(推荐)拉氏变换常用公式
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
最全拉氏变换计算公式
1最全拉氏变换计算公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn = 3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t) 12 Tse --11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21s t2)1(-z Tz5 31s 22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n t n)(!)1(lim 0aT n n n a ez z a n -→-∂∂- 7 as +1 at e - aTe z z-- 8 2)(1a s +atte- 2)(aT aT e z Tze ---9 )(a s s a+ ate--1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ))((b s a s ab ++-bt at e e --- bTaT e z ze z z ----- 11 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω 12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t e atωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1- T t a /az z -33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
拉氏变换微分定理公式
拉氏变换微分定理公式拉氏变换微分定理是拉氏变换中的一个重要定理，它是数学中的一种变换方法，可以将一个函数从时域转换到复频域。
它在信号处理、电路分析、控制系统等领域有着广泛的应用。
拉氏变换微分定理的公式表达为：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，L{f'(t)}表示函数f(t)的导数的拉氏变换，F(s)表示函数f(t)的拉氏变换，s表示复频域中的复变量，f(0)表示函数f(t)在t=0时的值。
根据拉氏变换微分定理，我们可以通过对函数f(t)的拉氏变换来求得函数f'(t)的拉氏变换。
这个定理的推导可以通过对函数f(t)在时域进行微分，然后再进行拉氏变换来得到。
在实际应用中，拉氏变换微分定理可以帮助我们简化复杂的微分方程求解过程。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加方便地进行分析和计算。
举个例子来说明拉氏变换微分定理的应用。
假设有一个电路，电路中的电流i(t)满足以下微分方程：L{i'(t)} + Ri(t) = V(t)其中，L表示电感的感值，R表示电阻的阻值，V(t)表示电路中的电压。
我们可以通过拉氏变换微分定理将上述微分方程转化为代数方程。
首先对方程两边进行拉氏变换，得到：sLI(s) - Li(0) + RI(s) = V(s)然后，我们可以解出电流i(t)的拉氏变换I(s)：I(s) = (V(s) + Li(0))/(sL + R)通过对I(s)进行拉氏逆变换，我们可以求得电流i(t)的表达式。
这个例子展示了拉氏变换微分定理在电路分析中的应用。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加简化电路分析的过程，提高计算的效率。
除了在电路分析中，拉氏变换微分定理还有许多其他的应用。
在信号处理中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析信号的频谱特性。
在控制系统中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析系统的稳定性和响应特性。
总结而言，拉氏变换微分定理是一种重要的数学工具，它可以将函数从时域转换到复频域，简化复杂的微分方程求解过程。
拉氏变换常用公式
时常使用推普推斯变更归纳之阳早格格创做1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 战a 为常数.2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数.3、单位阶跃函数4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数.A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，爆收正在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）5、单位斜坡函数6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数.根据欧推公式：推式变更为： 共理余弦函数的推式变更为：22]cos [ωω+=s Ast A L7、脉动函数t t t t t t At f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=00,000)(，其中，A 战t 0为常数.脉动函数不妨瞅干是一个从t ＝0启初的下度为A /t 0的阶跃函数，取另一个从t ＝t 0启初的下度为A /t 0的背阶跃函数叠加而成.8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况.9、单位脉冲函数劈里积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或者称为狄推克(Disac)函数，量值为无贫大且持绝时间为整的脉冲函数杂属数教上的一种假设，而没有成能正在物理系统中爆收.然而是，如果系统的脉动输进量值很大，而持绝时间取系统的时间常数相比较非常小时，不妨用脉冲函数来近似天表示脉动输进.当形貌脉冲输进时，脉冲的里积大小利害常要害的，而脉冲的透彻形状常常本来没有要害.脉冲输进量正在一个无限小的时间内背系统提供能量.单位脉冲函数)(0t t -δ不妨瞅做是单位阶跃函数u （t-t 0）正在间断面t=t 0上的导数，即差异，如若对于单位脉冲函数)(0t t -δ积分：积分的截止便是单位阶跃函数 u （t-t 0）利用脉冲函数的观念，咱们不妨对于包罗没有连绝面的函数举止微分，进而得到一些脉冲，那些脉冲的量值等于每一个相映的没有连绝面上的量值.10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数. 推氏变更为：当A=21时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，爆收正在t=t 0时刻的加速度函数常常写成)(0t t a -，图像如下：11、单位加速度函数：。
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
laplace变换公式表
ω/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与余弦函数的乘积：f(t) = cos(ωt)u(t)，F(s) =
s/(s^2 + ω^2) 2. 公式的线性性质：如果 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换分别是 F(s) 和 G(s)，那么 a·f(t) + b·g(t) 的拉普拉斯变换是 a·F(s) + b·G(s)，其 中 a 和 b 是常数。 3. 积分定理：如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 ∫[0, t] f(τ) dτ 的拉普拉斯变换是 F(s)/s。
以下是常见的拉普拉斯变换公式表：
1. 时间域函数：f(t) 的拉普拉斯变换 F(s)： • 常数函数：f(t) = A，F(s) = A/s • 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，F(s) = 1/s • 单位冲激函数（Dirac Delta 函数）：f(t) = δ(t)，F(s) = 1 • 指数衰减函数：f(t) = e^(-at)，F(s) = 1/(s + a) • 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，F(s) = ω/(s^2 + ω^2) • 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，F(s) = s/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与指数衰减的乘积：f(t) = e^(-at)u(t)，F(s) = 1/(s
