2018北京市丰台区高三(上)期末数学(理)

2018北京市丰台区高三（上）期末

数

学（理）

2018.1

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合1,0,1

A ，

2

1B x x

，则A B

U （）

A ．1,1

B ．

1,0,1 C

．

11x x D ．

1

x x 2．“

1x

”是“

2

1x

”的（

）

A ．充分而不必要条件 B

．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

3．在极坐标系Ox 中，方程

sin

表示的曲线是（

）

A ．直线 B

．圆 C

．椭圆 D

．双曲线

4．若

,x y 满足1,1,0,

x

y x

y x

则2z

x

y 的最大值是（

）

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间

2, 1.5内，那么输出的y 属

于（

）

A ．

0,0.5 B

．

0,0.5 C

．

0.5,1 D

．

0.5,1

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）

A ．2

B ．

5 C ．22 D

．3

7．过双曲线

22

2

2

10,0x y a b

a

b

的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直

线，垂足为,A O 为坐标原点，若1

2

OA

OF ，则此双曲线的离心率为（）

A ．

2 B

．

3 C ．2 D

．

5

8．全集,,U x y x y

Z Z ，非空集合S U ，且S 中的点在平面直角坐标系

xOy 内形成的图形关于

x 轴、

y 轴和直线y x 均对称.下列命题：

①若1,3S ，则1,3S ；

②若0,4S ，则S 中至少有8个元素；③若0,0

S ，则S 中元素的个数一定为偶数；

④若

,4,,x y x y

x

y

S Z Z ，则,4,,x y x y x y S Z Z .

其中正确命题的个数是（）A ．1 B

．2 C

．3 D

．4

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9．已知单位向量,a b r r 的夹角为120°，则a b a

r r r

．

10．若复数1i 1i z

a 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数

a

．

11．在

5

2x 的展开式中，3

x 项的系数是

（用数字作答）．

12．等差数列

n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么

1

a ，数列

n a 的前9项和

9

S ．

13．能够说明“方程

2

2

1313m x

m y

m m 的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．

14．已知函数

sin ,0,

,,

x x x f x

x x

g x

f x

kx k

R .

①当

1k 时，函数g x 有

个零点；

②若函数

g x 有三个零点，则k 的取值范围是

．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

）

15．在

ABC 中，2

3sin 22sin B B ．

（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若

4a

，63ABC

S

，求b 的值.

16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.

根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.

（Ⅰ）求,a b的值；

（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；

（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E X.

17．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，,E F分别是,

AB PC的中点，2

PA AD，2

CD.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM平面EFD？若存在，求出BM

BC

的值；若不存在，请说明

理由.

18．已知函数22ln

f x x ax a x a R. （Ⅰ）求函数f x的单调区间；

（Ⅱ）若0

f x恒成立，求实数a的取值范围.