参数方程的概念、圆的参数方程

(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲 线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有 f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的 坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.
(3)对于曲线C的参数方程 Fra Baidu bibliotek
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指 明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线 也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
半径r
圆心C(a,b),
半径r
(x-a)2+(y-b)2=r2
【即时小测】
x 1 2cos， 1.曲线 (θ 为参数)围成图形的面积等 y 3 2sin
于(
A.π
)
B.2π C.3π D.4π
x 1 2cos， 【解析】选D.曲线 y 3 2sin， x 1 2cos， 即 (θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径 y 3 2sin，
x 1 2t, 2 y at , 3 1 2t, 得 2 4 at ,
消去参数t,解得a=1.
x 1 2t, (2)由上述可得,曲线C的参数方程是 2 y t , 1 1 2t, 将点(1,0)的坐标代入参数方程得 得t=0, 2 0 t ,
参数).
(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系. (2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.
【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0, 所以点A(1,0)在曲线上.
3 t 2 1, 把点B(3,2)的坐标代入方程组,得 2 2t t 2, 即 故方程组无解,所以点B不在曲线上. t 1,
10 t 2 1, (2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 解得 a 2t, t 3, t 3, 所以a=〒6. 或 a 6 a 6.
第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、圆的参数
方程
【自主预习】 1.曲线的参数方程的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这
x f t , y g(t)
为2的圆,所以面积等于4π.
x t 1， 2.已知 (t为参数),若y=1,则x=________. 2 y t
【解析】若y=1,则t2=1,则t=〒1,x=0或2. 答案:0或2
【知识探究】 探究点 参数方程的概念、圆的参数方程
1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么? 提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意 义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然 也可以是没有实际意义的变数.
的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t， 【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
因此点(1,0)在曲线C上.
3 1 2t， 将点(3,-1)的坐标代入参数方程得 2 1 t ，
方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.
【方法技巧】点与曲线的位置关系 (1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成 曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在 曲线上.
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意 义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一 点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变 量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因 而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系 并不一定是函数关系.
2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?
x rcos， 提示:(1)圆的参数方程 中参数θ的几何意 y rsin
义: 射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y) 是圆上的任意一点)位置时转过的角度. 如图所示.
x a rcos， (2)圆的参数方程 中参数θ的几何意义: y b rsin
y1 g(t)
x f t ,
x1 f t , y1)在曲线上,则 对应的参数t有解,否则无解,
y g t ,
(t为参数)若点M(x1,
即参数t不存在.
2 x t 1, (t为 【变式训练】已知曲线C的参数方程为 y 2t
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变 参数 数t叫做参变数,简称_____.
2.圆的参数方程 圆心和半径 圆心O(0,0), 圆的坐标方程 x2+y2=r2 圆的参数方程
x rcos, y rsin x a rcos, y b rsin