人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
人教版高中数学选修2-21.3.3函数的最大(小)值与导数教案
函数的最大(小)值与导数教课建议1.教材剖析本节是函数的极值的持续和发展 ,介绍了最值的求法 .所以 ,本节的要点、难点是求闭区间 [a,b]上函数 f( x)的最大值和最小值 .2.主要问题及教课建议(1)函数的极值与最值.建议教师利用函数图象让学生直观感觉函数极值和最值的联系和差别.(2)求函数的最值.建议教师利用详细的例子 ,概括、总结求函数最值的方法 ; 此外 ,可适入选配一些题目帮助学生理解和掌握 .(3)含参数的问题,概括清楚分类的几种常有状况.备选习题1.已知函数f(x)= ax3-6ax2+b 在 [ -1,2] 上有最大值3,最小值 -29,求 a,b 的值 .解: 依题意 ,明显 a≠0,不然 f(x)=b 为常数 ,矛盾 .由于 f'(x)= 3a x2-12ax=3ax(x-4),x∈ [ -1,2],所以令 f' (x)= 0,解得 x1= 0,x2= 4(舍去 ).①若 a> 0,当 x 变化时 ,f' (x),f(x)的变化状况以下表:( -(0,2x-11,002))f' (x+0-)f(x -极↘-7a+↗ 大16a+)b值b由上表知 ,当 x= 0 时 ,f(x)获得最大值 ,所以 f(0)=b= 3.所以 f(2)=- 16a+ 3,f(-1)=- 7a+ 3,故 f(-1)>f (2) .所以当 x= 2 时 ,f(x) 获得最小值 ,即 -16a+ 3=- 29,a= 2.②若 a< 0,当 x 变化时 ,f' (x),f(x)的变化状况以下表 :x-1( -(0,22 1,0))f' (x-0+ )f(x -极-7a+↘ 小↗16a+)b值b所以当 x=0 时 ,f(x)获得最小值 ,所以 f(0)=b=- 2 9.所以 f(2)=- 16a-29,f(- 1)=- 7a-29,故 f(2) >f (-1).所以当 x= 2 时 ,f(x)获得最大值 ,即 -16a-29= 3,a=- 2.综上所述 ,所求 a,b 的值为2.已知f( x)=x2-aln x,求f(x)在[1,+∞)上的最小值.解:f'( x)= 2x-,①当 a≤ 0 时 ,f' (x)> 0,f(x)在[1, +∞)上单一递加 ,故 f(x)min=f (1)= 1;②当 a> 0 时 ,令 f'( x)= 0 得 x1=- ( 舍去 ),x2 =.若≤ 1,即 0<a ≤ 2 时 ,f(x)在 [1, +∞)上单一递加 ,故 f(x)min=f (1) = 1; 若 > 1,即 a> 2 时,f' (x),f(x)随 x 的变化状况以下表 :xf' (x-0 +)f( x极↘小↗)值故在 x= 时 f(x)取极小值也为最小值 ,所以 f(x) min=f ln.综上所述 : 当 a≤ 2 时 ,f(x) min=f (1)= 1;当 a> 2 时 ,f(x)min=f ln.3 .已知函数f(x)=x ln x.(1)求 f(x)的最小值 ;(2)若对全部 x≥ 1 都有 f(x)≥ ax-1,务实数 a 的取值范围 .解:(1) f( x)的定义域为 (0,+∞),f(x) 的导数为 f'(x)= 1+ ln x.令 f'(x)> 0,解得 x> ;令 f'(x)<0,解得 0<x<.进而 f(x)在上单一递减,在上单一递加 .所以 ,当 x= 时 ,f(x)获得最小值 -.(2)方法一 :令 g(x)=f (x)-(ax-1),则 g'(x)=f' (x)-a= 1-a+ ln x,①若 a≤ 1,当 x≥1 时 ,g'(x)= 1-a+ ln x> 1-a≥ 0,故 g(x) 在(1,+∞)上为增函数 ,所以 x≥1 时 ,g(x)≥ g(1)= 1-a≥ 0,即 f(x)≥ ax-1.②若 a> 1,方程 g'(x)= 0 的根为 x0= e a-1 ,此时 ,若 x∈ (1,x0),则 g'( x)< 0,故 g(x)在该区间上为减函数.所以 x∈(1,x0)时 ,g( x)<g (1)= 1-a< 0,即 f(x)<ax- 1,与题设 f(x)≥ax-1 相矛盾 .综上 ,知足条件的 a 的取值范围是(-∞,1].方法二 :依题意 ,得 f(x)≥ax-1 在 [1,+∞)上恒建立 ,即不等式a≤ ln x+ 关于 x∈ [1,+∞)恒建立 .令 g(x)= ln x+ ,则 g'(x)=.当 x>1 时 ,由于 g'(x)=> 0,故 g(x)是 (1,+∞)上的增函数 ,所以 g( x)的最小值是g(1) =1.所以 a 的取值范围是 (-∞,1].。
高二数学(人教版)选修2-2导学案：1.3.3函数的最大(小)值和导数(无答案)
编号：gswhsxxx2-2-0108文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.3.3函数的最大（小）值与导数导学案学习目标⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点用导数求函数最值的方法和步骤.一、自主学习预习与反馈 （预习教材P 29~ P 31）复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值 复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由函数的最大（小）值1. 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.2. 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，()f x 在闭区间[,]a b 上求最大值与最小值的步骤是：（1） ；（2） 。
3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.二，典型例题例1 求函数. 求函数3()34,[1,2]f x x x x =-+∈上的最大值与最小值.变式. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．例 2 ．设函数()3f x ax bx c =++()0a ≠为奇函数，其图象在点()()1,1f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为－12．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[]1,3-上的最大值和最小值．变式：设213a <<，函数323()2f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.三，课堂小结设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《函数的最大（小）值与导数》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）A ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C ．无最大值也无最小值D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32-4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是6. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.7. 已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间;（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
人教课标版高中数学选修2-2《函数的最大(小)值与导数》导学案
§1.3.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【学习过程】（一）情景问题：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值点，那么()0f x 应满足什么条件呢？探究1：“最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢？（二）合作探究、精讲点拨例题：求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式训练：求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
课后练习与提高1．下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ）A.10<≤aB.10<<aC.11<<-aD.210<<a 3．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
2020秋高中数学人教A版选修2-2学案：1.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析
姓名，年级：时间：1。
3。
3 函数的最大(小)值与导数自主预习·探新知情景引入中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此,很多人就以为“毫、厘”就是长度单位的最小值,在天文学中常用的长度单位是光年（Light y e a r），是光(速度为每秒299 792。
458公里)在一年(365天)里走的距离，因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年．随着人类对宏观世界认识的不断扩大，对微观世界认识的不断深入,大单位的值越来越大,小单位的值越来越小，那么函数是否也有最大值与最小值呢？下面我们谈谈-—函数的最大值与最小值．新知导学1．函数y＝f（x）在闭区间［a,b］上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x）的图象是__一条连续不断__的曲线,那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f(x)在[a，b］上的最大值与最小值的步骤(1）求函数y＝f（x）在__（a，b）__内的极值．（2)将函数y＝f（x)的__各极值__与端点处的__函数值f(a）,f（b)__比较,其中__最大__的一个是最大值，__最小__的一个是最小值．预习自测1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)（ B ）A．最大值为4，最小值为－4B．最大值为4，无最小值C．最小值为－4，无最大值D．既无最大值，也无最小值[解析] f′（x)＝－4x3＋4x,由f′（x）＝0得x＝±1或x＝0。
易知f（－1）＝f（1)＝4为极大值也是最大值,故应选B．2．(2020·鄂伦春自治旗二模）若函数f（x)＝错误!在(－2，a）上有最小值,则a的取值范围为( A )A．（－1,＋∞）B．[－1,＋∞)C．（0，＋∞) D．［0，＋∞）［解析］f′（x）＝错误!，令f′(x）＞0,解得：x＞－1,令f′(x）＜0，解得：x＜－1,故f(x）在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，若f(x)在(－2，a)有最小值,则a＞－1,故选A．3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数【学习目标】1.理解函数的最大值和最小值的观点，认识其与函数的极值的差别与联系；2.会求可导函数 f x 在闭区间a, b 的最大（或最小）值.【新知自学】知识回首：1.鉴别 f(x0)是极大、极小值的方法 :若x 0 知足0，且在0 的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f ( x) 的极值点，0f ( x ) 0x f ( x )是极值，而且假如 f ( x) 在x0双侧知足“”，则 x0是f (x)的极大值点，f ( x0)是极大值；假如 f(x) 在 x0双侧知足“”，则 x0是 f (x) 的极小值点， f ( x0 )是极小值 .新知梳理：1.最值与极值的差别与联系:⑴“最值”是整体观点，是比较 _____________ 的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较________函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不必定独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在_____部获得，而最值能够在区间的_____处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．2.函数的最大值与最小值（ 1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性观点，最大值必是整个区间上全部函数值中的，最小值一定是整个区间上的全部函数值中的.（ 2）一般地，假如在区间a,b 上函数的图象是____，那么它必有最大值和最小值.3.求函数y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求 _________________内的极值；（2）将f x的各极值与 _______ 比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .对点练习：1. 函数f ( x)的定义域为( a, b) ，其导函数f (x)在(a,b) 内的图象以下图，则函数 f (x)在区间 (a,b) 内极小值点的个数是（）A.1B.2C.3D.42.以下说法中正确的选项是（）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B. 闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之如有极值，则必定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但如有极值，则可有多个极值3.