矩阵函数ppt
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k
是k个正整数且m mi .给定一组数 i 1 fi,0 , fi,1 ,, fi,mi 1 , i 1,2,, k
则存在次数小于m的多项式p( )使得
p( j)(i ) fi, j , i 1,, k , j 0,1,, mi 1 (7.1.20)
通常把满足条件(7.1.20)的多项式p( )称为
定义7.1.2 设矩阵A C nn的最小多项式为(7.1.16),函
数f (z)在A的谱( A)上有定义,如果存在多项式p( )
满足
p( j) (i ) f ( j) (i ), i 1,2,, k, j 1,2,, mi 1
则定义矩阵函数 f (A)为
f ( A) p( A)
定理7.1.4 设1, 2 ,, k是k个 互 异 数, m1, m2 ,, mk
ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
sin z z 1 z3 1 z5 (1)n 1 z2n1
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 1 z2 1 z4 (1)n 1 z2n
2! 4!
(2n)!
由推论6.3.2可知, 对任意A C nn , 矩阵幂级数
I A 1 A2 1 An
其中
(7.1.25)
f
(i
)
f
(Ji
)
1 1!
f
(i )
f (i )
(ni
1
1)!
f
( ni
1) (i
)
1 1!
f
(i
)
f (i )
且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J
中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。
定理7.1.8 设 矩 阵A C nn的 特 征 值 为1 , 2 ,, n , 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,则f (z)的 特 征 值 为f (1 ), f (2 ), f (n ).
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
)(i
1,2,, k)为f
(z)
在A的 谱( A)上 的 值.
定理7.1.3 设A C nn , p1( )和p2 ( )是 两 个 多 项 式,则 p1( A) p2 ( A)的 充 分 必 要 条 件 是p1( )和p2 ( )在A的 谱( A)上 具 有 相 同 的 值.
(2) 设m为整数,则(e A )m emA .
定理7.1.2 设A, B C nn ,如果AB BA,则
(1) sin2 A cos 2 A I ;
(2) 如果AB BA,则
sin(A B) sin Acos B cos Asin B sin2A 2sin Acos A cos(A B) cos Acos B sin Asin B cos 2A cos2 A sin2 A
2!
n!
A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
3! 5!
(2n 1)!
I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
都是收敛的. 他们的和分别记为e A ,sin A,cos A,即
e A I A 1 A2 1 An
2!
n!
sin A A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
B PAP1,并 且 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,
则
f (B) Pf ( A)P 1
定理7.1.7 设矩阵A C nn的Jordan标准形为(7.1.13),
若函数f (z)在A的谱( A)上有定义,则
f ( A) Pf (J )P 1 Pdiag( f (J1 ), , f (J s ))P 1
幂级数
f (z) ck zk k0
并 且 该 幂 级 数 的 收 敛 半径 为R. 当 矩 阵A的 谱 半 径
( A) R时,则 将 收 敛 矩 阵 幂 级 数 ck Ak的 和 定 义 k0
为 矩 阵 函 数,记 为f ( A),即
f ( A) ck Ak k0
因为当| z | 时有
3! 5!
(2n 1)!
cos A I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
称e A为矩阵指数函数, sin A,cos A为矩阵三角函数.
由e A , sin A和cos A的定义，可得
eiA cos A i sin A
cos
A
1
(e iA
e iA
)
Hermite 插值多项式.
定理7.1.5 设 矩 阵A C nn是 一 个 块 对 角 矩 阵
A diag( A1,, As ).如 果 函 数f (z)在A的 谱( A)上
有 定 义, 则
f ( A) diag( f ( A1 ), , f ( As ))
定理7.1.6 设A, B C nn ,如 果 存 在 可 逆 矩 阵P使 得
第7章 矩阵函数与矩阵值函数
7.1 矩阵函数 7.2 矩阵值函数 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7.4* 特征对的灵敏度分析
7.1 矩阵函数
7Βιβλιοθήκη Baidu1.1 矩阵函数的幂级数表示 7.1.2 矩阵函数的另一种定义
7.1.1 矩阵函数的幂级数表示
定义7.1.1 设A C nn ,一元函数f (z)能够展开为 z的
2
sin
A
1 2i
(e iA
e iA )
cos( A) cos A
sin( A) sin A
定理7.1.1 设A C nn , 如果AB BA,则
e AeB eBe A e AB
推论 7.1.1 设A C nn ,则 (1) e Ae A e Ae A I , (e A )1 e A ;
7.1.2 矩阵函数的另一种定义
设矩阵A的最小多项式为
m() ( 1)m1 ( 2 )m2 ( k )mk (7.1.16) 其中1, 2 ,, k为A的k个互异特征值.对任意函数
f (z), 如果
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
),
i 1,2,, k
存 在,则 称 函 数f (z)在A的 谱( A)有 定 义,并 称
7.2 矩阵值函数
7.2.1 矩阵值函数 7.2.2 矩阵值函数的分析运算
7.2.1 矩阵值函数
定义7.2.1 设aij ( x)(i 1,2,, m, j 1,2,, n)都是 定义在区间(a, b)上的实函数, 则m n矩阵
是k个正整数且m mi .给定一组数 i 1 fi,0 , fi,1 ,, fi,mi 1 , i 1,2,, k
则存在次数小于m的多项式p( )使得
p( j)(i ) fi, j , i 1,, k , j 0,1,, mi 1 (7.1.20)
通常把满足条件(7.1.20)的多项式p( )称为
定义7.1.2 设矩阵A C nn的最小多项式为(7.1.16),函
数f (z)在A的谱( A)上有定义,如果存在多项式p( )
满足
p( j) (i ) f ( j) (i ), i 1,2,, k, j 1,2,, mi 1
则定义矩阵函数 f (A)为
f ( A) p( A)
定理7.1.4 设1, 2 ,, k是k个 互 异 数, m1, m2 ,, mk
ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
sin z z 1 z3 1 z5 (1)n 1 z2n1
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 1 z2 1 z4 (1)n 1 z2n
2! 4!
