反三角函数与最简三角方程期末复习
反三角函数知识点总结
反三角函数知识点总结一、反正弦函数反正弦函数记作y = arcsin x，其中x ∈ [–1，1]，y ∈ [–π/2，π/2]。
1．定义域和值域反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
即反正弦函数的输入值在[-1,1]之间，输出值在[-π/2,π/2]之间。
2．性质（1）y = arcsin x ⇔ sin y = x；（2）反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x) = -arcsin x；（3）反正弦函数在[-1,1]上是单调递增的；（4）反正弦函数的图像在[-1,1]上是关于直线x=y对称的；（5）反正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π；（6）反正弦函数的导数是1 / √(1 - x²)，其中|x| < 1；（7）反正弦函数在x=0处的导数为1。
二、反余弦函数反余弦函数记作y = arccos x，其中x ∈ [–1，1]，y ∈ [0，π]。
1．定义域和值域反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
即反余弦函数的输入值在[-1,1]之间，输出值在[0,π]之间。
2．性质（1）y = arccos x ⇔ cos y = x；（2）反余弦函数是偶函数，即arccos(-x) = arccos x；（3）反余弦函数在[-1,1]上是单调递减的；（4）反余弦函数的图像在[-1,1]上是关于直线x=y对称的；（5）反余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π；（6）反余弦函数的导数是-1 / √(1 - x²)，其中|x| < 1；（7）反余弦函数在x=1处的导数为0。
三、反正切函数反正切函数记作y = arctan x，其中x ∈ R，y ∈ (-π/2，π/2)。
1．定义域和值域反正切函数的定义域是R，值域是(-π/2，π/2)。
即反正切函数的输入值是实数，输出值在(-π/2，π/2)之间。
2．性质（1）y = arctan x ⇔ tan y = x；（2）反正切函数是奇函数，即arctan(-x) = -arctan x；（3）反正切函数在整个定义域上是单调递增的；（4）反正切函数的图像在整个定义域上是关于直线x=y对称的；（5）反正切函数是周期函数，其最小正周期是π；（6）反正切函数的导数是1 / (1 + x²)；（7）反正切函数在x=0处的导数为1。
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
高中三年级数学第一轮复习讲义18反三角与最简三角方程
2018届高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程一、知识梳理：1．反三角函数的图像和性质【提醒】常用关系式（1）()[]arcsin arcsin ,1,1x x x -=-∈-()sin arcsin ,x x =[]1,1x ∈-()arcsin sin ,x x x =∈,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()[]arccos arccos ,1,1x x x π-=-∈-()cos arccos ,x x =[]1,1x ∈-()arccos cos ,x x x =∈[]0,π（3）R x x x ∈-=-,arctan )arctan(()tan arctan ,x x R =∈()arc tan tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭2．最简三角方程的解集，见下表：【注意】特别注意反三角函数自身的定义域和值域,要通过诱导公式进行转化，然后再借助于反三角求解.例：求sin ,,2y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上的反函数时，先算()sin y x π=-.二、基础检测：1．用反三角函数值的形式表示下列各式中的角： (1)1sin ,[,],322x x x ππ=-∈-=；1sin ,[0,],4x x x π=∈=. (2)1cos ,[0,],4x x x π=-∈=；1cos ,[,0],5x x x π=∈-=． (3)在ABC ∆中，1sin ,tan 2,4A B ==-A =；B =． 2．函数sin ,[,]24y x x ππ=∈-的反函数是. 3.(1)函数arcsin(35)y x =-的定义域是．(2)若1[2x ∈-，则arccos y x =的值域是. 4.方程2sin 1x =，当[,]x ππ∈-时的解集是. 5.2sin()12x π-=的解集是.6.tan()112x π+=-的解集是.三、例题精讲：【例1】下列命题正确的是（）A ．函数y sinx =与函数y arcsinx =互为反函数B ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是增函数C ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是奇函数D ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是周期函数【解析】C ．