分布列、期望与方差
随机变量的分布列、期望、方差
„ „
P
1 1 3
4
2 1 3 3
3
5
2 3
4
1 ⑷ ~ B 5, ,
k
∴ P＝( ＝k)＝C5 ( ) ·( ) 其中 k 0,1,2,3,4,5. ∴所求 的分布列是
1 3
k
2 3
5－k
，
0
32 243
1
80 243
2
80 243
【典例解析】
考点一：随机变量的分布列
例 1. 袋子中有 1 个白球和 2 个红球． ⑴ 每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数 的分布列．
2
2013 年高考第一轮复习资—理科数学 ⑵ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数 的分布列． ⑶ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5 次．求取球次数 的分布列． ⑷ 每次取 1 个球，放回，共取 5 次．求取到白球次数 的分布列． 解： ⑴ 1,2,3.
1
1 3
2
1 3
3
1 3
P
⑵ 每次取到白球的概率是 ，不取到白球的概率是 2 ， 所求的分布列是
3
1 3
P ⑶
1 1 3 2 2 1 3 3
3
2 2 1 3 3 3
2 1 3 3
2
3
2 1 3 3
2
„ „
n
2 3
n 1
1 3
P 1 P 2 1 1 , 1 3 A3
1 A2 1 1 , 2 1 1 A A3 2 3 1
分布列、期望、方差
分布列、期望、方差作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期■由于离散型随机变量的分布列、期望与方差与现实生活联系密切，能充分体现数学的应用价值，也符合高考发展的方向，是近几年高考考查的热点与重点内容. 预计在今后的高考中，它仍然是考查的重点，题型有选择题、填空题、解答题，不同的地区，在命题设计上不尽相同，但以解答题为主的可能性更大.■求离散型随机变量的期望和方差，一般先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，再根据数学期望和方差的公式计算. 这类题多为解答题，常常综合考查排列组合知识、随机事件的概率等，有时还会根据概率、期望、方差等数据对某些现象进行说理. 因此在复习时要注意对概率综合题的研究，既要落实“模型题”训练，又要注重从生活情境出发进行思考.■■ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表. 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求工期延误天数的均值与方差.■破解思路先根据条件信息求出Y=0，2，6，8时的相应概率，列出Y的分布列，再根据分布列计算期望和方差. 这类题为容易题，体现对分布列、期望、方差等的最低要求.经典答案由已知条件和概率的加法公式可得到：P（X■于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延误天数的均值为3，方差为9.8.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇■ 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是■；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是■.（1）若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ.（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于■，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.破解思路（1）方程思想. 先根据条件建立方程，确定白球数，再确定随机变量ξ的可能取值，并求出相应的概率，求得分布列和期望.（2）先设定两种球的个数，表示出相应的概率，由概率关系建立不等式，得到两个未知数间的关系，从而论证结论.经典答案（1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）=1-■=■，得到x=5. 故白球有5个.②随机变量ξ的取值为0，1， 2，3，分布列是：■ξ的数学期望Eξ=■×0+■×1+■×2+■×3=■.（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题得y=■n，所以2y■ 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2， 3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.（1）写出X的可能值集合；（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.破解思路准确理解题意是确定随机变量X的取值的关键. 分析a1，a3与a2，a4中奇数、偶数的个数，确定X的奇偶性，然后估算X的范围，并逐一检验；借助树状图列出所有可能情形，计算X值相应的概率，得到分布列；通过计算概率，判断该品酒师酒味鉴别的能力，并说明理由.经典答案（1）由于1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中奇数个数与a1，a3中偶数个数相同，所以1-a1+2-a2+3-a3+4-a4的奇偶性相同，从而X的可能值必为偶数，且非负，不大于8，故X的可能值集合为{0，2，4，6，8}.（2）列树状图可得1，2，3，4的排列共有24种，计算得X的分布列如下：■（3）①由（2）知P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=■，又各轮测试相互独立，所以三轮测试都有X≤2的概率为P=■■=■.②由于P=■■=■■1. 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：■（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从40人中任选2名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.2. 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）. 评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分. 某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜. 对于这8道选择题，试求：（1）该考生得分为40分的概率；（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ.3. 文科班某同学参加某省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为■，■，■.（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W1，W2，W3））；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.。
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
离散型随机变量分布列期望及方差
离散型随机变量分布列、期望及方差高三数学徐建勋2010-1-30教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质教学过程：【知识梳理】1、随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、…表示。
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．2、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．离散型随机变量X的分布列的性质：（1）（2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
