高中数学专题复习含参不等式与参变量的取值范围
专题求参数取值范围一般方法
专题——求参数取值范围一般方法观点与用法恒成立问题是数学中常有问题，也是历年高考的一个热门。
题型特色大多以已知一个 变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
这样的题型会出现于代数中的不等 式里也会出此刻几何里。
就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。
题型以及解题方法一，分别参数在给出的不等式中，假如能经过恒等变形分别出参数，即：若a f x 恒成立，只须 求出 f x ，则maxa f x ；若 a f x 恒成立， 只须求出maxf x ，则mina f x ，min转变为函数求最值。
a例 1、已知函数 lg 2f x xx，若对随意 x 2, 恒有 f x 0，试确立 a 的取值范围。
a解：依据题意得：x 2 1在x 2, 上恒成立，x即：23a x x 在 x 2, 上恒成立，设23f x x x ，则f x x2 3 9 2 4当 x 2时，f x max 2 因此 a 2例2．已知当x R 时，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 5a 4 恒成立，务实数a 的取值范围。
剖析：在不等式中含有两个变量a 及x ，此中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分别。
解：原不等式即：4sinx+cos2x< 5a 4 a+5要使上式恒成立，只要5a 4 a+5 大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转变成 求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin 2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,∴5a 4 a+5>3 即5a 4 >a+2 a5a 5a 2 4 4 0 0 (a2) 2或a 5a 2 4 0 0，解得 45 上式等价于a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1 2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转变成对于t 的二次函数种类。
高考数学复习考点题型专题讲解题型21已知不等式求参数的范围解析版
讨论的分界处以 2 与 ln k 的大小比较为标准. 法(二)分离变量法:转化为: kex (2x 2) x2 4x 2 ,即 2k(x 1) ex (x2 4x 2) 恒 成立, i.当 x 1 0, x 1时, k R ; ii.当 x 1 0, x 1时, 2k ex ( x2 4x 2) 恒成立,
【解析】：（1） a =4, b =2, c =2, d =2;
（2）法一:由（1）知, f (x) x2 4x 2 , g(x) 2ex (x 1) ,设函数 F (x) = kg(x) f (x) =
2kex (x 1) x2 4x 2 ( x 2 ), F(x) = 2kex (x 2) 2x 4 = 2(x 2)(kex 1) ,由题 设得 F (0) 0，
x 1 iii.当 x 1 0,2 x 1时, 2k ex ( x2 4x 2) 恒成立,
x 1
7 / 17
设T (x)
ex( x2
4x x 1
2) ,T '(x)
x(x 2)2 (x 1)2
;对于
ii
可知: 1,0增, 0,减,
T (x)max T (0) 2 ,即 k 1 ;对于 iii 可知: 2 x 1 增,T (x)min T (2) 2e2 ,即 k e2 ,综
①当 x 0 时， a R ；
②当 x
0 时， ex
1
x
ax2 等价于 a
ex
1 x2
x
.记 g(x)
ex
1 x2
x
x
0
,
g
'( x)
(x
2)ex x3
x
高中不等式组的解集取值范围
高中不等式组的解集取值范围
不等式组是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
不等式组的解集取值范围是解决实际问题的关键，掌握其求解方法对我们解决实际问题具有重要意义。
一、高中不等式组的概念与解集取值范围的关系
高中不等式组是由多个不等式组成的集合，其中的每个元素都满足所有的不等式。
解集取值范围是指不等式组所有解的数值范围，它可以帮助我们了解不等式组的性质和规律。
二、高中不等式组解集取值范围的求解方法
1.原则：同小取小，同大取大，小大取中，大大取大。
2.符号规律：两个不等式相乘，符号看两边；两个不等式相加，符号看中间。
3.逐步淘汰法：从约束条件出发，逐步淘汰不可能的解，缩小解集范围。
4.图像法：将不等式组转化为直线或曲线，观察其交点，确定解集取值范围。
三、高中不等式组解集取值范围的实例分析
例：解不等式组：{x + 2 > 5, x - 3 < 1}
1.解第一个不等式：x + 2 > 5，得到x > 3
2.解第二个不等式：x - 3 < 1，得到x < 4
3.根据原则，取两个不等式解的交集，得到解集：3 < x < 4
四、提高解题技巧，扩大解集取值范围的策略
1.熟练掌握不等式组的解法，灵活运用各种求解方法。
2.注意观察约束条件，挖掘题目中的隐含信息。
3.培养数形结合的思维能力，将不等式组问题转化为图像问题。
4.大量练习，提高解题速度和准确率。
通过以上分析，我们可以看到高中不等式组解集取值范围的重要性。
含参数不等式与参变量的取值范围
高考数学复习专项训练[1]含参数不等式与参变量的取值范围一、选择题1.已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是（ ）1.->a A 1.-=a B 1.≥a C 1.≤a D2.设)(1x f -是函数)(21)(x x a a x f --=)1(>a 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的实数x 成立范围是（ ）),21.(2+∞-a a A )21,.(2a a B --∞ ),21.(2a aa C - ),.[+∞a D 3.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立（ ）11.<<-x A 20.<<x B 2321.<<-x C 2123.<<-x D 4.集合}011|{<+-=x x x A ，}|||{a b x x B <-=，若“1=a ”是“∅≠B A ”的充分不必要条件，则b 的取值范围可以是（ ）02.<≤-b A 20.≤<b B 13.-<<-b C 21.<≤-b D5.若不等式m x x <-+-|3||5|有解，则实数m 的取值范围是（ ）1.>m A 1.≥m B2.>m C 2.≥m D6.设⎩⎨⎧>-≤-=-)0(),1()0(,3)(x x f x a x f x ，若方程x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）]2,1.[A )2,.(-∞B ),1.[+∞C ]1,.(-∞D7.