第52讲 空间距离及其计算、折叠问题
空间折叠简介
空间折叠空间折叠是一种因为强大的引力使空间发生扭曲的现象。
这种现象是真实存在的,因而在理论上只要能达到一定的引力就能使空间发生弯曲,就好比要从一张平整的纸一端到另一端除了走两点间的直线外,还可以直接把纸叠起来,让两点靠近。
因此人们普遍认为黑洞能够穿越遥远的空间,因为黑洞具有无法比拟的巨大引力,连光都不可避免的被它巨大的引力吸引,那么在这样的引力下空间也有极大的可能被折叠,这也就使得以不超越光速却能在短时间内进行宇宙旅行成为了可能。
中文名空间折叠原因强大的引力结果空间发生扭曲特点真实存在的结果短时间内进行宇宙旅行目录1. 1 空间折叠简介2. 2 新闻资讯3. 3 举例1. 4 详细了解2.▪发现3.▪基础浅析4.▪瞬间移动1.▪艺术2. 5 时空旅行3. 6 出现过的作品空间折叠简介空间折叠在《哆啦A梦·大雄的宇宙开拓史》中有相关说明,《哆啦A梦》中称为“翘曲空间”。
(做时空转换时所经历的空间。
一张纸上的两个点,之间的距离记作a。
如果你把纸弯曲,使这两个点重合,那么这两个点的距离就是0,而不是刚开始的纸面上的距离a。
这就是空间翘曲。
可以进行瞬间移动。
科技水平无法实现。
这样使扭曲的空间就是翘曲空间)“……星球与星球之间,都相隔几光年至几十万光年。
因此,宇宙飞船即使是以光速飞行,也要用几年至几十万年。
如果只靠重力控制飞行,当然太慢了……但是,如果反复翘曲空间就可以更快地到达目的地。
”新闻资讯人们的宇宙空间是一个以真空基态为界。
若飞行器可以进入异矢量方向上的世界,则从人们的世界中消失。
之后的飞行器的速度相对我们而言是超极限大的。
当一定时间之后,飞行器重新回到我们的世界。
而这个过程,我们产生折叠飞行的错觉。
实际上飞行器飞过的路程尺度没有改变,只是在同样路程的花用时间上少了。
而当飞行器在负能量的世界时,飞行器的类性也成负能量体。
在宇宙大爆炸的前后一段时间里,光子的速度更加快。
其中主要原因是背景空间的能场(也可能是U惯性系能场)比背景空间的能场高。
【PPT】空间距离的求解
常用结论:内心、外心、垂心、 常用结论:内心、外心、垂心、 角平分线上、 角平分线上、两垂直平面的交 (3)“杆”是问题的中 ) 线上! 线上! 心!
例题: 例题:
1、Rt△ABC所在平面 外有一点 ,∠C=90 , 、 △ 所在平面α外有一点 所在平面 外有一点P,
0
PC=24,PD垂直 于D,PE⊥BC于E,且 , 垂直 垂直AC于 , ⊥ 于 , PD=PE=6 10 ,求: 点到平面α的距离 (1)P点到平面 的距离。 ) 点到平面 的距离。 (2)PC和平面 所成角的大小。 和平面α所成角的大小 ) 和平面 所成角的大小。
2 2 2 2
练习( ) 练习(1)P47页(8) 页 ) (2)如图,S是矩形 )如图, 是矩形ABCD所在平面外一点,SA⊥BC, 所在平面外一点, ⊥ , 是矩形 所在平面外一点 SB⊥CD,SA与CD成600,SD与BC成300,SA=a求: ⊥ , 与 成 与 成 求 SA与CD的距离;SB与AD的距离。 与 的距离; 与 的距离。 的距离 的距离 S
4、如图正方形的边长为3,求点 到面 、如图正方形的边长为 ,求点C到面 到面ABC1的距 的距 到面APQ的距离。 的距离。 离;点C到面 到面 的距离 A1
A1 B1 C1 A
1 A1
C1
C1 B1 B1
Q P
A B C A A D B
Q
H A C
P
C B
1、已知平面α与平面β交于直线 ,P是空间一点, 、 交于直线l, 是空间一点 是空间一点, 垂足为A, ⊥ 垂足为B, PA⊥α,垂足为 ,PB⊥β,垂足为 ,且PA=1, , ⊥ PB=2,若点 在β内的射影与点 在α内的射影重合, ,若点A在 内的射影与点B在 内的射影重合, 则点P到 的距离为 的距离为________ 则点 到l的距离为 。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中,距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域,还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式,包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中,我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2),它们之间的距离可以通过以下公式来计算:d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中,d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7),我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式,我们有:d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此,点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中,我