这些是常体的函数形式和条件使用相应的公式。注意，拉普拉斯变换 的具体定义和性质可能因不同的文献和应用而有所不同，因此在具体问题中请 参考相应的参考资料和教材。
第二节-拉氏变换公式
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。
1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。
1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。
2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。
我们可以使用留数定理来实现这一点。
首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。
根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。
根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。
实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。
拉氏变换表(包含计算公式)
2． 常用函数的拉氏变换和 z 变换表
序 号 拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
δ(t)
2
1
1 nT) n0
1(t )
4
1
t
s2
5
1
t2
s3
2
6
1
tn
s n1
n!
7
1
sa
eat
8
1 (s a)2
te at
9
a
s(s a)
s si
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
f (t) L1
F(s)
L1
n
i1
s
ci si
＝
n i 1
ci e sit
② A(s) 0 有重根
设 A(s) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
z za
2
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
Fs
B(s)
(s s1 )r (s sr1 )(s sn )
=
(s
cr s1
)
r
cr 1 (s s1 )r1
c1 (s s1)
cr 1 s sr1
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
(完整版)拉氏变换常用公式
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9Hale Waihona Puke 101112
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设 有r重根 ，F(s)可写为
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)df (t )] sF (s) f ( 0)L[dt2d f (t ) 2L[] s F ( s) sf (0) f （0）d n f (t )nnn k ( k 1)k 1sL dt n s F ( s) f (0)f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )dt k 1L[d n f (t )] s n F (s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t )dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2]F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0s2 s2 s共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k 1共n个L[ f (t )(dt) n ] F( s)s nL[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)L[ f (t) e at ] F ( s a)lim f (t) lim sF (s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 st) f2 ( )d ]t)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t0 012．常用函数的拉氏变换和序号拉氏变换E(s) 1 112 1 e Ts13s4 1 s25 1 s361 s n 17 1s a8 1 2( s a)9 as(s a)10 b a(s a)(s b) 11 s 2 212ss2 213( s2 2a)14 s a 2 2(s a)1 z变换表时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos tZ 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z( z 1)2(z 1)3lim(1)n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eTze aT( z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)(z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z( z cos T )2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2aTz15 s (1/ T ) ln a a t / T z a23．用表法行拉氏反用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式张开，尔后逐表行反。
常见拉普拉斯变换公式
常见拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是探究信号的时域与频域之间相互转换的重要数学工具之一。
在掌握拉普拉斯变换的基本原理和公式后，我们可以将其应用于各个领域，如控制系统、电路分析、信号处理等，从而实现对信号的精准分析和掌控。
常见的拉普拉斯变换公式包括：1. 常数函数的拉普拉斯变换常数函数 f(t) 的拉普拉斯变换 L[f(t)] = F(s) 可由以下公式计算得出：L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt = f(s)其中，s 为复数变量，L[ ] 表示拉普拉斯变换，∫[0,∞) 表示对时间 t 从 0 到无穷大的积分。
2. 阶跃函数的拉普拉斯变换阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换 L[u(t)] = U(s) 可由以下公式计算得出：L[u(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) u(t) dt = 1/s其中，U(s) = 1/s 表示拉普拉斯变换后的函数。
3. 单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t) 的拉普拉斯变换L[δ(t)] = Δ(s) 可由以下公式计算得出：L[δ(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) δ(t) dt = 1其中，Δ(s) = 1 表示拉普拉斯变换后的函数。
4. 指数函数的拉普拉斯变换指数函数 e^(-at) 的拉普拉斯变换 L[e^(-at)] = E(s) 可由以下公式计算得出：L[e^(-at)] = ∫[0,∞) e^(-st) e^(-at) dt = 1/(s+a)其中，a 为正实数。
通过以上公式，我们可以根据不同信号的特点，对其进行拉普拉斯变换，从而得到其在频域的表达式。