(2n)!
由推论6.3.2可知, 对任意A C nn , 矩阵幂级数
I A 1 A2 1 An
其中
(7.1.25)
f
(i
)
f
(Ji
)
1 1!
f
(i )
f (i )
(ni
1
1)!
f
( ni
1) (i
)
1 1!
f
(i
)
f (i )
且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J
中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。
定理7.1.8 设 矩 阵A C nn的 特 征 值 为1 , 2 ,, n , 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,则f (z)的 特 征 值 为f (1 ), f (2 ), f (n ).
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
)(i
1,2,, k)为f
(z)
在A的 谱( A)上 的 值.
定理7.1.3 设A C nn , p1( )和p2 ( )是 两 个 多 项 式,则 p1( A) p2 ( A)的 充 分 必 要 条 件 是p1( )和p2 ( )在A的 谱( A)上 具 有 相 同 的 值.
(2) 设m为整数,则(e A )m emA .
定理7.1.2 设A, B C nn ,如果AB BA,则
(1) sin2 A cos 2 A I ;
(2) 如果AB BA,则
sin(A B) sin Acos B cos Asin B sin2A 2sin Acos A cos(A B) cos Acos B sin Asin B cos 2A cos2 A sin2 A
2!
n!
A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
3! 5!
(2n 1)!
I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
都是收敛的. 他们的和分别记为e A ,sin A,cos A,即
e A I A 1 A2 1 An
2!
n!
sin A A 1 A3 1 A5 (1)n 1 A2n1
B PAP1,并 且 函 数f (z)在A的 谱( A)上 有 定 义,
则
f (B) Pf ( A)P 1
定理7.1.7 设矩阵A C nn的Jordan标准形为(7.1.13),
若函数f (z)在A的谱( A)上有定义,则
f ( A) Pf (J )P 1 Pdiag( f (J1 ), , f (J s ))P 1
幂级数
f (z) ck zk k0
并 且 该 幂 级 数 的 收 敛 半径 为R. 当 矩 阵A的 谱 半 径
( A) R时,则 将 收 敛 矩 阵 幂 级 数 ck Ak的 和 定 义 k0
为 矩 阵 函 数,记 为f ( A),即
f ( A) ck Ak k0
因为当| z | 时有
3! 5!
(2n 1)!
cos A I 1 A2 1 A4 (1)n 1 A2n
2! 4!
(2n)!
称e A为矩阵指数函数, sin A,cos A为矩阵三角函数.
由e A , sin A和cos A的定义，可得
eiA cos A i sin A
cos
A
1
(e iA
e iA
)
Hermite 插值多项式.
定理7.1.5 设 矩 阵A C nn是 一 个 块 对 角 矩 阵
A diag( A1,, As ).如 果 函 数f (z)在A的 谱( A)上
有 定 义, 则
f ( A) diag( f ( A1 ), , f ( As ))
定理7.1.6 设A, B C nn ,如 果 存 在 可 逆 矩 阵P使 得
第7章 矩阵函数与矩阵值函数
7.1 矩阵函数 7.2 矩阵值函数 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7.4* 特征对的灵敏度分析
7.1 矩阵函数
7Βιβλιοθήκη Baidu1.1 矩阵函数的幂级数表示 7.1.2 矩阵函数的另一种定义
7.1.1 矩阵函数的幂级数表示
定义7.1.1 设A C nn ,一元函数f (z)能够展开为 z的
2
sin
A
1 2i
(e iA
e iA )
cos( A) cos A
sin( A) sin A
定理7.1.1 设A C nn , 如果AB BA,则
e AeB eBe A e AB
推论 7.1.1 设A C nn ,则 (1) e Ae A e Ae A I , (e A )1 e A ;
7.1.2 矩阵函数的另一种定义
设矩阵A的最小多项式为
m() ( 1)m1 ( 2 )m2 ( k )mk (7.1.16) 其中1, 2 ,, k为A的k个互异特征值.对任意函数
f (z), 如果
f
(i
),
f
(i
),,
f
( (mi 1) i
),
i 1,2,, k
存 在,则 称 函 数f (z)在A的 谱( A)有 定 义,并 称
7.2 矩阵值函数
7.2.1 矩阵值函数 7.2.2 矩阵值函数的分析运算
7.2.1 矩阵值函数
定义7.2.1 设aij ( x)(i 1,2,, m, j 1,2,, n)都是 定义在区间(a, b)上的实函数, 则m n矩阵