(理科)设⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=)1,0(,]0,1(,)(x ax b x x b ax x f ，其中+∈R b a ,，若)(lim 0x f x →存在，且)(x f 在)1,1(-上有最大值，则b 的取值范围是（ ）1.>b A 121.≤<b B 1.≥b C 10.≤<b D 8.已知函数)log (log )(22x x x f a a +-=对)21,0(∈x 都有意义，则实数a 的取值范围是（ ）)21,1281.[A ]21,641.[B )21,321.[C )21,161.(D 9.若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） )2,2.(-A ]2,2.(-B ),2()2,.(+∞--∞ C )2,.(-∞D10.当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）),2.[+∞A )2,1.(B )1,0.(C ]2,1.(D二、填空题1.若对于任意实数m ，关于x 的方程0)12(log 22=-++m x ax 恒有解，则实数a 的取值范围是2.若直线a y 2=与函数)10(|1|≠>-=a a a y x 且的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是3.设)(x f 是定义在]1,1[-的奇函数和增函数，且1)1(=f ，若12)(2++≤at t x f 对所有]1,1[-∈x ，]1,1[-∈t 恒成立，则实数a 的取值范围是4.若不等式1||<-a x x 在]1,0[上恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题1.设R c b a ∈,,，若1=++c b a ，1222=++c b a ，且c b a >>，求c 的取值范围．2.已知函数)(22)(2R x x a x x f ∈+-=在区间]1,1[-上是增函数，求： （1）求实数a 的值所组成的集合A ； （2）设关于x 的方程x x f 1)(=的两根21,x x ，是否存在实数m 使得不等式||1212x x tm m -≥++对任意的A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．3.已知函数)0()(≠++=x b xa x x f ，其中Rb a ∈,，求： （1）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数)(x f 的解析式；（2）讨论函数)(x f 的单调性；（3）若对于任意的]2,21[∈a ，不等式4)(≤x f 在]1,41[上恒成立，求b 的取值范围．4.设函数)1)()(1()(>--=a a x x x x f ，求：（1）求导函数)('x f ，并证明)(x f 有两个不同的极值点21x x ； （2）若不等式0)()(21≤+x f x f 成立，求实数a 的取值范围．5.已知函数1||)(+=x x f ，t x x y ++-=2221，)0)(1(212>-+=x xt x y 的最小值恰好是方程023=+++c bx ax x 的三个根，其中10<<t ．（1）求证：322+=b a ；（2）设),(),,(21N x M x 是函数c bx ax x x f +++=23)(的两个极值点 ①若32||21=-x x ，求函数)(x f 的解析式；②求||N M -的取值范围．6.设)(31)(23c b a cx bx ax x f <<++=在点))1(,1(f A ，))(,(m f m B 处的切线的斜率分别为0，a -． （1）求证：10<≤a b ； （2）若函数)(x f 的递增区间为],[t s ，求||t s -的取值范围；（3）若当k x ≥时(k 是与c b a ,,无关的常数)，恒有0)('<+a x f ，试求k 的最小值．7.(理科)已知函数)()1()(32R x e x x a x f x ∈--=-，a 为非零实数．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若0>a 且对任意]4,0[,21∈x x 均有1|)((|21<-x f x f 成立，求实数a 的取值范围．(文科)已知函数bx ax x x f --=233)(，其中b a ,为实数．（1）若)(x f 在1=x 处取得的极值为2，求ba ,的值；（2）若)(x f 在区间]2,1[-上为减函数，且ab 9=，求a 的取值范围．8.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对于任意正整数n ，点),(1n n S a +在直线022=-+y x 上．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列n n n S 2λλ+⋅+为的等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）(理科)求证：21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k K k k a a ．9.(理科)已知函数])1,0(,0()21ln()(2∈>-+=x a x x a x f ，求：（1）函数)(x f 的单调区间；（2）若不等式)21ln(122n n n +≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．10.已知函数4121)(2+-=x x x f ，)('x f 为函数)(x f 的导函数． （1）若数列}{n a 满足：11=a ，))(()(''1++∈+=N n n f a f a n n ，求数列}{n a 的同项n a ；（2）若数列}{n b 满足：b b =1，))((21++∈=N n b f b n n ： ①当21=b 时，数列}{n b 是否为等差数列？若是，求出数列}{n b 的同项n b ；若不是，说明理由． ②当121<<b 时，求证：∑=-<n i ib b 11221．11.(理科)已知函数tx e x f x 2)(2-=，2122)(22+-+-=t te x x g x ． （1）求)(x f 在区间),0[+∞的最小值；（2）求证：若1=t ，则不等式21)(≥x g 对于任意的),0[+∞∈x 恒成立； （3）求证：若R t ∈，则不等式)()(x g x f ≥对于任意的R x ∈恒成立．。
高三数学专题复习 函数(4)函数求参数范围问题解决方法及针对性练习 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校芝罘区数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习2021年高三专题复习-函数专题〔4〕一、变换“主元〞思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进行“换位〞思考，往往会使问题降次、简化。
例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．假设把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，那么上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1． 例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x恒成立，求x 的取值范围。