3、二点分布如果随机变量X的分布列为，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．4、超几何分布一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M ≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．5、条件概率一般地，设A，B为两个事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为6、独立重复试验一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，，1，2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率。
7、二项分布若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k = 0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列：则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为。
分布列期望方差知识
离散型随机变量的分布列、数学期望、方差一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,,i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为i p ，列表如下：叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。
有如下性质： （1）()011,2,i p i ≤≤=（2）121i p p p ++++=2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。
反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。
若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。
3．方差：()()()2221122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+叫做离散型随机变量ξ的方叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。
方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。
即稳定性。
三．几个典型的分布1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则()()()();,0,1,,k k n kn n P k b k n p P k C p q k n ξ-=====2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
()()11,2,k P k q p k ξ-===期望1E p ξ=，方差2q D pξ=。
3．两点分布：一次实验中，事件A 发生记为1，不发生记为0，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则期望E p ξ=，方差D pq ξ=。
练习1．已知随机变量(),B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则()1;,b n p = .2．若随机变量ξ的分布列是：()()1,3P m P n a ξξ====.且2E ξ=,则D ξ的最小值是 .3．若随机变量ξ满足()(),P k g k p ξ==，2D ξ=，21ηξ=-，则E η= ，D η= 。
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
由分布列求期望、方差
• 点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值 时，若p1＝p2＝…＝pn＝ 1/n ，则x1，x2，…，xn 的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方 差是对初中学过的方差作了进一步拓展．
• 类型一 求离散型随机变量的期望 • 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步 骤： • ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式 Eξ ＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．
• 类型二 离散型随机变量的方差 • 解题准备： 求离散型随机变量 ξ 的期望与方差的方 法． • (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； • (2)求ξ取每个值的概率； • (3)写出ξ的分布列； • (4)由期望的定义求Eξ； • (5)由方差的定义求Dξ.
• 【典例 2】 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ. • (1)求随机变量ξ的概率分布； • (2)求随机变量ξ的数学期望和方差． • [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有0、1或3，若2 人对号入座第3人必对号 入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概 率公式易求分布列． • (2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．
所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝
21 . 64
(2)Eξ＝2×
9 18 21 12 4 15 ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ . 64 64 64 64 64 4
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及 离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)， 对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地 方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发 生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分 布列的数学期望公式即可．
分布列的期望和方差
)＝p2p1＝
2 9
，P(ξ＝－2n)＝p2p2＝
4 9
，E(ξ)＝
5m10n 9
.当
m＞2n
时，选择
甲方；当 m＜2n 时，选择乙方；当 m＝2n 时，选择两方都一样．
题型二 离散型随机变量的方差
【例 2】 (2010·江苏苏北三市模拟)在一次电视节目的抢答
中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2 的分布列为：
ξ2 500 －300 0
P
3 5
1
1
3 15
E(ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)． 又 D(ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000， D(ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝ 140 000. 所以 E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
等于 5 点，则算甲方赢，乙方给甲 m 元，否则算乙方赢，甲方给 乙方 n 元；②如果第一轮掷骰子甲赢，则游戏结束，否则进行第 二轮掷骰子的游戏，无论谁赢游戏结束．
(1)如果 m＝2，n＝1，甲方和乙方哪方赢钱的期望更大？ (2)你若希望赢钱，该选择哪一方？
解析：甲方赢的概率
p1＝
1 3
，乙方赢的概率
• • [例2] (09·广东)已知离散型随机变量X的
分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，， 则a＝______，b＝______.
• 分析：依据离散型随机变量的性质和期望、 方差的计算公式列方程组求解．
离散型随机变量的分布列、期望与方差
=2.752.
