特殊三角形知识点及例题
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
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三角形定义
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。
根据边长关系，三角形可以分为以下三种情况：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
三角形内角和
三角形的三个内角之和始终为180度。
根据角度大小，三角形
可以进一步分类：
1. 直角三角形：一个内角为90度。
2. 钝角三角形：一个内角大于90度。
3. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
三角形特性
三角形还有一些重要属性和特性：
1. 垂心：垂心是三角形三条高的交点，即垂直于三边的线段的交点。
2. 重心：重心是三角形三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
3. 外心：外心是三角形外接圆的圆心，即可以过三角形三个顶点的圆的圆心。
4. 内心：内心是三角形内切圆的圆心，即可以切三角形三个边的圆的圆心。
特殊三角形
除了普通的三角形外，还有一些特殊的三角形：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等，内角均为60度。
2. 等腰直角三角形：一个内角为90度，且两条直角边的长度相等。
3. 等腰钝角三角形：一个内角大于90度，且两条等腰边的长度相等。
4. 等腰锐角三角形：三个内角都小于90度，且两条等腰边的长度相等。
以上是关于三角形及特殊三角形的一些知识点。
掌握这些概念可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
直角三角形知识点
直角三角形知识点直角三角形是一种特殊的三角形，其内部包含一个90度的直角。
本文将介绍直角三角形的定义、性质、勾股定理以及一些相关的例题。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形内部有一个角度是90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，与直角相邻的边称为直角边。
直角三角形的性质与常规三角形有着显著的不同。
二、直角三角形的性质1. 直角三角形中，直角边的长度相等。
2. 根据勾股定理，直角三角形中的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。
3. 直角三角形的三个角度之和等于180度。
三、勾股定理勾股定理是直角三角形中最重要的定理之一，也是直角三角形应用最为广泛的原理。
勾股定理表述如下：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
公式表示为：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
勾股定理在日常生活中有许多应用，例如测量直角三角形的边长，计算三角形的角度等。
四、直角三角形的应用举例1. 求斜边长度：根据已知直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
2. 求角度大小：已知两个直角边的长度，可以利用三角函数中的正弦、余弦和正切等函数求出各个角度的大小。
3. 判断三角形是否为直角三角形：通过测量三个角度的大小，如果发现其中一个角度为90度，则可以判断为直角三角形。
五、例题解析1. 已知一个直角三角形的直角边长为3cm和4cm，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边的长度为6cm，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理，直角边的长度a或b = √(c² - 直角边的长度²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
特殊三角形(知识点汇总 浙教8上)
第2章特殊三角形一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
四、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）（3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ［图形轴对称的性质］①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线]（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2。
2等腰三角形+2。
3等腰三角形性质定理＋2。
4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
★2。
在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．(4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形］三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1）三条边都相等的三角形是等边三角形；★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；★(３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.２。
特殊三角形性质
12.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD= ，AB=20．求∠A的度数。
13.（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN。
10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°AE=AD，则∠EDC的度数为（）
A．15°B. 25°C. 30°D. 50°
11.如图，△ABC中，∠B=45°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=18㎝，求△DEB的周长。
12.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB．
勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
【经典例题】
【例1】已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，AC= ，AB= ，CD⊥AB，求BC边的长。
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．
求证：CD⊥AB。
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
9.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3 cm，BC=5 cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2。
10.已知 三内角 的对边分别为 ，给出以下条件： ① 的度数之此为 ； ② =
③ ④
其中不能推导出 为直角三角形的条件是（写序号即可）。
11.在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D点，已知，AB=8，AD=4，∠ABC=75°．
特殊三角形知识点及例题
特殊三角形知识点及例题三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角构成。
在三角形中，存在着一些特殊的三角形，它们具有一些特殊的性质和性质。
本文将介绍特殊三角形的知识点，并给出一些例题供读者练习。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。
等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等。
2. 三个角都是60度。
3. 对称轴是三条中线，也是三条高线，也是三条角平分线。
例题：1. 在等边三角形ABC中，AB=BC=CA=6cm，求三角形的高度。
解：由于等边三角形的高线与中线重合且相等，所以三角形的高高线长等于边长。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。
等腰三角形具有以下特点：1. 两条边相等。
2. 两个底角（底边两侧的角）相等。
3. 对称轴是高线，也是角平分线。
例题：1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4cm，BC=6cm，求三角形的高度。
解：由等腰三角形的性质可知，高线与底边垂直且平分底角，所以可以利用勾股定理求解。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
2. 两边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。
例题：1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=3cm，BC=4cm，求三角形的斜边长度。
解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。
