2011年高考数学一轮复习精品课件：函数的定义域和值域复习

13 t 2 则t ≥ 0, x = , 4 13 t 2 于是f ( x) = g (t ) = 2 1 t 4 1 11 = t2 t + 2 2 1 = (t + 1) 2 + 6, 2
显然函数g 显然函数g(t)在［0，+∞）上是单调递减函数， +∞）上是单调递减函数，
11 所以g (t ) ≤ g (0) = , 2 11 因此原函数的值域是(∞, ]. 2
2
B. y = 1 2 x D. y = ( 1 )1 x
3
C. y = ( 1 ) x 1 解析
A中值域为（0，1）； 中值域为（
B中值域为［0，1）； 中值域为［ C中值域为［0，+∞）；D中值域为（0，+∞）. 中值域为［ +∞）；D中值域为（ ）； +∞）
1 5.已知函数 已知函数f )=lg(x+3)的定义域为 g 的定义域为M 5.已知函数f(x)=lg(x+3)的定义域为M，( x) = 2 x
基础自测
x 2 3x + 4 1.（2009江西文 江西文， 1.（2009江西文，2）函数 y = 的定 x
义域为
（D）
A.［-4,1］ A.［ 4,1］ C.（0,1］ C.（0,1］
B.［-4,0) B.［ D.［ 4,0)∪(0,1］ D.［-4,0)∪(0,1］
x 2 3 x + 4 ≥ 0, 解析 由题意得 x ≠ 0, 4≤x≤1且 ≠0.即定义域为 即定义域为［ 4,0)∪(0,1］ ∴-4≤x≤1且x≠0.即定义域为［-4,0)∪(0,1］.
(3)常见基本初等函数的定义域： (3)常见基本初等函数的定义域： 常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零. 分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为 R . 一次函数、 ④y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为 R . ⑤y=tan
∵0<x≤2,∴1<3x≤9, 0<x
∴f(x)的值域为（1，9］， 的值域为（ ∴f（x）的反函数的定义域为（1，9］. 的反函数的定义域为（
4.下列函数中，值域是(0,+∞)的函数是（ 4.下列函数中，值域是(0,+∞)的函数是（ D ） 下列函数中 (0,+∞)的函数是 A.y =
1 5 x + 1
(2)基本初等函数的值域 (2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b(k≠0)的值域是 R . kx+ ≠0)的值域是 bx+ ≠0)的值域是 的值域是： >0时 ②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
4ac b2 ,+∞ 4a
；当a<0时，值域为 <0时
4ac b2 ∞ 4a
1 , ∵ y = 1 2 x x +1 1 2 3 3 2 又x x + 1 = ( x ) + ≥ , 2 4 4
1 4 1 ∴0 < 2 ≤ ,∴ ≤ y < 1. x x +1 3 3 1 ∴函数的值域为 ,1. 3
方法二（判别式法） 方法二（判别式法）
x2 x 由y = 2 , x ∈ R, x x +1
π x | x ∈R且x ≠ k π+ , k ∈Z x的定义域为 2
.
⑥函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0} . 函数f )=x 2.函数的值域 2.函数的值域 (1)在函数y (1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值 在函数 与自变量x的值对应的y 叫函数的值域. 叫 函数值， 函数值的集合叫函数的值域.
）
［-4，0）∪（0，1］.
x 2 3x + 2 ≥ 0 解析 不等式组 x 2 3 x + 4 ≥ 0 的解集为 x ≠ 0
当x=1时， x 2 3x + 2 + x 2 3x + 4 = 0, =1时 不满足题意，舍去. 不满足题意，舍去. 当x=-4时， x 2 3 x + 2 + x 2 3 x + 4 > 0, 所以函数f(x)的定义域为［-4，0）∪（0，1）. 所以函数f 的定义域为［ 答案 D
方法二（单调性法）：函数定义域是 方法二（单调性法）：函数定义域是 x | x ≤ 13 , ）： 4 当自变量x增大时，2x-1增大，13 4 x 减小， 当自变量x增大时， 增大， 减小，
所以2 x 1 13 4 x增大,
因此函数f )=2x 因此函数f(x)=2x-1- 13 4 x 在其定义域上是一个 单调递增函数， 单调递增函数，
求函数f 的定义域， 思维启迪 求函数f(x)的定义域，只需使解析式 有意义，列不等式组求解. 有意义，列不等式组求解. 解析
x + 1 > 0, 由 2 解得 1 < x < 1. x 3x + 4 > 0,
求函数的定义域， 探究提高 （1）求函数的定义域，其实质就是以 函数解析式所含运算有意义为准则， 函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或 不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： 不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； 分式中，分母不为零； ②偶次方根中，被开方数非负； 偶次方根中，被开方数非负； ③对于y=x0，要求x≠0； 要求x≠0； 对于y ④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 对数式中，真数大于0 底数大于0且不等于1 ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问 由实际问题确定的函数， 题的约束. 题的约束. （2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间 抽象函数的定义域要看清内、 的关系. 的关系.
x ≥ 1或x ≤ 0, x( x 1) ≥ 0, 解得 x ≥ 0, x ≥ 0. 函数的定义域为{ ∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}.
