人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数

1.3.3函数的最大（小）值与导数

【学习目标】

1.理解函数的最大值和最小值的概念，了解其与函数的极值的区别与联系；

2.会求可导函数()x f 在闭区间[]b a ,的最大（或最小）值.

【新知自学】 知识回顾：

1. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.

新知梳理：

1.最值与极值的区别与联系:

⑴“最值”是整体概念，是比较_____________的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较________函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不一定唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⑷极值只能在_____部取得，而最值可以在区间的_____处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

2.函数的最大值与最小值

（1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的 ，最小值必须是整个区间上的所有函数值中的 .

（2）一般地，如果在区间[]b a ,上函数的图象是 ____ ，那么它必有最大值和最小值.

3.求函数()x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求_________________内的极值；

（2）将()x f 的各极值与 _______ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

对点练习：

1. 函数)(x f 的定义域为),(b a ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列说法中正确的是（ ）

A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值

B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之若有极值，则一定有最值

D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值

3.函数y=sinx+1在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,2-ππ上的最小值是__________,极小值__________. 4.求函数f (x )＝x 2－4x ＋3在区间[-1,3]内的极值和最值．

【合作探究】 典例精析：

例1. 求函数f(x)=e x (3-x 2

)在区间[2,5]上的最大值和最小值.

换成一个不单调有极值比较的情况

或扩大区间为-4—4即可

变式练习：

求函数()x x x f 2+=在区间[0,4]上的最大值与最小值.

例2.已知a 是实数，函数f(x)=x 2(x-a).

（1）若3)1(='f ，求a 的值及曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.

增加条件a=-3/2

变式练习：

在本例中，区间[0,2]改为[-1,0]结果如何？

增加条件a=-3/2

规律总结：

（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

（2）函数f(x)在闭区间上连续，是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．

【课堂小结】

【当堂达标】

1.连续函数()x f 在[]b a ,上有最大值是有极大值的（ ）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2．函数223)(a bx ax x x f +--=，在1=x 时有极值10，则b a ,的值为（ ）

A ．11,4-3,3==-==b a b a 或

B. 11,4-1,4-====b a b a 或

C. 5,1-==b a

D.以上都不正确

3.函数f(x)=x 3-3x(|x|<1)( )

A.有最大值但无最小值

B.有最大值也有最小值

C.无最大值但有最小值

D.无最大值也无最小值

4.求函数f(x)=]2,0[,sin x 21

π∈+x x 的最值.

【课时作业】

1.函数y=x-sinx,],2[

ππ∈x 的最大值是（ ） A.π-1 B.12

-π C.π D.π+1

2.函数f(x)=e x sinx 在区间]2

,0[π上的值域是（ ） A.]0[2π

e ， B.)0(2πe ， C.)0[2πe ， D.]0(2π

e ，

3.若函数a x x x f --=3)(3在区间[]3,0上的最大值、最小值分别为,,N M 则N M -= .

4.求函数()()()221--=x x x f 在区间[]3,0上的最小值.