§4.2换元积分法(第二类换元法)

§ 4.2 换元积分法(第二类)

I 授课题目(章节)：

§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)

n 教学目的与要求：

1.了解第二类换元法的基本思想

2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法

川教学重点与难点：

重点：第二换元法中的三角代换及根式代换

难点：积分后的结果进行反代换

IV 讲授内容：

第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时.如果函数g(x)可以化为f[：:(x)]：「(x)的形式.那么

g(x)dx = f[ (x)] (x)dx 二f[ (x)]d ;:(x)^(x\ f (u)du

= F(u) C =F[ (x)] C

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如 f [- (x)F (x)函数来.对于某些

函数第一换元积分法无能为力，例如..a^x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要

学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x二(t)将无理函数f (x)的积分.f (x)dx化为有理式(t)卜(t)的积分.(t)F (t)dt。即卩

f (x)dx= . f「(t)「(t)dt

若上面的等式右端的被积函数f「(t)「(t)有原函数G(t)，则.(t)]：(t)dt = G (t) • C,

然后再把「(t)中的t还原成4(x)，所以需要一开始的变量代换x = ' (t)有反函数。

定理2设x =?(t)是单调、可导的函数，且；(t) = 0，又设f「：(t)]；(t)有原函数叮」(t)，则.f (x)dx「(t)]，(t)dt =「(t) C_1(x)] C 分析要证明.f(x)dx =叫'4(x)] C ,只要证明叮4(x)]的导数为f (x),

dt dx

=(2 - 2cos2 t)dt = 2t - sin 2t C dt 1

证明；x=t(t)单调、可导，. x= (t) 存在反函数t =屮J (x)，且——=—

dx dx dt

'■ (t)

>•：「」(x)] =

dx 二f (x)

- A(x)]是f (x)是一个原函数 f (x)dx —'(x)] C .

第二换元法，常用于如下基本类型

类型1 ：被积函数中含有；a2- x2( a 0),可令x=asint (并约定t冷)则=a2-x2= a cost，dx = acostdx，可将原积分化作三角有理函数的积分

例 1 求\/：;a2- x2dx (a 0)

解令x = asint ■■ 2 2

，t ( ,)，贝U . a -x -acost dx^acostdt

2 2

.i _a2「x2dx 二a costa costdt i i 2 2

a

2

(

11

cos2t)d^l t 7sin2t C

2 2 2 ____________________________________________________________ =——sin tcost +C = ^arcsin △J a2 _x2 +C .

2 2 2 a 2

借助下面的辅助三角形把sin t , cost用x表示.

x

2

例2求-4_x2dx

解令x = 2sint ,

」」；2

t ( ,)，则、4 - x 二2cost , dx 二2costdt

2 2

4sin 2t

2cost

2costdt =

1- cos2t

2

dt

X x -

---------- 2

=2t - 2sin t cost C = 2arcsin

4 - x C

2 2

■ -------- 冗 冗

类型2 :被积函数中含有 ■. a 2 x 2 （a 0）可令 x = ata nt 并约定t （-…「），则

2 2

a 2 x 2二asect ； dx 二asec 2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分

解令 x“tant , t (石，2)，则、口 med ,

d -

asec 2tdt

解令 x = 3tant ，贝V x 2 9 二 9sec 21， dx = 3sec 2 tdt 3sec 2

t dt 二丄 cos 2 tdt 27 L

dx

例3求——

J x 2 +a 2

(a 0)

dx =「sectdt =ln sect +tant +C

\ 4 x 2 = 2sect , dx = 2 sec 2

tdt dx 2sec t x 2

.4 x 2

2

4tan t 2sect

dt

1

叭t 』

4

4 tan 2

1

^dsi nt 」—

sin t

4 si nt

cost

sin2t dt

cos 2

t

1

4 x 2

dx

例 5

求(x 2.9)2

（分母是二次质因式的平方 ）

dx (x 2 9)2

81sec 41

x 2

a 2

C = In

解令 x =2tant ，t

则

x 21 4

22)

x 十 J x 2 +a 2

+C 1. 例4求

dx