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2),它们之间的距离可以通过以下公式来计算:d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6),我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式,我们有:d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此,点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中,我们经常需要计算两点之间的距离,比如在导航系统中计算两地之间的距离,或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
学霸教你学数学:空间几何——折叠类题目
学霸教你学数学:空间几何——折叠类题目折叠类题目中,要充分利用已知的隐藏条件:1. 折叠前后各边长度不变2. 垂直于折痕的线在翻折前后始终垂直于折痕以下题为例:(1)证明线面平行,回顾前面的证明方法此题采用找到平面内一直线与该直线平行的方法证明取A’C的中点K,F和K都为中点,有FK//CD,且FK=1/2CD=1/2AB=2E也是AB中点,EB=FK且平行,所以有FKBE为平行四边形,FE//KB,得证。
(2)根据折叠的性质1.折叠前后各边长度不变,因为AD=AE,所以有A’D=A’E2.垂直于折痕的线在翻折前后始终垂直于折痕:这题的折痕是DE,过A作AH垂直于DE,在等腰直角三角形AED中,就有H是DE的中点。
过A’作A’G垂直于DE,根据这个性质,G 和H就是同一点,也就是DE的中点根据题目所说,A’的投影在DE上,就可以确定A’H垂直于底面DEBC再通过建系解出此题。
建系的坐标系选取方法有很多,尽量选择可以方便写出面的法向量或者各个点的坐标的X、Y、Z轴。
如图建系,就可以直接得出面A’DE的法向量为n=(0,1,0)。
此题的答案是:正切值( θ=)为,做对了吗?(如果是用上面的建系方法,可以核对下面的坐标是不是写对了:A’(0,0,),B(2,,0) , | sin|=, cosθ=,tanθ=)另外,也可以尝试不用建系法求解。
建系法的常用公式:1、求线段的长度:|AB|= =2、求P点到平面α的距离:|PN|=(N为P到平面的垂足,M 为平面上任意一点,n为平面α的法向量)3、求直线l 与平面α 所成的角θ:| sinθ|=( n为α的法向量)4、求两异面直线AB 与CD的夹角θ:cosθ=5、求两个平面的二面角θ(方法一)| cosθ |=(n1,n2为两个面的法向量)补充:求两个平面的二面角θ还有一种方法:射影面积法cosθ =实例:求面A’BC和面α的二面角θ:cosθ = = (其中A 是A’在面α上的投影)。
空间折叠题 公考技巧
空间折叠题公考技巧
随着科技的不断进步,空间折叠这项技术也逐渐走入人们的生活。
空间折叠是将物体从一个空间传送到另一个空间的技术,它可以将两
个地点之间的距离缩短至极限,让人们在短时间内到达遥远的地方。
目前,这项技术已经在科幻小说和电影中被广泛运用,但它的应用领
域正在不断扩展。
空间折叠的实现需要强大的能量与复杂的技术,它的实现有着许
多限制,其中最主要的一项是空间折叠只能在特定条件下进行。
因此,空间折叠技术主要用于军事、航天和科研领域。
在军事上,空间折叠
技术可以快速、安全地将装备和士兵传送到远程位置,实现快速投送。
同时,空间折叠还可以使军事通讯更加安全,防止敌人截获信息。
在
航天领域,空间折叠技术可以将宇航员传送到深空探测器中,帮助人
类更深入地探索太空。
而在科研领域,空间折叠技术可以协助科学家
进行超长距离的实验和观测,解开更多的科学之谜。
随着技术的不断发展,空间折叠技术的应用领域也不断扩展,有
望在未来进一步推动人类社会的发展。
然而,空间折叠也产生了一些
问题和风险。
例如,可能会出现空间折叠传送出错或引发空间漩涡等
问题,这些都需要技术上的完善和严密的管理。
此外,空间折叠技术
的广泛应用还需要考虑道德和伦理问题,例如如何保障人类自身的安
全和尊严等。
最后,我们可以看到,空间折叠技术虽然在现实生活中还有一些
限制和风险,但它作为一项高新技术,在未来有望为人类创造更多的
机遇和发展空间。
我们需要保持谨慎和审慎的态度,把技术应用于各
个领域,为推动人类社会的发展做出更多的贡献。
_空间距离及其计算问题
异面直线间的距离: 5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这 的长度. 两条异面直线间的 线段 的长度. 直线与平面间的距离: 6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平 从这条直线上任意一点向平面引垂线, 行,从这条直线上任意一点向平面引垂线, 这点到垂足间线段 的长度. 的长度. 7.两平行平面间的距离:夹在两平行平面之间的 两平行平面间的距离: 公垂线段 的长度. 的长度.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=
2
2