答案：),3()1,(+∞-∞ 。
例3．假设不等式)1x (m 1x 22->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。
答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。
二、别离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行别离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例1．假设对于任意角θ总有sincos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．〔注意分式求最值得方法〕分析与解：此式是可别离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，那么原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．例2．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳
参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。
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在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，
则可利用分类讨论的思想来解决。
例 3、若 x 2, 2时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求 a 的取值范围。
解：设 f x x2 ax 3 a ，则问题转化为当 x 2, 2时， f x的最小值非
之间的包含关系来求解，即：m, n f a, g a ，则 f a m 且 g a n ，
不等式的解即为实数 a 的取值范围。
例
5、当
x
解： 1 loga x 1
1 3
,
3
时，
loga
x
f x min
min
1 恒成立，求实数 a
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
专题15谈含参的不等式恒成立或存在性成立中的参数范围(解析版)
2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题15谈含参的不等式恒成立或存在性成立中的参数范围考点命题分析应用导数研究函数性质的问题中，含参不等式恒成立或存在性成立中的参数范围是常见的探究性问题，这些问题或是分类讨论，也可能表面上是分类讨论，但实际上是逻辑问题，它涉及全称命题、特称命题及充要条件的关系.这类试题关键要判断含参的不等式恒成立或存在性成立的类型，才能确定解题的方法和转化目标.下面例说常见的一类问题.1探究充分性证明必要性的题型例1已知函数，且f(x)≤0(I)当x>0时，求证:，当且仅当x=1时等号成立；(Ⅱ)求m的取值范围.思路探求:第(I)问是为第(Ⅱ)做知识准备的它是解题中常用的铺垫手法，它在本题中的作用是将超越不等式转化为整式不等式，快速找到f(x)≤0的充分条件.解题首先考虑定义域和怎样等价转化盘活试题的问题，当x>0时，f(x)≤0恒成立，它等价于两个且命题p:当0<x≤1时，2xlnx+m(x2－1)≥0恒成立和q:当x≥1时，2xlnx+m(x2－1)≤0，其实命题p，q是等价命题，最终就是求命题的充要条件.解:f(x)的定义域为(0，+∞)，令h(x)=2xlnx+m(x2－1)，当0<x≤1时，h(x)≥0；当x≥1时，h(x)≤0.因为，所以“当0<x≤1时，h(x)≥0”等价于“当x≥1时，h(x)≤0”，即当0<x≤1时，h(x)≥0.求m的取值范围.(i)(探究充分性).当m+1≤0，即m≤－1时，当0<x≤1时，h'(x)≤0，h(x)在区间(0，1]内单调递减，且h(1)=0，所以h(x)≥h(1)=0，即“m≤－1”是“任意x∈(0，1]，h(x)≥0恒成立”的充分条件.(ii)当－1<m<0时，h'(x)=2lnx+2+2mx=g(x)，且g(1)=2(1+m)>0，当时，g'(x)>0.所以g(x)在区间内是增函数，g(x)>g(1)>0，即当时，h'(x)>0，h(x)>h(1)=0.所以存在，使得，并且.(ⅲ)当m≥0时，存在，.由(ⅱ)、(ⅲ)知，“m≤－1”也是“任意x∈(0，1]，h(x)≥0，恒成立”的必要条件.综上所述，m的取值范围是(－∞，－1]方法点睛:条件A:m≤－1，条件B:当x∈(0，1]时，h(x)≥0恒成立.充分性；其必要性，其中又可拆分成－1<m<0和m≥0，主要考虑要得到的结论是否需要应用导数这个工具.这类问题不适合分离参量，即便是当0<x<1时，恒成立，右边函数取最小值恰好在间断点x=1，使用洛比达法则.但需要两个支撑条件，即F(x)在区间(0，1)内单调递减和极限保号性定理，而仅F(x)在区间(0，1)内单调递减也是不易求证的.2分离参数的题型例2已知函数f(x)=xlnx－2，.(I)若函数的零点，求n的值；(Ⅱ)令g(x)=f(x)－(k－1)x+3+k，若当x>1，g(x)>0时，求整数k的最大值.思路探求:第(Ⅱ)问由g(x)>0可以分离参数，但要求函数的最小值，需要应用(I)的结论做铺垫.解:(I)u(x)的定义域为(0，+∞)，u'(x)=x－1，当x∈(0，1)时，u'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，u'(x)>0.所以u(x)在区间(0，1)内递减，在区间(1，+∞)内递增.当x→0时，u(x)→+∞，u(1)=－2，所以u(x)在区间(0，1)内存在一个零点，此时n=0；又u(4)=1－ln4<0，u(5)=2－ln5>0，所以u(x)在区间(4，5)内存在一个零点，此时n=4.综上所述，n=0或n=4.(Ⅱ)x+1－k(x－1)，当x>1时，g(x)>0恒成立，等价于在区间(1，+∞)内恒成立，令，则. 由(I)知，存在，使得.并且当时，F'(x)<0；当时，F'(x)>0.所以F(x)在区间内递减，在区间(x0，+∞)内递增，于是，由于，所以k≤3.故k的最大整数值为3.方法点睛:通过分离参数k与变量x，得到的新函数F(x)在区间(1，+∞)内有意义，并且新的函数F(x)的最值能求出来(最值不能通过极限所求)，另外注意F(x)与x不存在隐函数关系.例:函数存在零点，求a的取值范围.解析:，设x0为方程f'(x)=0的根，即得.当时，；当时，，所以f(x)在区间(0，x0)内递减，在区间内递增，.由于，则存在零点，则.事实上，由于x0本身也是a的函数，并且无法把它们分离开，所以这样分离是没有价值的，其正确的解法是:函数存在零点，即方程，则和的图像有交点，注意到和互为反函数，即y=x和有交点.设是直线y=kx与相切的切点，则，有，得t=e，则，即得.3按变量分类讨论的题型例3设函数，，若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得成立，求a的取值范围.分析:记h(x)=f(x)－g(x)，存在，使得，等价于，求a的取值范围.