这样一来，我们就可以通过频域的分析，精确地控制或提取信号中所含的各种信息。
在应用过程中，我们还需要了解拉普拉斯反变换公式，即将频域信号还原到在时域中的表示。
这个公式的表达式与拉普拉斯变换类似，需要针对不同的函数进行计算。
总之，掌握和熟练应用拉普拉斯变换及其公式，是我国高科技领域从事信号处理、自动控制等方面的工程技术人员所必备的基本功。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数,其中,A 与a 为常数。
2、阶跃函数,其中,A 为常数。
3、单位阶跃函数0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t Att f ,其中,A 为常数。
20d s A t e s A st ==⎰∞-A ＝1时得斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻得单位斜坡函数写成r(t-t 0)5、单位斜坡函数6、正弦函数,其中A 为常数。
)(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式: 拉式变换为:同理余弦函数得拉式变换为:7、脉动函数,其中,A 与t 0为常数。
脉动函数可以瞧做就是一个从t ＝0开始得高度为A /t 0得阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开)(21sin t j t j e e j t ωωω--=始得高度为A /t 0得负阶跃函数叠加而成。
8、脉冲函数脉冲函数就是脉动函数得一种特殊极限情况。
9、单位脉冲函数当面积A =1得脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,量值为无穷大且持续时间为零得脉冲函数纯属数学上得一种假设,而不可能在物理系统中发生。
但就是,如果系统得脉动输入量值很大,而持续时间与系统得时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时,脉冲得面积大小就是非常重要得,而脉冲得精确形状通常并不重要。
脉冲输入量在一个无限小得时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数可以瞧作就是单位阶跃函数u(t-t 0)在间断点t=t 0上得导数,即相反,如若对单位脉冲函数积分:积分得结果就就是单位阶跃函数 u(t-t 0)利用脉冲函数得概念,我们可以对包含不连续点得函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲得量值等于每一个相应得不连续点上得量值。
10、加速度函数,其中,A 为常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
00)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae
t f t
α，其中，A 和a 为常数。
α
ααα+=
==⎰⎰∞
+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st
t t
)(0
d d ][ 2、阶跃函数
00)(><⎩⎨
⎧=t t A
t f ，其中，A 为常数。
s
A t Ae A L st =
=⎰∞-0
d ][ 3、单位阶跃函数
001
0)(><⎩⎨
⎧=t t t u
s t e t u L st 1d )]([0
=
=
⎰
∞
-
4、斜坡函数
00
)(≥<⎩⎨
⎧=t t At
t f ，其中，A 为常数。
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
Ae s
e At
t Ate At L st
st st
2
0d s
A t e s A st ==⎰∞-
A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
00
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
t f
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
e s
e t
t te t L st
st st
2
01d 1s t e s st ==
⎰∞-
6、正弦函数
0sin 0
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
A t f ω，其中A 为常数。
)
(t f t
图2.3正弦函数和余弦函数
)
(t f t
(a)
(b)
根据欧拉公式： 拉式变换为：
2
2
01212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t
e e e j A t A L st
t j t j
同理余弦函数的拉式变换为：2
2]cos [ωω+=s As
t A L
7、脉动函数
t
t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000
,000
)(，其中，A 和t 0为常数。
脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开
始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。
)()()(00
0t t u t A
t u t A t f --=
)1()()()]([00000000st st e s
t A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(21
sin t j t j e e j
t ωωω--=
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
t
t t A t g <∆
<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆
=→∆,000
lim )(0
[]
()
A s As
s e A e s A t g L s s ==∆∆
-∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )
1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
1
d )(0)(-0000=-⎩⎨
⎧=∞≠=-⎰
∞
∞
t t t t t t t t t δδ
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。
但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即
)(d d
)(00t t u t
t t -=
-δ 相反，如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：
)(d )(0
t t u t t t t
t -=-⎰δ
积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。
10、加速度函数
00
)(2
<≥⎩⎨
⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。
拉氏变化为：
3
00
20
221
2d 2d ][s A
t te e t s A t e At At L st st
st =⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=
=⎰⎰∞
-∞-∞
-
当A=
2
1
时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -，图像如下：
t 图单位加速度函数
(a)
(b)
8642
1234
11、单位加速度函数：
02
10)(2
≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a
3
20
221d 211d 2
1)(21s
t te
e t s t e t t u t L st
st st
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎰⎰
∞
-∞
-∞
-
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。