2018北京市丰台区高三(上)期末数学(理)
2018年高三最新 北京丰台区2018学年度第一学期期末练
丰台区2018～2018学年度第一学期期末练习高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1． 函数 A.{x|0＜x ＜3} B.{x|x ≥3} C.{x|x ≠0} D.{x|x ＞2}2.已知集合A={(x ，y)|y=2x,x ∈R},B={(x,y)|y=2x,x ∈R},则A ∩B 的元素数目为 A ．0 B.1 C.2 D.无穷多3．给出命题：“已知a,b,c,d 是实数，若a ≠b 且c ≠d ，则a+c ≠b+d ”.对原命题，逆命题，否命题，逆否命题而言，其中的真命题有A ．0个 B.1个 C.2个 D.4个4．设→a =（cos α,sin α）, →b =(cos β,sin β)，则|3→a -4→b |的最大值是A ．5．平面上不共线的4个点A 、B 、C 、D ，若（2)()0,DB DC AD AB AC +--=则△ABC 是A ．直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形6．已知椭圆C 1：22143x y +=，其左准线为l 1,右准线为l 2,一条以原点为顶点，l 1为准线的抛物线C 2交l 2于A ，B 两点，则|AB|等于A ．2 B.4 C.8 D.167．已知各项均为正数的等比数列{a n }前2项和为6，前6项的和为126，则前4项的和等于 A ．64 B.36 C.30 D.248．过点A （0，212y +=2x 作椭圆的弦AM 3，则|AM|的最大值为A ．第Ⅱ卷(非选择题 共110分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9.已知复数z 满足1,|1|_______________.1zi z z-=++则等于43的展开式中x 的系数是___________.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=c 2+|ab|,且sinA ·sinB=3,4则 ∠C=_________,∠A=______________.12.光线从点A （1，1）出发，经y 轴反射到圆C ：（x-5）2+(y-7)2=4的最短路程等于______. 13．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π＝的图像在y 轴上的截距为1,在相邻两最值点(x 0,2),(x 0+2π,-2)处分别取得最大值和最小值,则函数f(x)的解析式为_______.14.设f(x)为R 上的奇函数,且f(-x)+f(x+3)=0,若f(-1)=-1,f(2)＜log a 2,则a 的取值范围是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数f(x)=a x-103a 的反函数f -1（x ）的图像过点（-1,2），且函数f(x)为减函数. (1) 求y=f -1（x ）的解析式；(2) 求满足f -1(2x)＞f -1(x 2+1)的x 的取值范围.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P，且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数f(x)在x=2处取得极值为0.（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调增区间.17．（本小题共13分）已知10件产品中有3件次品.（1）任意抽取3件产品作检验，求其中至少有1件次品的概率；（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验.18.（本小题共14分）如右图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形，M 是底面BC边的中点.（1）求二面角B1—AM—B的大小；（2）证明：直线A1C∥平面MAB1；（3）求直线A1C到平面MAB1的距离.已知函数(x ＞0).（1） 求数列{a n }满足a 1=1,11()n n f a a +=,求a n ； （2） 若b n =a 2212n n a ++++…+221n a +，是否存在最小正整数P ，使对任意x ∈N *，都有b n ＜25P成立.20．（本小题共14分）在直角坐标系内，△ABC 的两个顶点C 、A 的坐标分别为（，三个内角A 、B 、C 满足sin ).A C + （1） 求顶点B 的轨迹方程；（2） 过点C 做倾斜角为θ的直线与顶点B 的轨迹交于P 、Q 两点，当θ∈(0,)2π时，求△APQ 面积的最大值.丰台区2018～2018学年度第一学期期末练习1．B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A∠C=60°, ∠A=60°13.f(x)=2sin(2x+6π) 14.a ＞1或0＜a ＜1215．解：∵函数f(x)的图像过点（2，-1），∴-1=a 2-103a 得a=3或a=13又f(x)为减函数，∴a=13,所以f(x)=(13)x-109,f(x)＞-109所以f -1(x)=log 13(x+109)(x ＞-109) 满足f -1(2x)＞f -1(x 2+1) 即21020910102199x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<++⎪⎩得591x x ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩满足f -1(2x)>f -1(x 2+1)的x 的取值范围是{x|x>-59且x ≠1}16．解：函数f(x)与y 轴交点P （0，d ），又f ′=3ax 2+2bx+c,f ′|x=2=12a+4b+c=0,① 又函数f(x)在x=2处取得极值为0，所以8a+4b+2c+d=0, ② 又切线的斜率k=12，所以f ′|x=0=c=12,③ 过P 点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0 ④ 解①，②，③，④得a=2，b=-9,c=12,d=-4 所以f(x)=2x 3-9x 2+12x-4 f(x)=6x 2-18x+12>0得x>2或x<1. 函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞)17.解：任意抽取3件产品全部是正品的概率为37310724C C =,至少有1件次品的概率为1-7172424=设抽取n 件产品作检验，则3件产品全部检验出的概率为333373710106,10n n nC C C C C C ->n-3则 7!610!,(3)!(10)!10!(10)!n n n n >---整理得n(n-1)(n-2)>9×8×6,又n ∈N *，n ≤10,当n=9或n=10时上式成立，所以最少应抽取9件产品作检验.18．解：依题意 由M 是底面BC 边的中点 所以 AM ⊥BC ，又BB 1⊥底面ABC ，所以B 1M ⊥AM ∠B 1MB 为二面角B 1—AM —B 的平面角tan ∠B 1MB=2,所以二面角B 1—AM —B 的大小等于arctan2.又正三棱柱的侧面是正方形，设O 是A 1B 与B 1A 的交点，则O 是A 1B 的中点, 连接OM ，M 是底面BC 边的中点，所以A 1C ∥OM ， 而OM ⊂平面MAB 1，A 1C ⊄平面MB 1A 故直线A 1C ∥平面MB 1A又AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1，所以AM ⊥平面CB 1，AM ⊂平面MA B 1 所以平面MAB 1⊥平面CB 1过点C 作CE ⊥B 1M 于E ，则CE ⊥平面MAB 1 又直线A 1C ∥平面MAB 1，所以线段CE 的长即直线A 1C 到平面MAB 1的距离,由△CME ∽△BMB 1得CE=1112BB CM B M ==直线A 1C 到平面MAB 1的距离519．解：由22111)()4n n na a +=-=n+11得(a ∴数列{21}na 是首项为1，公差为4的等差数列∴21n a ＝4n-3,又a n >0,所以a n∴b n =a 2212n n a ++++…+221114145n a n n +=++++…+181n + b n+1=114549n n ++++…+189n + 因为b n+1-b n =111220,85894184n n n n -+-<=++++n 所以{b }是递减数列 存在最大项b 1=111470,,5945259P P +=<>114依题意,只需b =解得45 又P ∈N *，所以存在最小正整数P=8,使不等式成立.20．解：因为sin )A C +,根据正弦定理得)a c + 又a+c=4由椭圆定义知顶点B 的轨迹为椭圆，其方程为221(0)4x y y +=≠ 设PQ 方程为y=tan θθ∈(0,)2π由22tan (14y x x y θ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得(1+4tan 2θ)x 22θ+12tan 2θ-4=0设P （x 1,y 1），Q （x 2,y 2）,则x 1+x 2212212tan 4,14tan x x θθ-=+ 又|PQ|=224(1tan ),14tan θθ++点A 到PQ 的距离,θ∈(0,)2πS △ABC 3sinsin θθ==+ 2当且仅当13sin ,sin θθθ==即△APQ 的最大面积为2.。
2018年高三最新 北京市丰台区2018学年度第一学期期末练习高三数学(理) 精品
丰台区2018—2018学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科）2018．1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务须将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a －5|}，且}7,5{,=⊆M C U M U ，则实数a 的 值为（ ）A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或82．如果函数解析式是),,1[,3log )(2+∞∈+=x x x f 且那么)(1x f -的定义域是 （ ）A ．),3[+∞B ．),1[+∞C ．（0，1）D ．R3．S n 是数列}{n a 的前n 项和，则数{S n }为等差数列是数列}{n a 为常数列的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤232y x y x x y ，则186622++-+=y x y x S 的最大值是（ ）A ．17B ．20C ．26D ．305．若⊥+===且,,2||,1||，则向量与的夹角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 6．在空间中有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α//平面β，则平面α内任意一条直线m//平面β ③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内一条直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β ④若点P 到三角形的三个顶点距离相等，则点P 的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心其中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．在△ABC 中，已知a =2b cosC ，那么这个三角形一定是 （ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形8．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则该椭圆的离心率是 （ ） A ．33B ．22 C ．41 D ．21第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2018年北京丰台区高三上学期期末数学(理)试题
丰台区2018年第一学期期末练习高三数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数0),(212≠∈=+-b R b bi imi且，则m 的值是（ ）A ．-1B ．0C 1D ．22．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>,则MN =（ ）A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<3.已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23B 、2-C 、92-D 、23-4. 设a 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则a 属于区间( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）5.已知平面α、β、γ及直线l ，m ，m l ⊥，γα⊥，m =⋂αγ，l =⋂βγ，以此作为条件得出下面三个结论：①γβ⊥ ②α⊥l ③β⊥m ，其中正确结论是（ ） A 、①、② B 、①③ C 、②、③ D 、②6．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53 B．3 C ．54D．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ）(A)1 (B) 1(C) -1，18．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0 (C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．已知直线y=x+b 与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若，则b 的取值范围是________.11．12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．12．圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，则a 的值是 _______. 13．已知ABC ∆中，，BC=1，，则ABC ∆的面积为______． 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围．16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值. 17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值. 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=2， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．。
2018年北京各区高三上期末理科数学汇编--立体几何