解:记.(i)若a≤1，当x∈[1，2]时，h'(x)>0，h(x)在区间[1，e]上是增函数，，所以a≤1符合题意.(ii)若，当x∈[1，2]时，h'(x)=，h(x)在区间[1，e]上是增函数，，所以不符合题意.(ⅲ)若，.当时，h'(x)>0；当时，h'(x)<0.所以.再记，.则在上递减，所以，因此无解，即不符合题意；(iv)若a≥2，当x∈[1，2]时，，h(x)在区间[1，e]上是减函数，，因此，无解，即a≥2不符合题意.综上所述，a的取值范围是(－∞，1].方法点睛:含参数不等式的恒成立与存在性成立是对立统的一关系，它们是可以互相转化的.从命题角度上看，特称命题，使得成立，它的否定恒成立，命题p 成立的充要条件是a≤1，成立的充要条件是a>1.因此，从“正难则反”的思路考虑本题可以先对时，f(x)<g(x)恒成立，即，求出a的取值范围，再求它的补集，即为a的取值范围.对参数分类讨论，需要判断各种情况下得到的参数范围是否符合题意，把各种符合题意的范围取并集，即为参数的取值范围.有些不等式恒成立问题需要对自变量x进行分类讨论，对各种情况下的a的取值范围取交集，即为参数a的取值范围.例:f(x)=ax3－3x+1，对，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.解:当－1≤x<0时，在区间[－1，0)内恒成立，得a≤4；当x=0时，得a∈R；当0<x ≤1时，在区间(0，1]内恒成立，得a ≥4.综上所述，a 的取值范围是{4}.最新模拟题强化1．设函数2()1f x x =+，若关于x 的不等式24()4()(1)x f f m m f x f x m ⎛⎫+≤+-⎪⎝⎭，如果不等式对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．33,,22⎡⎫⎛⎤+∞-∞-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．3322⎡-⎢⎣⎦C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎡⎫⎛+∞-∞-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】D 【解析】解：因为24()4()(1)x f f m m f x f x m ⎛⎫+≤+- ⎪⎝⎭， 3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭所以22212341m m x x -+≥+对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 因为223y x x =+在3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为减函数，所以22323839324x x +≤+=，所以2221834134m m m -+≥∴≥或213m ≤-（舍），3m ∴≥或3m ≤， 故选：D2．若不等式210x ax ++≥对于一切(]0,2x ∈恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．52-D ．-3【答案】B【解析】(]0,2x ∈，2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-，由对勾函数性性质可知，当()0,1,x ∈()1f x x x =+为减函数，当()12x ,∈时，()1f x x x=+为增函数，故()()min 1112f x f ==+=，即2a -≤恒成立，2a ≥-，故a 的最小值为-2 故选：B3．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】当0k =时,不等式2680kx kx k -++≥可化为80≥,其恒成立当0k ≠时,要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥任意x ∈R 恒成立,只需20364(8)0k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩解得:01k <≤. 综上所述,k 的取值范围是[0,1]. 故选:A.4．已知函数221,0()3,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩,若不等式|()|2f x mx ≥-恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．[3-+B ．[0,3-C ．(3-+D ．[0,3+【答案】D 【解析】函数221,0()3,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩∴221,0()3,0x x f x x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩要保证不等式|()|2f x mx ≥-恒成立只需保证函数|()|f x 的图像恒不在函数2y mx =-图像的下方画出函数|()|f x 的图像,如图所示,函数2y mx =-表示过定点()0,2-的直线, 结合图像可知:当0m <时,不满足题意, 当0m =时,满足题意,当0m >时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切,∴ 23,23y x x y x '=+=+,设切点坐标为()2000,3x x x +,切线的斜率为02,3k x =+,则切线方程()()()20000323y x x x x x -+=+-过点()0,2-,即:()()()2000023230x x x x --+=+-,数形结合可知00x >,故2x =此时切线的斜率023223k x =+=,故实数m 的取值范围为0,322⎡+⎣,故选:D.5．若不等式210x kx k -+->对任意的()1,3x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(]4-∞，B ．()2-∞，C ．(]2-∞，D ．[]2,4【答案】C 【解析】不等式210x kx k -+->化简可得()2110x k x --->,即()()110x x k -+->对于任意的()1,3x ∈10x ->恒成立,所以若()()110x x k -+->只需10x k +->即1k x <+在()1,3x ∈内恒成立 所以k 2≤ 故选:C6．已知不等式1ln a x x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C 【解析】 不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln a x x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C7．如果对一切正实数x ，y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[3,)+∞C．[-D ．