四、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。
等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
2. 两条直角边相等。
3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。
例题：1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。
解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。
五、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。
等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
高一下学期数学专题：三角形中的特殊点及轨迹问题
13.三角形中的特殊点及轨迹问题本节介绍解三角形中的特殊点与轨迹问题，特殊点主要指的是布洛卡点与费马点，轨迹问题主要指的是阿波罗尼斯圆和焦点三角形轨迹，最后再介绍一种常用的三角形：莱洛三角形.这些问题都多次出现在高考和各地模考中，具有丰富的背景，值得我们深入研究.1．布洛卡点,定义:已知P 为△ABC 内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α,则P 为布洛卡点,∠α为布洛卡角.例1．（2013全国1卷）在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =1BC =，P 为ABC 内一点，且PB PC ⊥.（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，设PBA α∠=，求tan α.解析：（1）由已知，∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.2011732cos30424PA =+-⨯=故2PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=，在∆PBA 中，由正弦定理得00sin sin150sin(30)αα=-4sin αα=，故tan 4α=.2．费马点若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”.三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于120°，则费马点与各定点连线夹角均为120°；2、三角形有一角大于或等于120°，则费马点为这个角顶点，一般情况下中学研究费马点情况属于第一种.例2．在一个三角形ABC 中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠= ，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在ABC 外作等边ACD △，再作ACD △的外接圆，则外接圆与线段BD 的交点P 即为费马点.若1,2,90AB BC CAB ∠=== ，则PA PB PC ++=___________.例3．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于120 时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120 .根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-+++++-3．阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.例4.在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2b C c B +=，3sin 2b C a =．（1）求ABC 的面积；（2）若:3bc ，求A ．解析：（1）cos cos 2b C c B += ，222222222a b c a c b b c ab ac+-+-∴⋅+⋅解得：2a =，3sin 3b C == 11sin 23322ABC S ab C ∴==⨯= （2）由(1)和余弦定理可得:2232cos 41sin 32b c b c bc A bc A ⎧⎪=⎪+-=⎨⎪⎪=⎩，化简得：()22sin 2232c A c A ⎧=⎪⎨-=⎪⎩消去c ，可得sin 32A A +=，即()sin 1,0,,,3326A A A A πππππ⎛⎫+=∈∴+== ⎪⎝⎭4．莱洛三角形例1．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个例2.莱洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是（）A．13C．19。
2020年中考数学考点总动员第17讲 特殊三角形(含答案解析)
第17讲特殊三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有_两边相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1：等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE ＝30°，DE 交AC 于点E.若DE ∥BC 时，如图2. ①∠CDB ＝120°；②求证：△ADE 为等腰三角形；③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD. ∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF. (2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形． ③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°. ∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ， ∴∠AED ＝60°.Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°.Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED. (1)求证：BD ＝CP ；(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长； (3)直接写出线段DE 长度的最小值．【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADP 是等边三角形， ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP. ∴∠DAB ＝∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS)． ∴BD ＝CP.(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°. ∵CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BFBC ，∴BF ＝2tan30°＝233.(3)DE 长度的最小值是12，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此时PF ＝12，故DE长度的最小值是12.归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。
特殊三角形知识点及习题
特殊三角形知识点及习题三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。
本文将介绍关于特殊三角形的知识点，并提供相关习题。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
特点是三个角度都相等，每个角度为60度。
等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。
求等边三角形的面积可使用海伦公式。
习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、角平分线的长度分别为多少？习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
特点是两个底角（底边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。
等腰三角形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内切圆与底边相切于一点。
习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰三角形的顶角和面积。
习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。
直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。
习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。
习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。
四、30-60-90三角形30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。