2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---立体几何1.（西城）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．362. （西城）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． 因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z =，所以(2,1,=-n ． [11分]所以111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]3. （海淀）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③所有正确的说法是 D （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③4.（海淀）如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2.（Ⅰ）求证：平面1A ED⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.主视图左视图俯视图A E DB CD图1 图2（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，BE AD ⊥故图2，1BE A E ⊥，BE DE ⊥……………..1分 因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE……………..2分所以BE ⊥平面1A DE ……………..3分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..4分（Ⅱ） 解一：取DE 中点O ，连接1OA ，ON .因为在1A DE ∆中，111A E A D DE ===，O 为DE 中点所以1AO DE ⊥因为平面1A DE ⊥平面BCDE平面1A DE平面BCDE DE =1AO ⊂平面1A DE 所以1AO ⊥平面BCDE 因为在正方形BCDE 中，O 、N 分别为DE 、BC的中点， 所以ON DE ⊥ 建系如图. 则1A ，1(1,,0)2B -，1(1,,0)2C ，1(0,,0)2D ，1(0,,0)2E -.……………..5分11(1,,2A B=-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，xy设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,4||||A B n A B n A B n ⋅<>===-⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图.则11(0,2A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . ……………..5分11(1,,2A B =-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即10220y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD所成角的正弦值为4……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等.xy理由如下:方法一：由1(0,4M ，1(1,,0)2N，知1(1,,4MN =uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r……………..11分因为MN ⊂平面1ACD ，……………..12分所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M A CD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD ……………..11分因为MN ⊂平面MNP ，……………..12分 所以//MN 平面1ACD……………..13分故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三 方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED =因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ ……………..11分 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ， ……………..12分 所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分5.（朝阳） 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 AA. 4B.43D.6. （朝阳）如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时， ① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是CA . ① B. ①② C. ①③ D. ②③A7. （朝阳）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角 1A A B C --的余弦值. （Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C ,ACBB 1C 1A 1DACBB 1C 1A 1DE所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --…………14分 8.（通州）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交， 点Q 为MN 中点，则点的轨迹的长度是 BA．2 B ．C ．1 DQ NM C 1B 1A 1CBA9. （通州）网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______. 1210.(通州)在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC，AB DC ==1122AD AA BC ===， 点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC所成角的正弦值是21，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）连接PQ ，因为点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点，所以1//PQ C C ，1PQ C C =. 所以四边形PQCC 1是平行四边形. 所以1//.CQ C P因为CQ ⊄平面1PAC ，1C P ⊂平面1PAC ，所以//CQ 平面1.PAC ……………………4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ,1//AA PQ ，所以PQ ⊥平面ABCD .……………………5分 所以以Q 为坐标原点，分别以直线QA ，QP 为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系Qxyz ，则y 轴在平面ABCD 内．BC Q PD 1C 1B 1A 1DCB A所以(),,A 100，(),,P 002，(),,C -1212，(),,B 210， 所以()1,0,2PA =-，()12,1,0PC =-. ……………………7分设平面1PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩100即,.x z x y -=⎧⎨-+=⎩2020所以()2,4,1n =. ……………………8分 设平面PAD 的法向量为()0,1,0m =，所以cos ,.21n m ==又二面角1C AP D --为锐角，所以二面角1C AP D --的余弦值是21……………………10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,E a 10，所以(),1,2.PE a =-设PE 与平面1PAC 所成角为θ，所以2sin cos ,21n PE θ==21=，解得 1.a =所以 1.BE =……………………14分 11.（东城）图所示，则该三棱锥的体积为 A（A ）16（B ）13（C ）12（D ）112.（东城）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（III ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.正（主）视图侧（左）视图俯视图证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =， ()1,1,0AB =，()0,1,1AE =，则有 0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-. ()0,1,1DE =-，cos ,6DE DE DE⋅===m m m . 所以直线DE 与平面ABE （Ⅲ）设ON OD λ=，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=-，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有 0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1v =，则()0,1,1n =.因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-.因为平面BMN⊥平面ABE，所以0m n⋅=.解得23λ=，所以53AN=.13. （顺义）体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________．8π14.（顺义）中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点，是棱上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：∥平面；（Ⅲ）求二面角的度数.（Ⅲ）连结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（Ⅰ）平面..以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则.————10分设平面的法向量为，，注意到∥，解得是平面的一个法向量——12分15.（大兴）图如图所示，则该几何体的体积为（）BA．3B．6C．9D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：如图，由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3，∴该几何体的体积为：V===6．故选：B．16.（大兴）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．17.（大兴）如图，在三棱锥K﹣ABC中，平面KAC⊥平面ABC，KC⊥AC，AC⊥AB，H为KA的中点，KC=AC=AB=2．（Ⅰ）求证：CH⊥平面KAB；（Ⅱ）求二面角H﹣BC﹣A的余弦值；（Ⅲ）若M为AC中点，在直线KB上是否存在点N使MN∥平面HBC，若存在，求出KN的长，若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知AB⊥平面KAC，从而AB⊥CH，由等腰三角形性质得CH⊥AK，由此能证明CH⊥平面AKB．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于平面ABCD的直线AD为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角H﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅲ），N（a，b，c），利用向量法能求出在直线KB上存在点N使MN∥平面HBC，并能求出KN的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为平面KAC⊥底面ABC，且AB垂直于这两个平面的交线AC，所以AB⊥平面KAC…所以AB⊥CH…因为CK=CA，H为AK中点，所以CH⊥AK…因为AB∩AK=A，所以CH⊥平面AKB．…解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于平面ABCD的直线AD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），K（0，2，2），H（0，1，1），C（0，2，0），B（2，0，0），，…，即，………因为所求的二面角为锐角，．…（Ⅲ），N（a，b，c），…所以N（2λ，2﹣2λ，2﹣2λ）因为M（0，1，0），…，得3﹣2λ=0，．…．．…18.（昌平）的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为BA. 1B.C. 2D.19. （昌平）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD的值；若不存在，请说明理由．（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以PE AC ⊥.(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 所以CE ⊥AB .主视图左视图俯视图1 1 MPE DBAHMPEDBA又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B，(P，()0C，()D -． ………10分 假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，则((,,x y z λ-=-，所以()2)M λλ--，所以()2)EM λλ=--，()EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则2)030EMx y z EC y λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n，解得02)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)x λ=-，得)),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以cos |||⋅〈〉===⋅n m n,m n |m因为二面角M EC D --的大小为60°12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°．…………………14分20. （房山）格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 B（A ）120 （B ）60 （C ）24 （D ）2021（房山）如图几何体ADM-BCN 中，ABCD 是正方形，NM //CD ，CN CD MD AD ⊥⊥,，=∠MDC o 120， 30=∠CDN ，42==MD MN .（Ⅰ）求证：CDMN AB 平面//；A BCDNM（Ⅱ）求证：AMD DN 平面⊥； （Ⅲ）求二面角D AM N --的余弦解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，CD AB //；又 MNCD 面⊂CD ，MNCD 面⊄AB ；MNCD //面AB ∴ …………………5分（Ⅱ） 四边形ABCD 是正方形⊥∴AD DC⊥AD MD ， CD D MD =，CD ，MNCD MD 平面⊂⊥∴AD MNCD 平面MNCD DN ⊂⊥∴AD DN =∠MDC o 120， 30=∠CDN 90=∠∴MDN ∴MD ND ⊥ D MD AD = ，AMD MD AD 平面，⊂AMD DN 面⊥∴ …………………10分（Ⅲ）法1：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示；由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,32,0(),0,0,2(),3,0,0(),0,0,0(N M A D ∴)0,32,0(),3,32,0(),3,0,2(=-=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n AM n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⇒z y z x z y z x 23230332032令3,3,2===y x z 则，)2,3,3(=∴n431632332,cos ==>=<∴ 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43…………………14分 法2：以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示； 由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,3,0(),0,3,4(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(N M A D C ∴)0,3,3(),3,3,3(),3,3,1(-=--=-=∴DN AN AM 设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n n ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+-=-+⇒z y x z y x z y x 300333033令3,1==y z 则，)1,3,0(=∴n432323||||,cos =⋅=>=<∴DN n 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43. …………………14分 22.（丰台）图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为 D(A) 2(B)(C)(D) 323.（丰台）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，2==AD PA ，2=CD ．（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面⊥PAM 平面EFD ？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由．解（1）明：取PD 中点G ，连接AG ，FG ． 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以 FG CD ∥，且 12FG CD =． 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点，FE PDCBA所以 AE FG ∥，AE FG =．所以AEFG 为平行四边形．所以 AG EF //． 