两条直线的交点坐标与距离公式

＊对应演练＊
过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的 距离为 10 的直线的方程为 .
3x-y-4=0(设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即 （7+λ）x+(5-λ)y-24=0. ∴
| (7 + λ) × 5 + (5 - λ) -Hale Waihona Puke Baidu24 | (7 + λ) + (5 - λ)
=
| 2-2+3|
2 2
,
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【评析】 (1)对称问题是解析几何中的一个重要题型, 是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲 线上的点关于直线对称来解决.求点P(x0,y0)关于直线 l:Ax+By+C=0的对称点Q(x1,y1)的坐标,可利用PQ⊥l及线 段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题解法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法 解题的.这是解这类问题的一个通法. (2)两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论： ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y); ②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y); ③点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y); ④点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x);
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
{
y 1 + 3 x1 = +1 2 2
y1 - 3 =-1 x1
即kx-y+k+2=0.由题意知
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-
| 2k - 3 + k + 2 | k +1
2
=
| -4k - 5 + k + 2 | k2 +1
1 . 3 1 ∴直线l的方程为y-2=- (x+1), 3
即x+3y-5=0. 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意. 返回目录
3 5x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为 求 5 5 出l的斜率为- ,于是由直线的点斜式方程求出 3 5 l:y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 3
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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线, 而l过l1,l2的交点(-1,2),故5〓(-1)+3〓2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0. 解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得
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考点二 距离公式的应用
已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1：x+y+1=0，l2： x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.
【分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用 两点间距离公式求解.
【解析】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的 方程为x=3，此时与l1，l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5，符合题意. 返回目录
得
{
x1=2
y1=1,
1+1 ∴l2的方程为y-1= (x-2),即x-2y=0. 2+2
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解法二:设所求直线上一点P(x,y), 则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称. 由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点 x + x0 y + y 0 , P2( )在直线l上. 2 2 ∴
两直线的交点坐标与 距离公式
一、两直线的交点 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{
A1x+B1y+C1=0
的解，
A2x+B2y+C2=0
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（或B1C2-B2C1≠0）时,两 平行 条直线无交点,即 ，③当A1B2-A2B1=0且A1C2A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点, 重合. 即 二、距离公式 1.两点间的距离
{
{
故应选B.）
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考点四
直线系方程的应用
求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
【分析】 (1)先求出直线l1与l2的交点,然后利用点 斜式求出直线方程.
(2)可利用垂直直线系方程求解.
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【解析】解法一:先解方程组3x+2y-1=0
(1)求一条直线上一点到另一条直线的距离.
(2)设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则
C1 - C 2
d=
A2 + B2 .
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考点一 两直线位置关系的判定 已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m,l2:2x+(m+5)y=8,问m为 何值时: ①l1∥l2;②l1与l2重合; ③l1与l2相交;④l1与l2垂直. 【分析】利用两直线平行、重合、相交、垂直的条 件求解. 返回目录
m,n的值，使
（1）l1与l2相交于点P(m,-1); （2）l1∥l2; （3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
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（1）∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7. （2）由m· m-8〓2=0，得m=〒4, 由8〓(-1)-n·m≠0,得n≠〒2, 即m=4,n≠-2时，或m=-4,n≠2时，l1∥l2. （3）当且仅当m· 2+8· m=0，即m=0时，l1⊥l2， n 又- =-1,∴n=8. 8 即m=0，n=8时,l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
【解析】①由
m+3 4 3m - 5 ，得m=-7, = ≠ 2 m+5 -8
∴当m=-7时,l1∥l2. ②由
m+3 4 3m - 5 ，得m=-1, = = 2 5+m -8
∴当m=-1时，l1与l2重合.
m+3 4 ≠ ③由 ，得m≠-1且m≠-7, 2 5+m
∴当m≠-1且m≠-7时，l1与l2相交. ④由(m+3)· 2+4(m+5)=0,得m=13 ∴当m=- 时，l1与l2垂直. 3 13 , 3
代入直线l1:y=2x+3得x+1=2〓(y-1)+3, 整理得x-2y=0. ∴所求直线方程为x-2y=0.
{
y0 - y · 1=-1 x0 - x 变形得 y + y 0 x + x0 , = +1 2 2
{
x0=y-1 y0=x+1,
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解法三: 由
{
y=2x+3 y=x+1 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),
3 + 5λ 2 + 2λ - 1 + λ = = 5 3 C 由等比定理,得 - 1 + λ - 2(3 + 5 λ) + 5(2 + 2 λ) 4 = = C - 2× 5 + 5× 3 5 又 - 2(-1 + λ) + (2 + 2 λ) = 4 = 4 - 2·C + 3 3 - 2C 5 ∴C=-1,代入①即得l的方程为5x+3y-1=0.
y1），B（x2，y2）， 则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0， 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5， 又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25， 联立①②可得 ① ②
{
x1-x2=5
y1-y2=0
或
{
x1-x2=0
y1-y2=5.
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°. 故所求的直线方程为x=3或y=1.
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
x+y+6=0,
由两点间的距离公式,得 1 - 4k 1 - 9k 3k - 2 3k - 7 2 ( ) +( )2=25, k +1 k +1 k +1 k +1 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1. 返回目录
解法二：设直线l与l1，l2分别相交于A（x1，
解法二:当AB∥l时,有k=kAB=- 1，直线l的方程为y-2= 3 - 1 (x+1),即x+3y-5=0.
3
当l过AB的中点时，AB中点坐标为 （-1,2）,
∴直线AB的方程为x=-1. 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
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考点三
对称问题
求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.
⑤点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
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＊对应演练＊
已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称, 则l2的方程是（ ） A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0 B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0
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B（l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2 上，故l与l1的交点（1，0）在l2上.又易知（0，-2）为 l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则 x+0 y-2 -1=0， x=-1， 2 2 得 即（1，0）， y+2 y=-1. × 1 =-1, x （-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
③过直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0
的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ是实数),但不包括l2,应用直线系方程①②可比较快捷地 求出与已知直线平行或垂直的直线方程,利用直线系方程 ③可解决与相交和过定点有关的问题. 返回目录
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【评析】（1）垂直有两种情况：一种是一条直线 的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜 率都存在，且两个斜率的积为-1. （2）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都 不存在；另一种就是斜率都存在并且相等.
（3）两条直线重合即方程是相同的.
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＊对应演练＊
已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3 + 5λ 5 其斜率 , =2 + 2λ 3 1 解得λ= ,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0. 5
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解法四:∵l⊥l3, 故l属于直线系5x+3y+C=0, ①
又l过l1,l2的交点,故l又属于直线系
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 则①,②是同一直线,必有 ②
∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 在直线l上任取一点(1,2), 由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,
由点到直线的距离公式得
| k - 2 + 2k - 1 |
2 2
1 +k 2 + (-1) 1 解得k= (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0. 2
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{
【评析】 (1)解法一是通法通解,用了求交点及两直线 垂直时斜率之间的关系求出斜率,然后利用点斜式求出方 程.解法二与解法三比较灵活,用了垂直和相交的直线系方 程,运算较简捷.
(2)常见的直线系方程:
①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). ②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R).