30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。
习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。
习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。
综上所述，特殊三角形具有一些独特的性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和30-60-90三角形等。
八上第一章 认识三角形和第二章 特殊三角形-知识点
1考点一、认识三角形1、三角形中的主要线段：角平分线（角平分线+∥等腰三角形）；中线；高线；2、三角形的稳定性应用：需要稳定的东西一般都制成三角形的形状；3、三角形的分类（1）三角形按边的关系分类如下：不等边三角形：三边都不相等三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）三角形按角的关系分类如下：特殊的三角形：等腰直角三角形；它是两条直角边相等的直角三角形；直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形分类讨论：锐角，钝角△钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）4、三角形的三边关系定理及推论（1）定理：三角形任何两边之和大于第三边；（2）推论：三角形任何两边之差小于第三边；（3）作用：判断三条已知线段能否组成三角形；当已知两边时，可确定第三边的范围；证明线段不等关系；已知最大边时，只需较小两边的和大于最大边即可；若不确定最大边时，满足两边的差＜第三边＜两边的和．5、三角形的内角和定理及推论（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；（2）推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；6、三角形的面积S=×底×高；；(S ，C 是△的面积，周长；r 是内切圆半径)；考点二、全等三角形1、全等三角形的概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形；2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3、全等三角形的表示注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；全等用符号“≌”表示，读作“全等于”；如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”；4、三角形全等的判定：“SSS ”；“SAS ”（两边必须是夹角），“HL ”（Rt △，斜边与一直角边）；“ASA ”，“AAS ”；一定不能证全等：SSA ；要特别注意：是否有公共边及公共角；6、相关知识（1）线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（SAS ）．（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（AAS ）．注意：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．考点三、常用逻辑用语命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.一个命题分为“条件”和“结论”两部分，由条件推出结论，通常条件在前，结论在后.“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.2考点一、图形的轴对称1、轴对称图形的概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．这条直线叫做对称轴；图形中能够完全重合的两个点称为对称点．2、轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．3、图形的轴对称：一般地，由一个图形变成另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．4、图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形．考点二、等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形；等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（“在同一个三角形中，等边对等角”）（性质定理1）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合（性质定理2）．简称“等腰三角形三线合一”①AB=AC ；②BD=CD ；③∠BAD=∠CAD ；④AD ⊥CD ；四个中有两个成立，另外两个一定成立．（3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴．（4）等腰三角形两腰上的中线（高线）相等，等腰三角形两底角的平分线相等．3、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．简单地说，在同一个三角形中，等角对等边．（2）利用三线合一证明等腰三角形．考点三、等边三角形1、等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．（是特殊的等腰三角形）2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三边相等，三个内角都相等且等于60°；（2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（3）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一．3、等边三角形的判定定理：（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义法）．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（判定定理1）．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（判定定理2）．考点四、直角三角形1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt △”表示．2、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∵∠ACB=90°，AD=DB ，∴DA=DB=DC ；（3）∵∠ACB=90°，DB=DC ，∴DA=DB=DC ；（同角的余角相等）（推论1）．（4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（短边为勾，长边为股，斜边为弦）．3、直角三角形的判定定理：（1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（定义）．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．（3）三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形（推论2）．∵DA=DB=DC ，∴∠ACB=90°；（4）勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．。
浙教版特殊三角形知识点及训练
浙教版特殊三角形知识点及训练三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而特殊三角形更是具有独特的性质和特点。
在浙教版数学教材中，特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
接下来，让我们一起深入了解这些特殊三角形的知识点，并通过相关训练来巩固和应用。
一、等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
2、性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
二、等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
3、判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1、定义：有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。
2、性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
3、判定：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
接下来，我们通过一些练习题来巩固这些知识点。
一、选择题1、等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（）A 80°B 80°或 20°C 80°或 50°D 20°2、下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（）A 三个角的度数之比为 1∶2∶3B 三条边的长度之比为 1∶2∶√5C 三条边的长度之比为 1∶1∶2D 三个角满足关系∠B ＋∠C ＝∠A3、已知等边三角形的边长为 2，则它的面积是（）A √3B 2√3C 3√3D 4√3二、填空题1、等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 6，则另两边的长为_____。