[3,3]-【答案】D 【解析】解：∀实数x 、y ，不等式4y-cos 2x ≥a sin x 9y -恒成立⇔94y y +≥a sin x +1﹣sin 2x 恒成立，令f （y ）94y y=+， 则a sin x +1﹣sin 2x ≤f （y ）min ，∵y ＞0，f （y ）94y y =+≥=3（当且仅当y ＝6时取“＝”），f （y ）min ＝3； 所以，a sin x +1﹣sin 2x ≤3，即a sin x ﹣sin 2x ≤2恒成立． ①若sin x ＞0，a ≤sin x 2sinx +恒成立，令sin x ＝t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）＝t 2t+（0＜t ≤1），则a ≤g （t ）min ．由于g ′（t ）＝122t -＜0， 所以，g （t ）＝t 2t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g （t ）min ＝g （1）＝3， 所以a ≤3；②若sin x ＜0，则a ≥sin x 2sinx+恒成立，同理可得a ≥﹣3； ③若sin x ＝0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．8．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15【答案】A 【解析】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113a x x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x ++的最大值为15，所以15a ≥.故选：A9．若不等式11014m x x +-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】将不等式化为1114m x x +≥-，只需当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，min 1114m x x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭即可，由()11114141414x x x x x x ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭14441554914x x x x -=+++≥+=+=-， 当且仅当15x =时取等号，故9m ≤,故m 的最大值为9. 故选：C10．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[]1,x m m ∈-，不等式()()2f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．-1 B ．-2C ．23D ．43【答案】C 【解析】f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）2101221xx x x ⎧-+≤=⎨-≥⎩，＜，， 可得0≤x ＜1时，f （x ）＝1﹣x 2递减， f （x ）∈（0，1]；当x ≥1时，f （x ）递减，且f （1）＝0，f （x ）∈（﹣∞，0]， f （x ）在x ≥0上连续，且为减函数，对任意的x ∈[m ﹣1，m ]，不等式f （2﹣x ）≤f （x +m ）恒成立， 可得f （|2﹣x |）≤f （|x +m |），即为|x ﹣2|≥|x +m |，平方得到（2m +4）x ≤4﹣m 2， ①当2m +4＞0即m ＞﹣2时，得到x 22m-≤任意的x ∈[m ﹣1，m ]成立， ∴22m -≥m ，得到m 23≤， ∴﹣2＜m 23≤；②当2m +4＝0，不满足题意； ③当2m +4＜0即m ＜﹣2时，得到x 22m-≥任意的x ∈[m ﹣1，m ]成立， ∴22m -≤m ﹣1，得到m 43≥，不满足题意； 综上，﹣2＜m 23≤，故m 的最大值为23，故选：C ．11．函数()f x 的定义域为R ，其图象上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 满足()()21210x x y y --<.若不等式()()224xxf m f m -<-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】因为函数()f x 图象上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 满足()()21210x x y y --<， 所以()f x 在定义域R 上为减函数， 所以不等式()()224xxf m f m -<-，即224x x m m ->-，所以()1423xx m <+， 令211()42224xxx g x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即(3)m g x <， 令2(0)xt t =>，则211()()024g x h t t ⎛⎫==+-> ⎪⎝⎭，所以()42033x xg x +=>恒成立，所以m 的取值范围是(,0]-∞.故选：B.12．函数()f x 满足()()f x f x -=，当[)12,0,x x ∈+∞时都有()()12120f x f x x x ->-，且对任意的1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f ax f x +≤-恒成立.则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,0- B ．[]5,0-C ．[]5,1-D ．[]2,1-【答案】A 【解析】由函数()f x 满足()()f x f x -=，则()f x 为偶函数. 当[)12,0,x x ∈+∞时都有()()12120f x f x x x ->-,则()f x 在[)0,+∞上单调递增.当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时不等式()()12f ax f x +≤-恒成立.即()()12fax f x +≤-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立。
含参不等式求取值范围
由图可得：-2≤a＜-1.
-3 -2 -1 0 1 2
作业：
2x a 1 1、 已知不等式组 的解集为-1＜x＜1.则 x 2b 3 （a+1）（b-1） 的值为___。
x 8 4x 1 的解集是x＞3.那么m的取值 xm
2、若不等式组
① ②
解：解不等式①得，x ≥-1； 解不等式②得，x <2； 将不等式①②的解集在数轴上表示为
-2
பைடு நூலகம்-1
0
1
2
因此原不等式组的解集为
-1≤x＜2.
补充问题：
（1）、并写出不等式组的整数解；
（2）、求不等式组的所有整数解之和； （3）、写出不等式组的最小整数解； （4）、其整数解有几个。
,
二、教学过程
2 x 1 3( x 1) 1、若不等式组 的解集是x＜2，那么m xm
的取值范围是____.
解法1、代数法。：
2 x 1 3( x 1) x2 x m x m
由“小小取小”，它的解集为x＜2。说明m＞2．
x 2 再考虑当m=2时，此时为 x 2 x 2
那么m的值是____. 析：此题可能有同学回答“m≤-2”。
x2 举反例若m=-3，则不等式组 解为x＜-3. x 3
因此此题应为m=-2.