函数 y=sinx+1 在区间-,上的最小值是__________,极小值 __________.224.求函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3 在区间 [-1,3] 内的极值和最值．【合作研究】典例精析：例 1. 求函数f(x)=e x(3-x2)在区间[2,5]上的最大值和最小值.换成一个不但一有极值比较的状况或扩大区间为 -4— 4 即可变式练习：求函数 f x x 2 x 在区间 [0,4] 上的最大值与最小值.例 2.已知a是实数，函数f(x)=x 2(x-a).（1）若f (1) 3，求 a 的值及曲线 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）求函数 f(x) 在区间 [0,2] 上的最大值 .增添条件a=-3/2变式练习：在本例中，区间[0,2] 改为 [-1,0] 结果怎样？增添条件a=-3/2规律总结：（ 1）函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；（2）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件；（3）闭区间上的连续函数必定有最值；开区间 (a ， b)内的可导函数不必定有最值，如有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．【讲堂小结】【当堂达标】1.连续函数f x在a,b上有最大值是有极大值的（）A. 充足条件C.充要条件B.必需条件D.既非充足又非必需条件．函数32 2时有极值，则 a,b 的值为（）f ( x) xax bx a，在x 1102A ． a 3,b3或 a -4,b 11B.a -4,b 1或a -4, b 11C. a-1,b 5D. 以上都不正确 3.函数 f(x)=x 3-3x(|x|<1)()A. 有最大值但无最小值B. 有最大值也有最小值D. 无最大值也无最小值4.求函数 f(x)= 1 x sin x, x [ 0,2 ] 的最值 .2【课时作业】1.函数 y=x-sinx,x[ ,] 的最大值是（）2A. -1B.12C. D.+1x）2.函数 f(x)=e sinx 在区间[0, ]上的值域是（2A. [0，e2]B. (0，e2)C. [0，e2)D. (0，e2]3.若函数f ( x)x33x a 在区间0,3 上的最大值、最小值分别为M,N,则M N=.4.求函数 f x x 1 x 2 2在区间0,3 上的最小值.5.设函数 f(x)=tx 2+2t2x+t-1(x R，t>0).（1）求 f(x) 的最小值 h(t) ；（2）若 h(t)<-2t+m 对t（0,2）恒建立，务实数 m 的取值范围 .26．已知函数f(x)＝ x － 1(1)若 f(x)， g(x)的图象在点 (1,0) 处有公共的切线，务实数 a 的值；(2) 设 F(x)＝ f(x)－ 2g(x)，求函数F(x)的极值．。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数[目标] 1.知道函数的最大值与最小值的概念.2.能够区分函数的极值与最值.3.会用导数求闭区间上函数的最大值、最小值．[重点] 在闭区间上求函数的最值．[难点] 与函数最值有关的参数问题．知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值[填一填]1．取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．2．结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得．[答一答]1．函数的极值与最值有何区别与联系？提示：①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常量函数就没有极大值，也没有极小值．③极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．2．如果函数f(x)在开区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f(x)在闭区间[a，b]上的图象不连续，那么它在[a，b]上是否一定有最值？提示：一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤[填一填]1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．2．将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[答一答]3．如果f(x)在闭区间[a，b]上恰好为单调函数，那么如何求f(x)在[a，b]上的最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上单调递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上单调递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．4．如何求函数f(x)在开区间上的最值？提示：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．1．函数的最大值与最小值在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x 在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值． 2．设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值； (3)求实际问题的最大值(最小值)的方法：在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．类型一 求函数的最值【例1】 (1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值． 【思路分析】 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．【解】 (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7， 所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值.因此函数极大值和极小值的判别是关键，如果仅仅是求最值，可将导数为零的点及端点的函数值求出并进行比较，还可以根据函数的单调性求出极值，从而判断出最值.函数f (x )＝xe x 在区间[2,4]上的最小值为( C ) A ．0 B.1e C.4e 4D.2e 2解析：f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )<0，即函数f (x )在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e 4.类型二 由函数的最值确定参数的值【例2】 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b 在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式．【解】 f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )－1－32a ＋bb－a32＋b1－32a ＋b极小值－a 32＋b ，而f (0)>f (a )，又f (1)>f (－1)，故只需比较f (0)与f (1)，f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1.又因为f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62.所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1.由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( D )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－37解析：由f ′(x )＝6x 2－12x >0得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3，∴f (x )＝2x 3－6x 2＋3. 又f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37. 类型三 与最值有关的恒成立问题【例3】 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝ln x ＋1. 令f ′(x )<0，得0<x <1e ， ∴f (x )的单调递减区间是(0，1e )． 令f ′(x )>0，得x >1e ，∴f (x )的单调递增区间是(1e ，＋∞)． (2)∵g ′(x )＝3x 2＋2ax －1， 由题意得：2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1.∵x >0，∴a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立． 设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)．则 h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍)．∴当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋0 － h (x )极大值∴当x ＝max ∴若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)恒成立， 则a ≥h (x )max ＝－2， 即a ≥－2.∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ，即大于函数f (x )值域的上界； (2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ，即小于函数f (x )值域的下界.(1)已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，则实数m 的取值范围为(7，＋∞)．(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]恒有f (x )≥0成立，则a ＝4. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0得，x ＝1或x ＝－23.又f (－1)＝112，f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (2)＝7， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝7，因此m >7. (2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.函数最值在不等式中的应用【例4】 已知两个函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 3＋5x 2＋4x ，其中k ∈R .若对任意的x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)，求k 的取值范围．【解】 对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立⇔f (x )max ≤g (x )min ，x ∈[－3,3]先求g (x )的最小值，g ′(x )＝6x 2＋10x ＋4＝2(3x ＋2)(x ＋1)．令g ′(x )＝0得x ＝－23或x ＝－1， 列表如下： x－3 (－3，－1) －1 (－1，－23) －23⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 3g′(x)＋0－0＋g(x)－21－1－2827111min再求f(x)的最大值：f(x)＝8x2＋16x－k＝8(x＋1)2－8－k，当x∈[－3,3]时，f(x)max＝f(3)＝120－k.由f(x)≤g(x)，可得120－k≤－21⇔k≥141.故k的取值范围是[141，＋∞)．【解后反思】本题其实是一种恒成立问题，只需f(x)max≤g(x)min，则f(x1)≤g(x2)一定恒成立．本题的易错点是分不清“恒成立”还是“能成立”．若本题改为“能成立”，则需要f(x)min≤g(x)max.将例4改为“存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]使f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围”．解：由例4知f(x)min＝－8－k，g(x)max＝111，则－8－k≤111，∴k≥－119.即k的取值范围是[－119，＋∞)．1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(A)A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．2．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(D)A．72B．36 C．12D．0解析：因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y ＝x 4－4x ＋3在x ＝1处取得极小值0.而当x ＝－2时，y ＝27，当x ＝3时，y ＝72，所以当x ＝1时，函数y ＝x 4－4x ＋3取得最小值0.3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值为1e . 解析：∵y ′＝e x ·x ′－(e x )′x (e x )2＝1－xe x ，令y ′＝0，得x ＝1∈[0,2]． ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e 2. ∴f (x )max ＝f (1)＝1e .4．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为(－∞，－1]．解析：f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)， 说明f (x )在[0,1]上单调递减，∴x ∈[0,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即2x ＋2a ≤0. ∴a ≤－x .∴a ≤－1.5．求函数y ＝f (x )＝x 4－2x 2＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值． 解：先求导数，得y ′＝4x 3－4x .令y ′＝0，即4x 3－4x ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. x 变化时，y ′，y 的变化情况以及f (－2)、f (2)的值如下表：当x ＝±1时，函数有最小值4.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-3 函数的最值与导数