学例2 (2008·广东卷)随机抽取某厂的某种
产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生 产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万 元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设 1件产品的利润为ξ（单位：万元）.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
ξ
0
1
…
M
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CNn
CNn
…
C C m nm M NM
CNn
为⑦超几何分布列.如果随机变量ξ的分布列为超
几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.
3.离散型随机变量的分布列的性质 ⑧ Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1 (i=1,2,3,…) . 4.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量ξ的分布列为：
是随机变量的特征数，期望反映了随 机变量的平均取值，方差与标准差都 反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.在进行决策时，一 般先根据期望值的大小来决定，当期 望值相同或相差不大时，再去利用方 差决策.
备选题
某工厂每月生产某种产品三件,经检测发 现，工厂生产该产品的合格率为45.已知生产 一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将 亏损10万元.假设该产品任何两件之间合格与 否相互之间没有影响.
设随机变量ξ表示在取得合格品以前
已取出的不合格品数，则ξ=0,1,2,3,
可得P(ξ=0)=
9 12
,
P(ξ=1)=
3× 9
12 11
=
9 44
,
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
11随机变量的分布列、期望和方差
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
区间
[122,126)
[126,130)
例10在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100。依题
意，可得ξ的分布列为
ξ
0
5
25
100
P
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
分层抽样法，系统抽样法 分层抽样法，简单随机抽样法
系求得，则 ．
3．设有 个样本 ，其标准差为 ，另有 个样本 ，且
，其标准差为 ，则下列关系正确的是（B）
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（B）
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξA< DξB.因此，A种钢筋质量较好。
例10学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用。
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
分布列、期望和方差
知识归纳1．随机变量(1)如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 随试验结果的不同而变化，那么变量X 叫做随机变量．(2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型 随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 所有可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
（3）E (X )＝x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平（4）D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i ＝(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n -E ξ)2p n为随机变量X 的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．高三第一轮复习离散型随机变量及其概率分布（5）设a，b 是常数，随机变量X，Y 满足Y＝aX＋b，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)3．二点分布如果随机变量X的分布列为E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)4．超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率P(X＝m)＝k n kM N MnNC CC--(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．5．条件概率设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，公式：P(B|A)＝P(A∩B) P(A).任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．6．事件的独立性如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称事件A与B相互独立．如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)，对于n个事件A1、A2、…、A n，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响，则称这n个事件A1、A2、…、A n相互独立．如果事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都相互独立7．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)．E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，运用公式求概率古典概型P(A)＝m n；互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；条件概率P(B|A)＝P(AB) P(A)；独立事件P(AB)＝P(A)P(B)；n次独立重复试验：P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k. 基础训练：1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )A BC D2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可能取值的个数是（ ）A.5B.9C.10D.25 4．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下ξ 6 7 8 9 10P 0.1 0.2 0.25 x 0.15此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为_____.5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进 3 个球的概率____ (用数值作答)6．已知随机变量ξ的分布列是：则 D (ξ)＝( )ξ 1 2 3P0.4 0.2 0.4A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.27．已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则n ,p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.18．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望A.61B.32C.1 D 369．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E (ξ)＝_____.10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E (X )＝0，D (X )＝1，则 a ＝___，b ＝____.典型例题例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望 E (ξ)变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分 布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)．（超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛． (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.(1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ.求E(ξ)的值．