2 1 7 2 = × 2× 2 − , ∴S△ACD= 2 2 2
1 3 2 3 × ×2 = , 而AO=1, S△CDE= 2 4 2
AO• S∆CDE ∴h = = S∆ACD 1× 3 2 = 21 , 7 7 2 21
∴点E到平面ACD的距离为
7
题型三 异面直线的距离 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 , AA1=2,AB=1,∠ABC=90°.点D、E分别 90° 在BB1、A1D上,且B1E⊥A1D,四棱锥C— ABDA1与直三棱柱的体积之比为3∶5.求 与直三棱柱的体积之比为3 的距离. 异面直线DE与B1C1的距离. 因为B1C1⊥A1B1,且B1C1⊥BB1,A1B1∩BB1=B1, 故B1C1⊥平面A1ABB1,从而B1C1⊥B1E.又B1E⊥DE, 故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段. 的公垂线段. 设BD的长为x,则四棱锥C—ABDA1的体积为
,
A1 D=
A B + B1 D =
2 1 1 2
2 2 1+ ( ) 5
=
29 5
.
又因为S△A B D= 1 A1D·B1E= 1 A1B1·B1D, 1 1 2 2 2 29 . 故B1E= A1 B1 ⋅ B1 D =
2022届高三数学一轮复习 第52讲 空间距离及其计算、折叠问题对点训练 理
错误!A1B1C1D1中,若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为 Ca aa a解析:如图,点A到直线A1C的距离,即为Rt△A1AC斜边上的高AE由AB=BC=a,得AC=错误!a又AA1=2a,所以A1C=错误!a,所以AE=错误!=错误!aA1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则直线A1C1到底面ABCD的距离为 DB.1解析:直线A1C1∥平面ABCD,A1C1到底面ABCD的距离即为正棱柱的高h,tan 60°=错误!,所以h=错误!,故选D3改编已知1、2是两条异面直线,α、β、γ是三个互相平行的平面,1、2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F,AB=4,BC=12,DF=10,则DE= C解析:由面面平行的性质定理可得错误!=错误!,所以错误!=错误!,即错误!=错误!,所以DE=,故选C中,平面OAB的一个法向量n=2,-2,1,已知,N分别为AB,AC上的点,满足AM =AN=2,沿MN将△AMN折起,使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为60°,则A点到平面MNCB的距离为错误!解析:在△ABC中,过A点作AF⊥BC交BC于F点,交MN于E点,由题意知折叠后∠AEF即为平面AMN与平面MNCB所成的二面角的平面角,故∠AEF=60°,过A点作AH⊥EF 于H点,则AH即为A点到平面MNCB的距离,因为AE=错误!,所以AH=AE·in 60°=错误!72022·安徽怀宁检测在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为A+B+C+D=0A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零,点分别为三条棱的中点,A、B是顶点,求点M到截面ABCD的距离.解析:设点M到截面ABCD的距离为h连接AC、AM,作CF⊥AB,垂足为F,连接CMV CABM=错误!S△ABM·CM=错误!×错误!×1=错误!又V MABC=错误!·错误!·AB·CF·h=错误!×错误!×错误!×错误!×h=错误!,故由V CABM=V MABC,得错误!=错误!,所以h=错误!92022·广东省珠海市上期期末矩形ABCD中,2AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置,使A′C=A′D,F、G分别是BE、CD的中点.1求证:A′F⊥CD;2设AB=2,求四棱锥A′BCDE的体积.解析:1证明:矩形ABCD中,因为F、G分别是BE、CD的中点,所以FG∥BC,所以FG⊥CD因为A′C=A′D,所以A′G⊥CD,又FG∩A′G=G,所以CD⊥平面A′GF,所以CD⊥A′F2因为AB=2,所以BC=4,ED=2,在等腰直角三角形△A′BE中,A′F=错误!且A′F⊥BE,因为CD⊥A′F且BE、CD不平行,所以A′F⊥平面BCDE所以几何体A′BCDE的体积V A′BCDE=错误!A′F·S四边形BCDE=错误!×错误!×错误!×2=2错误!。
高三数学 空间距离的计算课件 旧人教版
A
x
B
∴ d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
3. 如 图3-5, 已 知 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 为 θ,
在 直 线a、 b上 分 别 取E、 F, 已 知A’E=m, AF=n,
EF=l, 求 公 垂 线AA′ 的 长d.
