2017年中考数学专题复习新定义问题

新定义问题

【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1. 阅读定义或概念，并理解；2. 总结信息，建立数模；3. 解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能.

【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决

【典例解析】

类型一：规律题型中的新定义

例题1：（2015?永州，第10 题3 分）定义[x] 为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3 ，[0.6]=0 ，[ ﹣3.6]= ﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）

A．[x]=x （x 为整数）B ．0≤x﹣[x] <1

C．[x+y] ≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x] （n为整数）

【解析】：根据“定义[x] 为不超过x 的最大整数”进行计算

【解答】：解：A、∵ [x] 为不超过x 的最大整数，

∴当x 是整数时，[x]=x ，成立；

B、∵ [x] 为不超过x 的最大整数，∴ 0≤x﹣[x] < 1，成立；

C、例如，[ ﹣5.4 ﹣3.2]=[ ﹣8.6]= ﹣9，[ ﹣5.4]+[ ﹣3.2]= ﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9> ﹣10，

∴[ ﹣5.4 ﹣3.2] >[ ﹣5.4]+[ ﹣3.2] ，

∴ [x+y] ≤[x]+[y] 不成立，

D、[n+x]=n+[x] （n 为整数），成立；故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．

变式训练1：

（2015?山东潍坊，第12 题3 分）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1,1）、C （3,1）．规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移1 个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014 次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）

A．( —2012,2) B ．(一2012，一2)

C. ( —2013, —2)

D. ( —2013,2)

类型运算题型中的新定义

例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a> 0，a≠ 1，b>0）表示a，b 之

间的一种运算．

现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M= ( a> 0，a≠ 1，N> 0，N≠ 1，

N

M> 0 ）．

例如：log 223=3，log 25= ，则log 1001000=

解析】实数的运算．先根据log N M= （a> 0，a≠ 1，N>0，N≠ 1，M> 0）将所求式子化成以10 为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log 1001000= = = ．故答案为：．

变式训练2：

（2016 四川省乐山市第16 题）在直角坐标系xOy 中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y y（x 0），则称点Q为点P的“可控变点”．

y（x 0）

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y x 3 图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为；

解析】考点：黄金分割的识别

解答】：由作图方法可知DF= 5 CF，所以CG=（ 5 1）CF ，且GH=CD=2C，F从而得出黄

金矩形

径画弧，交BC的延长线与点

A．矩形ABFE ．矩形EFCD

C．矩形EFGH ．矩形DCGH

CG=（ 5 1）CF ， GH=2CF ∴ CG （ 5 1）CF 5 1 ∴矩形 DCGH 是黄金矩形。

GH 2CF 2

变式训练 3：（2014?山东济南，第 14 题，3 分）现定义一种变换：对于一个由有限个数 组成的序列 S 0，将其中的每个数换成该数在 S 0 中出现的次数，可得到一个新序列 S 1，例如序 列 S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列 S 1：（2，2，1， 2，2），若 S 0可以为任意序 列，则下面的序列可作为 S 1 的是（

）

A ．（1，2，1，2，2）

B ．（2，2，2，3，3）

C ．（1，1，2，2，3）

D ．（1，2，1，1，2） 类型四： 开放题型中的新定义

例题 4： （2016 山西省第 19 题） （本题 7 分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基

米德折弦定理

阿基米德（ Archimedes ，公元前 287~公元 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家 之

一．他与牛顿、高斯并称为三大数子．

阿拉伯 Al-Biruni （ 973 年 ~1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 Al-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》 ，第一题就是阿基米德的折弦定 理．

阿基米德折弦定理 ：如图 1，AB 和 BC 是 O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦） ， BC>AB ，M 是 ABC 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+B ．D

下面是运用“截长法”证明 CD=AB+BD 的部分证明过程．

证明：如图 2，在 CB 上截取 CG=AB ，连接 MA ，MB ，MC 和 MG ．∵ M 是 ABC 的中点， 任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ ABC 内接于 O ，AB=2，D 为 O 上一点， ABD 45 ， AE

⊥