又因为 ⊂AG 平面PAD ，⊄EF 平面PAD ，所以 EF ∥平面PAD ． ………………5分（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥．如图建立直角坐标系Axyz ， 所以E，F ，(0,2,0)D ， 所以 (011)EF =,,，2(2)DE =-,0． 设平面EFD 的法向量为 (,,)n x y z =，因为 00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以202y z x y +=⎧-=⎪⎩． 令 1y =，所以 1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以 (22,1,1)n =-． ………………8分又因为 (2,2,2)PC =-，设PC 与平面EFD 所成角为θ， 所以 4sin cos ,510PC n PC n PC nθ⋅=<>===⋅．所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为54． (10)分 （Ⅲ）解：因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得AM DE ⊥，即可证明平面⊥PAM 平面EFD ．设BC 上存在一点M ，则,0)([0,2])M t t ∈， 所以 (2,,0)AM t =．因为 (ED =-， 所以令 0AM ED ⋅=，即120t -+=，所以21=t ．所以在BC 存在一点M ，使得平面⊥PAM 平面EFD ，且14BM BC =． ………………14分24. （石景山）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）BA. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈 25.（石景山）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC BED 平面；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PM PC的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF .因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分所以//PC 平面BED . ……………4分（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点，所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， B AD CE P因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分取AB 中点G ，连接OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形，所以OF CD ⊥，所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r . ……………6分设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r 即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =， 所以(2,1,1)n =r .平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r ，设n r ，OG uuu r 的夹角为α，所以cos 3α=. ……………9分 由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为3……………10分 （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r ．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---u u u r ，(1,2,0)AC =-u u u r ． ……12分由0BM AC ⋅=u u u r u u u r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥， 此时12PM PC λ==． ……………14分。
2018届丰台区高三数学(理)期末试题及答案
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1 2.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断 框内的条件是（A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A ）32 （B ）12 （C ）22（D ）33？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ）A ．T 1=T 19B ．T 3=T 17C ．T 5=T 12D ．T 8=T 113． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除4． 在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）2015120aBC bCA cAB ++=H AB A ．2 B ．3C.1 D ．45． 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且)0,0(12222>>=-b a by a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=34125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),210[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）6． 设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b7． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞19． 设P 是椭圆+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）A ．22B ．21C ．20D ．1310．为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位11．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）A ．48B ．±48C ．96D ．±9612．设函数f （x ）=的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a ≥﹣D ．a ＞﹣二、填空题13．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x ___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．14．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．16．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）17．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”） 18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．三、解答题19．（本小题满分13分）椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点C 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F :1l x my =-1F C ，点在轴的上方．当时，M M x 0m =1||MF =（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程．N C x 12//MF NF 12123MF F NF F S S ∆∆=l 20．已知函数f （x ）=x ﹣1+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数.21()cos cos 2f x x x x =--（1）求函数在上的最大值和最小值；()y f x =[0,]2π（2）在中，角所对的边分别为，满足，，，求的值.1111]ABC ∆,,A B C ,,a b c 2c =3a =()0f B =sin A 22．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点．（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为；（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．2．【答案】C【解析】解：∵a n=29﹣n，∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确T3=221，T17=20，故B不正确T5=230，T12=230，故C正确T8=236，T11=233，故D不正确故选C3．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．4．【答案】D【解析】考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底OA OB BA -= 2OA OB OD +=D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几,AB AC何意义等.5． 【答案】C【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得a PF PF 2||||21=-a QF QF 2||||21=- ，又，，， a PQ QF PF 4||||||11=-+||||1PF PQ λ=1PF PQ ⊥||1||121PF QF λ+=∴ ，①， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||1211=-++=-+∴λλλλ-++=21114||aPF②，在中，，将①②代入得λλλλ-+++-+=∴22211)11(2||a PF 12PF F ∆2212221||||||F F PF PF =+ ，化简得：+-++22)114(λλa2222411)11(2(c a =-+++-+λλλλ+-++22)11(4λλ，令，易知在上单调递减，故22222)11()11(e =-+++-+λλλλt =-++λλ211λλ-++=211y ]34,125[，，，故答案 选35,34[∈t 22222284)2(4t t t t t t e +-=-+=∴25,2537[21411(82∈+-=t 210,537[∈e C.6． 【答案】A【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1，∴y=sinx 在（0，90°）单调递增，∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1，∴a＜b＜c故选：A【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．7．【答案】D【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．8．【答案】D【解析】解：∵f（1）=lg1=0，∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，故a＞1或a≤0；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．9．【答案】A【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．10．【答案】A【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．11．【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，=384，∴a2和a8的等比中项为=±48．故选：B．12．【答案】C【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，当x=时，取得最小值﹣1；当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，即有f（x）在（﹣∞，）递减，则f（x）＞f（）=a﹣，由题意可得a﹣≥﹣1，解得a≥﹣．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．二、填空题13．【答案】1【解析】14．【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义15．【答案】 ．【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F （1，0），∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），由，消去x 得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①．∵|AF|=3|BF|，∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22=﹣4，消去y 2得k 2=3，解之得k=±．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题． 16．【答案】 , 无．【解析】【知识点】等比数列【试题解析】设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为毫克，所以）=300，=350．由，所以是一个等比数列，所以所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。
2018北京市丰台区高三(上)期末数学(理)
2018北京市丰台区高三（上）期末数 学（理） 2018.1第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21B x x =<，则A B =U （ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≤2．“1x >”是“21x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在极坐标系Ox 中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 4．若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间[)2, 1.5--内，那么输出的y 属于（ ）A ．[)0,0.5B ．(]0,0.5C ．(]0.5,1D ．[)0.5,16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A ．2B ．5C ．22D ．37．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12OA OF =，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．58．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈；②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素；③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z . 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知单位向量,a b r r 的夹角为120°，则()a b a +⋅=r r r ． 10．若复数()()1i 1i z a =++在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a = ．11．在()52x -的展开式中，3x 项的系数是 （用数字作答）． 12．等差数列{}n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么1a = ，数列{}n a 的前9项和9S = ．13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是 ． 14．已知函数()sin ,0,,,x x x f x x x ππ<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩()()()g x f x kx k =-∈R . ①当1k =时，函数()g x 有 个零点；②若函数()g x 有三个零点，则k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，23sin 22sin B B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a =，63ABC S ∆=，求b 的值.16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求,a b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积E X.