解 : E F E A A A A F E F2(E A A A A F )2
A 1 A A A 1 C ( A A B ) B A 1 C A A 1 B A c 6 C o c 0 6 s o 1 . 0
co A s1AC |A A1A 1|A |A AC C |13
6 sinA1AC 3
6 A 1HA1A si nA 1A C3
∴ 所求的距离是
解:如图 C xy ,建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(坐 1 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
设 C nnC E ••E ,A CA B EB1 ( 1的 1 , 1 0, 00 ) 公 A 即B , 1 垂 ( x2 2, 2 x, y4 ) 线 20y, n 4的 z(x,0y方 ,z)则 . 向 A1 CC1 向 z 量 B1 为
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n(1 , 1 ,1)
A
B
在 C E 与 两 A B 1 的 直 d 距 C 线 |,n A |• ,n C 离 |A 上 C |A 2 (1 3 各 ,3 0.),0 .取点 x E
y
小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一 点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的 距离为: d | n EF |
2 22
空间几何体的折叠,补形,截面及动点问题
一、空间中的折叠类问题1.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。
D,E,F 为圆O 上的点,△DBC,△ECA,△F AB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△F AB ,使得D,E,F 重合,得到三棱锥,当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为。
2.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,√2,a,且长为a 的棱与长为√2的棱所在直线的异面直线,则三棱锥的体积的最大值为()。
A.√212 B.√312 C.√26 D.√363.如图,一张A 4纸的长,宽分别为2√2a,2a,A,B,C,D 分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P .从而得到一个多面体,关于该多面体的下列命题,正确的是。
(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥;②平面BAD ⊥平面BCD ;③平面BAC ⊥平面ACD ;④该多面体外接球的表面积为5πa 24.如图,在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E,F 分别是BC,CD 的中点,G 是EF 的中点现在沿AE,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D 三点重合,重合后的点记为H ,下列说法错误的是。
(将符合题意的序号写在横线上)①AG ⊥△EF H 所在平面;②AH ⊥△EF H 所在平面;③HF ⊥△AEF 所在平面;④HG ⊥△AEF 所在平面。
5.如图,矩形ABCD 中,AB =2AD =4,E 为边AB 的中点,将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ,构成四棱锥A 1−BCDE ,若M 为线段A 1C 的中点,在翻转的过程中有如下4个命题:①MB//平面A 1DE ;②存在某个位置,使DE ⊥A 1C ;③存在某个位置,使A 1D ⊥CE ;④点A 1在半径为√2的圆周上运动,其中正确命题的个数是()。
空间距离的计算(备课件)高二数学系列(2019选择性必修第二册)
z
解: 以C为原点建立如图的空间 直角坐标系,
D1
C
1
则各点坐标为: B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), E(0, 0, 1), D1(1, 0, 2),
B1
A1
E
BD (1, 1, 0), BE (0, 1, 1), D1D (0, 0, 2),
设平面BDE的一个法向量为
x y 0
由 n BD 0, n BE 0,
y z 0
取 z 1, 得 x 1, y 1, n (1, 1, 1),
则点D1到平面BDE的距离 d
xD
n ( x, y, z ),
xz0,
2 3
| n D1 D |
A
·
·
B
x
O
y
活动探究
2. 点到直线的距离
P·
| PQ | | AP |2 | AQ |2
| AP |2 |
AP e|e||2 Nhomakorabeal
e
Q
A
活动探究
3. 点到平面的距离
P
| PA n |
| PQ |
,
|n|
( A 平面 , n为法向量 ).
n
A
Q
数学应用
例1. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB1, AA12, 点E为CC1的中点, 求点D1到平
y 2 z.