x 1 0 2、若不等式组 无解，则a的取值范围是____. x a 0 析： x 1 0 x 1 x a 0 x a
含参不等式，求取值范围
一、教学目标 （1）、能够灵活解决“含参不等式，求取值范 围”类型题； （2）、培养学生的数形结合能力与分类讨论思想。
不等式参数的取值范围解法技巧
不等式参数的取值范围解法技巧在数学中，不等式是用于比较两个数或表达一组数之间的关系的数学语句。
不等式参数的取值范围是指满足不等式条件的参数的取值范围。
在解决不等式问题时，了解并应用合适的解法技巧可以帮助我们更快地找到参数的取值范围。
本文将介绍一些常见的不等式解法技巧，并提供一些示例来帮助读者理解这些技巧的应用。
绝对值不等式绝对值不等式是指形如|x−a|≥b或|x−a|≤b的不等式，其中x是参数，a 和b是常数。
对于不等式|x−a|≥b，我们可以将其分解为两个不等式x−a≥b和x−a≤−b，分别求解这两个不等式得到的参数范围，再取并集即可。
示例：解不等式|x−3|≥2。
将不等式分解为两个不等式：x−3≥2和x−3≤−2。
对于x−3≥2，解得x≥5；对于x−3≤−2，解得x≤1。
取并集，得到参数x的取值范围为(−∞,1]∪[5,∞)。
一元二次不等式一元二次不等式是指形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c是常数，且a≠0。
对于一元二次不等式，可以通过求解相应的二次方程来找到参数的取值范围。
示例：解不等式x2−3x+2>0。
首先，我们需要找到二次方程x2−3x+2=0的解。
通过因式分解或求根公式可以得到解为x=1和x=2。
接下来，我们将二次方程的解点对应在数轴上，并选择一个测试点。
例如，我们可以选择x=0进行测试。
当x<1时，不等式x2−3x+2>0成立；当1<x<2时，不等式x2−3x+2<0成立；当x>2时，不等式x2−3x+2>0成立。
综上所述，参数x的取值范围为(−∞,1)∪(2,∞)。
分式不等式分式不等式是指形如f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0的不等式，其中f(x)和g(x)是多项式。
为了解决分式不等式，我们需要找到分子和分母的零点，然后确定分子和分母对应的区间，进而确定参数的取值范围。
高中不等式组的解集取值范围
高中不等式组的解集取值范围摘要：一、不等式组的概念1.不等式组的定义2.不等式组解集的求法二、高中不等式组的解集取值范围1.一元一次不等式组的解集取值范围2.一元二次不等式组的解集取值范围3.多元不等式组的解集取值范围三、不等式组解集取值范围的求法1.口诀求解2.代入法求解3.图像法求解四、实际应用1.高中数学题目中的应用2.实际生活场景中的应用正文：一、不等式组的概念不等式组是由多个不等式组成的集合，求解不等式组的解集就是找到满足所有不等式的数值。
不等式组的解集可以用图像法、口诀法、代入法等方法求解。
二、高中不等式组的解集取值范围高中阶段，我们主要学习一元一次不等式组、一元二次不等式组和多元不等式组。
1.一元一次不等式组的解集取值范围：当所有不等式的符号都相同时，解集为所有满足不等式条件的数值；当有不等式符号不同时，解集为满足最大（小）不等式条件的数值。
2.一元二次不等式组的解集取值范围：首先求出对应的一元二次方程的根，然后根据根与系数的关系判断解集。
3.多元不等式组的解集取值范围：通常需要利用线性规划的方法求解，也可以通过图像法直观地得到解集。
三、不等式组解集取值范围的求法1.口诀求解：根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，可以快速地找到不等式组的解集。
2.代入法求解：将每个不等式的解代入到其他不等式中，判断是否满足，从而找到解集。
3.图像法求解：将不等式组转化为对应的函数图像，通过观察图像找到解集。
四、实际应用1.高中数学题目中的应用：不等式组在高中数学题目中非常常见，如在解析几何、函数、概率等题目中都有涉及。
求不等式(组)中参数的取值范围
求不等式(组)中参数的取值范围
求不等式(组)参数的取值范围的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，借助数轴，建立对应关系后求解即可解决问题。
这类问题很容易出错，特别是对端点值的讨论，也就是等号能不能取的问题。
01利用不等式的性质求参数的取值范围
这类题目主要考查不等式的性质，不等式两边同时乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除）同一个负数，不等号方向改变。
例题1：如果关于x的不等式（1-a）x＞a-1的解集是x＜-1，那么a的取值范围是（）
解：∵关于x的不等式（1-a）x＞a-1的解集是x＜-1，∴1-a ＜0，解得a＞1
例题2：若x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为（）
分析：根据x=2不是不等式2x-m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解，可得m＜2，最后进行计算即可解答
解：∵x=2不是不等式2x-m＞4的整数解，∴4-m≤4，∴m≥0，∵x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解，∴6-m＞4，∴m＜2，∴0≤m＜2
02解集对应法求参数
这类题目本题考查了解一元一次不等式(组)、在数轴上表示不等式(组)的解集，先求出不等式(组)的解集，再求出方程的解。
例题3：如果关于x的不等式2（x-1）＜2a+4与2x＜4的解集相同，则a的值为（）
解：∵2x＜4，∴x＜2，由2（x-1）＜2a+4，得2x-2＜2a+4，∴x＜a+3，根据题意，得：a+3=2，解得a=-1。
高考数学不等式与参变量的取值范围测试
高考攻略 黄冈第二轮复习新思维 数学专题二 含参不等式与参变量的取值范围 命题人；董德松 易赏一、选择题1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是A. a >-1B. a=1C. a ≥1D. a ≤12. 设)(1x f -是函数1)((21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围是 ),.[),21.()21,.(),21.(222+∞---∞+∞-a D a aa C a a B a a A3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立 2123.2321.20.11.<<-<<-<<<<-a D a C a B a A 的取值范围是恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是都有意义，则对已知函数的取值范围是值，则）上有最大，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x ax b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)21,0()log (log )(.810.1.121.1.11)()(lim 0,0)1,0(]0,1()(.7]1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()0)(1()0(3)(.62.2.1.1.|3||5|.521.13.20.02."""1"},|||{},011|{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=-∞+∞-∞=⎩⎨⎧>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ的取值范围。
高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)
高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。
求：参数m 的取值范围。
【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。
根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1）b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。
（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。
（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。
第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。
因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。
根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式：a m f ≤)( （1）b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。
首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。
含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)
含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法例 1：设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n an n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。
因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。
但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。
下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。
所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。
这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。
我们来分析一下这道题的特征：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()a n n x xx+-+++121 就必须也是正数。
并容易看出，可以将a 分离出来。
分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++xx x xxx n n n a a n n 11210121令()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。
高中数学讲义微专题73求参数的取值范围
x1 x2 9k2 8 , x1x2
9k 2 8
9k 2 8
RQ
1 k 2 x1 x2
1 k2
2
x1 x2
4x1x2
1 k2
36k2 2
36 k 2 8
9k 2 8
4 9k2 8
1 k2
3 6k 2 2
4 3 6k 2
9k 2
2
8
8 k 92
8
4
4
2
1 2 1 k 2 9k
9k 6k4
9k 2
2
8
64
例 1：已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1a
b
0 ， F1、 F2 是其左右焦点，离心率为
6 ，且经过 3
点 3,1 .
