一元一次不等式知识点及典型例题

7、不等式的解集：一元一次不等式①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

考点一、不等式的概念 （3 分）②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值， 知识点与典型基础例题都叫做这个不等式的解。

一 不等式的概念：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这 例 判断下列各式是否是一元一次不等式？个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x535、用数轴表示不等式的方法二 不等式的解 ：考点二、不等式基本性质 （3~5 分）三 不等式的解集：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

例 判断下列说法是否正确，为什么？2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

X=2 是不等式 x+3＜2 的解。

X=2 是不等式 3x＜7 的解。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

不等式 3x＜7 的解是 x＜2。

X=3 是不等式 3x≥9 的解4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改四 一元一次不等式：变。

②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么 例 判断下列各式是否是一元一次不等式就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0， 否则不等式不成立；－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x5≥３ｘ考点三、一元一次不等式 （6--8 分）例 五．不等式的基本性质问题1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且 例 1 指出下列各题中不等式的变形依据不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）1）由3a>2得a>2 32) 由 3+7>0 得 a>-7将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组（8 分）3）由-5a<1得a>-1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不 例 2 用>”或<”填空，并说明理由等式组。

如果 a<b 则 1）a-2( )b-22、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

2）-a 2-b 23)-3a-5( )-3b-53、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

例 3 把下列不等式变成 x>a x<a 的形式。

4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法X+4>75x<1+4x-4 5x>-12x+5<4x-2（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集例 4 已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（ ）（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组A cb>ab B ac>ab C cb<ab D c+b<a+b不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向例５当０＜ｘ＜１时ｘ２，ｘ，1 x，之间的大小关系是。

不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

例 将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

X≥2x＜12 3x＜3 的非负整数解-11 3x21 2六 在数轴上表示不等式的解集：例 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来2x+3＜3x+2-3x+2≤5- 1 x ≠2 3x 5 1 3x 2238-2(x+2)＜4x-23-x 1 423( x1) 8５－ｘ＋x 3＜１－2 x3 2x 1 3题型一：求不等式的特殊解 例１） 求 x+3＜6 的所有正整数解２）求 10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。

３）求不等式3 x 210的非负整数解。

４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数 题型二：不等式与方程的综和题 例 关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值围。

x 95 x 1 不等式组{ x m 1 的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值围是？5 x3 y31 若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{ x y p0 的解是正整数，求整数Ｐ的值。

xab已知关于ｘ的不等式组{2 xa2b1的解集为３≤ｘ＜５，求a b的值。

题型三 确定方程或不等式中的字母取值围 例 ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数已知关于 x 的方程 3k－5x＝－9 的解是非负数，求 k 的取值围已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值围。

4 x 3 y k 若方程组{ 2x3 y5 的解中 x>y，求 K 的围。

如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数，求 m 的围。

若|2a+3|＞2a+3,求 a 的围。

若（a+1）x＞a+1 的解是 x＜1,求 a 的围。

x 8 4 x 1若{ x a的解集为＞３，求ａ的取值围。

已知关于x的方程ｘ－2xm 32x 3的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。

9xa0 如果{ 8 x b 0 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。

题型五 求最小值问题例x取什么值时，代数式5x4 6的值不小于7 81 x 3的值，并求出 X的最小值。

题型六 不等式解法的变式应用 例 根据下列数量关系，列不等式并求解 。

X的1 3与x的2倍的和是非负数。

C 与 4 的和的 30﹪不大于-2。

X 除以 2 的商加上 2，至多为 5。

A 与 b 两数和的平方不可能大于 3。

例 ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？例ｘ取哪些非负整数时，3x2 5的值不小于2x 3与１的差。

