有理分式函数的图象及性质
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
有理式的不定积分与有理化方法
对于有理式$frac{x^2 + 1}{x}$，可以 通过变量替换$t = x$将其转化为 $frac{t^2 + 1}{t}$，进一步得到积分 结果为$ln|t| + t + C$。
反常积分处理
总结词
处理积分区间内函数值无穷大或积分结果不收敛的情况，确保积分运算的正确性。
详细描述
在解决有理式不定积分问题时，有时会遇到被积函数在某些区间内无穷大或积分结果不收敛的情况。此时需要采用反 常积分处理方法，将被积函数分为正常和反常两部分，分别进行积分运算。
有理化分母是指将有理式的分母进行因式分解，将其转化为两个因式的乘积，以便于消去根号，简化 积分过程。例如，将$frac{sqrt{x}}{x}$有理化，得到$frac{x}{sqrt{x}}$。
复杂有理式的有理化方法
总结词
对于复杂的有理式，需要采用多种有理化方 法进行转化。
详细描述
对于复杂的有理式，可能需要同时使用分子 有理化和分母有理化的方法，或者采用其他 有理化技巧，如部分分式分解等，以便将其 转化为更易于积分的形式。例如，对于复杂 有理式$frac{x^2+1}{xsqrt{x^2+1}}$，可 以采用分子有理化和分母有理化的方法进行 转化。
三角函数的有理式形式
在解决含有三角函数的有理式不定积分问题时，需要将有理式 转化为三角函数的有理式形式，以便更好地应用三角函数的性
质和公式。
复杂有理式的部分分式法
01
复杂有理式的部分分 式法
对于一些复杂的有理式，需要使用到 部分分式法，以便将复杂的有理式分 解为若干个简单的有理式，从而更容 易地找到不定积分的解。
三角函数有理式的积分
三角函数有理式的积分
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示 定义 R{x |x ≥a } {x |x ＞a } {x |x ≤a } {x |x ＜a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时 都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示12提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x 在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值 最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 是函数y ＝f (x )的最大值 M 是函数y ＝f (x )的最小值 几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性 偶函数奇函数条件 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称． 8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12 y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)分段函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x ) ，x ∈Dn<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①④(2)判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．①A ＝N ，B ＝N *，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应； ②A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ③A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ④A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应．(1)C [①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与g (x )＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解] ①对于A 中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B ，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A 中的元素±1，在f 的作用下与B 中的1对应，A 中的元素±2，在f 的作用下与B 中的4对应，所以满足A 中的任一元素与B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A 中的任一元素，在对应关系f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A 不是数集，故不是函数．] 3.函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 典例2：设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)． g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. (2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价． 2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． 6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋3x －2； (2)f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； (3)f (x )＝3－x ·x －1； (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式. 典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增， 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)． (2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 [思路点拨] y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.] 13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． (1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.] 14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断.典例12：点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
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信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
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角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
分式函数的性质与应用
分式函数的性质与应用分式函数，也称为有理函数，是由多项式函数的分子与分母组成的函数。
在数学中，分式函数具有许多独特的性质与应用。
本文将探讨分式函数的一些基本性质，并展示其在实际问题中的应用。
一、分式函数的基本性质1. 定义域和值域分式函数的定义域由分母不等于零的解构成。
对于一个简单的分式函数f(x) = 1/x，其定义域为R-{0}，即实数集去掉零。
而值域则由分式函数在定义域上的取值范围决定。
2. 垂直渐近线对于分式函数f(x) = p(x)/q(x)，当分母q(x)等于零时，f(x)的图像可能趋于无穷大或无穷小。
分子p(x)和分母q(x)的最高次幂项决定了垂直渐近线的位置。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)时，存在垂直渐近线x = 1。
3. 斜渐近线斜渐近线是指当x的取值趋于正无穷或负无穷时，分式函数趋于一个常数L。
斜渐近线可以找到通过计算分子和分母的次数来确定。
例如，当分式函数f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x + 1)时，存在斜渐近线y = 2x + 1。
4. 零点分式函数的零点是使得分子等于零的x值。
这些值可以帮助我们确定函数的图像与方程的解。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2)时，存在零点x = -2和x = 2。
5. 奇偶性根据分式函数的定义，当分子和分母具有相同的奇偶性时，函数是偶函数；当分子和分母具有相反的奇偶性时，函数是奇函数。
例如，当分式函数f(x) = (x^3 - x)/(x^2 + 1)时，是奇函数。
