质点动力学的基本方程
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11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
第10章质点动力学的基本方程
平板电容器
受力分析： 电场力
运动分析： 平面曲线运动
y 交流 O
电源
v0
F v
x
质点运动
轨迹
dx vx v 0 dt dy eA vy sin kt dt mk
运动方程：
t 0时 x y 0
eA cos kt 1 y 2 mk
k cos v x 1 0
Tmax
2 v0 G( 1 ) gl
n
T
v
说明：
G
①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉力。 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
第十章
质点动力学的基本方程
——质点受力与其运动变化之间的关系
§10-1
第一定律 ：
动力学的基本定律
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性
说明： 1、不受力作用的质点，包括受平衡力系作用的质点。 2、阐述了物体作惯性运动的条件，又称为惯性定律。
第二定律
ma F
1、质点在力作用下必有的加速度，运动状态一定发生改
向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
v0
解： ①研究对象： 重物(抽象为质点)
②受力分析： 如图所示。
n
T
v
③运动分析： 以O为圆心，l为半径的
圆周运动。
G
⑤求解
④质点运动微分方程
v2 T G(cos ) gl
ma F
受力分析： 电场力
运动分析： 平面曲线运动
y 交流 O
电源
v0
F v
x
质点运动
轨迹
dx vx v 0 dt dy eA vy sin kt dt mk
运动方程：
t 0时 x y 0
eA cos kt 1 y 2 mk
k cos v x 1 0
Tmax
2 v0 G( 1 ) gl
n
T
v
说明：
G
①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉力。 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
第十章
质点动力学的基本方程
——质点受力与其运动变化之间的关系
§10-1
第一定律 ：
动力学的基本定律
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性
说明： 1、不受力作用的质点，包括受平衡力系作用的质点。 2、阐述了物体作惯性运动的条件，又称为惯性定律。
第二定律
ma F
1、质点在力作用下必有的加速度，运动状态一定发生改
向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
v0
解： ①研究对象： 重物(抽象为质点)
②受力分析： 如图所示。
n
T
v
③运动分析： 以O为圆心，l为半径的
圆周运动。
G
⑤求解
④质点运动微分方程
v2 T G(cos ) gl
ma F
第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
质点相对运动动力学的基本方程
理论力学
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
质点动力学的基本方程
单位矢量，如图 10 − 1所示，
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
11质点动力学基本方程
选取自然坐标系， 根据质点运动微分
方程，有
mat Fit : man Fin :
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg cos
O
n
l
FT
s mg
14
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg
cos
解方程，并带入初始条件， 得钢绳拉力为
O
n
l
FT
FT
mg
3cos
2
mv02 l
当 = 0 ，即在初始位置时，钢绳具有最大拉力
s mg
FT max
mg
m
v02 l
此时，钢绳拉力有两部分：① 因重物重量引起的静拉力 mg ；②
因重物加速度引起的附加动拉力 mv02 / l 。 为了避免钢绳中产生过
大的附加动拉力，跑车的运行速度不能太大，并应平稳停启，避
10
mx 0
y
my
mg
积分两次，得到
x C1t C3
O
y
1 2
gt2
C2 t
C4
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程为
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt
2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程为
4
四、求解动力学问题的一般步骤 1）选取研究对象； 2）受力分析； 3）运动分析； 4）建立动力学方程； 5）解方程，求出未知量。
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并与铅直线成
角。如小球在水平面内作匀
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知:
求:
已知: :
这是混合问题。
例10-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。
常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
已知:
求:质点的运动轨迹。
已知: 求:质点的运动轨迹。
解:
由 积分
已知: 求:质点的运动轨迹。
得运动方程 消去t, 得轨迹方程
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的
小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
§10-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 重力 力的单位:牛[顿],
第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
§10-2 质点的运动微分方程
如滑块的质量为m, 忽
略摩擦及连杆AB的质量,试
求当
,
连杆AB所受的力.
已知: 则
求: 解:研究滑块
其中
当 得
有 得
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度
垂直,如图所示。质点在电场中受力
作用。已知
时小球掉下。
求:转速n.
已知:匀速转动。 求:转速n.
解：研究铁球
时小球掉下。
1 、在直角坐标轴上的投影
2、在自然轴上的投影
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力。 第二类问题：已知力求运动。 混合问题：第一类与第二类问题的混合。
例10-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当
比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为