题型七 解不定方程 例 求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。

x2a 已知{ x 3a 2 无解，求ａ的取值围。

题型八 比较两个代数式值的大小 例 已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大 小关系答案：C 不等式题型九 不等式组解的分类讨论ax4..83ax 例 解关于ｘ的不等式组{ (a2) x2..2(1a) x4Ａ． 若不等式组的解集是（ ） Ｂ．Ｃ．Ｄ．有实数解，则实数 的取值围是（ ）答案：C8、常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，若点 P(m－3，m＋1)在第二象限，则 m 的取值围为( )A．－1＜m＜3 B．m＞3C．m＜－１D．m＞－１ 答案：AA．B．C．D．若，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．不能确定不等式—x—5≤0 的解集在数轴上表示正确的是（）答案：A 答案：A已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值围是（ ）A．B．C．D．答案：D四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图 3 所示， 则他们的体重大小关系是（ D ）答案：B不等式＜的正整数解有()（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 答案：C把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）A．B．C．D．A、B、C、D、把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）答案：B不等式组 A．不等式组，的解集是（ ）B．C．D．无解 答案：C的解集在数轴上可表示为（ ）ABCD答案：D实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）A． 答案：B用B．C．D．表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）A．B．C．D．答案：D如图，a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）答案：A不等式组A．a＞c＞b b答案：CB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞a＞不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）的解集在数轴上可表示为（ ）答案：C 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图 3 中的（ ）答案：A 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）则关于 的不等式的解集为．答案：A 二、填空题已知 3x+4≤6+2(x-2),则的最小值等于________. 答案：1如图，已知函数 解集为和 ．的图象交点为 ，则不等式答案： <-1 13.已知不等式组 三、简答题 的解不等式组的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)2008＝__________．答案：1不等式组答案： 的解集为． 答案：解：解不等式（1），得 原不等式组的解是． 解不等式（2），得．．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.不等式组的整数解的个数为． 答案：4解：解不等式 x+1＞0,得 x＞-1解不等式 x≤，得 x≤2∴不等式得解集为-1＜x≤2∴该不等式组的最大整数解是 26.已知关于 的不等式组 答案：的整数解共有 3 个，则 的取值围是若不等式组 ．a 的值。

解：解不等式得的整数解是关于 x 的方程 ，则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。

的根，求9.不等式组 10．直线的解集是 与直线． 答案： 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，解方程。

由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和－2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。

在数轴上，1 和－2 的距离为 3，满足方程的 x 对应点在 1 的右边或－2 的左边，若 x 对应点在 1 的右边，由图（17）可以看出 x＝2；同理，若 x 对应点在－2 的左边，可得 x＝－3，故原方程的解是 x=2 或 x=－3参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为的解集是：所以原不等式的解集是：………………………………………（3 分）解集表示如图…………………………………………………………………（5 分）（2）解不等式≥9；（3）若≤a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值围解：（1）1 或 ． （2） 和 的距离为 7，因此，满足不等式的解对应的点 3 与 的两侧．当 在 3 的右边时，如图（2）， 易知．当 在 的左边时，如图（2），易知．原不等式的解为（3）原问题转化为： 大于或等于或 最大值．当时，，当，随 的增大而减小，当时，故．，即的最大值为 7．解不等式组解：由不等式（1）得： <5 由不等式（2）得： ≥3所以：5＞x≥3解不等式组：并判断是否满足该不等式组．解：原不等式组的解集是：，满足该不等式组．解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．解：3x-2<7 3x<7+2 3x<9 x<3解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.解不等式组，并写出它的所有整数解.解：的解集是：解：解不等式组并求出所有整数解的和．解：解不等式①，得，解不等式②，得．原不等式组的解集是．则原不等式组的整数解是．所有整数解的和是：不等式复习 1 一：知识点回顾 1、一元一次不等式（组）的定义： 2、一元一次不等式（组）的解集、解法： 3、求不等式组的解集的方法 ： 若 a＜b，当时，x＞b；（同大取大）当时，x＜a；（同小取小）A, 1 B, 0 C, -1 D, 3当时，a＜x＜b；（大小小大取中间） 当时无解，（大大小小无解） 二：小试牛刀2、不等式 2x+1<a 有 3 个正整数解，则 a 的取值围是？1、不等式 8-3x≥0 的最大整数解是_______________.2、若 (a 1)x a 1 的解集是 x 1，则 a 必须满足_______3、关于x的不等式组x a 0 1 x 0的整数解共有3个，则a的取值围是多少？3、若不等式组x x 4, a的解集是4xa，则a的取值围是________．4、若方程组3x y 2k yx3,的解满足x1,且y1 ，求整数k的取值围。