第10章 期权定价模型与数值方法
期权定价模型与数值方法
❖ 例行化δ。1价波0格动.2率95假为元设5,现0欧%价式,无为股风1票0险0期元利权,率无,三为股个1利0月支%后,付计到,算股期期价,执权年 ❖ 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
❖ 若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关 系，即不同的Price与Time计算不同的δ三维关 系，可以编写如下代码：
Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
10.2.4 Black-Scholes方程求解
例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价 格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率
为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。 %标底资产价格代码如下: %Pr执ice行=1价00格;
%无风险收St益rik率e=（95年; 化）10% %R剩at余e=时0.1间
10.1 期权基础概念
10.1.1 期权及其有关概念
1． 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权
（put option）。 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予 期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻） 按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律
合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予
期权定价模型及其应用
期权定价模型及其应用引言期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点以特定价格购买或出售某个资产的权利。
在期权交易中，合理的定价模型对于投资者和交易者来说至关重要。
本文将介绍期权定价模型的基本原理，并探讨其在金融市场中的应用。
一、期权定价模型的基本原理1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是最著名的期权定价模型之一，它是由费舍尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无风险利率恒定、资产价格服从几何布朗运动等。
通过这些假设，Black-Scholes模型可以计算出欧式期权的理论价格。
2. 布莱克-斯科尔斯-默顿模型布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对Black-Scholes模型的改进，它考虑了股票支付的股利和股票价格的波动率。
该模型的应用范围更广，可以用于定价包括股票支付股利的期权。
3. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机模拟的定价方法，它通过生成大量随机路径来估计期权的价值。
蒙特卡洛模拟可以应用于各种类型的期权，包括美式期权和亚式期权。
二、期权定价模型的应用1. 期权定价期权定价模型可以帮助投资者和交易者确定期权的合理价格。
通过使用合适的定价模型，投资者可以判断期权是否被低估或高估，从而做出相应的投资决策。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，投资者可以考虑购买该期权以获取超额收益。
2. 风险管理期权定价模型在风险管理中起着重要的作用。
通过使用期权定价模型，投资者可以计算出对冲策略，以降低投资组合的风险。
例如，一个投资者持有某个股票，并购买相应的看跌期权作为对冲，当股票价格下跌时，看跌期权的价值上升，从而抵消了股票的损失。
3. 交易策略期权定价模型可以帮助交易者制定有效的交易策略。
通过分析期权的定价，交易者可以发现市场上的套利机会，并进行相应的交易。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，交易者可以同时购买该期权和相应的标的资产，从而获得无风险的套利收益。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
期权定价数值方法
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
期权定价模型
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
19
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG ( G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于 以后推导衍数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
12
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
《金融数量分析 》第10章 期权定价模型与数值方法
数学模型为
式中:
求解方程fc(σyin)=0,fp (σyin)=0的根。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组 的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关函数说明。
例1 假设欧式股票期权，一年后，执行价格95元，现价为100元，无股利支 付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。
10.2 期权定价方法的理论基础
期权定价的主要研究工具是随机过程的一个分支——随机微分方程。随机微积 分起源于马尔可夫过程结构的研究。伊藤在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为 布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。 布莱克和斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程：
dS=μSdt+σSdZ 式中:S 表示股票价格；股票预期收益率μ及波动率σ均为常数 ；t 代表时间;Z为标准 布朗运动。
步骤2： 求解方程函数。 求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：
\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice) 输入参数： ➢ Price：标的资产市场价格； ➢ Strike：执行价格； ➢ Rate：无风险利率； ➢ Time：距离到期时间；
金融MATLAB期权定价模型与数值方法课件
输入参数：
Price：标的资产市场价格
Strike：执行价格
Rate：无风险利率
Time：距离到期时间
Volatility：标的资产价格波动率
Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0
输出参数：
Call: Call option价格
Put：Put option价格
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
12
2.3 影响期权价格的因素分析
以blsdelta为例，其他函数的语法与blsdelta基本相同
[CallDelta, PutDelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield)
输入参数：
MATLAB