分为X，求随机变量X的分布列和数学期望()17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,AB PC 的中点，2PA AD ==，2CD =.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ？若存在，求出BM BC的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数()()22ln f x x ax a x a =--∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =.平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．在数列{}n a 中，若12,a a 是整数，且1212121253,,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------⋅⎧⎪=⎨-⋅⎪⎩为偶数，为奇数（n ∈*N ，且3n ≥）. （Ⅰ）若11a =，22a =，写出345,,a a a 的值；（Ⅱ）若在数列{}n a 的前2018项中，奇数的个数为t ，求t 得最大值；（Ⅲ）若数列{}n a 中，1a 是奇数，213a a =，证明：对任意n ∈*N ，n a 不是4的倍数.数学试题答案一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC二、填空题9．1210．1 11．-40 12．2，90 13．(]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 中任取一值即为正确答案 14．1，0,ππ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦三、解答题15．解：（Ⅰ）因为23sin 22sin B B =， 所以223sin cos 2sin B B B =.因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以tan 3B =， 所以3B π=. （Ⅱ）由63ABC S ∆=，4a =，3B π=， 得14sin 6323c π⋅⋅⋅=. 解得6c =. 由余弦定理可得22246246cos283b π=+-⨯⨯⨯=， 解得27b =.16．解：（Ⅰ）依题意2001004000b =，所以3b =. 因为()1001220153010310a =-+++++=，所以10a =，3b =.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A ， 则()203011002P A +==. 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为12. （Ⅲ）X 可取0,10,20,30,40.()300.03100P X ===；()20100.2100P X ===； 5012()15400.15100P X ===. 所以随机变量X 的分布列为：所以()00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG .因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以FG CD ∥，且12FG CD =.因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点，所以AE FG ∥，AE FG =.所以AEFG 为平行四边形.所以EF AG ∥.又因为AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥.如图建立直角坐标系Axyz ， 所以2,0,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D，所以()0,1,1EF =uu u r ，2,2,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r .设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =r ，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r ，所以0220y z x y +=⎧⎪⎨-=⎪.令1y =，所以122z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()22,1,1n =-r . 又因为()2,2,2PC =-uu u r ， 设PC 与平面EFD 所成角为θ， 所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u r r 422451010++=⋅. 所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ⊥，即可证明平面PAM ⊥平面EFD .设BC 上存在一点M ，则()[]()2,,00,2M t t ∈， 所以()2,,0AM t =uuu r . 因为2,2,02ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令0AM ED ⋅=uuu r uu u r ，即120t -+=，所以12t =. 所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ，且14BM BC =.18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+--'==.由()0f x '=，可得x a =或2a x =-， 当0a =时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+，没有单调递减区间；当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞.当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意. 当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即()0f a ≥，所以222ln 0a a a a --≥，所以01a <≤.当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即02a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以342e 0a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．解：（Ⅰ）因为动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以点()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线. 设C 的方程为22y px =， 则12p =，即2p =. 所以C 的轨迹方程为24y x =. （Ⅱ）设2,4m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,04m B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率为22m m k ==--. 设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为2m y x b =-+， 由242y x m y x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得2880my y b +-=， 由64480m b ∆=-⋅⋅=得2b m =-， 所以4y m =-，所以点244,D mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线AD 的方程为2224444m m m y m x m m+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-， 整理得()2414m y x m =--， 所以直线AD 过点()1,0. 当2244m m=，即2m =±时，直线AD 的方程为1x =，过点()1,0， 综上所述，直线AD 过定点()1,0.20．解：（Ⅰ）537a a a =-=，4325329a a a =-=，54322a a a =-=.所以37a =，429a =，522a =.（Ⅱ）（i ）当12,a a 都是偶数时，12a a ⋅是偶数，代入1253n n a a ---得到3a 是偶数； 因为23a a ⋅是偶数，代入1253n n a a ---得到4a 是偶数； 如此下去，可得到数列{}n a 中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，… 所以前2018项中共有0个奇数.（ii ）当12,a a 都是奇数时，12a a ⋅是奇数，代入12n n a a ---得到3a 是偶数； 因为23a a ⋅是偶数，代入1253n n a a ---得到4a 是奇数； 因为34a a ⋅是偶数，代入1253n n a a ---得到5a 是奇数； 如此下去，可得到数列{}n a 中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，… 所以前2018项中共有1346个奇数.（iii ）当1a 是奇数，2a 是偶数时，理由同（ii ），可得数列{}n a 中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，… 所以前2018项中共有1345个奇数.（iv ）当1a 是偶数，2a 是奇数时，理由同（ii ），可得数列{}n a 中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，… 所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数t 的最大值是1346. （Ⅲ）证明：因为1a 是奇数，所以由（Ⅱ）知，n a 不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况. 因为1a 是奇数，且213a a =，所以2a 也是奇数. 所以32112a a a a =-=为偶数，且不是4的倍数. 因为432153a a a a =-=，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数()3t t >，使得t a 是4的倍数，则12,t t a a --均为奇数，所以3t a -一定是偶数， 由于12353t t t a a a ---=-，且12t t t a a a --=-， 将这两个式子作和，可得3234t t t a a a --=-. 因为t a 是4的倍数，所以3t a -也是4的倍数， 与t 是最小正整数使得t a 是4的倍数矛盾. 所以假设不成立，即对任意n ∈*N ，n a 不是4的倍数.。
2018-2019学年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{x|﹣2≤x≤2} 2．（5分）若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A．3B．C．D．﹣33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝3，a2＝6．若b n＝a2n，则数列{b n}的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．1865．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）A．2B．C．D．6．（5分）设，是非零向量，则“＝”是“2＝”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA |＝10，|OB |＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形PBB 1的面积的最小值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝2sin θ的圆心到点（1，0）的距离为 ． 10．（5分）在（2x ﹣1）5的展开式中，x 2的系数为 ．11．（5分）能够说明“设a，b是任意非零实数．若，则b＞a”是假命题的一组整数a，b的值依次为．12．（5分）若x，y满足则z＝x﹣2y的最大值为．13．（5分）动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤6时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的值域为．14．（5分）已知函数①若a＝0，则函数f（x）的零点有个；②若存在实数m，使得函数y＝f（x）+m总有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，P A＝AB．（Ⅰ）求证：AQ⊥CD；（Ⅱ）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C﹣AQ﹣D的余弦值．17．（13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会．本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．（i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%．记Y为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X，Y的均值E（X）和E（Y）的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为，直线l：y＝k（x﹣4）（k≠0）与椭圆C交于不同两点M，N，直线FM，FN分别交y轴于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：|F A|＝|FB|．19．（13分）设函数．（Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）将m×n阶数阵记作{a ij}m×n（其中，当且仅当i＝s，j＝t时，a ij＝a st）．如果对于任意的i＝1，2，3，…，m，当j1＜j2时，都有，那么称数阵{a ij}m×n具有性质A．（Ⅰ）写出一个具有性质A的数阵{a ij}3×4，满足以下三个条件：①a11＝4，②数列{a1n}是公差为2的等差数列，③数列{a m1}是公比为的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵{a ij}m×n的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m×n阶数阵，记作数阵{b ij}m×n．试判断数阵{b ij}m×n是否具有性质A，并说明理由．2018-2019学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【解答】解：∵（2﹣i）（a+i）＝（2a+1）+（2﹣a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2﹣a＝0，即a＝﹣3．故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝+++的值，可得：S＝+++＝（1﹣）+（）+（）+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．4．【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝3，a2＝6，∴d＝a2﹣a1＝6﹣3＝3，∴a2n＝3+3（2n﹣1）＝6n，∴b n＝6n，∴{b n}的前5项和等于6（1+2+3+4+5）＝90，故选：C．5．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，侧棱P A⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2．∴最长的棱为PC，其长度为．故选：D．6．【解答】解：设，是非零向量，若“＝”则可得2＝，若“2＝”，则（﹣）＝0，则⊥（），或＝，故“＝”是“2＝”的充分而不必要条件，故选：A．7．【解答】解：可设MB＝t，可得MO＝12﹣t，MA＝8﹣t，即有MO﹣MA＝4＜AO＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的2c＝10，2a＝4，即c＝5，a＝2，可得e＝＝．故选：D．8．