矩阵函数ppt
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵函数
0 0 0 0 0 , A 0 1 0
5
(c) 对角形法 假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得 l1 , P 1 AP ln 则
f (l1 ) P 1 . f ( A) P f ( ln )
4 6 0 例3 设 A 3 5 0 , 求eA，etA和cosA。 3 6 1
6
(d) Jordan标准型法 一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在非奇异 矩阵P，使得
J1 P 1 AP J , Js
则
f ( J1 ) 1 P . f ( A) P f ( J s )
7
f ( A) ck Ak .
例如：
1 1 k e I A A , 1! k! 1 3 1 2 sin A A A , cos A I A 3! 2A=cosA+isinA; (2) cosA=(eiA+e-iA)/2; (3) sinA=(eiA-e-iA)/(2i); (4) cos(-A)=cosA，sin(-A)=sinA; (5) eAe-A=e-AeA=I，(eA)-1=e-A； (6) (eA)m=emA； (7) 一般的，eAeB≠eA+B；如 A 1 1 , B 1 1 . 0 0 0 0
(b) 数项级数求和法 给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0。(特 征多项式或最小多项式均可) Am b1 Am 1 bm 1 A bm I 0. 这表明Am可以用Am-1,…,I线性表出。 A的更高次幂也可以用Am-1,…,I线性表出。
矩阵函数及其应用
二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
第七章 矩阵函数
第七章 矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。
本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。
§7.1 矩阵序列与极限本章中数域F 均指R (或C )，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。
我们把n n ⨯阶矩阵序列12k ，，，，A A A ，简记为{}k A ，其中()()()11121()()()21222()()()12=k k k nk k k n k k k k n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1,2,k = 显然，一个n n ⨯阶矩阵序列{}k A ()n n k ⨯∈A C 中各矩阵的所有对应位置构成n n⨯个数列{}()k ij a ，其中()(,1,2,,)k ij a C i j n ∈= 。
定义1 设矩阵序列{}k A (1,2,...k =)，其中()()C k n n k ij a ⨯=∈A ，若n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =都收敛，即存在数ij a ∈C ，使得()lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞== 则称矩阵序列{}k A 是收敛的，并把矩阵()C n n ij a ⨯=∈A 称为{}k A 的极限，或称矩阵序列{}k A 收敛于A ，简记为lim k k →∞=A A 或()k k →→∞A A若这n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =中至少有一个不收敛，则称矩阵序列{}k A 是发散的。
例1 讨论22⨯阶矩阵序列{}k A 和{}k B 的敛散性，其中1sin (1)(1)1k k kk k kk⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1(0.5)2+1021k k k k k e k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣-⎦B 1,2,k = 。
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
矩阵理论课件 (21)
例2: C[a,b]表示在[a,b]所有实连续函数的全体, 其构成R上的 线性空间,f ( x), g( x) [a,b]规定
b
(f (x), g(x)) a f ( x)g( x)dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x), g( x), a f ( x)g( x)dx 是唯一确定实数
当 t (t R,非零),显然定理中等号成立;反之,如果等号 成立,则, 必线性相关.因为若, 线性无关,则t R, 非零,都有 t 0.从而( t , t ) 0,所以等号不
成立, 矛盾.
返回
证明(2):若＝0，不等式显然成立. 设 0，则
0 －k 2 ＝（－k ,－k )
( , )－k( , )－k( , ) kk( , )
(4)(分配律): ( , ) ( , ) ( , )
则映射( , ) 是 Vn(C) 上的内积,定义了内积的V为
n维酉空间.
返回
例1: (a1 ,L ,an )T , (b1 ,L ,bn )T Rn ,若规定
n
( , ) aibi i 1
则上式定义了一个内积, Rn是内积空间.
i 1
j 1
n
n
n
n
( , ) ( xii , y j j )
xi y j (i , j )＝ xi y j aij
i 1
j 1
i, j 1
i, j 1
(其中aij＝(i , j ))，构造矩阵和列向量：
(1, 1) (1, 2 ) L
A ( 2 ,1) ( 2 , 2 ) L
(2) , V , , 在基1 ,L
,
下的坐标分别为
n
x (x1 ,L , xn )T , y (y1 ,L , yn )T ,则
b
(f (x), g(x)) a f ( x)g( x)dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x), g( x), a f ( x)g( x)dx 是唯一确定实数
当 t (t R,非零),显然定理中等号成立;反之,如果等号 成立,则, 必线性相关.因为若, 线性无关,则t R, 非零,都有 t 0.从而( t , t ) 0,所以等号不
成立, 矛盾.