（二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．(1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为X，求X 的概率分布列及数学期望；(2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功之前共有 3 次失败的概率．变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望 E (ξ)．例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率；(2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列．例5：某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差．变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为—，B 项技术指标达标的概率为98.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E (ξ)，D (ξ)．例 6：(2011 届广东韶关摸底)A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：(1)在A、B 两个项目上各投资 100 万元，y1和y2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差Dy1、Dy2；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值[注：D(ax＋b)＝a2Dx]．变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率；(3)记ξ表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望．参考答案基础训练：1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( C )A BC D2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( D )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可能取值的个数是（ B ）A.5B.9C.10D.25 4．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下ξ 6 7 8 9 10P 0.1 0.2 0.25 x 0.15此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为__0.7___.5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进 3 个球的概率____ (用数值作答)解析：C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.6．已知随机变量ξ的分布列是：则 D (ξ)＝( B )ξ 1 2 3P0.4 0.2 0.4A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.27．已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则n ,p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.18．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望A.61B.32C.1 D 369．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率 分布律如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法 完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的 数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E (ξ)＝__2___.10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E (X )＝0，D (X )＝1，则 a ＝___，b ＝____.解析：由题知a ＋b ＋c ＝12，－a ＋c ＋6＝0,12×a ＋12×c ＋22×112＝1，解得a ＝512，b ＝14. 典型例题例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望 E (ξ)解析：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A ，基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}．事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以p (A )＝m n ＝331. (2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又p (ξ＝1)＝C 1531＝531，p (ξ＝2)＝C 2531＝1031，p (ξ＝3)＝C 3531＝1031，p (ξ＝4)＝C 4531＝531，p (ξ＝5)＝C 5531＝131.故ξ的分布列为：从而E (ξ)＝1×31＋2×31＋3×31＋4×31＋5×31＝31. 变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)．解：方法一：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25，∴该选手被淘汰的概率p ＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.(2)ξ的可能值为1,2,3，P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝1×5＋2×25＋3×25＝25（超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛．(1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)P＝C25·C24C49＝1021.(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝C45C49＝5126，P(ξ＝1)＝C35·C14C49＝2063，P(ξ＝2)＝C25·C24C49＝1021，P(ξ＝3)＝C15·C34C49＝1063，P(ξ＝4)＝C44C49＝1126.所求的分布列为：∴E(ξ)＝0×126＋1×63＋2×21＋3×63＋4×126＝63.变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.(1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ.求E(ξ)的值．解：(1)方法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有 P (A )＝0.6，P (B |A )＝0.9，根据条件概率计算公式得P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.6×0.9＝0.54.方法二：该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50×60%＝30(个)，乙厂生产的灯泡有 50×40%＝20(个)，其中是甲厂生产的一等品有 30×90%＝27(个)， 乙厂生产的一等品有 20×80%＝16(个)， 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率是P ＝5027＝0.54.(2)ξ的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 223C 250＝2531 225，P (ξ＝1)＝C 127C 123C 250＝6211 225，P (ξ＝2)＝C 227C 250＝3511 225.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1 225＋1×1 225＋2×1 225＝1 225＝1.08. （二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的 概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的． (1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为 X ， 求 X 的概率分布列及数学期望；(2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功 之前共有 3 次失败的概率．解析：(1)由题意，随机变量X 可能取值为0,1,2,3，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，即P (X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝⎛⎭⎪⎫1－131＝29，P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.