金融数量分析—基于MATLAB 编程
第10章 期权定价模型与数值方法
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
1
第10章 期权定价模型与数值方 法
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
2
1 期权基础概念
什么是期权？期权就是当什么时候或条件下，你有什么 权力。教课书上的期权似乎离我们比较遥远，或仅限于 金融市场。但如果仔细想想，车险或疾病保险似乎也是 一种期权，期权本质是一种选择权。例如，商业医疗保 险，客户每年缴纳一定的保费，获得在生病时获取一定 补偿的权利。公司期权，若工作业绩达到某个标准（付 出），得到公司多少多上的期权。就如面临选择，需要 权衡一样；各种期权也需要衡量（定价）。
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
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2.3 影响期权价格的因素分析
若要分析期权Detla与标的资产价格、剩余期限的关系， 即不同的Price与Time 计算不同的Detla三维关系，可以 编写delta_price_time.m 程序。
期权定价的方法和模型综述
期权定价的方法和模型综述本文从期权定价理论发展的历史和现状着手，系统地分析了期权定价的各种方法和模型，指出其优点和不足，并对期权定价理论的发展前景进行了展望。
关键词：期权定价无套利复制鞅方法期权就是选择权，期权的持有人在确定的时间、按确定的价格向出售方购销一定数量的基础资产，但他不承担必须购入（销售）的义务。
作为一种有效风险管理工具，期权日益活跃在现代金融市场中，其定价问题也一直是金融工程和数学金融学研究的重点之一。
期权定价问题的研究最早可以追溯到1900年，Bachelier在其博士论文中首次提出了股票价格的布朗运动假设并运用它来对欧式买权进行定价，然而模型中有几点与实际市场不符：股票价格可能为负、离到期日足够远的买权价格可能大于股票价格、股票的期望报酬为零。
1969年著名经济学家Sanuelson与Merton合作，提出了把期权价格做为基础资产价格函数的观点，不过在1973年B-S模型提出之前大部分模型都没有实用价值。
随着B-S 公式的问世，金融市场也变得空前繁荣，刺激了大量的学者对期权的定价机制、方法、模型进行研究，本文从三个方面综述期权定价理论的发展。
期权定价的方法无套利复制定价。
这种方法主要归功于Black-Scholes(1973)、Moerton(1973)，其基本原则就是无套利思想。
在一个无套利的市场中，具有相同未来收益的资产组合应当具有相同的价格，通过构造一个投资组合使得其未来收益与未定权益(如期权)的未来收益相同。
简单地说，构造一个就是复制该未定权益的投资组合，那么这个自筹资策略的初始成本就是期权当前的价值。
Black-Scholes正是根据上述思路得到了描述期权价格变化的随机微分方程，即所谓的B-S方程，最终利用得到了期权定价模型的解析解，也就是著名的Black-Scholes公式，正是这个公式使Scholes与Moerton分享了1997年的诺贝尔经济学奖。
期权定价的鞅方法。
期权定价的数值方法
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
直接调用 c=latticeeucall(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：c= 5.5644 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,100)得到：p=1.1308； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,200)得到：p=1.1240； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：p=1.1259 由以上计算可以看出：随着二叉树阶段数的增加，即时间间隔 ∆t 的减少，二叉树模型 的计算结果与期权价格的解析解也逐步接近。
T T T − r∆t
u = eσ
, d = e −σ
∆t
p=
e r∆t − d = 0.5076 u−d
∆t
股票价格的运动如图所示，期权的二叉树图如图所示。
u = eσ
= 1.1224, d = e −σ
∆t
= 0.8909
2
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
股票价格的运动
股票价格的运动
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)); end end price=lattice(1,1);
function [price,lattice]=latticeamcall(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),-K+S0*u^j*d^ (i-j)); end end price=lattice(1,1); function [price,lattice]=latticeamput(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,-(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),K-S0*u^j*d^( i-j)); end end price=lattice(1,1);
期权定价数值方法
03
数值方法概述
离散化方法
向前离散化
将时间区间[0, T]分成n个小区间 ，以时间段[t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)，并在此小区间上应 用Black-Scholes方程的解。
向后离散化
与向前离散化相反，将时间段 [t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)， 并在此小区间上应用BlackScholes方程的解。
改进方向探讨
采用更高效的算法
结合机器学习技术
研究和发展更高效的数值方法，以减少计 算时间和资源消耗。
利用机器学习算法来优化和改进数值方法 ，提高其效率和准确性。
精细化建模
跨学科融合
在期权定价模型中引入更多的市场因素和 风险因素，以更准确地反映实际情况。
借鉴其他学科（如物理学、化学等）的数 值方法，将其应用于期权定价领域，以寻 求新的突破。
期权定价数值方法
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 常见的期权类型和定价模型 • 数值方法概述 • 数值方法在期权定价中的应用 • 期权定价的数值方法优缺点及
改进方向
目录
• 期权定价数值方法在金融风险 管理中的应用
• 研究展望与未来发展趋势
01
引言
背景介绍
期权定价模型的发展 历程
当前期权定价模型研 究的现状和挑战
随机抽样
从已知概率分布中随机抽取样本点， 通过这些样本点计算期权价格的期望 值。
方差减少技术
通过一些技巧来减少模拟误差，例如 Bootstrap方法。
有限元素法
将标的资产价格变化的空 间离散化，划分为有限个 元素；
解有限元素法的线性方程 组，得到每个时刻的标的 资产价格；
关于期权定价模型
关于期权定价模型霍红一、 引言期权（option ）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。
期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后，即拥有在一定的时间内以一定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义务。
按期权所包含的选择权的不同，期权可分为看涨期权和看跌期权；按期权合约对执行时间的限制，期权可分为欧式期权和美式期权。
期权的交易由来已久，但金融期权到20世纪70年代才创立，并在80年代得到广泛应用。