【例2】已知,x R ∈的值为． 【解析】0；【例3】若]65,3(arccos ππ∈x ，则x 的取值范围是．【解析】)21,23[-； 【例4】求下列反三角函数的值：(1)1arcsin ； (2))22arccos(-； (3))3arctan(-． 【解析】(1)2π； (2)43π； (3)3π-．【例5】函数()|arcsin |arccos f x x x a b x =++是奇函数的充要条件是 ( )A ．220a b +=B ．0a b +=C ．a b =D ．0ab =【解析】A ．【例6】研究函数)arcsin(sin )(x x f =的性质． 【解析】函数的定义域为R ．因为)()arcsin(sin )]2(arcsin[sin )2(x f x x x f ==+=+ππ，所以)arcsin(sin )(x x f =是周期为π2的周期函数．因为)()arcsin(sin )sin arcsin()](arcsin[sin )(x f x x x x f -=-=-=-=-，所以此函数是奇函数．因为当]2,2[ππ-∈x 时，x x =)arcsin(sin ，所以)arcsin(sin )(x x f =在)](2,2[Z k k k ∈+-ππππ上单调增，在)](23,2[Z k k k ∈++ππππ上单调减． 当)(22Z k k x ∈+=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π； 当)(22Z k k x ∈-=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π-． 【例7】解下列三角方程：(1)sin cos x x -=; (2)22sin 5sin 40x x --=；(3)22sin 5cos 40x x --=；【解析】(1)由辅助角公式，sin cos )42x x x π-=-=，sin()42x π-=．则243x k πππ-=+或2243x k πππ-=+，k Z ∈． 解得7212x k ππ=+或11212x k ππ=+，k Z ∈． （2）22sin 5sin 4(sin 4)(2sin 1)0x x x x --=-+=，解得sin 4x =（舍）或1sin 2x =-解得26x k ππ=-+或526x k ππ=-+，k Z ∈．（3）2222sin 5cos 42(1cos )5cos 42cos 5cos 20x x x x x x --=---=---= 即22cos 5cos 20x x ++=，解得cos 2x =-（舍）或1cos 2x =-． 解得22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭； 【例8】化简下列各式： (1) )65arcsin(sinπ； (2) )21sin(arccos ；(3) )]1312(cos[arcsin -． 【解析】(1)因为]2,2[65πππ-∉，而]2,2[6πππ-∈，且65sin6sin ππ=， 设a ==65sin6sinππ，所以6arcsin )6arcsin(sin )65arcsin(sin πππ===a ． (2)因为,321arccos π=所以23)3sin()21sin(arccos ==π． (3)因为135)1312(1)]1312(cos[arcsin 2=--=-． 【例9】求k 的取值范围，使得关于x 的方程0sin sin 2=+-k x x 在[,]22ππ-上（1）无解; （2）仅有一解; （3）有两解 【解析】用分离参数的方法x x k sin sin 2+-=，只需要考虑k 与函数x x y sin sin 2+-=的交点个数就是方程解的个数，令]1,1[,sin -∈=t x t则函数t t y +-=2，画出二次函数t t y +-=2在]1,1[-∈t 上的图像，观察常值函数k y =与二次函数t t y +-=2的交点个数，可知(1)当),41()2,(+∞⋃--∞∈k 时，两函数图像没有交点，即原方程无解；(2)当}41{)0,2[⋃-∈k 时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解；(3)当)41,0[∈k 时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解． 【例10】解下列三角方程：(1)sin 2sin3x x =； (2)cos23cos 1x x =+；(3)3sin 4cos 50x x --=． (4)1cos sin 8sin 62-=x x x解（1）322x x k π=+或322,x x k k Z ππ=-+∈{|2x x k π∴=或2,}55k x k Z ππ=+∈ 解：（2）22cos 3cos 20x x --=1cos 2x =-或cos 2x =（舍）2{|2,}3x x k k Z ππ∴=±∈ 解（3）45sin(arcsin )55x -={|22x x k ππ∴=++4arcsin ,}5k Z ∈ 解：(4)解法一：转齐次方程。
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
反三角函数与最简单的三角方程
反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。