【解答】解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与O重合时，BP最短，此时△PBB1的面积最小，＝，故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：在圆C的极坐标方程两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsinθ，化为普通方程得x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，所以，圆C的圆心为C（0，1），该圆心到点（1，0）的距离为．故答案为：．10．【解答】解：（2x﹣1）5的展开式中含x2的项是C52（2x）2（﹣1）3＝﹣40x2所以x2的系数是40．故答案为：﹣40．11．【解答】解：设a，b是任意非零实数．若，则b＞a”是假命题的一组整数a，b 的值，只要满足满足b＜a＜0且a，b∈Z即可，故可取a＝﹣1，b＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．12．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B时，直线y＝x﹣的截距最小，此时z最大，由解得A（1，0），此时z max＝1﹣2×0＝1．故答案为：1．13．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时cosα＝，即α＝，每秒钟旋转，在t∈[0，6]上时α∈[，π]，∴sinα∈[﹣，1]，即动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．14．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0或，可得f（x）的零点有两个；②函数，y＝3x﹣x3，y′＝3﹣3x2，令y′＝0，可得x＝±1函数的极小值点x＝﹣1，极小值为﹣2；极大值点为x＝1，极大值为2．函数的图象如图：使得函数y＝f（x）+m有三个零点，a＜﹣1时y＝3x﹣x3，与y＝﹣m有3个交点，a∈（﹣1，0）时，y＝3x﹣x3，与y＝﹣m有2个交点，y＝2x与y＝﹣m可以有一个交点，综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABCD中，因为a＝3，，，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，………．（2分）可得c2﹣2c﹣3＝0，………．（4分）所以c＝3，或c＝﹣1（舍）．…………．（6分）（Ⅱ）因为，所以．所以△ABC的面积．…………．（13分）16．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）因为P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以P A⊥CD，正方形ABCD中，AD⊥CD，又因为P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD，因为AQ⊂平面P AD，所以AQ⊥CD．……………．（4分）解：（Ⅱ）正方形ABCD中，AB⊥AD，侧棱P A⊥底面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB＝2．依题意，则A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），Q（0，1，1），所以＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（0，1，1）．设平面ACQ的法向量＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣1，1），所以cos＜，＞＝＝，所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．………（11分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面P AD，所以＝（2，0，0）为平面P AD的法向量，因为cos＜＞＝＝，且二面角C﹣AQ﹣D为锐角，所以二面角C﹣AQ﹣D的余弦值为．………（14分）17．【解答】解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450＝3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共400×25%＝100家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，所以P（A）＝＝；………………（4分）（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有60×20%＝12（家），医疗器械及医药保健备受关注的企业有300×8%＝24（家），共36家．∴X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；所以随机变量X的分布列为：……（11分）（Ⅲ）计算E（X），结合题意知E（X）＞E（Y）．…………（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意得解得，所以椭圆C的方程为………（5分），（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠1且x2≠1）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，依题意△＝（﹣32k2）2﹣4•（4k2+3）•（64k2﹣12）＞0，即．则………（8分）因为＝＝＝＝0．所以直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补，即∠OF A＝∠OFB．因为OF⊥AB，所以|F A|＝|FB|．……（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝1，所以f（x）＝sin x﹣x cos x，则f'（x）＝x sin x；当时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0；…………（5分）（Ⅱ）因为，所以f'（x）＝（a﹣1）cos x+x sin x；①当a＝1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥0对恒成立；②当a＞1时，因为，所以f'（x）＞0，因此f（x）在区间上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0对恒成立；③当a＜1时，令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝（2﹣a）sin x+x cos x，因为，所以g'（x）≥0恒成立，因此g（x）在区间上单调递增，且，所以存在唯一使得g（x0）＝0，即f'（x0）＝0；所以任意x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减；所以f（x）＜f（0）＝0，不合题意；……（12分）综上可知，a的最小值为1．……（13分）20．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）：①a11＝4，②数列{a1n}是公差为2的等差数列，③数列{a m1}是公比为的等比数列；具有性质A的数阵{a ij}3×4，不妨为：（答案不唯一）．………．（4分）（Ⅱ）数阵{b ij}m×n具有性质A．只需证明，对于任意的i＝1，2，3，…，n，都有b ij＜b i（j+1），其中j＝1，2，3，…，n ﹣1．下面用反证明法证明：假设存在b pq＞b p（q+1），则b（p+1）q，b（p+2）q，…，b mq都大于b p（q+1），即在第q列中，至少有m﹣p+1个数大于b p（q+1），且b p（q+1）＞b（p﹣1）（q+1）＞…＞b2（q+1）＞b1（q+1）．根据题意，对于每一个b t（q+1）（t＝1，2，…，p），都至少存在一个（i t∈{1，2，3，…，m}），使得，即在第q列中，至少有p个数小于b p（q+1）．所以，第q列中至少有m﹣p+1+p＝m+1个数，这与第q列中只有m个数矛盾．所以假设不成立．所以数阵{b ij}m×n具有性质A．……．（13分）。
北京市丰台区高三上学期期末考试——数学理(数学理)
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线4．若满足1,1,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则的最大值是（）A．-2 B．-1 C．1 D．25．执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（）A． B． C． D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A ．2B ．C ．D ．37．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．8．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：①若，则；②若，则中至少有8个元素；③若，则中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z .其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知单位向量的夹角为120°，则 ．10．若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 ．11．在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）．12．等差数列的公差为2，且成等比数列，那么 ，数列的前9项和 ．13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 ．14．已知函数()sin ,0,,x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥()()()g x f x kx k =-∈R .①当时，函数有个零点；②若函数有三个零点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的值.16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.17．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数()()22ln f x x ax a x a =--∈R . （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.19．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．在数列中，若是整数，且1212121253,,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------⋅⎧⎪=⎨-⋅⎪⎩为偶数，为奇数（，且）. （Ⅰ）若，，写出的值；（Ⅱ）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；（Ⅲ）若数列中，是奇数，，证明：对任意，不是4的倍数.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC二、填空题9． 10．1 11．-4012．2，90 13．(]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 中任取一值即为正确答案 14．1，⎛ ⎝⎦三、解答题15．解：（Ⅰ）因为，所以2cos 2sin B B B =.因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由，，，得.解得. 由余弦定理可得22246246cos 283b π=+-⨯⨯⨯=，解得.16．解：（Ⅰ）依题意，所以.因为()1001220153010310a =-+++++=，所以，.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为. （Ⅲ）可取0,10,20,30,40.()300.03100P X ===；()20100.2100P X ===； ()50200.5100P X ===；()12300.12100P X ===； ()15400.15100P X ===. 所以随机变量的分布列为：所以()00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17．解：（Ⅰ）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如图建立直角坐标系，所以E ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎫⎪⎪⎝⎭，，所以，2,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r .设平面的法向量为，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r，所以0202y z x y +=⎧-=⎪⎩.令，所以1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩. 又因为，设与平面所成角为， 所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u r r . 所以与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则)[](),00,2Mt t ∈， 所以.因为2,0ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.18．解：（Ⅰ）函数的定义域为，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+--'==. 由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以. 综上所述，实数的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为， 由242y x m y x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得， 由得，所以，所以点. 当，即时，直线的方程为2224444m m m y m x m m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-， 整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.20．解：（Ⅰ），，.所以，，.（Ⅱ）（i）当都是偶数时，是偶数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是偶数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数.（ii）当都是奇数时，是奇数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是奇数；因为是偶数，代入得到是奇数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数.（iii）当是奇数，是偶数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.（iv）当是偶数，是奇数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.（Ⅲ）证明：因为是奇数，所以由（Ⅱ）知，不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.因为是奇数，且，所以也是奇数.所以为偶数，且不是4的倍数.因为，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，由于，且，将这两个式子作和，可得.因为是4的倍数，所以也是4的倍数，与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意，不是4的倍数.。
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷（理）及答案