1
n EC = x y 0.
1
2
取z 1,则x 1,y 2. n (1,2,1)是平面AEC1的一个法向量.
人教版高中数学课件第52讲 空间距离及其计算、折叠问题
理数
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理数
【拓展演练1】如图,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在 平面互相垂直,∠ADE=90°,DE=DA=2AF=2.
(1)求证:AC∥平面BEF; (2)求点D到平面BEF的距离.
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理数
解析:(1)证明:设 AC∩BD=O,取 BE 的中点 G,连 接 FG,OG,则 OG∥DE 且 OG=12DE.
理数
17
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理数
S△DEF=12DE·AD=12×2×2=2,
由于 VB-DEF=VD-BEF,设点 D 到平面 BEF 的距离为 h,
则13S△DEF·AB=13S△BEF·h,
所以 h=S△SD△EBFE·AF B=2×62=2 36,
即点
D
到平面
BEF
的距离为2
6 3.
18
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理数
所以∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角, 所以cos ∠AEC= 33.
28
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在△ACE中,AE= 6,CE= 2, AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos ∠AEC
=6+2-2×
6×
2×
3 3
=4.
所以AC=2.
理数
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理数
(2)证明:由 AB=AD=BD=2 2,AC=BC=CD=2, 所以 AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2, 所以∠ACB=∠ACD=90°,所以 AC⊥BC,AC⊥CD. 又 BC∩CD=C,所以 AC⊥平面 BCD.
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理数
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理数
一 利用传统法求点到平面的距离
高考数学一轮总复习 第52讲 空间距离及其计算、折叠问题同步测控 理
第52讲 空间距离及其计算、折叠问题1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,若AB =BC =a ,AA 1=2a ,则点A 到直线A 1C 的距离为( ) A.263a B.362a C.233a D.63a 2.(2012·大纲卷)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,CC 1=22,E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( ) A .2 B. 3C. 2 D .13.将一内角为60°,边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成90°的二面角后,A 、C 两点间的距离为( )A.32aB.22a C.a 2 D.62a 4.在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量n =(2,-2,1),已知P (-1,3,2),则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A .4B .2C .3D .15.(2012·辽宁卷)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为______________.6.如图,边长为a 的正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有____________.(只需填上正确命题的序号)①动点A ′在平面ABC 上的射影落在线段AF 上;②三棱锥A ′-FED 的体积有最大值;③恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ;④异面直线A ′E 与BD 不可能互相垂直;⑤异面直线FE 与A ′D 所成角的取值范围是(0,π2].7.如图,正方体的棱长为1,C 、D 、M 分别为三条棱的中点,A 、B 是顶点,求点M 到截面ABCD的距离.8.已知A(-1,0),B(2,1),C(1,-1),若坐标平面沿x轴折成直二面角,则折后∠BAC的余弦值为________.9.二面角α-a-β的平面角为120°,在平面α内,AB⊥a于B,AB=2;在平面β内,CD⊥a于D,CD=3,BD=1,M是棱a上的一个动点,则AM+CM的最小值为________.10.如图,已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形(如图①).将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②).(1)证明:AC⊥BO1;(2)求二面角O—AC—O1的正弦值.第52讲1.C 2.D 3.D 4.B 5.33 6.①②③④7.解析:设点M 到截面ABCD 的距离为h . 