第52讲 空间距离及其计算、折叠问题

【解析】(1)连接 AD1. 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1. 则四边形 ADD1A1 是正方形， 所以 A1D⊥AD1. 又 AE⊥平面 A1ADD1， 则 AE⊥A1D，AE∩AD1＝A， 所以 A1D⊥平面 AD1E，则 D1E⊥A1D.
(2)建立空间直角坐标系，取 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 分别为 x、 z 轴． A1(1,0,1)， 1(0,0,1)， y、 则 D A(1,0,0)， C(0,2,0)． 因为 E 为 AB 的中点，则 E(1,1,0)， → → → 所以D1E＝(1,1，－1)，AC＝(－1,2,0)，AD1＝(－1,0,1)．
三、折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立 体图形，再对折叠后的立体图形的线面位 置关系和某几何量进行论证和计算，就是 折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量 和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几 何量和位置关系保持⑩不变 .
1.下列命题中： ①PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，则 P、B 两点间 的距离等于 P 到 BC 的距离； ②若 a∥b，a⊄α，b⊂α，则 a 与 b 的距离等于 a 与 α 的距离； ③直线 a、b 是异面直线，a⊂α，b∥α，则 a、b 之间的距离等于 b 与 α 的距离；
【点评】由上可知，用向量求立体几何中有关距离的问题， 不但可以减少一些辅助线的添加，而且求解简捷． 利用向量法求点到平面的距离的步骤如下： (1)求出该平面的一个法向量 n；(2)找出以该点及平面内的某 |n· a| 点为端点的线段对应的向量 a；(3)利用公式 d＝ 求距离． n
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如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB ＝2，点 E 在棱 AB 上移动． (1)证明：D1E⊥A1D； (2)当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到平面 ACD1 的距离．
1 1 S△ABD＝2AB· AD＝2×3×4＝6. 因为 QA＝1，VA－BDQ＝VQ－ABD， 1 1 13 12 所以3×1×6＝3×h× 2 ，所以 h＝13. 12 答：P 到平面 BDQ 的距离为13.
二 用向量法求点到平面的距离
【例 2】在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三 角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA＝SC＝2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的距离．
④直线 a、b 是异面直线，a⊂α，b⊂β，且 α∥β， 则 a、b 之间的距离等于 α 与 β 之间的距离． 其中正确命题的个数有( C ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
【解析】 由空间距离的定义知②错．
2.在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形， ∠ABC＝60° ， AB＝10 cm，又 PA⊥底面 ABCD，PA＝5，则 P 到 BD 的距 离为( ) B．5 5 cm D．15 cm
(二)向量方法 1.异面直线间距离的求法 l1，l2 是两条异面直线， l1，l2的公垂线段AB n是 的方向向量，又C、D分别是l1、l2 上的任意两点， | DC n | 则 AB |n|
2．点面距离的求法：设n是平面的法向量， AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距 | AB n | 离为 |n| 3．线面距离、面面距离均可转化点面距离．
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度. 6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法与步骤 （一）传统方法 1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 平面几何方法 可用⑧ 求解. 2.平行直线与平面间的距离、平行平 面间的距离可归结为求⑨ 点面间 的距离. 3.求距离的基本步骤是：(ⅰ)找出或作 出有关距离的图形；(ⅱ)证明它符合定义； (ⅲ)在平面图形内计算.
【解析】结合题意知该几何体是四棱锥．
因为四棱锥的的底面是边长为 8 和 6 的矩形，高是 5， 1 所以由棱锥的体积公式得 V＝3×8×6×5＝80.
5.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a, E、F 分别是 B1C1、BB1 的中点，则： (1)直线 EF 与平面 D1AC1 的距离是 2 4a ； 3 3a .
1.了解空间各种距离的概念，掌握 求空间距离的一般方法. 2.能熟练地将直线与平面之间的距 离，两平行平面之间的距离转化为点 到平面的距离. 3.了解折叠问题的基本内涵，掌握 分析求解折叠问题的基本原则.
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段 的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线 引垂线，② 点到垂足之间线段 的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， ③ 点到垂足间线段 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的 一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④ 点到垂足间线段 的长度.
设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
CM· → n＝3x＋ 3y＝0 则 ， MN· → n＝－x＋ 2z＝0
取 z＝1，则 x＝ 2，y＝－ 6， 所以 n＝( 2，－ 6，1)． → |n· | 4 2 MB 所以点 B 到平面 CMN 的距离 d＝ ＝ 3 . |n|
设平面 ACD1 的法向量为 n＝(a，b，c)，
n· ＝0 → －a＋2b＝0 AC 则 ，即 . → n· 1＝0 －a＋c＝0 AD
取 a＝2，则 b＝1，c＝2，所以 n＝(2,1,2)． 故点 E 到平面 AD1C 的距离 → n| |D1E· |2＋1－2| 1 d＝ ＝ ＝3. 3 |n|
(2)由(1)，AE⊥平面 EBCF⇒ AE⊥BC BC⊥平面AEB ⇒ ⇒ BC⊥BE BC⊂平面ABCD 平面AEB⊥平面ABCD ⇒OE⊥平面 ABCD. 过E作EO⊥AB于O
连接 OG，则∠OGE 为 EG 与平面 ABCD 所成角． 在 Rt△AEB 中，AE＝EB＝2，所以 OE＝ 2. 又 EG＝ 2BE＝2 2，在 Rt△EOG 中， OE 1 sin∠OGE＝EG＝2，所以∠OGE＝30° ， 即 EG 与平面 ABCD 所成的角为 30° .