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；
（ 2 ）若 A1, A2 分别是椭圆长轴的左右端点，
Q 为椭圆上动点，设直线 A1Q 斜率为 k ，且
k
1, 2
1 3
，求直线 A2Q 斜率的取值范围；
设 T 2 2, t , A x1, y1 , B x2, y2 ，由圆的性质可得：
努力的你，未来可期 !
微专题 73 求参数的取值范围
一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通
过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不 等关系如下： （ 1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
36 32
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
32 ① 当直线斜率不存在时， GH 8 2 ，符合题意，可得： RQ
不等式参数的取值范围解法
不等式参数的取值范围解法在数学中，不等式是指含有不等号（大于、小于、大于等于、小于等于）的数学表达式。
解不等式就是确定使不等式成立的变量取值范围。
本文将讨论如何通过不等式参数的取值范围解法来解决不等式问题。
我们来了解一下什么是参数。
在数学中，参数是指不等式中的变量。
对于一个不等式，我们通常会有一个或多个参数，而我们的目标就是找到使不等式成立的参数取值范围。
解不等式的步骤通常包括以下几个方面：1. 理解不等式的含义：首先，我们需要理解不等式的含义。
不等式可以表示两个数之间的大小关系，或者表示一个数与某个范围之间的关系。
我们需要仔细阅读不等式，确定其含义和要求。
2. 分析不等式的特点：接下来，我们需要分析不等式的特点。
我们可以观察不等式中的参数和系数，看是否存在特殊的模式或关系。
这有助于我们找到解的思路和方法。
3. 确定参数的取值范围：在解不等式时，我们需要确定参数的取值范围。
这可以通过观察不等式中的系数、符号和常数项来确定。
我们可以使用数轴上的点、区间表示法或集合表示法来表示参数的取值范围。
4. 解不等式：根据参数的取值范围，我们可以开始解不等式。
根据不等式的类型和特点，我们可以使用不等式的性质和规则来进行推导和变形。
通过逐步推导和变形，我们最终可以得到不等式的解集。
5. 验证解的正确性：最后，我们需要验证得到的解是否符合原始不等式的要求。
我们将解代入不等式中，检查是否使不等式成立。
如果解符合不等式的要求，那么我们的解就是正确的。
通过以上步骤，我们可以有效地解决不等式问题。
下面，我们将通过一个具体的例子来演示不等式参数的取值范围解法。
例题：解不等式3x + 2 > 5我们来理解不等式的含义。
这个不等式表示3x + 2大于5。
我们的目标是找到使不等式成立的参数取值范围。
接下来，我们分析不等式的特点。
这个不等式是一个一元一次不等式，系数3表示参数的变化率，常数项2表示参数的初始值，符号>表示大于。
含参不等式求参数范围例题
含参不等式求参数范围例题
好的，我们来解决一个含参不等式的例题。
假设我们有一个不等式，x^2 + px + q > 0，其中p和q是参数。
我们需要找出p和q的取值范围，使得不等式成立。
首先，我们来考虑一般情况下这个二次不等式的解。
我们知道对于二次函数f(x) = x^2 + px + q，当判别式Δ = p^2 4q大于0时，方程有两个不相等的实根，当Δ等于0时，方程有两个相等的实根，当Δ小于0时，方程无实根。
因此，当Δ大于0时，不等式x^2 + px + q > 0的解是x < x1 或 x > x2，其中x1和x2分
别是二次函数的两个实根。
当Δ等于0时，不等式的解是x = x1 = x2，当Δ小于0时，不等式的解是x的取值范围是全体实数。
现在我们来考虑参数p和q的取值范围。
首先，我们来看p的取值范围。
根据一元二次函数的性质，p是一元二次函数x^2 + px + q的一次项系数，因此p的取值范围是实数集。
接下来，我们来
看q的取值范围。
根据一元二次函数的性质，q是一元二次函数x^2 + px + q的常数项，因此q的取值范围也是实数集。
综上所述，参数p和q的取值范围分别是整个实数集。
因此，
当p和q取任意实数时，不等式x^2 + px + q > 0均成立。
希望这个例题能够帮助你更好地理解含参不等式的求参数范围的方法。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
不等式中的参数取值范围的确定
数学专题小结 确定不等式中的参数取值范围【教学目标】1．经历解不等式(组)，进一步体会分类讨论、转化、数形结合等数学的思想方法的应用，积累数学活动经验．2．灵活运用数轴去分析解决问题，体会知识之间的关联与转化，形成解题的策略．【教学重点】不等式中的参数取值范围的确定【教学难点】知识之间的关联与转化．【教学过程】一、自主探究（一）解含有参数的一元一次不等式_.问题： 解关于 x 一元一次不等式基本结论：对参数进行分类讨论，利用.不等式的性质写出不等式的解集二、探究：(一)已知不等式的解集，确定参数取值范围1．若 的解集是 ，则 a 的值是多少?2.关于 的不等式2x-a<3 的解集如图所示，则 a 的值是3． 已知关于x 的不等式 (1-a)x>2 的解集是 则 a 的取值范围( )A 、a ＞0B 、a ＞1C 、a ＜0D 、a ＜14.若不等式x<2的解都能使关于x 的一元一次不等式（a-1）x<a+5成立，则a 的取值范围是（） A 1<a≤7 B a≤7 C a<1或a≥7 D a=7反思：利用不等式的解集，借助数轴，根据不等式的性质求出参数范围.（二）根据不等式的特殊解求参数范围1.已知x ≤a 的正整数解有3个，求a 的取值范围2.不等式 3x+1<m 的正整数解是x =1,2,3 则整数 m 的最大值是(三) 根据不等式组的解集求参数取值2 >--x ax 02>--x ax 1-<xx a x -<121.不等式组 的解集为 ,求ab 的值 例:若不等式组 的解集为 x<2 ，则 m 的取值范围是( ) A.m<3 B.m≤3 C.m>3 D.m≥3变1.若不等式组；{ 有解 ，则 m 取值范围 .若无解，则 m 取值范围 变2. 若不等式组{ 只有三个整数解 ，则 m 取值范围 .变3. 如果关于 m 的不等式组 有解(无解）， 求 m 的取值范围 （ 四 ）根据方程（组）的解的情况，求参数取值范围1 . 关于x 的方程 kx-1=2x 的解为正实数，则k 取值范围是2.如果关于x 的方程 x ＋2m －3=3x ＋7的解为不大于2的非负数,求m 的取值范围3. 的解 x,y 满足条件0<x+y<1,求 k 的取值范围。
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含参不等式与参变量的取值范围
一、选择题