返回
证明(2):若＝0，不等式显然成立. 设 0，则
0 －k 2 ＝（－k ,－k )
( , )－k( , )－k( , ) kk( , )
(4)(分配律): ( , ) ( , ) ( , )
则映射( , ) 是 Vn(C) 上的内积,定义了内积的V为
n维酉空间.
返回
例1: (a1 ,L ,an )T , (b1 ,L ,bn )T Rn ,若规定
n
( , ) aibi i 1
则上式定义了一个内积, Rn是内积空间.
i 1
j 1
n
n
n
n
( , ) ( xii , y j j )
xi y j (i , j )＝ xi y j aij
i 1
j 1
i, j 1
i, j 1
(其中aij＝(i , j ))，构造矩阵和列向量：
(1, 1) (1, 2 ) L
A ( 2 ,1) ( 2 , 2 ) L
(2) , V , , 在基1 ,L
,
下的坐标分别为
n
x (x1 ,L , xn )T , y (y1 ,L , yn )T ,则
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵论课件Matrix5-2
( A2 (t )) A(t ) A(t ) A(t ) A(t );
初等函数的微分性质
(e At ) Ae At e At A;
(sin At ) A cos At (cos At ) A; (cos At ) A sin At (sin At ) A;
g ( j ) (i ) f ( j ) (i ), j 0,1,2,, ri 1; i 1,2,, s
也可以用特征多项式代替最小多项式！ 例题2 （P129 eg14）用法2计算上例
例题3
（P129 eg15）计算eAt
2、 最小多项式方法
例题4 设
1 1 0 A 0 0 1 ，计算A10。 0 0 1
§ 5.6 函数矩阵的微积分
一、函数矩阵及其分析性质
函数矩阵：A(t) = [aij (t)]m×n， 分析性质： A(t) 连续、可微分、可积分 aij (t)
lim A(t ) [lim aij (t )]mn
t t0 t t0
连续 可微分
可积分
dA(t ) daij (t ) [ ]mn dt dt
e A B I (e 2 1) E11
例题1 设A为反对称矩阵，证明eA为正交矩阵。 3 2 0 2 例题2 设 3 ，讨论 lnA 是否有 A 1 0 意义 2 0 0 1
(A-I) = 5/2 > 1
二、矩阵函数的计算
2、 最小多项式方法
定理5.12 设n阶方阵A的最小多项式为
mA ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s ) ,
n1 n2 ns
n
i 1
Байду номын сангаас
矩阵函数与矩阵值函数ppt课件
7.1.2 矩阵函数的另一种定义
设矩阵A的最小多项式为
m () ( 1 ) m 1 ( 2 ) m 2 ( k ) m k ( 7 .1 .1 )6
其中 1,2,,k为 A的 k个 互 异.对 特任 征意 值
f(z),如 果
f(i)f, (i) ,,f( m i 1 )(i) ,i 1 ,2 , ,k
b
A(x)d
a
x
b
aij(x)dx
a
为 A(x)在[a,b]上的积分。
矩阵值函数的积分具有如下性质：
b
b
b
( 1 )a [A (x ) B (x )d ] x aA (x ) d x aB (x ) d ;x
(2 )对k 常 R ,有 b 数 k(x A )d x kbA (x )d;x
sin(
A
)
sin
A
定理7.1.1 设 A C n n ,如 A B 果 B ,则 A
eA eBeB eAeA B
推论 7.1.1 设 A C n n ,则 ( 1 )e A e A e A e A I ,( e A ) 1 e A ;
(2) 设 m 为,整 则 (eA )m 数 em.A
定理7.1.4 设 1,2,,k是 k个 互,m 异 1,m2,数 ,mk
k
是 k个 正 整 m 数 mi.给 且定 一 组 数 i1 fi,0 ,fi,1 , ,fi,m i 1 , i 1 ,2 , ,k
则 存 在 次 m的 数多 小p项 于 ()使 式得
p ( j ) (i) f i ,j,i 1 , ,k , j 0 , 1 , ,m i 1 ( 7 . 1 . 2 )
其中
f(i)
矩阵论-第六章--矩阵函数
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 3 0 8 1 (2) B 8 2 A 3 1 6 2 14 3 2 0 5
1 2 6 (3) C 1 0 3 1 1 4
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f ( ) ( i ) 则由上面的定理可知其最小多项式
di
,
m( )
一定具有如下形状 m() ( i )k 其中 1 k di。 但是当 k di 时 m( J i ) ( J i i I ) k
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Odi di 0 0
f (1) sin1, f (1) cos1
'
同样可得
4 3
与矩阵
3 0 8 A 3 1 6 2 0 5 求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相 似变换矩阵 P
1 0 0 J 0 1 1 0 0 1
0 4 1 P 1 3 0 0 2 0
（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被m ( )
整除。