1973年4月26日美国率先成立了芝加哥期权交易所，使期权合约在交割数额，交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。
在标准化的期权合约中，只有期权的价格是唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的。
而其余项目都是事先规定的。
因此，我们的问题就是如何确定期权的合理价格。
目前两个经典的期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价公式。
尽管它们是针对不同状态而言的，但二者在本质上是完全一致的。
在讨论期权定价模型之前，我们先对金融价格行为进行分析。
二、 金融价格行为资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。
价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用。
资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程，称其为几何布朗运动，即)()()()(t dB t S dt t S t dS σα+= （1）其中，S(t)为t 时刻的资产价格，μ为飘移率，σ为资产价格的波动率，B(t)遵循一标准的维纳过程。
为说明问题的方便，下面我们引入Itô引理：设F(S,t)是关于S 两次连续可微，关于t 一次可微的函数，S(t)是满足随机微分方程（1）的扩散过程，则有以下随机变量函数的Itô微分公式 dt F dS F dt F t S dF SS S t 221),(σ++= （2）Black-Scholes 期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即)(ln ),(t S t S F =。
关于期权的定价原理及模型你真的了解吗？
关于期权的定价原理及模型你真的了解吗？一为什么要进行期权定价？期权交易最重要的是权利金价格。
期权定价的过程，是根据影响期权价格的因素，通过适当的数学模型，去分析模拟期权价格的市场变动情况，最后获得合理理论价格的过程。
由于期权交易中期权市场价格有时会偏离公允价格，无论是一般投资者还是做市商，都需要有自己的判断，利用模型获得较为合理的定价，交易所也需要发布理论上的合理价位供大家参考。
通过定价模型可以给出期权价格的风险指标，从而用于控制投资风险。
期权定价模型主要是基于无套利均衡定价理论，基本思想是指如果市场上存在无风险的套利机会，那么市场处于不均衡状态，套利的力量会推动市场重新均衡，而套利机会消除后的均衡价格即是市场的真实价格。
期权定价模型需要的主要参量有标的物价格，行权价格，标的物价格的波动率，期权合约的到期时间，无风险利率。
这些参量是影响期权价格的主要因素。
二看涨与看跌期权定价原理介绍1、看涨期权定价原理权利金=内涵价值+时间价值内涵价值取决于标的物价格与执行价格，这是确定的；时间价值取决于剩余时间，利率，波动率等因素，是不确定的；为期权定价，主要是研究期权的时间价值。
我们定义下面的符号：S:表示标的物价格；X:表示期权的执行价格；C:表示看涨期权的价格；P:表示看跌期权的价格；T:表示期权到期日。
看涨期权权利金上限：C≤S如果C≥S，则若看涨期权到期作废，其买方的损失将超过直接购买标的物的损失，这便失去了期权投资的意义。
投资者便不如直接购买标的物，损失更小而成本更低。
所以权利金不应该高于标的物的市场价格。
即通过期权方式取得标的物存在的潜在损失不应该高于直接从市场上购买标的物所产生的最大损失。
看涨期权价格下限：C=Max[0,(S-X)]证明：期权未到期时是含有时间价值的，所以期权权利金的下限一定出现在到期日T，此时没有时间价值如果在到期日T，标的物价格S≤执行价格X，那么以执行价格行使看涨期权没有价值，即C=0；如果在到期日T，标的物价格S≥执行价格X,那么以执行价格行使看涨期权价值就等于标的物与期权执行价格的差，即C=S-X。
第10章期权定价模型(2)
➢当B = -1/2时，代表性的经济行为主体时期1的消 费的效用函数为三次函数
u1
(
z)
2 3
(
A
1 2
z)3
从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质
➢ 由期权的性质我们可以判断期权的现时价格
k
v j ( p j , k ) max[ p j
1 rf
, 0]
并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收 益分布。
Zk
ln( p j
/ k) ln(1 rf
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
1
2
j
几点说明：
➢ 期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的，在这种经济 中，经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度B的线性风险容 忍效用函数，并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券。
➢ 在市场均衡时，每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市 场组合构成的线性组合，并且实现了帕累托最优。这样，如果 一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中，在市场均衡 时就没有人需要这支期权。
v j ( p j , k) (1 )v j ( p j , kˆ) v j ( p j , k ),
➢ 一支标的资产为正值权重的证券组合，执行价格为k的期 权，其价值要小于以组合中的证券为标的资产，执行价格 同样为k 的相同权重的期权组合的价值。
J
v* p*, k jv j ( p j , k)
函数
u0 z0
u0 z0
1 1 B
z 1 B 0
1 1 B
z 1 B 1
➢ 进一步假设 ~x j 和 C~ 服从二维对数正态分布。
➢ 求得布莱克-舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 如下：
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步骤1：建立方程函数。 看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下： f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice) 程序代码如下: function f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice) %ImpliedVolatitityCallObj %code by ariszheng@ 2009-8-3 [Call,Put] = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %存在一个波动率使得下列等式成立 %fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0 f=Call-Callprice;
10.2.4
Black-Scholes方程求解
例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利 支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。 代码如下: %标底资产价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险收益率（年化）10% Rate=0.1 %剩余时间 Time=3/12; %年化波动率 Volatility=0.5 [Call, Put] = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) >> Call=13.70 %买入期权 >> Put=6.35 %卖出期权
