§2.1,2 LTI连续系统的响应

t r ( Pmt m Pm1t m1 P 0的特征根） 1t P 0 )(有r重为
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
[C cos(b t ) + D sin(b t )]ea t
ea t [(Cr- 1t r- 1 + Cr- 2t r- 2 + L + C1t + C0 ) cos(b t ) + ( Dr- 1t r- 1 + Dr- 2t r- 2 + L + D1t + D0 )sin(b t )]
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思考
例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t) 已知y(0+)=2，y’(0+)=2，f(t)=ε(t)， 求该系统的零输入响应和零状态响应。
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全解举例
例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e – t
阶导数系数相等的原理，比较方程两端的系数， 求得待定系数a,b。 （3）将a,b代回上式，前两个等式两端从0-到0＋ ▲ ■ 积分，直接求解y’(0+),y(0+)。 第 11 页
关于系数平衡法 步骤：
（1）考虑y(n)(t)中是否含有冲击函数及其 导数，以及导数的阶数是多少，来判断 y(j)(0+)和y(0+)的连续性。 （2）对原方程两端从0－到0＋积分，根据 函数连续性和方程关系确定出y(j)(0+)。
第二章 连续系统的时域分析
§2.1 LTI连续系统的响应
LTI连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解线性微分方程 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称 为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是 学习各种变换域分析法的基础。 微分方程的经典解 关于0-和0+初始值
零输入响应和零状态响应
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零输入响应和零状态响应举例
例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入 响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi’(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yzi(t) = Czi1e –t + Czi2e –2t 代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= – 2 ，代入得 yzi(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0
当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导 数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。 y(j)(0+)求法：（1）多项式法：见书44页例2.1-3 ； （2）系数平衡法:两端奇异函数及其各阶导数的系数对应 相等。也叫系数匹配法。此法更加简单、常用。
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关于多项式法
0 0
因此，yzs’(0+)= 2 + yzs’(0-)=2 对t>0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t≥0
微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
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1. 齐次解
步骤：特征方程→特征根→写出齐次解形式
没有重根的情况： y (t ) h
Ci e
i 1
n
i t
有重根的情况：（1）r重实根
（2）一对共轭复根 （3）r重共轭复根
(Cr- 1t r- 1 + Cr- 2t r- 2 + L + C1t + C0 ) el t
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全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根 之一相重。故其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e–2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为 yp(t) = (t + P0)e–2t
若一个二阶LTI连续系统，描述它的微分方程右端含 有冲击函数的最高阶导数为一阶
2 ì ï d y (t ) ï （1）设 ï = ad¢(t ) + bd (t ) + r1 (t ) 2 ï dt ï ï ï 其中r1(t),r2(t),r3(t)均 d y (t ) ï ï = ad (t ) + r2 (t ) 为不含 及其各阶导 í d(t ) ï dt ï ï 数。 ï y (t ) = r3 (t ) ï ï ï ï ï î （2）将上式代入原方程中，根据奇异函数的各
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0－和0+初始值举例
例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （ 1） 利用系数平衡法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 ■ 第 13 页 故 y(0+) = y(0-) = 2
对式(1)两端积分有

0
0
y ''(t )dt 3 y '(t )dt 2 y(t )dt 2 (t )dt 6 (t )dt
0 0 0 0
0
0
0
0
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 0 0 故 于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 ∵ y(t)连续， ∴y(0+) =y(0-) =2， 于是 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
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一、微分方程的经典解
对于一个单输入－单输出的LTI连续系统，可以用 下面的一-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 其中n可以大于m，也可以小于m。
2 3 0 1 2重根 , 2 3
2
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2. 特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特 解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
激励f(t) 响应y(t)的特解yp(t)
F (常数 )
tm
P(常数)
Pmt m Pm1t m1 P 0） 1t P 0 (特征根均不为
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全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。