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷（理）及答案2019北京丰台初三（上）期末数学 2019.01下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 如果∠A 是锐角，且sinA=,那么∠A 的读数时A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 2. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC=120°那么∠BAC 的度数是A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°3. 将二次函数y=x 2-4x+1化成y=a(x-h)2+k 的形式为 A. y= (x-4)2+1 B. y= (x-4)2-3 C. y= (x-2)2-3 D. y= (x+2)2-34.中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在反比例函数y=（x>0）的图像上，如果将矩形OCAD 的面积记为S 1,矩形OEBF 的面积为S 2,那么S 1，S 2的关系是A. S 1>S 2B. S 1=S 2C. S1<s2< p="">D. 不能确定6. 如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25m,OB=10cm,那么由,及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是A. 157cm2B. 314cm2C. 628cm2D. 733cm27. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，那么下列说法正确的是A. a>0,b>0,c>0B. a<0,b>0,c>0C. a<0,b>0,c<0D. a<0,b<0,c>08. 对于不为零的两个实数a,b，如果规定：a★b那么函数y=2★x 的图像大致是二、填空题（）9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cosB= .10. 如果2m=3n，那么m:n= .11. 如果反比例函数y=,当x>0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是（写出一个即可）12. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌，如图，在A处测得∠CAD=30°没在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是米。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
丰台区高三上册数学期末试卷-文档资料
2018丰台区高三上册数学期末试卷【】做题是巩固知识点最有效的方法之一，所以大家要大量练习习题，使自己的学习有所进步。
小编为大家整理了高三上册数学期末试卷，供大家参考。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1， }， {5，7}，则实数a的值为(A)2或-8 (B) -2或-8 (C) -2或8 (D) 2或82. 是的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A) (B) (C) (D)4.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是v新课-标-第-一 -网(A) (B) (C) 1 (D) 25.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)6.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( 表示不超过x的最大整数)(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是( )(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) - ，18.已知函数f(x)= ,且，集合A={m|f(m)0}，则(A) 都有f(m+3) (B) 都有f(m+3)0(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)0二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.9.某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______.10.已知直线y=x+b与平面区域C: 的边界交于A，B两点，若|AB|2 ，则b的取值范围是________.11. 是分别经过A(1,1)，B(0,1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 .12.圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______.13.已知中，AB= ，BC=1，sinC= cosC，则的面积为______.14.右表给出一个三角形数阵.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为 ( )，则等于， .三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.(本题共13分)函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.(Ⅰ)求集合A，B;(Ⅱ)若集合A，B满足 ,求实数a的取值范围.16.(本题共13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点.(Ⅰ)若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值; (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求的值.17.(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，， ,平面PAB 平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.(Ⅰ)求证：DE‖平面PBC;(Ⅱ)求证：AB PE;(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.18.(本题共14分)已知函数的导函数的两个零点为-3和0.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值. 19.(本题共13分)曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是(0,1)，线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点(A在D的左侧)，与交于B,C两点(B在C的左侧).(Ⅰ)当m= ，时，求椭圆的方程;(Ⅱ)若OB∥AN，求离心率e的取值范围.20.(本题共13分)已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点)是以为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求、的坐标;( Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，求出N的最小值并证明;若不存在，说明理由.丰台区2018～2018学年度第一学期期末练习高三数学(理科)参考答案一、选择题题号12345678答案DCCABCDA二、填空题：9.20; 10.[-2,2] ; 11. x+2y-3=0; 12. (只写一个答案给3分);13. ; 14. (第一个空2分，第二个空3分)三.解答题15.(本题共13分)函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.(Ⅰ)求集合A，B;(Ⅱ)若集合A，B满足 ,求实数a的取值范围.解：(Ⅰ)A== = ，....3分B= . ....7分(Ⅱ)∵ ，， ... 9分或， ...11分或，即的取值范围是 ..13分16.(本题共13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点.(Ⅰ)若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值; (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求的值.解：(Ⅰ)根据三角函数的定义得，， . 2分∵ 的终边在第一象限， . 3分∵ 的终边在第二象限， .4分= = + = .7分(Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| |=| |, 9分又∵ ，11分. 13分方法(2)∵ ， 10分= . 13分17.(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，， ,平面PAB 平面ABC，D、E分别为AB、AC 中点.(Ⅰ)求证：DE//平面PBC;(Ⅱ)求证：AB PE;(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.解：(Ⅰ) D、E分别为AB、AC中点，DE//BC .DE平面PBC，BC平面PBC，DE//平面PBC .4分(Ⅱ)连结PD，PA=PB，PD AB. .5分，BC AB，DEAB. .... ............................................................................................. ..........6分又，AB 平面PDE................................. .............. ................................................... .....8分PE平面PDE，ABPE . .............................................. ................................................... .........9分(Ⅲ) 平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD AB，PD 平面ABC................................................ . (10)分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0, )，E(0, ,0) ,=(1,0, )， =(0, , ).设平面PBE的法向量，令得 . ............................11分DE 平面PAB，平面PAB的法向量为 ........................................12分设二面角的大小为，由图知，，所以即二面角的大小为 . ..........................................14分18.(本题共14分)已知函数的导函数的两个零点为-3和0.(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：(Ⅰ) ........2分令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)0,即， 4分当时,g(x)0 ,即， 6分所以的单调增区间是(-3，0),单调减区间是(-，-3)，(0，+).7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知， =-3是的极小值点，所以有解得， 11分所以 .的单调增区间是(-3，0),单调减区间是(-，-3),(0，+)，为函数的极大值, 12分在区间上的最大值取和中的最大者. .13分而 5，所以函数f(x)在区间上的最大值是 ..14分19.(本题共13分)曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是(0,1),线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点(A在D的左侧)，与交于B,C两点(B在C的左侧).(Ⅰ)当m= ，时，求椭圆的方程;(Ⅱ)若OB∥AN，求离心率e的取值范围.解：(Ⅰ)设C1的方程为 ,C2的方程为 ,其中 ...2分C1 ,C2的离心率相同，所以 ,所以，.3分C2的方程为 .当m= 时，A ,C . ..5分又 ,所以，，解得a=2或a= (舍)， ...6分C1 ,C2的方程分别为， ..7分(Ⅱ)A(- ,m), B(- ,m) . 9分OB∥AN, ,, . .11分，， . 12分，， ............................................. ............13分20.(本题共1 3分)已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点)是以为直角顶点的等腰直角三角形.(Ⅰ)求，的坐标;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由.解：(Ⅰ) B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，直线B0A1的方程为y=x.由得，即点A1的坐标为(2，2)，进而得 ...3分(Ⅱ)根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，即 .(*) ..5分和均在曲线上，，，代入(*)式得，， ..7分数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为 ( ). ....8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，，， 9分= = ....10分. .11分(方法一) - = .当n=1时不符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有 .( )观察知，欲证( )式，只需证明当n2时， n+12n以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边(2)假设n=k(k2)时，(k+1)2k,当n=k+1时，左边=(k+1)+12k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+12n ，即成立. 综上，满足题意的n的最小值为2. ..13分(方法二)欲证成立，只需证明当n2时，n+12n.并且，【总结】高三上册数学期末试卷就为大家介绍到这儿了，小编的整理有帮助到大家吗?如果大家还需要了解更多有关学习的内容，请继续关注查字典数学网。
北京丰台区2018-2019年高三数学上学期期末试卷(理)及答案
2019北京丰台初三（上）期末数 学 2019.01下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1. 如果∠A 是锐角，且sinA=,那么∠A 的读数时A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 2. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC=120°那么∠BAC 的度数是A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°3. 将二次函数y=x ²-4x+1化成y=a(x-h)²+k 的形式为 A. y= (x-4)²+1 B. y= (x-4)²-3 C. y= (x-2)²-3 D. y= (x+2)²-34.中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在反比例函数y=（x>0）的图像上，如果将矩形OCAD 的面积记为S 1,矩形OEBF 的面积为S 2,那么S 1，S 2的关系是A. S 1>S 2B. S 1=S 2C. S1<S2D. 不能确定6. 如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25m,OB=10cm,那么由,及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是A. 157cm²B. 314cm²C. 628cm²D. 733cm²7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，那么下列说法正确的是A. a>0,b>0,c>0B. a<0,b>0,c>0C. a<0,b>0,c<0D. a<0,b<0,c>08. 对于不为零的两个实数a,b，如果规定：a★b那么函数y=2★x的图像大致是二、填空题（）9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cosB= .10. 如果2m=3n，那么m:n= .11. 如果反比例函数y=,当x>0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是（写出一个即可）12. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌，如图，在A处测得∠CAD=30°没在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是米。
2018届北京市丰台区高三第一学期期末练习理科数学试题及答案 (2)
丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2018.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 已知命题p: ∀21x x >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21x x >,22x ≤12x （C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21x x >,22x <12x4. 过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是 （A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±-（C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程 为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的 面积是（A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB uu u r uu u r等于（A ）1 （B ）（C ）2 （D ）7.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+（D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B（C（D ）23 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高三最新 北京丰台区2018学年度第一学期高三期
北京丰台区2018-2018学年度第一学期高三期末练习数学理科 2018.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个先期中，选出符合题目要求的一项。
1．双曲线15422=-x y 的焦点坐标为（ ）A ．（– 1，0），（1，0）B ．（– 3，0），（3，0）C ．（0，– 1），（0，1）D ．（0，– 3），（0，3）2．已知集合A ={x || x |≤a}B = {x | x2 + x – 6 ≥0}，若A ∪B = R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞-B ．[)+∞,3C ．[2，3]D ．[)+∞,23．设a =3-π，b = lg4π, c =5coslg π，则（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两相没的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m ∥α, n ∥β,α∥β,则m ∥nB ．若βα⊂⊂n m ,,m ∥n 则α∥βC ．若m ⊥β,m ∥α,则α⊥βD ．若β⊂m ,α⊥β,则m ⊥α5．若圆x2 + y2 – 2x + 4y = 0与直线x – 2y + a = 0相离，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞8或a ＜– 2 B ．– 2＜a ＜8C ．a ＞0或a ＜– 10D ．– 10＜a ＜0 6．设，为基底向量，已知向量AB =– k , = 2+,= 3–，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（ ） A ．– 2 B ．2 C ．– 10 D ．107．半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长 是（ ）A ．33B ．36C ．332D ．3628．函数y = sin x +tan x – | sin x – tan x |在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ内的取值范围是（ ）A ．(]0,∞-B ．[)+∞,0C ．[– 2，0]D ．[0，2]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 11 3． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除4． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．45． 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）6． 设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b7． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞19． 设P 是椭圆+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）A ．22B ．21C ．20D ．1310．为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位11．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ） A ．48B ．±48C ．96D ．±9612．设函数f （x ）=的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a ≥﹣D ．a ＞﹣二、填空题13．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．14．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 16．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）17．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．三、解答题19．（本小题满分13分）椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点M ，点M 在x 轴的上方．当0m =时，1||2MF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且12123MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．20．已知函数f （x ）=x ﹣1+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,]2π上的最大值和最小值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]22．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为；（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．丰台区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．2．【答案】C【解析】解：∵a n=29﹣n，∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确T3=221，T17=20，故B不正确T5=230，T12=230，故C正确T8=236，T11=233，故D不正确故选C3．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．4．【答案】D【解析】考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）,另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 5． 【答案】C【解析】如图，由双曲线的定义知，a PF PF2||||21=-，a QF QF 2||||21=-，两式相加得 a PQ QF PF 4||||||11=-+，又||||1PF PQ λ=，1PF PQ ⊥，||1||121PF QF λ+=∴， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||1211=-++=-+∴λλ，λλ-++=21114||aPF ①，λλλλ-+++-+=∴22211)11(2||a PF ②，在12PF F ∆中，2212221||||||F F PF PF =+，将①②代入得+-++22)114(λλa22224)11)11(2(c a =-+++-+λλλλ，化简得：+-++22)11(4λλ22222)11()11(e =-+++-+λλλλ，令t =-++λλ211，易知λλ-++=211y 在]34,125[上单调递减，故]35,34[∈t ，22222284)2(4t t t t t t e +-=-+=∴]25,2537[21)411(82∈+-=t ，]210,537[∈e ，故答案 选C.6． 【答案】A【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1， ∴y=sinx 在（0，90°）单调递增，∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1，∴a＜b＜c故选：A【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．7．【答案】D【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．8．【答案】D【解析】解：∵f（1）=lg1=0，∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，故a＞1或a≤0；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．9．【答案】A【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，∴|PF 2|=2×13﹣|PF 1|=26﹣4=22．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．10．【答案】A【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x 的图象，故选：A ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．11．【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2， ∴a 2=3×2=6，=384，∴a2和a 8的等比中项为=±48．故选：B ．12．【答案】C【解析】解：当x ≥时，f （x ）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，当x=时，取得最小值﹣1；当x ＜时，f （x ）=x 2﹣2x+a=（x ﹣1）2+a ﹣1，即有f （x ）在（﹣∞，）递减，则f （x ）＞f （）=a ﹣，由题意可得a ﹣≥﹣1，解得a ≥﹣． 故选：C ．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．二、填空题13．【答案】1 【解析】14．【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义15．【答案】 ．【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），由，消去x 得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22=﹣4， 消去y2得k 2=3，解之得k=±．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．16．【答案】, 无．【解析】【知识点】等比数列【试题解析】设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为毫克，所以）=300，=350．由，所以是一个等比数列，所以所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。
2018年北京各区高三上期末理科数学汇编--解析几何
2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---解析几何1.（西城）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值． 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==， 所以c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分] 所以||MN == [10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去． 所以k =，或k = [14分]2.（海淀）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的A（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. （海淀）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为 D（A（B（C或 （D4.（海淀）已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 C （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个5. （海淀）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是6. （海淀）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．27. （海淀）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.解：（Ⅰ）C ：22192x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==分椭圆C 的短轴长为2b =……………..3分离心率为2c e a ==. ……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..13分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T k y k x k =-=-+ ……………..10分222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++……………..11分22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++……………..12分此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ ……………..13分故||||TM TP >8.（朝阳）已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是 BA. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分9.（朝阳）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为 . y x =±10.（朝阳）已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合， 即FTMN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NNy y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分11.（通州）已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是 C A ．2 B．．3 D ． 4 12.（通州）已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（通州）已知点P的坐标是()，将OP 绕坐标原点顺时针旋转至OQ ，那么点Q 的横坐O 3π标是_______.214. （通州）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =， 所以1b =，2c a =……………………2分 所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k -⋅-++=++所以2420.12k kmk -+=+……………………12分所以420.k km -+= 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分15.（东城）已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为 ．（写出一个答案即可）1，222x y -=等16. （东城）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由题意得2212 1.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于① ②“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-， 所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等.17.