连接AC 、AM ,作CF ⊥AB ,垂足为F ,连接CM .V C —ABM =13S △ABM ·CM =13×14×1=112. 又V M —ABC =13·12·AB ·CF ·h =13×12×2×322×h =h 4, 故由V C —ABM =V M —ABC ,得h 4=112, 所以h =13. 8.325解析:作CM ⊥x 轴于M ,折后可知CM ⊥BM . 因为AC =5,BM =2,所BC = 3.又因为AB =10,所以cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =325. 9.26 解析:将二面角α-a -β展成平面,将AM +CM 转化为平面上的距离,则AM +CM 的最小值为AC ,易求得AC =26.10.解析:方法1:(1)证明:由题设知,OA ⊥OO 1,OB ⊥OO 1,所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,即OA ⊥OB .从而AO ⊥平面OBCO 1.OC 是AC 在面OBCO 1内的射影.因为tan ∠OO 1B =OB OO 1=3,tan ∠O 1OC =O 1C OO 1=33, 所以∠OO 1B =60°,∠O 1OC =30°,从而OC ⊥BO 1,由线面垂直得AC ⊥BO 1.(2)由(1)知,AC ⊥BO 1,OC ⊥BO 1,知BO 1⊥平面AOC .设OC ∩O 1B =E ,过点E 作EF ⊥AC 于F ,连接O 1F ,则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影.由线面垂直得AC ⊥O 1F ,所以∠O 1FE 是二面角O -AC -O 1的平面角.由已知,OA =3,OO 1=3,O 1C =1,所以O 1A =OA 2+OO 12=23,AC =O 1A 2+O 1C 2=13,从而O 1F =O 1A ·O 1C AC =2313. 又O 1E =OO 1·sin 30°=32,所以sin ∠O 1FE =O 1E O 1F =134. 方法2:(1)证明:由题设知OA ⊥OO 1,OB ⊥OO 1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,即OA ⊥OB .故可以O 为原点,OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如右图.则相关各点的坐标是A (3,0,0),B (0,3,0),C (0,1,3),O 1(0, 0,3).从而AC →=(-3,1, 3),BO 1→=(0,-3, 3),故AC →·BO 1→=-3+3×3=0,所以AC ⊥BO 1.(2)因为BO 1→·OC →=-3+3×3=0,所以BO 1⊥OC .由(1)知AC ⊥BO 1,AC ∩OC =C ,所以BO 1⊥平面OAC ,所以BO 1→是平面OAC 的一个法向量.设n =(x ,y ,z )是平面O 1AC 的一个法向量,由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →=0n ·O 1C →=0,得⎩⎨⎧-3x +y +3z =0y =0, 取z =3,得n =(1,0,3).设二面角O —AC —O 1的大小为θ,由n 、BO 1→的方向可知θ=〈n ,BO 1→〉,所以cos θ=cos 〈n ,BO 1→〉=n ·BO 1→|n ||BO 1→|=323×2=34, 则sin θ=134. 即二面角O —AC —O 1的正弦值为134.。
5.空间角和距离的计算体积动点折叠
a
2 6 3
1 o E C
B
D
折叠问题
练习:如图,在矩形 ABCD 中, AB=4 , AD=2 , E 为 CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平 面ABCE,得到几何体D-ABCE。 (1)求BD与平面ABCE所成角的正切值 (2)求AB与平面ADE所成的角的大小;
F
(2)在矩形ABCD中,连接BE, 因为AB=2AD,E为CD的中点, 所以AD=DE,∠EAB=45°, 从而∠EBA=45°,故AE⊥EB. 过D作DO⊥AE于O. 因为平面ADE⊥平面 ABCE, 所以DO⊥平面ABCE,所以DO⊥BE. 又AE∩DO=O,所以BE⊥平面ADE. 可知AE为AB在平面ADE上的射影, 从而 ∠ BAE 为 AB 与平面 ADE 所成的角 , 大 小为45°.
D E
G
C F A
B
例1:如图,在空间四边形ABDC中,各边长和 对角线长均为a ,点E,F分别是BD,AC的中点, 求:异面直线AE,BF所成的角. D
(4)以B为特殊点
C F
1200A
E B
G
练习:如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD为平行四边形,其中AB= ,BD=BC 2 =1, AA1=2,E为DC的中点,F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 分析 成角的正切值; (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90°?
(08 福建)
1 1 S ACD PO S PCD hA PCD 3 3 1 1 3 AD CO PO 2 2 2 4 3 h 2 1 1, 2 4 3 h= 3
VP-ACD=VA-PCD
2
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④直线 a、b 是异面直线,a⊂α,b⊂β,且 α∥β, 则 a、b 之间的距离等于 α 与 β 之间的距离. 其中正确命题的个数有( C ) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个
【解析】 由空间距离的定义知②错.