课题：3.3.3函数的最大（小）值与导数学习目标：⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.学习过程：【学情调查 情境导入】（预习教材P 96~ P 98，找出疑惑之处）复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.【问题展示 合作探究】探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？ 在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：图1 图2上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.【达标训练 巩固提升】1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）A ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C ．无最大值也无最小值D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ）。
人教版高中数学选修2-2第一章1.3.3函数的最大(小)值与导数
旧知回顾函数极值的定义—— 函数f(x)在点x 0附近有定义， 如果对x 0附近的所有点都有f(x)<f(x 0),则f(x 0)是函数f(x)的一个极大值； 如果对x 0附近的所有点都有f(x)>f(x 0)则f(x 0)是函数f(x)的一个极小值.解方程.当时：()'0f x=()'f x=（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；x()f x()'0f x>()'0f x<（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；x()f x()'0f x<()'0f x>新课导入观察下图，点a 与点b 处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？ a b)(b f )(a f观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比其他点的函数值都大．b点的函数值f(b)比其他点的函数值都小．在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.3.3 导数在研究函数中的应用教学目标知识与能力理解函数的最大值、最小值、的意义.掌握函数最值的判别方法.进一步体验导数的作用.过程与方法从函数的几何图形上观察、探究最大（小）值与极值、两个端点处的函数值之间的关系，总结出一般规律，并用来求一些简单（连续）函数的最大（小）值.情感态度与价值观在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.教学重难点重点求函数的最大（小）值.难点利用导数求函数的最大（小）值.观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______.f(x1)、f(x3) f(x 2) f(b) f(x3) xX 2 o a X 3 b x 1 y极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？a 1x 2x 3x o4x 5x 6x b xy ()x f y =133.1-图 如下图，观察区间[a ，b]上函数y=f(x)的图像，你能找出它的极大值﹑极小值吗？a 1x 2x 3x o 4x 5x 6xb xy ()x f y =133.1-图 观察图像，可以发现是函数y=f(x)的极小值， 是极大值.()()()135f x ,f x ,f x ()()()246f x ,f x ,f x探究你能找出函数y=f(x) 在区间[a ，b]上的最大值﹑最小值吗？从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a ，b]上的最大值是f(a)，最小值是 . ()3f x()x f y =a b x y oa 1x 2x 3x o 4x 5xb xy()x f y =143.1-图153.1-图 在上图中，观察[a,b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a,b]上是否有最大值﹑最小值？如果有，分别是多少？一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出最小值，最大值呢？()把函数y=f x的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值与最小值.求函数在[0,3]上的最大值与最小值.()31f x=x-4x+43[]()()42.33:4,0,3,x =2,f x =1x -4x +43f =-解由例可知在上当时()()f 0=4,f 3=1,又由于因此，函数f(x)在[0,3]上的最大值是4，最小值是 . 43-有极小值，并且极小值为o xy23()4x 4x 31x f 3+-=163.1-图 上述结论可从函数f(x)在[0,3]上的图像得到直观的验证.求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值..解: f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2.x 1（1，2） 2 （2，5） 5 0y - + 311 2 'y 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为.求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.动动手解: 344.y x x '=-令 ,解得x=-1，0，1. 0y '=当x 变化时,的变化情况如下表: ,y y 'x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2y ’- 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.（1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题 .极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.知识要点一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在[a,b]内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识拓展求函数的最值时,应注意:闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.课堂小结一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在[a,b]内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.高考链接（全国卷Ⅱ）已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） 2x x e，当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论.解:对函数求导数得 , f(x)2x f (x)=(x +2x-2ax-2a)e '令 解得 f (x)=0,'2212x =a -1-a +1,x =a -1+a +1当x 变化时,f(x),f′(x) 的变化如下表:x) ,(1x-∞1x),(21xx2x),(2+∞x )(xf')(xf+ 0 － 0 +递增极大值递减极小值递增所以当时，f(x)取得最小值.112++-=aax1 ()21(0),fx x xx=+-<()f x（2008安徽文）设函数则（）A．有最大值 B．有最小值C．是增函数D．是减函数B随堂练习1. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2 ,2]上有最大值3，函数在[-2 , 2]上的最小值_____.-372. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____.-33. 函数f(x)=x³-3x+1在闭区间[-3,0]上的 最大值、最小值分别是（ ）A.1，－1B. 1，-17C. 3，-17D. 9，-19C4. 函数f(x)的定义域为R ，导函数f ´(x)的图象如图，则函数f(x) （ ）A.无极大值点，有两个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点C xo y5. 求函数 在区间[-1，3]上的最大值与最小值. 22x -5x +6f(x)=x +1令 ,得 解: 2225(x -2x -1)f (x)=.(x +1)'()0f x '=1212x =1-2,x =1+2,x ,x [-1,3].∈且相应的函数值为: 7+527-52f(1-2)=,f(1+2)=.22又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得, f(x)在点 处取得最大值 在点 处取得最小值 1x =1-27+52;22x =1+27-52.26. 求函数f(x)=p 2x 2(1-x)p (p 是正数)在[0,1]上的最大值.解: 2p-1f (x)=p x(1-x)[2-(2+p)x].'令 ,解得 1232f (x)=0x =0,x =1,x =.2+p '在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, 2+p 2p f()=4(),2+p 2+p故所求最大值是 2+p p 4().2+p1.习题答案 练习（第31页） 2(1)()62f x x x =--min 149()1224f f ==-max (2)20f f ==3(2)()27f x x x =-max (3)54f f =-=min (3)54f f ==-习题答案3(3)()612f x x x=+-3(4)()3f x x x=-max(2)22f f==min155()327f f=-=max(2)2f f==-min(3)18f f==-。