（顺义） 已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点的横坐标______.（0，1）；318.（顺义）已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分19.（大兴）双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（）AA．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，由此能求出结果．【解答】解：x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，整理，得y=±x．故选：A．20.（大兴）直线y=x被圆x2+y2﹣2y﹣3=0截得的弦长等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线y=x的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长．【解答】解：圆x2+y2﹣2y﹣3=0即x2+（y﹣1）2=4，表示以C（0，1）为圆心，半径等于2的圆．由于圆心到直线y=x 的距离为d=，故弦长为2=，故答案为：．21.（大兴）已知椭圆G ：上的点到两焦点的距离之和等于．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m （不经过点M ）与椭圆交于A ，B 两点，与直线l ：x=4相交于C 点，记直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．求证：为定值．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆定义知：，即，将点的坐标代入椭圆，求出b 的值，则椭圆G 的方程可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）知右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），即可求出k 3的斜率，联立，得到：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，由△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），再由根与系数的关系得到x 1+x 2和x 1•x 2，则k 1+k 2可求，进一步得到要证明的结论． 【解答】（Ⅰ）解：由椭圆定义知：，∴．∴椭圆，将点的坐标代入得b 2=4．∴椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），∴； 又由消元得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，显然△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∴====．∴k 1+k 2=2k 3，即为定值．22. （昌平）已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直 线l 的距离的最小值是 223.（房山） 已知直线l 过点)1,0(P ，圆C :08622=+-+x y x ,直线l 与圆C 交于B A ,两点. （I ） 求直线PC 的方程；（II ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点），（46Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ?若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．（I ）设圆()13:22=+-y x C ,圆心为()03，C ， 故直线PC 的方程为13=+y x ，即033=-+y x …………………5分 （II ）法1：直线l 的方程为1+=kx y ，则由⎩⎨⎧=+-++=086122x y x kx y 得()0962)12=+-++x x x k （ 由()()01366222>+--=∆k k 得03624-2>-k k 故043-<<k …………………10分 法2：直线l 的方程为1+=kx y ，即01y -=+kx ，圆心为()03，C ，圆的半径为1则圆心到直线的距离1132++=k k d 因为直线与有交于B A ,两点，故11132<++k k ，故043-<<k（Ⅲ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ,此时直线1l 过），（46Q ，()03，C ，则 3436041=--=k ，故AB 的斜率43-=k ，由（II ）可知，不满足条件 所以，不存在存在直线1l 垂直于弦AB 。
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2018北京市丰台区高三（上）期末数学（理）2018.1第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1,0,1A ，21B x x，则A BU （）A ．1,1B ．1,0,1 C．11x x D ．1x x 2．“1x”是“21x”的（）A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在极坐标系Ox 中，方程sin表示的曲线是（）A ．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线4．若,x y 满足1,1,0,xy xy x则2zxy 的最大值是（）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间2, 1.5内，那么输出的y 属于（）A ．0,0.5 B．0,0.5 C．0.5,1 D．0.5,16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A ．2B ．5 C ．22 D．37．过双曲线222210,0x y a bab的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12OAOF ，则此双曲线的离心率为（）A ．2 B．3 C ．2 D．58．全集,,U x y x yZ Z ，非空集合S U ，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x 均对称.下列命题：①若1,3S ，则1,3S ；②若0,4S ，则S 中至少有8个元素；③若0,0S ，则S 中元素的个数一定为偶数；④若,4,,x y x yxyS Z Z ，则,4,,x y x y x y S Z Z .其中正确命题的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知单位向量,a b r r 的夹角为120°，则a b ar r r．10．若复数1i 1i za 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a．11．在52x 的展开式中，3x 项的系数是（用数字作答）．12．等差数列n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么1a ，数列n a 的前9项和9S ．13．能够说明“方程221313m xm ym m 的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．14．已知函数sin ,0,,,x x x f xx xg xf xkx kR .①当1k 时，函数g x 有个零点；②若函数g x 有三个零点，则k 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC 中，23sin 22sin B B ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a，63ABCS，求b 的值.16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求,a b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E X.17．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，,E F分别是,AB PC的中点，2PA AD，2CD.（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM平面EFD？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数22lnf x x ax a x a R. （Ⅰ）求函数f x的单调区间；（Ⅱ）若0f x恒成立，求实数a的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点1,0F 的距离和它到直线1x 的距离相等，记点P 的轨迹为C .（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AFFB .平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．在数列n a 中，若12,a a 是整数，且1212121253,,,n n n n nnn nn a a a a a a a a a 为偶数，为奇数（n*N ，且3n）.（Ⅰ）若11a ，22a ，写出345,,a a a 的值；（Ⅱ）若在数列n a 的前2018项中，奇数的个数为t ，求t 得最大值；（Ⅲ）若数列na 中，1a 是奇数，213a a ，证明：对任意n*N ，n a 不是4的倍数.数学试题答案一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC 二、填空题9．1210．1 11．-4012．2，90 13．,123,m U U 中任取一值即为正确答案 14．1，0,三、解答题15．解：（Ⅰ）因为23sin 22sin BB ，所以223sin cos 2sin B B B .因为0B，所以sin 0B ，所以tan 3B ，所以3B.（Ⅱ）由63ABCS ，4a ，3B，得14sin 6323c .解得6c .由余弦定理可得22246246cos283b，解得27b.16．解：（Ⅰ）依题意2001004000b ，所以3b . 因为1001220153010310a ，所以10a ，3b.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A ，则203011002P A. 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为12. （Ⅲ）X 可取0,10,20,30,40. 300.03100P X ；20100.2100P X；50200.5100P X；12300.12100P X；15400.15100P X .所以随机变量X 的分布列为：所以00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X .17．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG .因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以FG CD ∥，且12FGCD . 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点，所以AE FG ∥，AEFG .所以AEFG 为平行四边形. 所以EF AG ∥. 又因为AG平面PAD ，EF平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .（Ⅱ）因为PA平面ABCD ，所以PA AB ，PAAD .因为四边形ABCD 是矩形，所以ABAD .如图建立直角坐标系Axyz ，所以2,0,02E，2,1,12F，0,2,0D ，所以0,1,1EF uu u r ，2,2,02DEuuu r.设平面EFD 的法向量为,,n x y z r，因为0n EF nDE r uu u r ruuu r，所以02202y zx y .令1y ，所以122z x，所以22,1,1nr.又因为2,2,2PCuu u r，设PC 与平面EFD 所成角为，所以sincos ,PC n PC nPC nuu u r r uu u r r uu u r r 422451010.所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ，即可证明平面PAM平面EFD .设BC 上存在一点M ，则2,,00,2Mt t，所以2,,0AM t uuu r . 因为2,2,02EDuu u r ，所以令0AM EDuuu r uu u r，即120t ，所以12t. 所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM平面EFD ，且14BMBC. 18．解：（Ⅰ）函数f x 的定义域为0,，2222x a x axax af xxx.由0f x ，可得xa 或2a x，当0a时，0f x在0,+上恒成立，所以f x 的单调递增区间是0,+，没有单调递减区间；当0a时，,,x fx f x 的变化情况如下表：所以f x 的单调递减区间是0,a ，单调递增区间是,a .当0a时，,,x fx f x 的变化情况如下表：所以f x 的单调递减区间是0,2a ，单调递增区间是,2a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a 时，20f x x，符合题意.当0a 时，f x 的单调递减区间是0,a ，单调递增区间是,a ，所以0f x恒成立等价于min0f x，即0f a，所以222ln 0a aa a，所以01a .当0a 时，f x 的单调递减区间是0,2a ，单调递增区间是,2a ，所以0f x恒成立等价于min0f x，即02a f.所以222ln0422a aa a ，所以342e 0a .综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1.19．解：（Ⅰ）因为动点P 到点1,0F 的距离和它到直线1x 的距离相等，所以动点P 的轨迹是以点1,0F 为焦点，直线1x为准线的抛物线.设C 的方程为22y px ，则12p ，即2p.所以C 的轨迹方程为24yx .（Ⅱ）设2,4mA m ，则22,04mB，所以直线AB 的斜率为22m m k. 设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为2m yx b ，由242yx myx b 得2880myy b ，由64480m b 得2bm，所以4ym，所以点244,Dmm.当2244mm，即2m 时，直线AD 的方程为2224444mm m ymxm m，整理得2414m yx m，所以直线AD 过点1,0.当2244mm，即2m 时，直线AD 的方程为1x，过点1,0，综上所述，直线AD 过定点1,0.20．解：（Ⅰ）321537a a a ，4325329a a a ，54322a a a .所以37a ，429a ，522a .（Ⅱ）（i ）当12,a a 都是偶数时，12a a 是偶数，代入1253nn a a 得到3a 是偶数；因为23a a 是偶数，代入1253nn a a 得到4a 是偶数；如此下去，可得到数列n a 中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数.（ii ）当12,a a 都是奇数时，12a a 是奇数，代入12n n a a 得到3a 是偶数；因为23a a 是偶数，代入1253nn a a 得到4a 是奇数；因为34a a 是偶数，代入1253nn a a 得到5a 是奇数；如此下去，可得到数列n a 中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数.（iii ）当1a 是奇数，2a 是偶数时，理由同（ii ），可得数列n a 中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.（iv ）当1a 是偶数，2a 是奇数时，理由同（ii ），可得数列n a 中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数t 的最大值是1346. （Ⅲ）证明：因为1a 是奇数，所以由（Ⅱ）知，n a 不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况. 因为1a 是奇数，且213a a ，所以2a 也是奇数.所以32112a a a a 为偶数，且不是4的倍数. 因为432153a a a a ，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数3t t ，使得t a 是4的倍数，则12,t ta a 均为奇数，所以3t a 一定是偶数，由于12353t t t a a a ，且12tt t a a a ，将这两个式子作和，可得3234t t t a a a .因为t a 是4的倍数，所以3t a 也是4的倍数，与t 是最小正整数使得t a 是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意n *N ，n a 不是4的倍数.。