2.在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, ∠ABC=60° , AB=10 cm,又 PA⊥底面 ABCD,PA=5,则 P 到 BD 的距 离为( ) B.5 5 cm D.15 cm
(2)由(1),AE⊥平面 EBCF⇒ AE⊥BC BC⊥平面AEB ⇒ ⇒ BC⊥BE BC⊂平面ABCD 平面AEB⊥平面ABCD ⇒OE⊥平面 ABCD. 过E作EO⊥AB于O
连接 OG,则∠OGE 为 EG 与平面 ABCD 所成角. 在 Rt△AEB 中,AE=EB=2,所以 OE= 2. 又 EG= 2BE=2 2,在 Rt△EOG 中, OE 1 sin∠OGE=EG=2,所以∠OGE=30° , 即 EG 与平面 ABCD 所成的角为 30° .
(二)向量方法 1.异面直线间距离的求法 l1,l2 是两条异面直线, l1,l2的公垂线段AB n是 的方向向量,又C、D分别是l1、l2 上的任意两点, | DC n | 则 AB |n|
2.点面距离的求法:设n是平面的法向量, AB是平面的一条斜线,则点B到平面的距 | AB n | 离为 |n| 3.线面距离、面面距离均可转化点面距离.
【解析】结合题意知该几何体是四棱锥.
因为四棱锥的的底面是边长为 8 和 6 的矩形,高是 5, 1 所以由棱锥的体积公式得 V=3×8×6×5=80.
5.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a, E、F 分别是 B1C1、BB1 的中点,则: (1)直线 EF 与平面 D1AC1 的距离是 2 4a ; 3 3a .
(2)过 C′作直线 AB 的垂线仍存在垂足落点问题,可先 过 BC 中点 E 在面 ABD 内作 AB 的垂线 EH,垂足为 H. 由条件知 H 在 AB 的延长线上,再由三垂线定理可知 C′H⊥AB, 所以 C′H 为点 C′到 AB 的距离. 12 作 DF⊥AB 于 F,则 DF= 5 . 1 6 因为 E 为 BC 的中点,所以 EH=2DF=5, 3 91 所以 Rt△C′EH 中,C′H= C′E +EH = 10 .
2 2
【点评】求点到平面的距离常用方法有两种: ①用定义,直接作出这段距离,经论证,再计算; ②转化为锥体的高,用三棱锥体积公式求点到平面 的距离.
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P 为矩形 ABCD 所在平面外一点, PA⊥平面 ABCD, Q 为线段 AP 的中点,AB=3,BC=4,PA=2,求 P 到 平面 BQD 的距离.
三 折叠问题
【例 3】如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC π =∠BAD=2,AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上的中点,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使 平面 AEFD⊥平面 EBCF(如图).
(1)求证:BD⊥EG; (2)求 EG 和平面 ABCD 所成的角的大小.
1 1 S△ABD=2AB· AD=2×3×4=6. 因为 QA=1,VA-BDQ=VQ-ABD, 1 1 13 12 所以3×1×6=3×h× 2 ,所以 h=13. 12 答:P 到平面 BDQ 的距离为13.
二 用向量法求点到平面的距离
【例 2】在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三 角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示.求点 B 到平面 CMN 的距离.
设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,
CM· → n=3x+ 3y=0 则 , MN· → n=-x+ 2z=0
取 z=1,则 x= 2,y=- 6, 所以 n=( 2,- 6,1). → |n· | 4 2 MB 所以点 B 到平面 CMN 的距离 d= = 3 . 1】ABCD 是平行四边形,其中 AB=5,BD=4, AD=3,将△BCD 沿 BD 翻折,使 C 到 C′,且二面角 C′-BD-A 为 120° ,求 (1)C′到平面 ABD 的距离. (2)C′到直线 AB 的距离.
【解析】 (1)经过对题目条件的分析可知,∠ADB=∠DBC =90° ,翻折后∠DBC′仍为 90° ,故 BD⊥平面 C′BC,从 而平面 C′BC⊥平面 ABD, 所以 C′在平面 ABD 内的射影必在直线 BC 上, 又∠C′BC 为二面角 C′-BD-A 的平面角的补角, 所以∠C′BC=60° ,所以△C′BC 为正三角形, 所以点 C′到平面 BCD 内的射影恰为边 BC 的中点 E. 3 3 因为 BC=3,所以 C′E= 2 , 3 3 即点 C′到平面 ABD 的距离为 2 .