1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是
A. a >-1
B. a=1
C. a ≥1
D. a ≤1
2. 设)(1
x f -是函数1)((2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1)(1
>-x f 成立的x 的取值范围是
)
,.[)
,21.()
21,.()
,21.(222+∞---∞+∞-a D a a
a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立
2
1
23.2
3
21.20.11.<<-
<<-
<<<<-a D a C a B a A 的取值范围是
恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是
都有意义，则对已知函数的取值范围是
值，则）上有最大
，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是
数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是
有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a
x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)2
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1
|{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>⎪⎩⎪
⎨⎧∈---∈+=-∞+∞-∞=⎩
⎨⎧>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ
的取值范围。
求且若、、设）（的不等式，解关于）设（的解析式；
）求函数（，有两实根为常数）且方程、已知函数三、解答题
的取值范围是则的图象有两个公共点，且与函数若直线的取值范围是
恒成立，则实数，，，对所有，若且的奇函数又是增函数，，是定义在设的取值范围是
时恒成立，则实数，在如果不等式的取值范围是恒有解。
则实数的方程，关于若对于任意实数二、填空题
的取值范围是恒成立，则时，不等式（当c c b a c b a c b a R c b a x
k
x k x f x k x f x x x x f b a b
ax x x f a a a a y a y t a x at t x f f x f a x a x x a m x ax x m D C B A a x x x x a ,,1,1,.162)1(12)(14
3012)(()(.15)10(|1|2.14]11[]11[12)(1)1(]11[)(.13]10[1||.120)12(log .11]
2,1.()
1,0.()
2,1.(),2.[log )1)2,1(.102222122222>>=++=++∈--+<
>===+-+=≠>-==-∈-∈+≤=-∈<-=-+++∞<-∈
，请说明理由的取值范围；若不存在恒成立？若存在，求出及对任意，使得不等式，试问：是否存在实数、的两根为的方程）设关于（；的值所组成的集合
求实数上是增函数，
，在区间已知m t A a x x tm m m x x x
x f x A a R x x a x x f ]1,1[||11)(2)1(]11[)(22)(.17212212-∈∈+≥++=-∈+-=
专题二 含参不等式与参变量的取值范围（答案）
一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D
二、21
0.142121.13)2,0.(12]1,0.[11<<≤≤-a t
三、
)1('10)1('1)(]11[1
1021)1(0
21)1(2
)(]11[02]11[0)(']1,1[)()2()
2(2)2(224)('1.1703
1
0)(0312
10,)1()(0)1(121211.16);,2()2,1(2);,2()2,1(2);,2(),1(210
))(1)(2(0
2)1(,2)1(2)2()
2(2)(218416939
01243)1(.15222
222222
2222222222222
2
21=-==-=-∈≤≤-⇔⎩
⎨⎧≤-+=-≤--=⇔--=-∈≤---∈≥∴-+---=
+-+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧><<-⇒>->∆-+--=>>=-+---=-=++-=++-=+=+++∞∈>+∞∈=+∞∈<<>---<-++---+<-≠-=⎩⎨
⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-+==f a f a x f x a a a ax x x x ax x x x f x f x ax x x x ax x f c c f c c c c c x c x x f c c b a c c x c x b a c c ab c b a c c ab b a c
b a
c b a x k x k k x k k x x x x
k x k x x k x k x x x x
x x f b a b
a b
a x b
ax x
x x 时，以及当时，是连续函数，且只有，，对①设恒成立，对①
即恒成立，对上是增函数，在）解（）
，的取值范围为（故则：设两不等实根
的
，故方程有均大于的二两实根，而是方程，由①②可知，②
则而得①①得解：由时，解集为③当时，解集为②当时，解集为①当即可化为不等式即为所以得：分别代入方程
，将解 φφφ
}
22|{]1,1[|
|12202)1(02)1()
2(2)(]1,1[02]1.1[31]1,1[||13
8||,1184)(||,
2,02,0
802,12
2)2(}11|{2122
2
222221222122122121212122122
2
-≤≥-∈∈-≥++-≤≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=≥--=-⇔-+=-+=-∈≥-+-∈≥++-∈∈-≥++≤+=-∴-≤≤-+=-+=--==+∴=--∴>+=∆=--=+-≤≤-=∴m m m t A a x x tm m m m m m m g m m g m m t tm m t g t tm m t tm m t A a x x tm m a x x a a x x x x x x x x a x x ax x x x a ax x x x a x a a A 或恒成立，其取值范围是及对任意，使不等式所以，存在实数或②设恒成立
对任意②
即恒成立。
对任意恒成立，当且仅当及对任意要使不等式从而的两实根是方程得由。