圆导学案之垂径定理
圆第2课垂径定理导学案
圆第2课垂径定理导学案第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.知识链接一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容）1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。
3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
]1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）二、合作探究1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为（A. 10B. 8C. 6D.4A （图6）（图7）（图8）（图9）2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论：，， .3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长为．4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ．第 1 页共 1 页）5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F【课堂检测】1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.图2-1 图2-22、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，则OM＝ .3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .4．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
垂径定理(导学案)
24.1垂径定理（导学案）富源县后所镇中学 教师：龚达书 邮编：655505 国培中学数学班 学号：34活动一：动手做个圆，剪下来，研究下面的问题：圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？活动二：利用手中的圆做直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？（3）如果直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ，那么AE=BE ，这个命题试着用语言叙述下来，并判断是否为真命题。
你能完成证明吗？活动三、以下三个图,是否有 AE=BE , AC=BC , AD=BD ?活动四 例 1： 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径(1).在⊙O 中,直径为 10 cm,弦 AB 的长为 8 cm, 求圆心O 到AB 的距离.(2).在⊙O 中,直径为 10 cm,圆心O 到AB 的距离为 3 cm,DDDCDABO求弦AB 的长.(3)圆的半径为R ,弦长为 a ,弦心距为d ,则 R 、a 、d 满足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动五、课本P7例题，课本P8随堂1活动六、在练习1图形的基础上：变式（1） 已知：如图1，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
（图1） （图2）变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
选做题、1、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点， 则线段OM 的长的最小值为____.最大值为____________.2．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ， 求弦AB 与CD 之间的距离。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
初中数学 导学案：垂径定理
D垂径定理【学习目标】1．回忆圆的轴对称性；2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性．【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题． 【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理． 【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用．【学习过程】 一、学前准备1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？2．叙述圆的定义． 3．圆的有关概念. （1）圆弧：（2）弦：M DC O AB二、活动探究 活动一：探究垂径定理1．在下图的⊙O 中, AB 是任一条弦, CD 是⊙O 的直径, 且CD ⊥AB , 垂足为E . 试问: AE 与BE ，与 ， 与 分别相等吗？2．垂径定理：________________________________， 用符号语言表述：3．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________．（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C 、D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由．活动二：探究垂径定理的逆定理1. 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M.（1）和上面问题相比，右图中的条件发生了什么变化？此时右图还是不是轴对称图形？如果是，对称轴是什么？AC︵BC︵AD︵BD︵（2）在以上条件下，你能发现图中有哪些关系？说一说你的理由．2. 垂径定理逆定理：______________________________， 用符号语言表述：3.反思：（1）仔细观察两个定理的条件和结论，你能发现其中总共涉及到的条件有________个，分别是____________________________________其中______个条件作为已知，________个条件作为结论.（2）请你用以上方法，猜想得出一个新的命题__________________________ ________________________________________________________________. 这个命题是否正确？请说明理由.4. 巩固练习：如右图，按图填空：在⊙O 中：（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则___________，____________，__________； （2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_____________，____________， _____________；（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则___________，____________，__________； （4）若︵AM ＝︵BM ，MN 为直径，则___________，____________，__________.DDCD三、迁移拓展变式训练例1 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，且AB∥CD，则与是否相等，说明理由.例2 如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心），其中CD ＝600m ，E 为弧CD 上一点，且O E⊥CD，垂足为F ，EF ＝90m ，求这段弯路的半径.变式训练：1.我国“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”.翻译成现在的数学语言就是： 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸， 求直径CD 的长．2.在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离是_______________．四、自我测试ＲＡＢＤＣＯ37.4m 7.2m1．如图，OA ＝OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？2．1400多年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m ，拱高(拱的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为，求桥拱的半径.(精确到0.1m)．3.在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB ＝600mm ，求油的最大深度．五、学习体会这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？。