二、分式函数的应用1. 金融学中的应用分式函数可以用来解决金融学中的一些问题，例如利息的计算。
假设我们有一个年利率为r的银行账户，每年计算一次复利。
那么，该账户的本金与时间的关系可以用分式函数来表示，f(t) = P(1 + r)^t，其中P是初始本金，t是时间。
2. 物理学中的应用分式函数可以用来描述一些物理现象，如速度、加速度和阻力。
有理函数的基本性质及应用
有理函数的基本性质及应用有理函数是指由两个多项式函数求商得到的函数，它在数学中具有重要的应用和基本性质。
本文将介绍有理函数的定义、基本性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、有理函数的定义有理函数是指形如$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$的函数，其中$P(x)$和$Q(x)$是两个多项式函数，$Q(x)$不等于零。
P(x)和Q(x)的系数可以是实数也可以是复数。
有理函数在定义域内除了使分母为零的点外都有定义。
二、有理函数的基本性质1. 定义域和值域：有理函数的定义域由分母的零点确定，除去这些零点后的实数集合为定义域。
值域则由函数表达式的特点和定义域的限制决定。
2. 分解因式：对于有理函数$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，若分母$Q(x)$可分解成多个不可约多项式的乘积，则可以将$f(x)$进行部分分式分解，便于进一步研究和计算。
3. 复合函数：有理函数可以与其他函数进行复合，如$f(g(x))$等形式。
复合函数的运算规则是先计算内层函数，再将结果代入外层函数中。
4. 对称性：若有理函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若$f(-x) = -f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
根据有理函数的定义可以得知，分子函数的对称性与整个有理函数的对称性一样。
5. 渐近线：有理函数的图像在趋近于正无穷或负无穷时，会有水平、垂直或斜渐近线。
水平渐近线的方程可通过计算函数表达式中各项的阶数决定。
三、有理函数的应用有理函数在数学中有广泛的应用，以下列举两个常见的应用例子：1. 电路分析：在电路分析中，有理函数常用于描述电路的输入输出关系。
通过建立电路的模型，可以将电压和电流表示为有理函数的形式，从而求解电路的性质和特点。
2. 经济学模型：经济学中的需求方程、供给方程等经济模型通常可以用有理函数来表示。
通过对有理函数的分析，可以了解不同因素对经济变量的影响，帮助制定经济政策和预测经济走向。
分式函数的像和性质
分式函数的像和性质分式函数是指形式为f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)≠0。
分式函数的像是指定义域中所有满足f(x)=y的x值构成的集合，即函数的所有可能的输出值。
分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性和图像。
1. 分式函数的定义域：分式函数的定义域由Q(x)≠0确定，因为分母不能为零。
可以通过求解Q(x)≠0的方程来确定定义域的范围。
2. 分式函数的值域：分式函数的值域包括所有满足f(x)=y的y值，其中x是定义域中的值。
对于一些特定的分式函数，可以通过变换或者观察分子、分母的特点来确定值域的范围。
3. 分式函数的奇偶性：对于分子和分母都是偶函数或者奇函数的分式函数，其奇偶性与分子和分母相同。
如果分子是奇函数而分母是偶函数，或者分母是奇函数而分子是偶函数，则分式函数是奇函数。
4. 分式函数的单调性：对于分式函数f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}，其单调性取决于P(x)和Q(x)的符号变化。
如果P(x)和Q(x)都大于零或者都小于零，那么分式函数是单调的。
如果P(x)比Q(x)先变号，那么分式函数在这个区间上是增函数；如果P(x)和Q(x)同时变号，那么分式函数在这个区间上是减函数。
5. 分式函数的图像：分式函数的图像可以通过绘制图像或者利用分子和分母的零点、极值点、拐点等特点来分析。
- 当分式函数的分子的次数小于分母的次数时，函数的图像在水平方向上趋近于零。
- 当分式函数的分子的次数等于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在水平渐近线。
- 当分式函数的分子的次数大于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在斜渐近线。
分式函数的像和性质对于理解和分析分式函数的性质和行为具有重要意义。
通过对分式函数的像和性质进行研究，可以更好地理解分式函数的定义和特点，并且能够应用于解决实际问题和数学推理中。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
分式函数的基本概念与性质
分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。
分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。
在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。
一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。
常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。
2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。
分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。
3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。
定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。
二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。
零点可以通过求解分子为零的方程得到。
分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。
2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。
平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。
3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。
通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。
4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。
水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。
5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。
比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。
综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。
(完整版)分式函数的图像与性质.docx
分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。
如 ydx 2 x 2y4x 1等。
x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。
如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。
3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。
x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。
如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。
【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的概念)
求函数值和值域
第三章 函 数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))． 【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
栏目 导引
第三章 函 数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
栏目 导引
第三章 函 数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个 函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0， ＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1， ＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不 是同一个函数．故选 A.