Βιβλιοθήκη Baidu 3.函数f (0<x≤2)的反函数的定义域为 的反函数的定义域为（ 3.函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为（B ） 函数 A.（0，+∞） A.（ +∞） C.(0,1) 解析 B.(1,9］ B.(1,9］ D.［ D.［9,+∞)
题型分类 深度剖析
题型一 求函数的定义域 （2009江西理，2）函数 y = ln( x + 1) 江西理 【例1 】 2009江西理， x 2 3x + 4 的定义域为（ 的定义域为（ C ） A.（ A.（-4，-1） C.（ C.（-1，1） B.（ B.（-4，1） D.（ D.（-1，1］
函数的定义域、 §2.2 函数的定义域、值域 基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数的定义域 1.函数的定义域 (1)函数的定义域是指 (1)函数的定义域是指 使函数有意义的自变量 的取值范围 . (2)求定义域的步骤是： (2)求定义域的步骤是： 求定义域的步骤是 ①写出使函数式有意义的不等式（组）； 写出使函数式有意义的不等式（ ②解不等式组； 解不等式组； ③写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式 写出函数定义域. 写出） 写出）
的定义域为N 的定义域为N，则M∩N等于（B ） 等于（ A.{x A.{x|x>-3} C.{x C.{x|x<2} 解析 B.{x 3<x B.{x|-3<x<2} D.{x 3<x D.{x|-3<x≤2}
M={x|x>-3},N={x|x<2}. ={x 3},N={x
∴M∩N={x|-3<x<2}. ={x 3<x
知能迁移2 求下列函数的值域： 知能迁移2 求下列函数的值域：
1 x (1) y = ; 2x + 5 (2) y =| x | 1 x 2 .
解
（1）(分离常数法) 分离常数法)
1 7 y= + 2 2(2 x + 5) 7 1 ∵ ≠ 0,∴ y ≠ . 2(2 x + 5) 2 1 故函数的值域是 y | y ∈ R, 且y ≠ . 2
题型二
求函数的值域
求下列函数的值域： 【例2 】 求下列函数的值域：
x2 x (1) y = 2 ; x x +1 (2) y = 2 x 1 13 4 x .
根据函数解析式的结构， 思维启迪 根据函数解析式的结构，确定采用 的方法： 的方法： （1）可用配方法或判别式法；（2）可用换元法 可用配方法或判别式法；（2 ；（ 或单调性法. 或单调性法. 解 （1）方法一（配方法） 方法一（配方法）
.
k ≠0)的值域是 ③ y = (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0} . x >0且 ≠1） ④y=ax（a>0且a≠1）的值域是（0,+∞） . 0,+∞）
>0且 ≠1)的值域是 ⑤y=logax(a>0且a≠1)的值域是 R . ⑥y=sin x,y=cos x的值域是［-1，1］ . ⑦y=tan x的值域是 R .
2.（2008全国Ⅰ ,1） 2.（2008全国Ⅰ理,1）函数 y = x( x 1) + x 的 全国 定义域为 A.{x A.{x|x≥0} C.{x C.{x|x≥1}∪{0} 解析 要使函数有意义,需 要使函数有意义, （C） B.{x B.{x|x≥1} D.{x|0≤x D.{x|0≤x≤1}
(2)方法一(换元法) (2)方法一(换元法) 方法一 ∵1-x2≥0,令x=sin α, ∵1- ≥0,令
1 则有y =| sin α cos α |= | sin 2α |, 2 1 故函数值域为0, . 2
方法二
y =| x | 1 x 2 = x 4 + x 2 1 2 1 1 = ( x ) + ,∴ 0 ≤ y ≤ . 2 4 2 1 即函数值域为0, . 2
2
题型三
根据定义域、 根据定义域、值域求参数的取值
（12分）若函数 f ( x) = 1 x 2 x + a 的定 【例3 】 12分
2
义域和值域均为［ 义域和值域均为［1，b］（b>1）,求a、b的值. ］（b>1） 的值. 求出f 上的值域， 思维启迪 求出f（x）在［1，b］上的值域，根 据值域已知的条件构建方程即可解. 据值域已知的条件构建方程即可解. 解题示范 解 ∵ f ( x) = 1 ( x 1) 2 + a 1 .
13 13 11 所以当x = 时, 函数取得最大值f ( ) = , 4 4 2 11 故原函数的值域是 ∞, . 2
若函数为分式结构（ 探究提高 （1）若函数为分式结构（如（1））， 且分母中有未知数的平方，则常考虑分离常数法， 且分母中有未知数的平方，则常考虑分离常数法， 或采用判别式法. 或采用判别式法.（2）若含有根式结构的函数 （如（2）），通常用换元法，若能确定其单调性 ）），通常用换元法， 通常用换元法 可采用单调性法.通常用单调性法求值域， 可采用单调性法.通常用单调性法求值域，常见的 (a 均为常数， ad≠0) ≠0)， 有y=ax+b+ dx + e (a、b、d、e均为常数，且ad≠0)， ax+ 看a与d是否同号，若同号则用单调性求值域，若异 是否同号，若同号则用单调性求值域， 号则用换元法求值域. 号则用换元法求值域.
2 2
［2分］ ［4分］ ① ［6分］
∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调 其对称轴为x=1， 递增区间. 递增区间.
∴ f ( x) min 1 = f (1) = a = 1 2
1 f ( x) max = f (b) = b 2 b + a = b 2
知能迁移1 (2008湖北 湖北) 知能迁移1 (2008湖北)函数 f ( x) = 1 ln( x 2 3 x + 2
x
的定义域为（ + x 2 3x + 4 ) 的定义域为（ A.（-∞，-4］∪［2，+∞） A.（ +∞） B.（ B.（-4，0）∪（0，1） C.［ C.［-4，0）∪（0，1］ D.［ D.［-4，0）∪（0，1）
得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. 1)x +(1∵y=1时，x∈,∴y≠1. =1时 ,∴y 又∵x∈R，∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0, Δ=(11 ∴ ≤ y < 1. 3 1 ∴函数的值域为 ,1. 3
（2）方法一（换元法）：设 13 4 x = t , 方法一（换元法）：设 ）：