高中数学选修2-2学案9：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数学习目标1.理解函数的最值的概念(难点)．2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)．3.会用导数求闭区间上函数的最大(小)值(重点、难点)． 知识提炼1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如果在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值或最小值，若函数在(a ，b )上是可导的，该函数的最值必在区间端点处或极值点处取得．温馨提示 注意极值与最值的联系和区别：极值是函数的“局部”性质，而最值是函数的“全局”性质．2．求可导函数在[a ，b ]上最值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的所有极值点；(2)计算函数y ＝f (x )在各极值点和函数值f (a )，f (b )的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．温馨提示 如果函数有最大值或最小值，则最大值或最小值是唯一的．如y ＝sin x ，有无数个极值点，但最大值和最小值分别是1和－1. 思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)有些函数的最值不能通过求导数法求得．( ) (2)三次函数f (x )没有最大值，也没有最小值．( )(3)连续不断的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )上一定有最大值或最小值．( ) (4)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( )2．连续不断的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能3．函数f (x )＝x －2sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值点为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝π6 C ．x ＝π4 D ．x ＝π24．函数y ＝x e x 的最小值为________．5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上有最小值3，那么f (x )在[－2，2]上的最大值是________． 核心突破类型1 求函数在闭区间上的最值(自主研析) 典例1 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 归纳升华1．求可导函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值步骤如下： (1)求f (x )在开区间(a ，b )内所有极值点；(2)计算函数f (x )在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． 3．若连续函数在区间[a ，b ]上是单调函数，则在区间端点处取得最大值和最小值． 变式训练 (1)函数f (x )＝x e －x (x ∈[0，4])的最小值、最大值分别为a ，b ，则a ＋b ＝________． (2)a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．类型2 由函数的最值求参数 典例2 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．归纳升华已知函数的最值求参数或参数范围是求函数最值的逆向探究题型，解决这类问题，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，它们都含有参数，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数或其范围．变式训练 设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求类型3 与函数最值有关的不等式恒成立问题 典例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．归纳升华解决含参数不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法．f(x)>m恒成立⇔f(x)min>m，f(x)<m恒成立⇔f(x)max<m.变式训练已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．课堂小结1．函数的最大值与最小值是一个整体性概念，最大值必须是函数定义域内所有函数值的最大值，最小值必须是函数定义域内所有函数值的最小值，而函数的极值则是函数的局部概念．要注意两者的区别与联系．2．在开区间上连续的函数不一定有最值．例如y＝log2x在区间(0，2)上是连续的，但在该区间上，y＝log2x既没有最大值，也没有最小值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：第1步：求y＝f(x)在开区间(a，b)内的极值；第2步：将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．——★参考答案★——思考尝试1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[解析](1)对，如f(x)＝|x|的最值不能通过求导数法求得．(2)对，三次函数的定义域和值域都是R ，没有最值． (3)错，若函数y ＝f (x )在(a ，b )上是单调函数，则没有最值． (4)错，有极值的函数不一定有最值． 2．[答案]A[解析]因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f ′(x )＝0. 3．[答案]C[解析]令f ′(x )＝1－2cos x ＝0，得cos x ＝22，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π4，又f (0)＝0， f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝π4－1，所以f (π4)最小，所以最小值点为x ＝π4. 4．[答案]－1e[解析]y ′＝e x ＋x ·e x ，令y ′＝0，得x ＝－1. 所以y min ＝－1×e －1＝－1e .5．[答案]43[解析]令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，x ＝－2，0，2对应的f (x )的值分别为a －40，a ，a －8.因为a －40<a －8<a ，所以a －40为最小值，a 为最大值，则a －40＝3，a ＝43，故f (x )在[－2，2]上的最大值是43. 核心突破类型1 求函数在闭区间上的最值(自主研析) 典例1 解：(1)x ∈R ，f (0)＝e 0cos 0－1＝1， 又f ′(x )＝e x cos x －e x sin x －1， 则f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0－1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0，即y ＝1. (2)设g (x )＝f ′(x )＝e x cos x －e x sin x －1， 则g ′(x )＝e x cos x －e x sin x －e x sin x －e x cos x ， 即g ′(x )＝－2e x sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，e x >0，sin x >0，故g ′(x )<0，则g (x )单调递减， 则g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0，故f (x )单调递减， 则f ⎝⎛⎭⎫π2≤f (x )≤f (0)，即－π2≤f (x )≤1， 故f (x )的最大值为1，最小值为－π2.变式训练 (1)[答案]1e[解析] f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．令f ′(x )＝0，得x ＝1，因为f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (4)＝4e 4，所以f (x )的最小值a ＝f (0)＝0，最大值为b ＝f (1)＝1e ，所以a ＋b ＝1e .(2)解：f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时， 有最大值f (0)＝0.若a >0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 因为x ∈[0，1]，则只考虑x ＝a 的情况．①若0<a <1，即0<a <1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)②若a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0，1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0<a <1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1. 类型2 由函数的最值求参数典例2 解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ； 令29＋2a ＞0，得a >－19，所以当a >－19时，f (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增．因为0<a <2，所以x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，所以f (4)<f (1)，所以f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为f (2)＝103.变式训练解：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表所示：从上表可知，当x＝0，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故要比较f(0)与f(1)的大小．从上表可知，当x＝0，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故要比较f(0)与f(1)的大小．综上可得：a＝63，b＝1.类型3与函数最值有关的不等式恒成立问题典例3解：(1)因为f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，所以当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：↗↘所以g(t)在h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0.所以m的取值范围为(1，＋∞)．变式训练解：f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x>1时，g′(x)<0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．。
人教A版数学高二选修2-2学案1.3.3函数的最大(小)值与导数
1．3.3函数的最大(小)值与导数预习课本P29～31，思考并完成下列问题(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？(2)函数的最值与极值有什么关系？(3)求函数最值的方法和步骤是什么？[新知初探]1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．[点睛]对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[点睛]函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．若函数f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，则f (x )( ) A ．最大值为4，最小值为－4 B ．最大值为4，无最小值 C ．最小值为－4，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值 答案：B3．函数f (x )＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 答案：14．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案：(－4，－2)求函数的极值[典例] 上的最值． [解] f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－2，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2 ⎝⎛⎭⎫－2， 3232 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) 0 － 0 ＋f (x )57－1154由于当x ＞32时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．求函数最值的四个步骤第一步求函数的定义域．第二步求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． 第四步求极值、端点值，确定最值． [活学活用]函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12， ∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎡⎭⎫0，π6上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B. 由函数的最值求参数的取值范围[典例] (1)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2D ．－1(2)已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2，2]上的最大值．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2， 则f (2)最大，即a ＋2＝3，答案：B(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.f(0)>f(2)>f(－2)，所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.所以当x＝0时，f(x)max＝3.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值．(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[活学活用]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：存在．