栏目 导引
第三章 函 数
■名师点拨 对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一 个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一 样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英 文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧 要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．
有理函数的部分分式分解
有理函数的部分分式分解部分分式分解是将一个有理函数分解成若干个分式相加的形式，其中每个分式的分母是不可分解的一次或二次多项式。
这种分解方法在求解积分和解线性微分方程等方面具有广泛的应用。
一、一次因式分解法对于有理函数的分母为一次多项式的情况，我们采用一次因式分解法。
假设分母为$ax + b$，则我们可以将有理函数表示为：$$\frac{K}{ax+b}=\frac{A}{ax+b}$$其中，$A$为待求常数。
比较等式两边，我们得到：$$K=A(ax+b)$$将$x$取为$-\frac{b}{a}$，则有$$K=A\cdot 0=0$$因此，我们可以解出待求常数$A$：举例说明，考虑有理函数$f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$，我们希望将其分解成若干个一次分式的和。
由于分母为一次多项式$x+2$，我们可以写出等式两端同乘以$x+2$，得到$$-7=-2A$$解得$A=\frac{7}{2}$，因此有二次因式分解法的具体步骤如下：1. 将分母$(ax^2+bx+c)$分解成$(px+q)(rx+s)$的形式，即将二次多项式因式分解；2. 将有理函数表示为：其中，$A$和$B$为待求常数；$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$$$\frac{3x^2+x+1}{x^2+3x+2}=-\frac{11}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+2)}$$三、完全平方分解法对于有理函数的分母为二次多项式，但是不能因式分解的情况，我们使用完全平方分解法。
1. 如果二次多项式为$x^2+a^2$，则我们可以写出：其中，$A$和$B$为待求常数，$\mathrm{i}$为虚数单位。
如果$b$为奇数，则可以将$x^2+b x+c$视为完全平方加常数的形式。
例如，对于$x^2+3x+7$，我们可以将其写成$(x+\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}+7$的形式。
将$x$取为$-1$，得到$$1=B$$对于有理函数的分母为高次多项式的情况，我们采用复杂因式分解法。
有理分式 高等代数
有理分式高等代数
有理分式是高等代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
有理分式由多项式的商组成，其中分子和分母都是多项式。
它们的形式可以写作P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别是两个多项式。
有理分式的研究涉及到对分子和分母的因式分解、化简以及求解等问题。
通过对分子和分母进行因式分解，可以将有理分式化简为最简形式，从而更容易进行计算和研究。
对于给定的有理分式，我们可以通过分解因式来寻找其特殊点、奇点和极限值。
特殊点是指使分母为零的点，它们在有理分式中会导致不连续性。
奇点是指使分子和分母都为零的点，它们也会导致有理分式的不连续性。
而极限值则是指当自变量趋向于某个值时，有理分式的值的趋势。
有理分式在数学和科学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，有理分式可以用于描述物体的运动，求解速度、加速度等问题。
在工程学中，有理分式可以用于建模和优化问题。
在经济学中，有理分式可以用于描述供需关系、成本函数等。
有理分式在高等代数中扮演着重要的角色，它们的研究和应用对于数学和其他学科的发展具有重要意义。
通过对有理分式的深入理解和研究，我们能够更好地解决实际问题，并推动科学的进步。
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有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。
（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。
3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。
8．函数234x y x =+的值域是 。
9．若函数1a x y x a -=--的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数a = 。
10．函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 。
11．不等式2113x x ->+的解集是 。
12．函数221x x y x x -=-+的值域是 。
13．设(),[0,+)1a f x x x x =+∈∞+。
（1）当a ＝2时，求()f x 的最小值；（2）当0＜a ＜1时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
14．设函数()(0)x a f x a b x b +=>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．BABDAD7．[9,+)∞ 8．33[,]44- 9．3 10．(1,1)- 11．3x <-或4x > 12．1[,1)3-13．解：（1）a ＝2时，f （x ）＝x ＋12+x ＝ x ＋1＋12+x －1≥22－1，等号在x ＋1＝12+x ，x ＝2－1（∵x ∈[0，＋∞））时成立．（2）当0＜a ＜1时，设x 1，x 2 ∈[0，＋∞），x 1＜x 2 ．则f （x 2）－ f （x 1）＝（x 2－x 1）＋12+x a －11+x a ＝（x 2－x 1）（1－)1)(1(21++x x a ）． ∵ 0＜a ＜1，∴ )1)(1(21++x x a ＜1，1－)1)(1(21++x x a ＞0， 又 x 2－x 1＞0，于是f （x 2）－ f （x 1）＝（x 2－x 1）（1－)1)(1(21++x x a ）＞0， f （x 2）＞ f （x 1），f （x ）是增函数． 在x ＝0时，f （x ）的最小值是a ．14．解：函数b x a x x f ++=)(的定义域为(,)(,)b b -∞--+∞)(x f 在),(b --∞内是减函数，)(x f 在),(+∞-b 内也是减函数证明)(x f 在),(+∞-b 内是减函数取),(,21+∞-∈b x x ，且21x x <，那么bx a x b x a x x f x f ++-++=-221121)()())(())(-( 2112b x b x x x b a ++-= ∵0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ∴0)()(21>-x f x f即)(x f 在),(+∞-b 内是减函数，同理可证)(x f 在),(b --∞内是减函数。
浅说函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究定理4.函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5.①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。
记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。
故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、函数对称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)例2：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。
解：∵y = f(x －1)和y = g -1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C ）例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时， f (x) = －21x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。