（10分） (1) arcsin 2π=1 ( ) (2) arccos 21=3π±( )(3) sin(arcsin215-)=215-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( )(5) arccos[cos(3π-)]=3π-( ) (6) arctg 4π=n π+4π,n ∈Z( )(7) arctg(3-)=65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3π( )二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分）1，已知函数y=21arccos213-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131（C ）2121,31231≤≤-+≤≤y x π （D ）22,31231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x3，方程cos 2x=cos 26π的解集是（ ）（A ）{x |x=k π6π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3π±，k ∈Z}（C ）{x |x=2k π6π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3π±，k ∈Z}4，方程sinx+cosx=26，0<x<2π，则x 等于（ ）（A ）125π （B ）12π （C ）65π （D ）12512ππ或 5，方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x 的一个解是（ ） （Ａ）100 （Ｂ）200 （Ｃ）500 （Ｄ）700三、 填空题（每题８分，共２４分） ６，比较大小：arccos(31-) arcsin 53 ７，方程tg(2x+3π)=33在区间［０，２π）上的解集是 ８，方程cos(2π+x)=x )21(在区间［０，１００π）内实数解的个数是四、 解答题（每题１３分，共２６分） ９，求值：cos(arcsin 53+2arctg2)10，如图，有一块正方形钢板，一个角上有伤痕，要把它截成一块正方形钢板，面积是原钢板的32，应按怎样的角度x 来截？a五、 附加题：（10分）11，写出方程4sin(x+3π)=1的解集，并求其在[0，2π]上所有解的和。
反三角函数知识点归纳总结
反三角函数知识点归纳总结反三角函数是三角函数的逆运算，用于解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数包括反正弦函数（arcsin或sin⁻¹）、反余弦函数（arccos或cos⁻¹）和反正切函数（arctan或tan⁻¹）。
1. 反正弦函数（arcsin或sin⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正弦函数的值表示满足sin(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
2. 反余弦函数（arccos或cos⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
当给定一个数x，反余弦函数的值表示满足cos(y) = x的角度y，其中y的范围在[0, π]之间。
3. 反正切函数（arctan或tan⁻¹），它的定义域是整个实数集，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正切函数的值表示满足tan(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
反三角函数的应用广泛，特别是在解决三角方程和三角函数的求值问题时非常有用。
它们可以帮助我们找到角度，从而解决与角度相关的问题。
需要注意的是，反三角函数的结果通常以弧度表示，但也可以通过转换成度数来表示。
此外，反三角函数还有一些重要的性质：反正弦函数的值域是[-π/2, π/2]，反余弦函数的值域是[0, π]，反正切函数的值域是[-π/2, π/2]。
反三角函数的图像通常是关于y = x的直线对称的。
反三角函数具有周期性，即在一定范围内的值重复出现。
总结起来，反三角函数是用于解决三角函数的反问题的函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的定义域、值域和性质都有一定的规律和特点。
在解决三角方程和求解三角函数值的问题时，反三角函数是非常有用的工具。
最新反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)
反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数： 概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2、最简单的三角方程其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数与简单三角方程
1 、反三角函数：
概念： 把正弦函数 y sin x ， x
, 时的反函数，成为反正弦函数，记作 22
y arcsin x .
y sin x(x R) ，不存在反函数 .
含义 ： arcsin x 表示一个角 ；角
, ； sin x . 22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表 .