（3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例1 ：已知一个Jordan块
i Ji
1
i
1 i di di
3 0 (4) D 0 0
1 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
(1)
3 2 2 3 0 8 1 (2) B 8 2 A 3 1 6 2 14 3 2 0 5
1 2 6 (3) C 1 0 3 1 1 4
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f ( ) ( i ) 则由上面的定理可知其最小多项式
di
,
m( )
一定具有如下形状 m() ( i )k 其中 1 k di。 但是当 k di 时 m( J i ) ( J i i I ) k
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Odi di 0 0
f (1) sin1, f (1) cos1
'
同样可得
4 3
与矩阵
3 0 8 A 3 1 6 2 0 5 求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相 似变换矩阵 P
1 0 0 J 0 1 1 0 0 1
0 4 1 P 1 3 0 0 2 0
（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被m ( )
整除。
（3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例1 ：已知一个Jordan块
i Ji
1
i
1 i di di
3 0 (4) D 0 0
1 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
2.1 特殊矩阵(PPT)
专题二MATLAB矩阵处理2.1 特殊矩阵☐通用性的特殊矩阵☐用于专门学科的特殊矩阵1．通用的特殊矩阵☐zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
☐ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
☐eye函数：产生对角线为1的矩阵。
当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
☐rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
☐randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
zeros函数的调用格式：☐zeros(m)：产生m×m零矩阵。
☐zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
☐zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
>> A=zeros(2,3)A =0 0 00 0 0>> zeros(size(reshape(A,3,2)))ans =0 00 00 0例1 首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）。
☐rand函数：产生(0，1)开区间均匀分布的随机数x。
☐fix(a+(b-a+1)*x)：产生[a，b]区间上均匀分布的随机整数。
☐randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
☐μ+σx得到均值为μ、方差为σ2的随机数。
：>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5)); >> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5); >> C=eye(5);>> (A+B)*C==C*A+B*Cans =1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1(1)魔方矩阵--Magic Square 2．用于专门学科的特殊矩阵>> M=magic(3)M =8 1 63 5 74 9 2☐n阶魔方阵由1,2,3,…,n2共n2个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
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7.2 矩阵值函数
7.2.1 矩阵值函数 7.2.2 矩阵值函数的分析运算
7.2.1 矩阵值函数
定义7.2.1 设aij ( x)(i 1,2,, m, j 1,2,, n)都是 定义在区间(a, b)上的实函数, 则m n矩阵
k
是k个正整数且m mi .给定一组数 i 1 fi,0 , fi,1 ,, fi,mi 1 , i 1,2,, k
则存在次数小于m的多项式p( )使得
p( j)(i ) fi, j , i 1,, k , j 0,1,, mi 1 (7.1.20)
通常把满足条件(7.1.20)的多项式p( )称为
ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
sin z z 1 z3 1 z5 (1)n 1 z2n1
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 1 z2 1 z4 (1)n 1 z2n
2! 4!
(2n)!
