示。

7.熟练进行方向角与方向余弦的计算。

8.掌握用矢量法证明三点共线与三线共点的方法。

9.理解三矢量的双重矢性积，拉格朗日恒等式。

重点：
向量的概念仿射坐标系下坐标运算向量的内积.外积.混合积的概念及运算。

难点：
向量的内积.外积.混合积的概念及运算。

习题:
此部分应布置一至两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖向量的内积.外积.混合积的概念及运算。

第2部分平面与直线
总学时(单位：学时):8 讲课:8 实验:0 上机:0
具体内容：
1.深刻理解下列几个基本概念
（1）法矢量，点法式方程，单位法矢量，法式方程，离差。

（2）直线的方向矢量，方向角，方向余弦，方向数。

（3）直线与平面的交角，异面直线间的距离，公垂线，平面束。

2.切实掌握下列基本方法及内容
（1）求平面法式方程，坐标式参数方程，截距式方程，一般方程。

（2）求点与平面的离差。

（3）两平面相交，平行，重合的条件，平面之间的交角。

（4）直线的坐标式参数方程，对称方程，一般方程，一般方程化为对称方程。

（5）直线与平面相交，平行，直线在平面上的条件。

求直线与平面的交角。

（6）直线与直线异面，共面，相交，平行，重合的条件。

（7）求二直线的交角，二直线垂直的条件。

两异面直线的距离与公垂线方程。

（8）求平面束中的一个平面。

重点：
仿射坐标系中平面与直线的方程、位置关系直角坐标系中点、直线、平面的度量关系。

难点：
三元一次不等式的几何意义、异面直线间距离。

习题：
此部分应布置至少两次，至少十道题的课后习题，内容可覆盖平面空间直线的方程、位置关系等。

第3部分曲线与曲面
总学时(单位：学时):8 讲课:8 实验:0 上机:0
具体内容：
1.深刻理解柱面的方向、准线、母线、熟练掌握柱面方程的一般形式。

锥面的概念、顶点、准线、母线的概念以及锥面方程的一般形式。

旋转曲面的概念、旋转轴、母线、经线、纬圆的概念，旋转曲面的方程。

2.深刻理解椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面的标准方程、性质和形状、顶点和中心。

椭圆抛物面的标准方程、性质、形状、顶点。

双曲抛物面的标准方程、性质、形状、鞍点。

3.深刻理解直纹面和非直纹面，二阶直纹面的性质。

4.掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的建立，用平行截割法研究二次曲面的标准方程确定曲面的性状。

以直线族研究单叶双曲面和双曲抛物面。

5.掌握曲面的交线和曲面所围区域、曲线与曲面的一般方程和参数方程。

重点：
曲线与曲面的一般方程和参数方程、二次曲面（十七种）。

难点：
旋转面,直纹面,曲面的交线。

习题:
此部分应布置至少两次至少十道题的课后习题，内容可覆盖曲线与曲面的一般方程和参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域。

第4部分坐标变换
总学时(单位：学时):6 讲课:6 实验:0 上机:0
具体内容：
1.深刻理解空间各种坐标变换。

2.掌握平面的仿射变换的定义及应用，仿射变换的性质，仿射坐标系与仿射变换的坐标表示及仿射变换的分解。

重点：
平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换。

难点：
求逆矩阵正交过渡阵。

习题:
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖平面的仿射坐标变换，及空间各种坐标变换。

第5部分二次曲线方程化简及性质
总学时(单位：学时):4 讲课:4 实验:0 上机:0
具体内容：
1.理解二次曲面的不变量、半不变量。

2.熟练掌握用直角坐标变换化简二次曲线的方程。

3.了解求二次曲面的不变量与半不变量，二次曲线九种类型的判别，应用不变量化简二次曲线的方程。

重点：
二次曲线的方程化简二次曲线的不变量二次曲线的分类。

难点：
用不变量确定二次曲面线的类型。

习题:
此部分应布置至少两次，至少八道题的课后习题，内容可覆盖二次曲面（线）方程的化简。