名称
函数式
1x x1
∴1 x2
4x2 1 4
x 4x2
1 解不等式组得
1 4
1
1
x
2
6
11 ∴不等式的解集为 ( , )
26
例 1. 写出下列三角方程的解集
简单的三角方程
(1) sin( x
)
2
;
(2) 2cos3x 1 0 ;
82
(3) cot x 3
文案大全
实用标准文档
解集 {x|x=(k π+arctg3) 2， k ∈Z}
（ 2 ）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简
单的三角方程的解；
（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若 sin
sin ，则 sin
k ( 1)k ；若 cos
cos ，则
2k
；
若 tan tan ，则 a k
；若 cot cot ，则 a k
（ 4 ）． 恒等式 arcsin x＋ arccos x＝ , arctan x＋arccot x＝ 的应用。
2
2
文案大全
2 、最简单的三角方程
方程
实用标准文档
方程的解集
反三角函数及最简三角方程答案
反三角函数及最简三角方程反三角函数的定义域，值域，图像，最值，奇偶性，单调性简单的三角方程巩固练习 1、求值：=23arcsin=-)21arcsin( =-)22arccos( =-)3arctan( 2、下列命题中正确的是 3（1）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 3、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3[ππ-，则此函数定义域为 ]3,23[ 4、设αsin =x ，且]47,65[ππα∈，则x arccos 的取值范围是 ],3[ππ5、方程k x x =+cos sin 2有解，实数k 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,16、函数3arcsin2x y =的反函数为______)23,23(3sin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππx x y __________ 7、已知tan (,)2x x ππ=∈，则x ＝______22arctan -π_______(用反正切函数表示) 8、下列各式中正确的是（C ） （A ）216arcsin =π (B)3)3cos(arccos ππ= (C)1222arctan arctan π=- (D)53)]53(arcsin[sin ππ=9、函数]23,2[,sin ππ∈=x x y 的反函数)(1x f -= （ D ） （A ）]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π10、若1arcsin >x ，则x 的取值范围是 （ B ） （A ）]2,1(π(B)]1,1(sin (C)]2,1(sin π(D)φ 11、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。
反三角函数知识点总结多篇
反三角函数知识点总结多篇反三角函数知识点总结9篇反三角函数知识点总结(1)三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝s in α，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α.公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ= sin＝tan（4）齐次式化切法：已知，则三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
反三角函数知识点总结
反三角函数知识点总结是高中数学中的重要内容之一，它与三角函数有着密切的联系。
在学习之前，我们首先需要明确三角函数的定义和性质。
三角函数是角度的函数，通常包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用sin、cos和tan表示。
假设角度为θ，则正弦函数的值为sinθ，余弦函数的值为cosθ，正切函数的值为tanθ。
三角函数的值可以用一个单位圆来表示，圆的半径为1，角度θ对应于圆上的一个点坐标。
是以三角函数为基础的，它们的定义和三角函数有所不同。
对于sin的反函数，我们称为反正弦函数，记为arcsin，即sinθ=x，那么θ=arcsin(x)。
同样的，cos的反函数为arccos，tan的反函数为arctan。
的意义在于，给定一个三角函数的值，我们可以通过求出对应的角度。
例如，假如我们需要求出sinθ=0.5的θ的值，我们可以用arcsin(0.5)，得到θ=30°。
除了正弦、余弦和正切函数的反函数，还有其他几个常用的，它们分别为正割函数、余割函数和余切函数的反函数，记为arcsec、arccsc和arccot。
在解三角方程、计算三角函数的角度等方面有着广泛的应用。
下面我们来具体了解一下的性质和一些常见的计算方法。
首先是反正弦函数的性质。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]，它是一个递增函数，对应的三角函数sinθ也是递增函数。
反正弦函数的图像是一条光滑的曲线，图像在x轴的两个端点(-1,-π/2)和(1,π/2)处有两个水平渐近线。
接下来是反余弦函数的性质。
反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]，它是一个递减函数，对应的三角函数c osθ也是递减函数。
反余弦函数的图像是一条光滑的曲线，图像在x轴的两个端点(-1,π)和(1,0)处有两个垂直渐近线。
最后是反正切函数的性质。
反正切函数的定义域是实数集R，值域是(-π/2,π/2)，它是一个奇函数，对应的三角函数tanθ也是奇函数。
高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程
2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
讲义：反三角函数与三角方程