∴X 的概率分布列为：∴X 的数学期望E (X )＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1. (2)第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P ＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝⎛⎭⎪⎫1－133·13＝1602 187.变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望 E (ξ)．解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216. (2)ξ的可能值为0,1,2,3，P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 所以中奖人数ξ的分布列为：E (ξ)＝0×216＋1×72＋2×72＋3×216＝2.例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率；(2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列．正解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ，则两次取 球的编号的一切可能结果(m ，n )有6×6＝36 种，其中和为6 的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为356.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 C 23p 2(1－p )＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29.(3)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为：例5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差．解析：(1)P (“当天商品不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14，P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”) ＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为：X 的数学期望为EX ＝2×4＋3×4＝4， 方差DX ＝14×⎝⎛⎭⎪⎫2－1142＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1142＝316.变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为—，B 项技术指标达标的概率为98.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E (ξ)，D (ξ)．解：(1)设M ：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则M －：A ，B 都不达标；故P (M )＝1－P (M －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－89＝3536. (2)依题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481＝827，P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3281， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681. ξ的分布列为：E (ξ)＝4·3＝3，D (ξ)＝4·3·⎝⎛⎭⎪⎫1－3＝9. 例 6：(2011 届广东韶关摸底)A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1和x 2.根据市场分析，x 1和x 2的分布列分别为：(1)在 A 、B 两个项目上各投资 100 万元，y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy 1、Dy 2；(2)将 x (0≤x ≤100)万元投资 A 项目，100－x 万元投资 B 项目，f (x )表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f (x )的最小值，并指出 x 为何值时，f (x )取到最小值[注：D (ax ＋b )＝a 2Dx ]．解析：(1)由题设可知y 1 和 y 2 的分布列分别为：(2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002Dy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 1002Dy 2 ＝41002[x 2＋3(100－x )2]＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)， 当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值． 变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率； (3)记ξ表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列 及数学期望．解：(1)从甲组应抽取的人数为315×10＝2，从乙组中应抽取的人数为315×5＝1. (2)从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率P ＝1－C 26C 210＝23⎝⎛⎭⎪⎫或P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝23. (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，0.30.5 0.2 P 12 8 2 y 2 0.20.8 P 10 5 y 1 E (y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D (y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E (y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，P(ξ＝0)＝C24C210·C12C15＝475，P(ξ＝1)＝C14C16C210·C12C15＋C24C210·C13C15＝2275，P(ξ＝2)＝C26C210·C12C15＋C16C14C210·C13C15＝3475，P(ξ＝3)＝C26C210·C13C15＝15，∴ξ的分布列为：E(ξ)＝0×75＋1×75＋2×75＋3×5＝5.。
分布列,期望方差
离散型随机变量的分布列、期望、方差【同步教育信息】一. 本周教学内容：离散型随机变量的分布列、期望、方差二. 重点、难点：1. 随机变量的定义：用数字表示试验结果，建立一种映射，每一个基本事件对应一个实数，试验结果的概率即随机变量的值。
2. 随机变量的分类：① 离散型随机变量 ② 连续型随机变量 3. 分布列：+++321P P P …n … i （=1，2…n …） 4. 期望：++=2211P x P x E ξ…++n n P x …5. 方差：+⋅-+⋅-=222121)()(P E x P E x D ξξξ…+⋅-+n n P E x 2)(ξ…【典型例题】[例1] 将AB 两颗骰子各掷一次，求下列随机变量的分布列（1）掷出的最大点数 （2）掷出的最小点数 （3）A 点数减去B 的点数之差 解：（1）36)(==k P ξ （2）36)(k P ==ξ[例2] 一个盒中有9个正品和3个次品，每次取一个零件不放回。
求在取得正品前已取出的废品数ξ的期望、方差。
10=ξE 1100=ξD[例3] 盒中装有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球，用后放回，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的期望。
ξ[例4] 若b a +=ξη（a 、b 为常数）求证：b aE E +=ξη ξηD a D 2= 解：)()(21221111 +++=P P P b ax E n n η b aE +=ξn n P b aE b ax P b aE b ax b a D D ⋅+-+++⋅+-+=+=2121)]([)]([)(ξξξηξξξD a P E x P E x a n n 221212])()[(=-++-=[例5] 求证22)()(ξξξE E D -=解：∑∑==⋅+-=⋅-=n i ni i i i i i P E E x x P E x D 11222)2()(ξξξξ∑∑==+++-⋅=ni ni n ii i i P P E P x E P x 11122)()(2 ξξ 22222)()()()(2)(ξξξξξE E E E E -=+-=【模拟试题】1. 一个盒子中有1-n 白球，一个红球。