显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x [－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减所以当x＝0又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x [－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以当x＝0又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，所以当x ＝2时，f (x )取得最大值， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2， 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.与最值有关的恒成立问题[典例] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，－23－23 ⎝⎛⎭⎫－23，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解：由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3＞0，解得c ∈R.2．[变条件，变设问]已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处取得极小值－43.(1)求f (x )的单调递增区间． (2)若f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋a ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4； 再由f (2)＝－43，得b ＝4.所以f (x )＝13x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝x 2－4>0，得x >2或x <－2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )在[－4,3]上的最大值为283.要使f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立， 只需m 2＋m ＋103≥283， 解得m ≥2或m ≤－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f (x )<h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数的最大值f (x )max ，只要h >f (x )max ，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f (x )>h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数f (x )的最小值f (x )min ，只要f (x )min >h ，则不等式f (x )>h 恒成立．层级一 学业水平达标1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1D ．不确定解析： 选A 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A. 2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 3．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 5．函数y ＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x－1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：147．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x ＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0. 答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1，由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4， ∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.2．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22. 4．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3.5．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________. 解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－ 1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解之得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.8．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。
高中数学选修2-2精品学案：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的__________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[－3，3]时，求f(x)的最大值与最小值．反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]的值域是________．(2)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]时的最值．命题角度2 含参数的函数求最值例2 已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋b (x ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝6x －8，求a ，b 的值； (2)若a >0，b ＝2，当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值．类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)(2)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0，求a的值．类型三与最值有关的恒成立问题例4已知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．1．函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，最小值 C ．无最大值，最小值 D ．无最大值，有最小值2．函数f (x )＝x 2·e x ＋1，x ∈[－2,1]的最大值为( ) A ．4e －1 B ．1 C ．e 2D ．3e 23．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为( ) A ．16 B ．12 C ．32D ．64．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为__________．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2,2]上的最大值．1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．[答案]精析问题导学 知识点思考1 极大值为f (x 1)，f (x 3)，极小值为f (x 2)，f (x 4)． 思考2 存在，f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (x 3)． 思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 梳理 (1)连续不断(2)①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值 题型探究例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3 ＝3(x ＋1)(x －1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．(2)由(1)可知，x ∈[－3，3]时，f (x )的极大值为f (－1)＝2，f (x )的极小值为f (1)＝－2，又f (－3)＝0，f (3)＝18，所以当x ∈[－3，3]时，f (x )的最大值为18，f (x )的最小值为－2. 跟踪训练1 (1)[－1，π24][解析] f ′(x )＝2x ＋sin x ，令f ′(x )＝0，即2x ＋sin x ＝0，得x ＝0， f (0)＝－cos 0＝－1， f (π2)＝f (－π2)＝π24， ∴f (x )的最大值为π24，f (x )的最小值为－1.则f (x )的值域为[－1，π24]．(2)解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a＝5，∴f′(x)＝3x2－10x＋3.令f′(x)＝0，即3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13(舍去)．∵f(3)＝－9，f(1)＝－1，f(5)＝15，∴当x∈[1,5]时，f(x)的最小值为－9，最大值为15.例2解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.由x∈[0,1]，则只考虑x＝a的情况．①当0<a<1，即0<a<1时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)max＝f(a)＝2a a.②当a≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.跟踪训练2解(1)f′(x)＝3ax2－3x，由f′(2)＝6，得a＝1.由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，所以a ＝1，b ＝2.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a ，分以下两种情况讨论：①若1a >1，即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a <1，即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝12－a ，f (1a )＝2－12a 2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a 2>0， 所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .综合①和②知，f (x )min ＝f (－1)＝12－a .例3 解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.跟踪训练3(1)C[由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减，且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.](2)解 f (x )的定义域为(－a ，＋∞)， f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上单调递减；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上单调递增．因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 例4 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤h (x )min ＝4.跟踪训练4 解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e. 当堂训练1．A 2.C 3.C 4.[12，12e π2]5．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，所以a ＝3. 所以当x ＝0时，f (x )取到最大值3.。
人教版A版高中数学选修2-2：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
课后作业
一、必做题： 1、课本书P32第6题（1）、（4）小题；（写作业本上） 2、优化指导P24学业达标测试。 二、选做题：
1、若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
2、已知 f(x)＝x3－1x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 2
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
A 3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为( ) 432
一、复习引入
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求函数的定义域； (2) 求导函数f/(x)，并解方程f/(x)=0；
(3) 列表； (4) 得结论，由方程f/(x)=0的根的左右的符号， 确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
注：导数等于零的点不一定是极值点．
二、新课——函数的最值 y
y
y fx
y
y fx
ao
图1
bx
o a x1 x2 x3
x4 x5 b x
图2
在图1、2中,观察a,b上的函数y f x的图象, 它们在a, b上有最大值、最小值吗? 如果有,
最大值和最小值分别是什么?