由推论6.3.2可知, 对任意A C nn , 矩阵幂级数
I A 1 A2 1 An
2
sin
A
1 2i
(e iA
e iA )
cos( A) cos A
sin( A) sin A
定理7.1.1 设A C nn , 如果AB BA,则
e AeB eBe A e AB
推论 7.1.1 设A C nn ,则 (1) e Ae A e Ae A I , (e A )1 e A ;
Hermite 插值多项式.
定理7.1.5 设 矩 阵A C nn是 一 个 块 对 角 矩 阵
A diag( A1,, As ).如 果 函 数f (z)在A的 谱( A)上
有 定 义, 则
f ( A) diag( f ( A1 ), , f ( As ))
定理7.1.6 设A, B C nn ,如 果 存 在 可 逆 矩 阵P使 得
2!
n!
A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
3! 5!
(2n 1)!
I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
都是收敛的. 他们的和分别记为e A ,sin A,cos A,即
e A I A 1 A2 1 An
2!
n!
sin A A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
其中
(7.1.25)
f
(i
)
f(Ji)1 1!f(i )
f (i )
(ni
1
1)!
f
( ni
1) (i
)
1 1!
f
(i
)
f (i )
且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J
中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。
定理7.1.8 设 矩 阵A C nn的 特 征 值 为1 , 2 ,, n , 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,则f (z)的 特 征 值 为f (1 ), f (2 ), f (n ).
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
)(i
1,2,, k)为f
(z)
在A的 谱( A)上 的 值.
定理7.1.3 设A C nn , p1( )和p2 ( )是 两 个 多 项 式,则 p1( A) p2 ( A)的 充 分 必 要 条 件 是p1( )和p2 ( )在A的 谱( A)上 具 有 相 同 的 值.
定义7.1.2 设矩阵A C nn的最小多项式为(7.1.16),函
数f (z)在A的谱( A)上有定义,如果存在多项式p( )
满足
p( j) (i ) f ( j) (i ), i 1,2,, k, j 1,2,, mi 1
则定义矩阵函数 f (A)为
f ( A) p( A)
定理7.1.4 设1, 2 ,, k是k个 互 异 数, m1, m2 ,, mk
第7章 矩阵函数与矩阵值函数
7.1 矩阵函数 7.2 矩阵值函数 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7.4* 特征对的灵敏度分析
7.1 矩阵函数
7.1.1 矩阵函数的幂级数表示 7.1.2 矩阵函数的另一种定义
7.1.1 矩阵函数的幂级数表示
定义7.1.1 设A C nn ,一元函数f (z)能够展开为 z的
3! 5!
(2n 1)!
cos A I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
称e A为矩阵指数函数, sin A,cos A为矩阵三角函数.
由e A , sin A和cos A的定义，可得
eiA cos A i sin A
cos
A
1
(e iA
e iA
)
B PAP1,并 且 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,
则
f (B) Pf ( A)P 1
定理7.1.7 设矩阵A C nn的Jordan标准形为(7.1.13),
若函数f (z)在A的谱( A)上有定义,则
f ( A) Pf (J )P 1 Pdiag( f (J1 ), , f (J s ))P 1
7.1.2 矩阵函数的另一种定义
设矩阵A的最小多项式为
m() ( 1)m1 ( 2 )m2 ( k )mk (7.1.16) 其中1, 2 ,, k为A的k个互异特征值.对任意函数
f (z), 如果
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
),
i 1,2,, k
存 在,则 称 函 数f (z)在A的 谱( A)有 定 义,并 称
(2) 设m为整数,则(e A )m emA .
定理7.1.2 设A, B C nn ,如果AB BA,则
(1) sin2 A cos 2 A I ;
(2) 如果AB BA,则
sin(A B) sin Acos B cos Asin B sin2A 2sin Acos A cos(A B) cos Acos B sin Asin B cos 2A cos2 A sin2 A
幂级数
f (z) ck zk k0
并 且 该 幂 级 数 的 收 敛 半径 为R. 当 矩 阵A的 谱 半 径
( A) R时,则 将 收 敛 矩 阵 幂 级 数 ck Ak的 和 定 义 k0
为 矩 阵 函 数,记 为f ( A),即
f ( A) ck Ak k0
因为当| z | 时有