讲义：反三角函数与三角方程【反正弦函数】arcsin y x =一、反正弦函数 函数sin ,2y x ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在-2上的反函数称为反正弦函数，记作arcsin ,x y =改写：arcsin y x =。
对于任意的x ，有唯一的y 与之对应。
如若2x =，则3y π=。
定义域：[]1,1,,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域:-2 注：（1） arcsinx 是一个完整的记号 （2）arcsin y x =中自变量满足[]1,1x ∈-，当1x <时，函数无意义（3）arcsinx 表示一个角，arcsin ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由定义得 如果[]1,1,x ∈-则有 sin （arcsinx ）=x例1．求下列各反三角函数的值()1 （2）arcsin （－1） （3）arcsin ⎛ ⎝⎭一般地，如果[]1,1,x ∈-则有 arcsin （－x ）=－arcsinx例2．求下列各式的值()1arcsin sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()72arcsin sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭注：arcsin （sin α）不一定等于α二、正弦方程1．概念 sin x a =，称为最简正弦方程2．基本解法1a >时，解集是∅sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ 1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈3．例题例1．解下列方程（1）sin x =（2）1sin 2x =- （3）2sin 3x = （4）1sin 3x =-【反余弦函数】arccos y x =一、反正弦函数函数cos y x =在[]0,π上的反函数称为反余弦函数，记作arccos x y =，写成：arccos y x =。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
反三角函数知识点
反三角函数知识点在数学的广阔领域中，反三角函数是一个重要且有趣的概念。
它为我们解决各种与角度和数值之间的相互转换问题提供了有力的工具。
首先，让我们来理解一下什么是反三角函数。
简单来说，反三角函数是三角函数的反函数。
就像加法和减法、乘法和除法互为逆运算一样，三角函数和反三角函数也有着这样的逆运算关系。
常见的反三角函数有反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
反正弦函数arcsin，它的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。
这意味着，如果 sin A ＝ x，那么 A ＝ arcsin x。
例如，sin(π/6) ＝ 1/2，所以arcsin(1/2) ＝π/6 。
反余弦函数 arccos，定义域同样是-1, 1，但值域是0, π。
比如，cos(π/3) ＝ 1/2，那么 arccos(1/2) ＝π/3 。
反正切函数 arctan，它的定义域是 R（全体实数），值域是(π/2,π/2)。
例如，tan(π/4) ＝ 1，所以 arctan 1 ＝π/4 。
反三角函数有着一些重要的性质。
它们是单调函数。
反正弦函数和反正切函数在其定义域内单调递增，而反余弦函数在其定义域内单调递减。
反三角函数之间也存在一些关系。
比如，arcsin x ＋ arccos x ＝π/2 ，当 x 在-1, 1内。
在计算反三角函数的值时，我们可以利用三角函数的特殊值来帮助我们。
比如，我们知道sin(π/4) ＝√2/2 ，那么arcsin(√2/2) ＝π/4 。
反三角函数在解决几何问题中也经常出现。
比如，在一个直角三角形中，如果已知一条直角边和斜边的比值，我们可以通过反正弦或反余弦函数求出其中一个锐角的大小。
在实际应用中，反三角函数在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
比如在电路分析中，计算交流信号的相位差；在计算机图形学中，计算物体的旋转角度等。
要注意的是，在使用反三角函数时，一定要注意定义域和值域的限制，否则可能会得到错误的结果。
沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及简单三角方程
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2
x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,
6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2
（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y
2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o
2
o
x
-
1
x
2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当