思考：
1、函数具备什么条件就一定有最值？
（1）给定函数的区间必须是闭区间； （2）函数的图象在闭区间上必须是一条连续不 断的曲线。 注：在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
人教A版选修2-2 1.3.3函数的最大值与最小值 教案
1．3．3 函数的最大值与最小值(一)一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学过程：（一）复习引入 1、问题1：观察函数f (x )在区间[a ，b ]的极大值、极小值和最大值、最小值． 2、问题2：观察函数f (x )在区间 [a ，b ]的极大值、极小值和最大值、最小值．（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？⑶ 怎样求最大值与最小值？4、求函数y ＝44313+-x x 在区间[0, 3]上的最大值与最小值．（二）讲授新课1、函数的最大值与最小值一般地，设y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，在[a ，b ]上y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。
函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。
2、求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分为两步进行：⑴ 求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；⑵ 将y ＝f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例1．求函数y ＝x 4－2x 2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．解： y'＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)令y'＝0，即 4x (x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－1，0，1．当x 变化时，y'，y 的变化情况如下表：故 当x ＝±2时，函数有最大值13，当x ＝±1时，函数有最小值4．练习例2．求函数y ＝5363423+-+x x x在区间[-2, ∞+]上的最大值与最小值．例3. 求函数]4,0[,2)(∈+=x x x x f 的最大值和最小值.例4. 求函数]2,0[41)1ln()(2∈-+=x x x f 的最大值和最小值.（三）课堂小结已知函数解析式，确定可导函数在区间[a , b ]上最值的方法；（四）课后作业。
高中数学选修2-2学案7：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数课标要求1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 核心扫描1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点) 2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题. 课前探究学习：函数的极值与最大(小)值的理解(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质：如果x 0是函数y ＝f (x )的极大(小)值点，那么在点x 0附近找不到比f (x 0)更大(小)的值；最值反映的是函数在整个定义域内的性质：如果x 0是函数y ＝f (x )的最大(小)值点，那么f (x 0)不小(大)于函数y ＝f (x )在相应区间上的所有函数值．(2)在开区间(a ，b )内连续的函数不一定有最大值与最小值．例如，曲线y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内连续不断的，但没有最大值与最小值． (3)若函数f (x )在开区间I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f (x )在区间I 上的最大(小)值．(4)开区间(a ，b )上连续函数y ＝f (x )的最值的几种情况 图(1)中的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )上有最大值无最小值； 图(2)中的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b ) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b ) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )上既有最大值又有最小值．课堂讲练互动：题型一 求函数在闭区间上的最值例1：求下列各函数的最值：(1)f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．规律方法 求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．变式1：求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．题型二含参数的最值问题例2：已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．规律方法由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．变式2：在本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？题型三函数最值的综合应用例3：已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．题后反思：不等式恒成立时求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．变式3：设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．题型四数形结合思想在最值中的应用学习了利用导数研究函数的极值与最值后，结合以前所研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．能够大致地描绘函数图象，一些数学问题便能顺利解决．方程根的个数或者说函数零点个数问题即是本节知识数形结合的一个具体的应用．例4：求方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数．方法点评：(1)方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x轴的交点的横坐标，因此研究方程的根的问题，可以转化为函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决．(2)在讨论函数的大致图象时，利用导数，得到函数的单调性以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况.——★参考答案★——例1：解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f ′(x )＝－4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－1，x ＝0，x ＝1.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↗↗当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2. 变式1：解： (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表 ↗↘↗当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： ↗当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.例2：解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 3x －y －2＝0.(2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (0<a ≤2)，0(2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (a ≤2)，0 (a >2).变式2：解：令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，23a 上单调递增； 在⎣⎡⎦⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫23a ＝－427a 3. 综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.例3：解： (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表： ↗∴x ∈[－2,6]时f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18，∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围 变式3：解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时g ′(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2) max h (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立， 也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立， 只需g (t ) max ＝1－m <0，∴m >1.例4：解：法一 转化为求f (x )＝x 3－6x 2＋9x －4的零点的个数问题．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：↗↘↗又当x→＋∞时，f(x)→＋∞，x→－∞时，f(x)→－∞.故f(x)的图象大致如图所示：∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2个．法二转化为求f1(x)＝x3－6x2＋9x与f2(x)＝4图象交点的个数问题．由f1(x)＝x3－6x2＋9x，∴f′1(x)＝3x2－12x＋9.令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1.当x变化时，f′1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：↗↘↗1当x→－∞时，f1(x)→－∞.故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示．由此知y＝f1(x)，y＝f2(x)有两个交点，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数有2个．。
高中数学选修2-2精品课件4：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
4.设f(x)的最小值为m，最大值为M，欲证f(x)>a恒成立，只要 证明___m_>_a___，欲证f(x)<b恒成立，只要证明__M__<_b___；欲证 f(x)<g(x) 恒 成 立 ， 可 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) － g(x) 转 化 为 证 明 __F__(x_)_<_0___恒成立；观察f(x)与f′(x)的图象时，要抓住其对应 关系，f(x)单调递____增____区间对应f′(x)的正值区间,f(x)的单 调递____减____区间对应f′(x)的负值区间，f(x)图象的极值点(拐 点)，对应f′(x)的___零__点___；讨论函数f(x)的零点个数可转化为 讨论f(x)的单调性和___极__值___的符号，或转化为两函数图象的 __交__点____个数等；不等式恒成立和解不等式、不等式有解， 三者应注意区分．
中 的 最 大 值 和 最 小 值 ； f(x) 在 区 间 A 上 单 调 递 增 ( 减 ) ， 则
f′(x)≥0(f′(x)≤0)在A上___恒__成__立___；f(x)的单调区间为A，若f(x) 在A的端点处有定义，则该端点一定为f′(x)的_变__号__零__点__或定义 域 的 ___边__界__点_____ ； 若 f(x) 在 A(x0 ， y0) 点 存 在 极 值 ， 则 有 f′(x0)____＝____0，且当x1<x0<x2，x1，x2在f(x)的定义域内时， 必有f′(x1)·f′(x2)____<____0；
新知导学
1.下图中的函数f(x)的最大值为__f_(_g_)_,最小值为___f(_b_)_．
而极大值为___f_(d_)_，__f_(g_)__，极小值为___f_(c_)_，__f_(e_)__．