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第十三章 分布列、期望与方差【回顾与思考】1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量0η=，1来描述这个随机试验的结果。
如果发生的概率为p ，则不发生的概率为p -1，这时，称η服从两点分布，其中p 称为__________。
其分布列为： 期望=ηE _______；方差=ηD ________。
2．超几何分布：()k n k M N MnNC C P X k C --==，0,1,,k m = ，其中=m ___________。
3．二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数X 服从二项分布，记为_________。
()(1,0,1,2k k n kn P X k C p q q p k -===-=，…)n ，表示______________________，二项分布的分布列为：期望为______________；方差为_________________。
4．正态分布：（1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数222)(,21)(σμσμσπϕ--=x ex ，),(+∞-∞∈x 的图象，式中的实数σμ,)0(>σ是参数，分别是总体的平均数与标准差。
正态曲线具有以下性质：① 曲线在____轴的上方，与____轴不相交；② 曲线关于直线______ 对称；③ 曲线在的最高点的横坐标______；④ 当μ<x 时，曲线_____；当μ>x 时，曲线_____，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以_____轴为渐近线，向它无限靠近。
⑤ 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
（2）若随机变量X 在),[b a 内取值的概率等于该区间上正态曲线与____轴、直线_____、______所围成曲边梯形的面积（即dx x b X a P ba )()(,σμϕ⎰=≤<），则称随机变量X 服从正态分布。
记为__________________。
记住：①=+≤<-)(σμσμX P _________；② =+≤<-)22(σμσμX P ________；③=+≤<-)33(σμσμX P _________.从理论上讲，服从正态分布的随机变量X 的取值范围是R ，但实际上X 的取值在区间)3,3(σμσμ+-外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。
因此， 往往认为服从正态分布的随机变量X 的取值范围是)3,3(σμσμ+- ，这就是σ3原则。
在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
说明：“小概率事件”通常指发生的概率小于______的事件。
5．性质：=+)(b aX E _________；=+)(b aX D __________。
6．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
【考点剖析】 一. 基本公式例1（1）若ξ~),(p n B ，且12E ξ=，4D ξ=，则=≥)1(ξP __________。
（2）若~(,4)X N μ，且)53()13(≤<=-≤<-X P X P ，则μ=______. （3）已知随机变量ξ的分布列如下，则x =_12；E ξ=___；D ξ=_____。
二. 基本分布列例2．设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X 表示取出次品的个数。
（1） 指出X 服从什么分布列？并求其分布列。
（2）求EX 、DX 。
（2）变式：设在15个零件中有两个次品，从中取一个，记录后放回，连取三次，随机变量X 表示取出次品的个数。
（1） 指出X 服从什么分布列？并求其分布列。
（2）求EX 、DX 。
堂上练习：（1）《备考指南》112例2 （2）《备考指南》114例1 思考：（1）练习（1）、（2）有何共同之处？是什么分布列？ （2） 若把练习（2）《备考指南》114例1“不放回”改成“放回”，是是什么分布列？例3.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
堂上练习：A 、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。
根据以往成绩，每场中A 队胜的概率为32，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求A 队夺冠的概率；（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求E ξ.三．综合运用例4.袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的数学期望。
堂上练习：编号1、2、3的三位学生随意入坐编号为1、2、3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，求随机变量ξ的数学期望和方差.例5.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到．．过．的通道，直至走完迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间。
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。
堂上练习：《备考指南》115例1例6. 如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C 。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖．（I ）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE ；(II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．堂上练习：《备考指南》115例2四.正态分布例7. （1）随机变量ξ的总体密度曲线210258()x x f x ++-=，若~(0,1)N η，且b a +=ξη，)0(>a ，则=ηA 25+ξB 225+ξC 25-ξD 225-ξ（2）已知2~(4,)N ξσ，且6826.0)62(=≤<ξP ，则=<-)4|2|(ξP ________。
（3）下图是正态分布N ∽(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个①1()2a φ-- ② ()a φ- ③1()a φ- ④1[()()]a a φφ-- (A)1 (B)2 (C)3（4）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。
则有（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>课后练习1．从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设ξ为这3支签的号码之中最大的一个。
则ξ的的数学期望为________。
2．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人 投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为.31 （1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.83433243)()()()()4(=⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅==A P B P A P A B A P P ξ。
ξ的分布列（略），数学期望为821834813412411=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
3．某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动. （1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，求该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数数学期望E ξ.4.袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的数学期望。
5.甲、乙之间角逐蓝球冠军，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。
因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。
据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛比上一场增加10万元。
（1）组织者此决赛中要获得门票收入180万元需进行多少场？（2）组织者在决赛中要获得门票收入不少于330万元的概率为多少？6.某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.表1：表2：（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。
就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。