时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程1、反三角函数的图像与性质2、最简单三角方程的解集：1、反三角函数的定义【例1】若，，则__________． 【巩固训练】1．函数()0,x ,x cos y π-∈=的反函数是__________．2、反三角函数的性质与图像【例2】求函数xarcsiny 1=的定义域与值域．【例3】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域．【例4】．求函数)2arccos(2x x y -=的单调区间1sin 3x =ππ[,]x ∈-x =【例5】．函数()x arccos b a x arcsin x x f ++=是奇函数的充要条件是__________．【巩固训练】2．求函数y =3．写出下列函数的定义域（1）2arcsin y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．求函数arccos 22xy π=+的反函数，并指出反函数的定义域和值域5．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是3、反三角函数的恒等式【例6】19arcsin sin12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【例7】化简：4arccos 2arccos 55+=________．【例8】求下列各式的值： （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+13554arccos arccoscos （2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+22213arctan sin π【例9】求1arctan arctan 1xy x x-=++的值．【巩固训练】6．计算=)2arcsin(cos _____，=)56arccos(cos π_____．7．下列关系式中，正确的是（ ）A .arcsin32π=B .sin(arcsin =C .1arccos arcsin 2⎛⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭D .arctan arctan 033ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 8．求值：（1）437arctan arctan + （2） 251251tan tan arctan +-9．设02≤≤-x π，求()()x sin arccos x cos arcsin -的值4、最简三角方程的解集【例10】解方程：12cos 2sin =-xx ．【例11】解方程：12tan 19sec 22=+x x ．【例12】解方程：01cos sin 3sin 2=++x x x ．【例13】解方程：012)cos (sin 122sin =+--x x x ．【巩固训练】10．方程：2cos 3sin =-x x 在[]π,0上的解是_____．11．方程：0sin 2cos cos 5=++x x x 在[]π2,0上的解是________． 12．解方程：sin5cos 0x x -=13．解方程：()sin 212sin cos 120x x x --+=5、综合应用【例14】解三角方程：a x x a ,92sin )4sin(+=+π为一实常数．【巩固训练】14．关于x 的方程32sin cos 12sin 3cos x xk x x++=++恒有解，求实数k 的取值范围．【课后作业】1．函数()arcsin 2y x =-的定义域为，值域为 ． 2．若3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，则α= ．3．若sin t x =，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos t 的取值范围是 ． 4．函数123arccos 4xy -=的反函数的最大值是，最小值是 ．5．7arccos sin6π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11sin arccos 23⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 6．方程()()2lg cos sin lg 2cos 1x x x +=-的解集是 ． 7．函数()2arccos 2y x x =-的值域为（ ） A .[]0,πB .1arccos ,8π⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C .10,arccos 8⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D .10,arccos 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A.0个B.1个C.2个D.3个9．（1）求函数()231lg 14arcsin 2x y x-=-+的定义域；（2）求()arcsin 1arccos2y x x =-+的值域； （3）求()2arcsin y x x =-的定义域； （4）判断函数()sin 2arccos y x =的奇偶性；（5）求满足不等式()arccos 1arccos x x -≥的x 的取值范围．10．求函数21arccos(2--=x x y 的定义域和值域．11．解下列三角方程：（1）sin cos cos2x x x +=； （2）1cos cos 2cos 48x x x =； （3）23tan 22sec x x +=； （4）cos 2tan 12x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．12．已知方程12sin 32cos +=+k x x ． （1）k 为何值时，方程在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个相异的解βα, （2）求βα+的值． （3）。
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反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2
2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数，完成下列习题：
1 arcsin 1
2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第六章 三角比
反三角函数与最简三角方程
6
;
6函数f x arcsin x的反函数是
.
.
.
2
反三角函数与最简三角方程
二、最简三角方程
解下列方程
1sin x
3 cos x 1, x 0,2 ; 3 cos x 1 0, x 2 ,2 ;
22 sin 2 x
3sin 2 x 3 sin x cos x 1 0