人教版数学高二选修2-2教案1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 知识与技能：1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点难点教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 三、教学过程：函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距.需要教师指导并借助动画给予直观的认识. 五、教学方法 发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案. 七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.提问1.极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若x 0满足()00f x '=，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ); (2)求方程f ′(x )=0的根;(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值. （二）情景导入、展示目标.设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标.1.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值． ⑴在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x )在闭区间上连续，是f (x )在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x )在(a ,b )内的极值；⑵将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在上的最值（三）合作探究、精讲点拨.例1：求函数f (x )＝－x 3＋2x 2＋3在上的最大值与最小值. 解：f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：单调递减当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3.例2：已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∵在(－1,3)上f ′(x )＞0， ∴f (x )在上单调递增． 又由于f (x )在上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值． ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间上的最小值为－7.多媒体展示探究思考题.在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导.（四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正.（五）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练.九、板书设计1.函数的最大值和最小值2.利用导数求函数的最值步骤:十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的.。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数内容标准学科素养1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值、最小值的概念；2.弄清函数的最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件；3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.提升直观想象加强逻辑推理规范数学运算授课提示：对应学生用书第16页[基础认识]知识点一闭区间上连续函数的最值预习教材P29－31，思考并完成以下问题1．函数y＝f(x)在定义域I内的最大值与最小值是怎样定义的？提示：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得∀x∈I，总有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，则称f(x0)为函数f(x)在定义域I上的最大值(或最小值)．2．如图是函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．(1)你能找出它的极大值、极小值吗？提示：f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．(2)你能找出它的最大值、最小值吗？提示：f(a)是函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值，f(x3)是函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值．(3)若将区间改为(a，b)，y＝f(x)在(a，b)上还有最值吗？提示：若区间改为(a，b)，则y＝f(x)有最小值f(x3)，无最大值．(4)由以上讨论，你能得出什么结论？提示：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．知识梳理闭区间上连续函数的最值一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．知识点二 求函数在闭区间上最值的步骤知识梳理 一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．思考：1.函数的最大(小)值最多只能有一个，那么函数的最大(小)值点呢？提示：函数的最大(小)值最多只能有一个，而最大(小)值点却可以有多个，如正弦函数的最值点与极值点相同，都有无穷多个．2．函数在给定区间上是否一定有最值或极值？提示：如果函数y ＝f (x )的图象是区间[a ，b ]上一条连续不断的曲线，且在(a ，b )上可导，则(1)f (x )在[a ，b ]上必有最值．(2)若f (x )在区间(a ，b )上为单调函数，则无极值；若f (x )在区间(a ，b )上先增(减)后减(增)，则必存在一个极大(小)值．3．函数的极值与最值有何区别和联系？ 提示：函数最值与极值的区别与联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．[自我检测]1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确． 答案：C2．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，有最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 解析：f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，所以f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.答案：B3．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设y ＝x 2－4x ，y ′＝2x －4，令y ′＝0，得x ＝2.所以y ＝x 2－4x 在(－∞，2)上是减函数，即在x ∈[0,1]上也是减函数， 所以y min ＝12－4＝－3，所以m ≤－3，即m ∈(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]授课提示：对应学生用书第17页 探究一 求已知函数的最值 [例1] 求下列函数的最值．(1)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正常数； (2)f (x )＝a 2x ＋b 21－x，x ∈(0,1)，a ＞0，b ＞0.[解析] (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x . 当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立， 即f (x )在[0，a ]上是减函数．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ； 当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0. (2)f ′(x )＝－a 2x 2＋b 2(1－x )2＝b 2x 2－a 2(1－x )2x 2(1－x )2，令f ′(x )＝0，即b 2x 2－a 2(1－x )2＝0， 解得x ＝a a ＋b 或x ＝aa －b(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从上表可知当x ＝aa ＋b 时，f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎫a a ＋b ＝(a ＋b )2.在x ∈(0,1)上，函数无最大值．误区警示 求函数在固定区间上最值的注意事项 (1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点处的函数值；(3)比较极值与端点处的函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论． 方法技巧 用导数求函数f (x )最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f (x )的导函数f ′(x )；(2)求极值嫌疑点：即f ′(x )不存在的点和f ′(x )＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f ′(x )与f (x )随x 变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f (x )的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f (x )在其定义域内的最大值和最小值．跟踪探究 1.函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋6在区间[－4,4]上的最大值为( ) A ．11 B ．－70 C ．－14D ．－21解析：函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋6的导数为f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3，由f (－4)＝－70；f (－1)＝11；f (3)＝－21；f (4)＝－14；所以函数y ＝x 3－3x 2－9x ＋6在区间[－4,4]上的最大值为11. 答案：A2．函数y ＝x ln x 的最小值为( ) A ．－e －1 B ．－e C ．e 2D ．－103解析：因为y ＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， 所以y ′＝1＋ln x ，令y ′＞0，解得：x ＞1e ，令y ′＜0，解得0＜x ＜1e，所以函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上递增，故x ＝1e 时，函数取最小值是－1e . 答案：A探究二 含参数的最值问题[例2] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． [解析] 因为f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ， 又g ′(x )＝e x －2a ， 因为x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ， 所以：(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x －2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增， g (x )min ＝g (0)＝1－b .(2)若12＜a ＜e2，则1＜2a ＜e ，于是当0＜x ＜ln(2a )时， g ′(x )＝e x －2a ＜0，当ln(2a )＜x ＜1时，g ′(x )＝e x －2a ＞0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增， g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . (3)若a ≥e2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x －2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减， g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为e －2a －b .延伸探究 1.若a ＝1，b ＝－2，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解析：因为a ＝1，b ＝－2， g (x )＝f ′(x )＝e x －2x ＋2， 又g ′(x )＝e x －2，令g ′(x )＝0，因为x ∈[0,1]，解得x ＝ln 2，已知当x ＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.2．当b ＝0时，若函数g (x )在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值． 