八年级(上)培优讲义：第7讲 特殊三角形(4)
第7讲:特殊三角形4（综合运用与本章小结）一、新知建构二、经典例题例1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图) ．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（）A． 4 B． 5C． 6 D．14例2．现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．（画出示意图）l321S4S3S2S1例3．如图，AD ∥BC ，∠A =90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE =BC ，请说明∠DEC =90°．例4.．一圆柱体的底面周长为16cm ，高AB 为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．例5.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =90度，E 是AB 上一点，且AE =BC ，∠1=∠2 （1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由； （2）AB ＝AD ＋BC（3）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由。
21EDCBA例6.如图1，D 是边长为4㎝的等边△ABC 的边AB 上的一点，DQ ⊥AB 交边BC 于点Q ，RQ ⊥BC 交边AC 于点R ，RP ⊥AC 交边AB 于点E ，交QD 的延长线于点P . （1）请说明△PQR 是等边三角形的理由； （2）若BD =1.3㎝，则AE = ㎝（3）如图2，当点E 恰好与点D 重合时，求出BD 的长度。
三、基础演练1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）A ． 等边三角形B ． 角C ． 等腰三角形D ． 直角三角形 2．下列判断正确的是（ ）A ． 顶角对应相等的两个等腰三角形全等B ． 腰对应相等的两个等腰三角形全等C ． 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D ． 顶角和底边分别对应相等的两个等腰三角形全等3．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两条边长都是第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．如图，△ABC 中，AB =AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE =140°，则∠DEF =（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°C5．已知△ABC中，AB=AC，且∠B=α，则α的取值范围是（）A．450≤<αB．900<<αC．9045<<αD．9045<≤α6．如图，CD是AB CRt∆斜边AB上的高，将∆BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25 B．30 C．45 D．607．等腰三角形的一个角为40º，则它的底角=_______．8．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为5cm，它的周长是cm．9．如图，,90=∠BCA CD⊥AB，DE⊥BC，则图中与∠A互余的角有个．10．如图，△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则图中共有个等腰直角三角形．11．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______，腰上的高为．12．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用根．13．如图，B、C是河岸两点，A是对岸一点，测得,45=∠ABC,45,60=∠=BACmBC则点A到岸边BC的距离是m.14．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用yx,表示直角三角形的两条直角边()yx>．①;4922=+yx②;13=+yx③;2=-yx④.4942=+xy则上面关系式中正确的是．（写出编号）15．等边三角形的边长为2cm，那么它的面积是2cm．BADCFEBAD C四、 直击中考1.（2014十堰））如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为（ ） A ．2 B ．C ．2D ．2. （2014淄博）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE =1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（ ） A ． 1 B ．C ．D ．23.（2014凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．4.（2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺． 五、能力提升1．在△ABC 中，∠C =90°，BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA －AB －BC 的路径再回到C 点，需要_______分钟时间.2. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是_________. 3．下列说法中错误的是（ ）A . 在△ABC 中，若B AC ∠-∠=∠，则△ABC 为直角三角形 B . 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =5∶4∶3，则△ABC 为直角三角形 C . 在△ABC 中，若c b c a 8.0,6.0==，则△ABC 为直角三角形D . 在△ABC 中，若5:4:3::=c b a ，则△ABC 为直角三角形 4．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，若AB =3，BC =5，则DC的长度是（•）A.85B.45C.165D.2255．下列说法中：①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为cba,,满足()()()0=---accbba，则这个三角形是等边三角形．正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，DE的长为（）A B. 17．如图，在44⨯的方格中，求F到8．如图，在ABC∆中，ACAB=，︒=∠100BAC，求DEC∠的度数．9．两个全等的含有60,30角的三角尺ADE 与三角尺ABC 如图放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 、MC ．试判断EMC 的形状，并说明理由．10．探险队的A 组由驻地O 出发，以h km /12的速度前进，同时，B 组也由驻地O 出发，以h km /9的速度向另一个方向前进，h 2后同时停下来，这时A 、B 两组相距km 30，那么A 、B 两组前进的方向成直角吗？ 六、挑战竞赛1.如图，在△ABC 中，AB =16， 点M 、N 分别是BC 、AC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FN 的长为 ．2.如图是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上．在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC 成轴对称的三角形共有 ( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.如图，ABC ∆为等边三角形，D F 、分别是BC AB 、上的点，且CD BF =,以AD 为边作等边ADE ∆。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理一、特殊三角形的定义与分类特殊三角形是指具有特殊性质和特点的三角形。
常见的特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边则称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个角都是 60 度。
直角三角形则是指其中一个角为直角（90 度）的三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的性质，也是其名称的由来。
2、两底角相等即等腰三角形的两个底角大小相等。
这一性质可以通过三角形内角和定理以及等边对等角的原理来证明。
3、三线合一等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合，简称“三线合一”。
这是等腰三角形非常重要的一个性质，在解决与等腰三角形相关的几何问题时经常会用到。
4、轴对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
这是最直接的判定方法。
