微分中值定理及其应用习题解析2

第六节 定积分的近似计算

1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算

⎰21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法

⎰21x dx ≈412.111.1121(1012+⋯⋯+++-)6938.0≈

(2)抛物线法 ⎰21x dx =⎢⎣⎡++-(42

113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x

x ⎰π0sin 解 当n=2时，dx x x ⎰π

0sin ≈12π⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∙+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ⎰π

0sin ≈

24π

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ⎰π

0sin ≈

⎢⎢⎣

⎡

⎝⎛+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517.

3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。

解 由图可知n=5，b-a=8. ⎰

b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++

=()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215

4+=8.64（m 2）

（1）按积分平均

⎰-b a t d t f a

b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

（2）若按算术平均∑=-1211121i i c 或∑=12

1

121i i c 求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由。

解 （1）矩形法

⎰24

0)(t d t f ≈i i i t t f ∆∑=)(121=2∑=12

1)(i i t f

=2（23.0+24.1+25.6+27.3+30.2+33.4+35.0+33.8+31.1+28.2+27.0+25.0）

=2*343.7=687.4

梯形法：

⎰24

0)(t d t f ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++++++-20.250.272.281.318330.354.332.303.276.251.240.2328.2512024=2*344.1=688.2

抛物线：

⎰240)(t d t f

≈()[]0.271.310.352.306.250.234258.256*6024+++++++-

+2()2.288.334.333.271.24++++ =()6.2936.6878.503

2++=688. 故 t 矩=24

4.687≈28.64 t 矩=24

2.688≈28.68 t 矩=24

0.688≈28.67 （2）t 左=∑=-12

1

1121i i c =125.344 ≈28.7 t=∑=12

1

121i i c ≈127.343≈28.7