• 若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的 Price与Time计算不同的δ三维关系，可以编写如下代码： Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率 [Price,Time]=meshgrid(Price,Time); [Calldelta, Putdelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %mesh(Price, Time, Calldelta); mesh(Price, Time, Putdelta); xlabel('Stock Price '); ylabel('Time (year)'); zlabel('Delta');
• 例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现 价为00元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率 为10%,计算期权δ。 • 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率 [CallDelta, PutDelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility)
10.3. 3
隐含波动率计算程序
看跌期权隐含波动率方程的M 文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下: f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice) 程序代码如下: function f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Putprice) %ImpliedVolatitityCallObj %code by ariszheng@ 2009-8-3 %根据参数，使用blsprice计算期权价格 [Call,Put] = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0 %目标使得寻找X使得目标函数为0 f=Put-Putprice;
10.3. 3
隐含波动率计算程序
步骤2： 求解方程函数。 求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下： \[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
说明期权价格与股票价格相关
10.2.4
Black-Scholes方程求解
BlackScholes微分方程的风险中性定价。在风险中性事件中，以下两个结论称 为风险中性定价原则: 任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有μ = r ; 任何一种衍生工具当前t时刻的价值均等于未来T时刻其价值的期望值按无风险 利率贴现的现值。 BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为
function [Vc,Vp,Cfval,Pfval]= ImpliedVolatility( Price, Strike, Rate,Time, CallPrice, PutPrice) %ImpliedVolatility %code by ariszheng@ 2009-8-3 Volatility0=1.0; %优化算法初始迭代点; %CallPrice对应的隐含波动率 [Vc,Cfval] =fsolve(@(Volatility) ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike,Rate, Time, CallPrice),Volatility0); %CallPrice对应的隐含波动率
计算结果如下：
>>[Call, Put] = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) >> Call = 13.6953 Put = 6.3497
假设目前其期权交易价格为Call=15.00 元，Put=7.00 元，分别计算其相对
应的隐含波动率。
10.3. 3
隐含波动率计算程序
[Vp,Pfval] =fsolve(@(Volatility) ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time,
PutPrice),Volatility0);
10.3. 3
隐含波动率计算程序
步骤3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
10.1.1
期权及其有关概念
3． 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST －E,0) 式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
10.3. 2
隐含波动率计算方法
隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者 对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St (标的资产 市场价格)、X (执行价格)、r (无风险利率)、T－t (距离到期时间)、看涨期权ct 或者看跌期权pt ,根据B－S公式计算出与其相应的隐含波动率σyin。 数学模型为
Γ 表示δ与标的资产价格变动的关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
10.3.1
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：
式中：
隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。
计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：
10.2.5
影响期权价格的因素分析
[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) 输入参数： Price：标的资产市场价格； Strike：执行价格； Rate：无风险利率； Time：距离到期时间； Volatility：标的资产价格波动率； Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。 输出参数： CallDelta: 看涨期权的δ； PutDelta：看跌期权的δ。
《金融数量分析——基于MATLAB编程 》
10.1 期权基础概念
10.1.1 期权及其有关概念
1． 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权（put option）。
买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在
此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在 此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
10.2.5
影响期权价格的因素分析
2. 西塔（Theta）θ
θ表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。
10.2.5
影响期权价格的因素分析
3. 维伽（Vega）ν ν表示方差率对期权价格的影响。 4. 珞（Rho）ρ ρ为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。