导学案 垂径定理
B ACD O M ）课前导学学习目标在明确圆的有关概念的基础上，学习垂径定理，并能初步应用垂径定理解决实际问题。
学习要求自己制作学具：准备一个圆形纸片，通过操作理解垂径定理，不理解的用“？”标记。
学习重点垂径定理及其运用。
学习难点探索垂径定理及利用垂径定理解决一些简单的实际问题。
学法指导 阅读法 探究法 讨论法 练习法学习用具 圆规、三角尺、圆形纸片知识回顾与准备复习：1、说出圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的定义。
2、“弦是直径”这句话正确吗？为什么？。
指导自学自主学习（自学教材P 81----P 82）1.仔细阅读，完成81页探究。
2.结合81页探究，试完成讲学稿检测预习与助学.3．试归纳垂径定理。
4、试完成当堂检测。
检测预习与课堂助学一、动动手：阅读课本81页探究。
通过折叠，我发现： ．我是利用 方法解决圆的对称轴问题的．因此，我可以得到：圆是 图形，其对称轴是 ．二、探究进一步，还可得到：推论------平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．试一试：.填空：如上图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则AM= ，AC = .AD=思考：1、在上图中，已知⊙O 的半径与弦AB 的长度，且AB ⊥CD ，如何求出OM 的长度？2、根据垂径定理，利用尺规作图如何作出一个圆的圆心？如何作一条弧所在圆的圆心？三、实际应用：赵州桥主桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？助学：已知弦、拱高，所以做弦AB 的垂直平分线OC, D 为垂足，OC 与弧AB 相交于点C ，再任作一条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，即为圆心O思路导航：根据垂径定理，D 是AB 的 ，C 是 的中点，CD 就是拱高。
半径都相等，设OA=x 则OD= ，利用Rt △AOD 的三边关系求出半径。
写出解题过程：方法小结：当堂检测（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 （2）写出你发现的图中相等的线段、弧和角？ 相等的线段： 相等的弧： 相等的角： （3）结论 思路导航：∵直径CD 弦AB ，∴CD 平分 及 ． 这样，就得到下面的定理： 垂径定理---------垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．。
初中数学九年级3.3垂径定理(1)导学案设计
3.3垂径定理⑴导学案城南数学：周耀良学习目标：掌握垂径定理及其简单的应用。
【基础知识】试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠•你能发现什么结论？我们发现画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，再作一条与直径垂直的弦（不过圆心）.理一理：作一条和直径CD的垂直的弦AB，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点线段、圆弧重合？结论：① EA= ______ ② AC 二_______ ; BD = ________我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：b5E2RGbCAP垂径定理的几何语言•/ CD为直径，CD丄AB （0C丄AB ）【要点知识】1•已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. （分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点请说出作图的理由。
思考：如何画弧AB的四等分点变式题：过已知O 0内的一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点2•已知O 0的半径是13cm，一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。
3已知如图所示，在O0 中，弦AB // CD,求证：AC 二BD4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,求截面圆心0到水面的距离0C •(分析：要求0C的长，因为0C丄AB所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC即可，根4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,据垂径定理可知，AB=2BC).归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？变式：如上图,弦AB的长为8 cm,圆心0到AB的距离为3 cm,求O 0的半径.【巩固提升】★AB是OO的直径，弦CD±AB,E为垂足，若AE=9,BE= 1,求CD的长.★O 0的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，则线段0M的长的最小值为大值为 _____________ .plEanqFDPw★★已知O 0的直径是5 0 cm,O O的两条平行弦AB= 4 0 cm , CD= 4 8 cm , 求弦AB与CD之间的距离。
垂径定理 导学案
垂径定理 导学案 第 页 姓名：一、定理推导1、思考：在圆里怎么平分一条弦，一条弧2、垂径定理 条件： ，结论：3、垂径定理推论条件： ，结论：二、典型问题例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.A BD CE OOA EF例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.三、作业 1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图7－8，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则下面结论中错误的是（ ）．A ．CE ＝DEB ．＝C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC ＞AD图7－8 图7－9 图7－10 图7－113．如图7－9，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是（ ）．A ．6cm B ． 53cm C ．8cm D ．35cm4．如图7－10，⊙O 内接△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCD ，D 是⊙O 上的一点，则下列结论：①CD 是⊙O 直径；②CD 平分弦AB ；③＝；④＝；⑤CD ⊥AB ，其中正确的有（ ）．A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．2个 5．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是（ ）．A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．4cm6．圆的半径为2cm ，圆中的一条弦的长为32cm ，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（ ）．A ．1cmB ．3cmC ．3cmD ．32cm7．在下列说法中，①垂直平分弦的直线经过圆心；②直径垂直平分弦；③平行弦所夹的两条弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．⊙O 的半径为12cm ，弦AB 为8cm ，则圆心到弦的距离是________．9．在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝10cm ，则∠AOB 的度数是________．10．⊙O 的半径为8cm ，弦AB 中点到所对劣弧中点距离为4cm ，则弦AB 的长为_______，∠OAB 的度数是______．11．⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC 于D ，则AB ＝_______，∠AOB ＝_____．12．⊙O 的半径为65cm ，弦AB ＝310cm ，则弦AB 所对圆心角∠AOB ＝________．13．⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，且AB 把CD 分成4cm 和6cm 两部分，则圆心O 到弦AB 的距离是________，弦AB 的长为________．14．⊙O 中，直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，MN ＝10，AB ＝8，则MC ＝________．