解析：当b ＝0时， 因为f (x )＝e x －ax 2－1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax ， 又g ′(x )＝e x －2a ， 因为x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ， 所以：(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x －2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增， g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意． (2)若12＜a ＜e2，则1＜2a ＜e ，于是当0＜x ＜ln(2a )时，g ′(x )＝e x －2a ＜0， 当ln(2a )＜x ＜1时，g ′(x )＝e x －2a ＞0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增， g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )＝0， 解得a ＝e2不符合题意，舍去．(3)若a ≥e2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x －2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减， g (x )min ＝g (1)＝e －2a ＝0，解得a ＝e2.方法技巧 1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2．已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．跟踪探究 3.设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解析：令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )＝0，得x ＝0或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从表中可知，当x ＝0时，y ＝f (x )取得极大值b ，x ＝a 时取得极小值－a 2＋b ，而f (1)＞f (a )，f (0)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，所以y ＝f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以y ＝f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－62，所以－32a ＝－62，a ＝63.探究三 与函数最值有关的综合问题[例3] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ＞f ⎝⎛⎭⎫－23，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )＜c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2＞f (2)＝2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2. 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．延伸探究 1.本例(2)中条件不变，问法改为求函数f (x )在区间[－1,2]上的最值，结果如何？ 解析：f ′(x )＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表：由于2＋c ＞2227＋c ＞12＋c ＞－32＋c ，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为2＋c ， 最小值为－32＋c .2．本例(2)中条件不变，问法“若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2成立”，结果如何？解析：f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c ＞c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2成立， 所以只需c 2＞f (1)＝c －32，解得c ∈R .方法技巧 分离参数求解不等式恒成立问题跟踪探究 4.已知函数f (x )＝(x －1)3＋m . (1)若f (1)＝1，求函数f (x )的单调区间．(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 3－1在区间[1,2]上恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)因为f (1)＝1，所以m ＝1， 则f (x )＝(x －1)3＋1＝x 3－3x 2＋3x ，而f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0恒成立， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)不等式f (x )≥x 3－1在区间[1,2]上恒成立，即不等式3x 2－3x －m ≤0在区间[1,2]上恒成立，即不等式m ≥3x 2－3x 在区间[1,2]上恒成立，即m 不小于3x 2－3x 在区间[1,2]上的最大值． 因为x ∈[1,2]时，3x 2－3x ＝3⎝⎛⎭⎫x －122－34∈[0,6]， 所以m 的取值范围是[0，＋∞).授课提示：对应学生用书第18页[课后小结](1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．(2)已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． (3)若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．(4)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值．[素养培优]误把极值当最值致误易错案例：已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋5，在x ＝－2和x ＝23处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式． (2)求函数f (x )在[－4,1]上的最值．易错分析：本题求函数最值，往往没有比较端点值和极值的大小而错误地认为极值就是最值而丢分．考查直观想象、逻辑推理的核心素养．自我纠正：(1)因为f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，因为在x ＝－2和x ＝23处取得极值， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，解得a ＝－2，b ＝－4.所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)因为f ′(x )＝3x 2＋4x －4，所以由f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝23，所以f (x )在[－4，－2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2，23上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23，1上单调递增．因为f (－4)＝－11，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4. 所以f (x )max ＝f (－2)＝13，f (x )min ＝f (－4)＝－11.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
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1.3.3函数的最大（小）值与导数
【学习目标】
1.理解函数的最大值和最小值的概念，了解其与函数的极值的区别与联系；
2.会求可导函数()x f 在闭区间[]b a ,的最大（或最小）值.
【新知自学】 知识回顾：
1. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.
新知梳理：
1.最值与极值的区别与联系:
⑴“最值”是整体概念，是比较_____________的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较________函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不一定唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在_____部取得，而最值可以在区间的_____处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
2.函数的最大值与最小值
（1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的 ，最小值必须是整个区间上的所有函数值中的 .
（2）一般地，如果在区间[]b a ,上函数的图象是 ____ ，那么它必有最大值和最小值.
3.求函数()x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求_________________内的极值；
（2）将()x f 的各极值与 _______ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
对点练习：
1. 函数)(x f 的定义域为),(b a ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列说法中正确的是（ ）
A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之若有极值，则一定有最值
D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
3.函数y=sinx+1在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,2-ππ上的最小值是__________,极小值__________. 4.求函数f (x )＝x 2－4x ＋3在区间[-1,3]内的极值和最值．
【合作探究】 典例精析：
例1. 求函数f(x)=e x (3-x 2
)在区间[2,5]上的最大值和最小值.
换成一个不单调有极值比较的情况
或扩大区间为-4—4即可
变式练习：
求函数()x x x f 2+=在区间[0,4]上的最大值与最小值.
例2.已知a 是实数，函数f(x)=x 2(x-a).
（1）若3)1(='f ，求a 的值及曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.
增加条件a=-3/2
变式练习：
在本例中，区间[0,2]改为[-1,0]结果如何？
增加条件a=-3/2
规律总结：
（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
（2）函数f(x)在闭区间上连续，是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．
【课堂小结】
【当堂达标】
1.连续函数()x f 在[]b a ,上有最大值是有极大值的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2．函数223)(a bx ax x x f +--=，在1=x 时有极值10，则b a ,的值为（ ）
A ．11,4-3,3==-==b a b a 或
B. 11,4-1,4-====b a b a 或
C. 5,1-==b a
D.以上都不正确
3.函数f(x)=x 3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值但无最小值
B.有最大值也有最小值
C.无最大值但有最小值
D.无最大值也无最小值
4.求函数f(x)=]2,0[,sin x 21
π∈+x x 的最值.
【课时作业】
1.函数y=x-sinx,],2[
ππ∈x 的最大值是（ ） A.π-1 B.12
-π C.π D.π+1
2.函数f(x)=e x sinx 在区间]2
,0[π上的值域是（ ） A.]0[2π
e ， B.)0(2πe ， C.)0[2πe ， D.]0(2π
e ，
3.若函数a x x x f --=3)(3在区间[]3,0上的最大值、最小值分别为,,N M 则N M -= .
4.求函数()()()221--=x x x f 在区间[]3,0上的最小值.
5.设函数f(x)=tx 2+2t 2x+t-1(x ，R ∈t>0).
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）若h(t)<-2t+m 对）（2,0t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
6．已知函数f (x )＝x 2－1
与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．
(1)若f (x )，g (x )的图象在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值；
(2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．。