A．5 2 cm C．10 cm
【解析】 由已知 AC＝10 cm，又 AC⊥BD，设 AC 与 BD 的 交点为 O，则 P 到 BD 的距离等于 PO＝ 52＋52＝5 2 cm.
3.如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6 cm，点 O 到△ABC 的各顶点的距离都是 4 cm，则点 O 到这个三角形所在平面 的距离是( ) 1 B.2 cm 3 D. 2 cm
(2)过 C′作直线 AB 的垂线仍存在垂足落点问题，可先 过 BC 中点 E 在面 ABD 内作 AB 的垂线 EH，垂足为 H. 由条件知 H 在 AB 的延长线上，再由三垂线定理可知 C′H⊥AB， 所以 C′H 为点 C′到 AB 的距离． 12 作 DF⊥AB 于 F，则 DF＝ 5 . 1 6 因为 E 为 BC 的中点，所以 EH＝2DF＝5， 3 91 所以 Rt△C′EH 中，C′H＝ C′E ＋EH ＝ 10 .
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【点评】求点到平面的距离常用方法有两种： ①用定义，直接作出这段距离，经论证，再计算； ②转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面 的距离．
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P 为矩形 ABCD 所在平面外一点， PA⊥平面 ABCD， Q 为线段 AP 的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，求 P 到 平面 BQD 的距离．
【解析】在平面 ABCD 内作 AE⊥BD，垂足为 E，连 接 QE，则 QE⊥BD. AB· AD 12 在 Rt△ABD 中，AE＝ BD ＝ 5 ， 13 在 Rt△AEQ 中，QE＝ QA ＋AE ＝ 5 .
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设点 P 到平面 BDQ 的距离为 h， 1 1 13 13 则 S△BDQ＝2BD· QE＝2×5× 5 ＝ 2 ，
一
用基本法求点面距离
【例 1】ABCD 是平行四边形，其中 AB＝5，BD＝4， AD＝3，将△BCD 沿 BD 翻折，使 C 到 C′，且二面角 C′－BD－A 为 120° ，求 (1)C′到平面 ABD 的距离． (2)C′到直线 AB 的距离．
【解析】 (1)经过对题目条件的分析可知，∠ADB＝∠DBC ＝90° ，翻折后∠DBC′仍为 90° ，故 BD⊥平面 C′BC，从 而平面 C′BC⊥平面 ABD， 所以 C′在平面 ABD 内的射影必在直线 BC 上， 又∠C′BC 为二面角 C′－BD－A 的平面角的补角， 所以∠C′BC＝60° ，所以△C′BC 为正三角形， 所以点 C′到平面 BCD 内的射影恰为边 BC 的中点 E. 3 3 因为 BC＝3，所以 C′E＝ 2 ， 3 3 即点 C′到平面 ABD 的距离为 2 .
(2)平面 AB1D1 与平面 C1BD 间的距离是
【解析】(1)易知 EF∥平面 D1AC1. 过 E 作 EH⊥BC1 于 H.因为 D1C1⊥平面 BB1C1C， 所以 D1C1⊥EH，故 EH⊥平面 D1AC1， 2 从而 EF 与平面 D1AC1 的距离为 EH＝ 4 a. (2)因为平面 AB1D1∥平面 C1BD，连接 A1C，设 A1C 分别与平面 AB1D1 和平面 C1BD 交于 O1、O2， 1 3 则 O1O2 为所求距离，且 O1O2＝3A1C＝ 3 a.
A．2 3 cm C．2 cm
【解析】设底面中心为 D，连接 OD，则 OD 即为所求． 3 2 AD＝ 2 ×3· AB＝2 3 cm， 所以 OD＝ OA2－AD2＝2 cm，故选 C.
4.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称 主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等腰三角形，侧视图(或 称左视图)是一个底边长为 6、高为 5 的等腰三角形．则该几 何体的体积为( A．24 C．64 ) B．80 D．240
三 折叠问题
【例 3】如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC π ＝∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝4，E、F 分别是 AB、CD 上的中点，G 是 BC 的中点．沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使 平面 AEFD⊥平面 EBCF(如图)．
(1)求证：BD⊥EG； (2)求 EG 和平面 ABCD 所成的角的大小．
【点评】 翻折问题常用作辅助线的方法是作棱的垂线， 关键要抓不变的量．
素Байду номын сангаас3
(2012· 惠州模拟)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD ＝AA1＝1，AB>1，点 E 在棱 AB 上移动，小蚂蚁从点 A 沿长方 体的表面爬到点 C1，所爬的最短路程为 2 2. (1)求证：D1E⊥A1D； (2)求 AB 的长度； (3)在线段 AB 上是否存在点 E， 使得二面角 D1－EC－D 的 π 大小为4.若存在，确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. 因为 SA＝SC，AB＝BC，所以 AC⊥SO，AC⊥BO. 因为平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC，
所以 SO⊥平面 ABC，所以 SO⊥BO. 如图所示，建立空间直角坐标系 O－xyz， 则 B(0,2 3，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)， N(0， 3， 2)． → → → 所以CM＝(3， 3，0)，MN＝(－1,0， 2)，MB＝(－1， 3，0)．