【点评】由上可知,用向量求立体几何中有关距离的问题, 不但可以减少一些辅助线的添加,而且求解简捷. 利用向量法求点到平面的距离的步骤如下: (1)求出该平面的一个法向量 n;(2)找出以该点及平面内的某 |n· a| 点为端点的线段对应的向量 a;(3)利用公式 d= 求距离. n
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如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB =2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离.
A.5 2 cm C.10 cm
【解析】 由已知 AC=10 cm,又 AC⊥BD,设 AC 与 BD 的 交点为 O,则 P 到 BD 的距离等于 PO= 52+52=5 2 cm.
3.如图,已知正三角形 ABC 的边长为 6 cm,点 O 到△ABC 的各顶点的距离都是 4 cm,则点 O 到这个三角形所在平面 的距离是( ) 1 B.2 cm 3 D. 2 cm
设平面 ACD1 的法向量为 n=(a,b,c),
n· =0 → -a+2b=0 AC 则 ,即 . → n· 1=0 -a+c=0 AD
取 a=2,则 b=1,c=2,所以 n=(2,1,2). 故点 E 到平面 AD1C 的距离 → n| |D1E· |2+1-2| 1 d= = =3. 3 |n|
【解析】在平面 ABCD 内作 AE⊥BD,垂足为 E,连 接 QE,则 QE⊥BD. AB· AD 12 在 Rt△ABD 中,AE= BD = 5 , 13 在 Rt△AEQ 中,QE= QA +AE = 5 .
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设点 P 到平面 BDQ 的距离为 h, 1 1 13 13 则 S△BDQ=2BD· QE=2×5× 5 = 2 ,
A.2 3 cm C.2 cm
【解析】设底面中心为 D,连接 OD,则 OD 即为所求. 3 2 AD= 2 ×3· AB=2 3 cm, 所以 OD= OA2-AD2=2 cm,故选 C.
4.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称 主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等腰三角形,侧视图(或 称左视图)是一个底边长为 6、高为 5 的等腰三角形.则该几 何体的体积为( A.24 C.64 ) B.80 D.240
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度. 6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离:夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法与步骤 (一)传统方法 1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题, 平面几何方法 可用⑧ 求解. 2.平行直线与平面间的距离、平行平 面间的距离可归结为求⑨ 点面间 的距离. 3.求距离的基本步骤是:(ⅰ)找出或作 出有关距离的图形;(ⅱ)证明它符合定义; (ⅲ)在平面图形内计算.
【解析】(1)连接 AD1. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1. 则四边形 ADD1A1 是正方形, 所以 A1D⊥AD1. 又 AE⊥平面 A1ADD1, 则 AE⊥A1D,AE∩AD1=A, 所以 A1D⊥平面 AD1E,则 D1E⊥A1D.
(2)建立空间直角坐标系,取 D 为坐标原点,DA、DC、 DD1 分别为 x、 z 轴. A1(1,0,1), 1(0,0,1), y、 则 D A(1,0,0), C(0,2,0). 因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0), → → → 所以D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1).
【点评】 翻折问题常用作辅助线的方法是作棱的垂线, 关键要抓不变的量.
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(2012· 惠州模拟)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD =AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方 体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2. (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E, 使得二面角 D1-EC-D 的 π 大小为4.若存在,确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.
1.了解空间各种距离的概念,掌握 求空间距离的一般方法. 2.能熟练地将直线与平面之间的距 离,两平行平面之间的距离转化为点 到平面的距离. 3.了解折叠问题的基本内涵,掌握 分析求解折叠问题的基本原则.
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段 的长度. 2.点到直线的距离:从直线外一点向直线 引垂线,② 点到垂足之间线段 的长度. 3.点到平面的距离:自点向平面引垂线, ③ 点到垂足间线段 的长度. 4.平行直线间的距离:从两条平行线中的 一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④ 点到垂足间线段 的长度.
三、折叠问题 1.概念:将平面图形沿某直线翻折成立 体图形,再对折叠后的立体图形的线面位 置关系和某几何量进行论证和计算,就是 折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则: (1)折叠问题的探究须充分利用不变量 和不变关系; (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几 何量和位置关系保持⑩不变 .