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形。
此判定方法基于等角对等边的原理。
四、等边三角形的性质1、三边相等这是等边三角形最显著的特征。
2、三个角都相等，且都为 60 度由于三角形内角和为180 度，所以等边三角形的每个角都是60 度。
3、具有等腰三角形的一切性质因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质它都具备。
4、是轴对称图形，有三条对称轴分别是三条边的高所在的直线。
五、等边三角形的判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
这是最直观的判定方法。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。
六、直角三角形的性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这就是著名的勾股定理，例如，如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习本章主要研究了等腰三角形、直角三角形和特殊三角形的性质和判定，其中包括了勾股定理和HL定理等知识。
等腰三角形的两腰相等，两底角也相等，三线合一，是对称图形，有一条对称轴。
等边三角形三边相等，三个内角也相等，是正多边形，有三条对称轴。
直角三角形有一个直角和两个锐角，斜边上的中线等于斜边的一半，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以用勾股定理判断。
角平分线是指从角的顶点到对边的线段，它可以被平分线所穿过。
等腰三角形的判定方法是有两边相等或两角相等。
但需要注意的是，有两腰相等的三角形不一定是等腰三角形。
等边三角形的判定方法是三边相等或三个角都是60度。
直角三角形的判定方法是有一个角是90度或两个角相加等于90度或两直角边的平方和等于斜边的平方。
最后，需要注意的是，一条边上的中线等于该边长度的一半并不一定能直接判断某三角形是直角三角形，但可以在解题时提供帮助。
直角三角形全等的判定方法是斜边和一个锐角对应相等。
角平分线可以被平分线穿过，这个性质可以在解题时使用。
研究特殊三角形时，需要明确性质与判定的区别，不能混淆。
一般来说，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系则是性质。
等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰。
因此，在判定一个三角形是等腰三角形时，不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”。
直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便。
勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系。
解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。
另外，不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效。
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特殊三角形一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。
2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。
3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。
5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。
7．直角三角形全等的判定：斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。
8．角平分线的性质：在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。
三、重点解读1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。
一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。
不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。
本章解题时用到的主要数学思想方法：⑴分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长⑶等面积法四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。
过O 点作EF, BC 。
（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ， 使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。
若BE=5，△ABC 的周长为_________。
（二）、角平分线+垂线3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.（四）、等边三角形的几个基本图形：6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。
∠AFE=_________。
7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。
说明： △CMN 是等边三角形。
A B CD EM N 图1 A B C DE M N图2 A BC D M N 图38、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC•的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．BA D CEB A DCEP BADCF E（五）、等腰直角三角形的几个基本应用9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。
求证：△MDE 是等腰直角三角形。
（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a<b<c （1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b ，c 的值12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ 。
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．14、矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。
有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。
（八）作图题如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等，并说明你的理由．【考点精练】一、基础训练1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．（1）（2）（3）2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．（4）（5）5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．6．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．7．如图7，在△ABC中，AB=AC ，∠BAD=20•°，且AE=•AD ，则∠CDE=________．（7） （8） （9）8．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A ．44° B ．68° C ．46° D ．22°9．如图9，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2m ，L 2=6.2m ，L 3=7.8m ，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A ．L 1B ．L 2C ．L 3D ．L 410．如图10，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．•则∠A 等于（ ）A ．30° B．36° C ．45° D ．72°（10） （11）11．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．130°12、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h 2B. a 2+b 2=2h 2C.a 1+b 1=h1D.21a +21b =21h如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任一点，则MC 2-MB 2等于二、能力提升 13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长．14．（计算型说理题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．•试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由。