15．如图7－11，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若AD ＝5cm ，AB ＝8cm ，则⊙O 的半径是________．16．如图7－12，在⊙O 中，AB 是弦，∠AOB ＝120°，OA ＝5cm ，则圆心O 到AB 的距离是________cm ，弦AB 的长是________cm ．图7－12 图7－13 图7－1517．如图7－13，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝14cm ，CE ＝8cm ，则弦AB ＝________cm ，BC ＝________cm ．20．如图7－15，⊙O 半径为5cm ，AB 和CD 是两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离．21．如图7－16，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝15cm ，OE ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长和AC 的长．图7－1622．如图7－17，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且圆心O 到AB 的距离OE ＝5cm ，大圆半径OA ＝13cm ，小圆半径为41cm ，求CD 、AC 的长．图7－1724．如图7－18，⊙O 的半径为7cm ，弦AB 的长为64cm ，则由与弦AB 组成的弓形的高CD 等于________cm ．25．在⊙O 中，半径OC 为R ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长和∠AOB 的度数为（ ）．A ．R AB 23=，∠AOB ＝60° B ．R AB 23=，∠AOB ＝120° C ．R AB 3=，∠AOB ＝120° D ．AB ＝2R ，∠AOB ＝120°图7－1826．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交成30°角，且将直径分成1cm 和5cm 的两条线段，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）．A ．0.5cm B ．1cm C ．2cm D ．3cm27．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到这两条弦的距离分别是3cm 和4cm ，则这两条弦的长度分别是（ ）．A ．5cm 和10cm B ．6cm 和8cm C ．8cm 和12cmD ．6cm 和9cm28．⊙O 的半径为20cm ，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，则△AOB 的面积是（ ）．A ．2cm 325B ．2cm 350C ．2cm 3100 D ．2cm 3200 29．⊙O 的半径为5，P 为⊙O 内一点，OP ＝3，则经过点P 的最短的弦与最长的弦的长度的比是（ ）．A ．2∶5B ．3∶5C ．4∶5D ．3∶10。
垂径定理 导学案
义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章 圆3.4《垂径定理》导学案学习目标1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
（重点）2.运用垂径定理及其逆定理解决问题。
（难点）学习任务一、预习导学1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？阅读教材，完成预习内容。
二、新知探究11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2、辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．结论：垂径定理__________________________________________________ O C D B A O C D E O C D B AO DB A C三、新知探究21、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2、辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：结论：垂径定理逆定理______________________________________.四、新知探究3例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD=600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m.求这段弯路的半径．五、 自学反馈1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所O C D B A O CD B A O C D B A 在圆的半径．（结果精确到0.1米）．2．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内．3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？。
初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 圆导学案
第2题图课题3．3 垂径定理 预习疑问 一、问题引入：1.圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2.垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________． 几何语言：（如右图）∵∴3.平分________（不是直径）的直径________于弦， 并且平分________________________________．二、基础训练：1.圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =______cm ．2.如图，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE =8cm ，CE =2cm ，则AB =______cm ．3.如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则AB =______cm ，∠AOB =______．三、成果展示：1. (2023 广东省中山市) 如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB的距离为 _________ ．第3题图第3题图EBDOC A第2题第1题图2.(2023 浙江省嘉兴市) 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83.如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．84.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm6.下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心第4题图第5题7.如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB8. (2023 浙江省湖州市) 已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）． （1）求证：AC=BD ；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．9.如图，已知⊙O 的半径为30mm ，弦AB ＝36mm ，求点O 到AB 的距离及 cos ∠OAB 的值．D OBCA第7题图OAB。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
垂径定理_教案
垂径定理
教学目标
1．知识与技能
（1）探索并理解垂径定理
（2）熟练掌握垂径定理及其逆定理
2．过程与方法
（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动。
理解定理的推导，掌握定理及公式。
（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流。
3．情感、态度与价值观
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望。
教学重难点
1．垂径定理及其运用。
2．探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。
教学方法讲授法演示法
教学过程讨论
修改一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）
复习上节课内容：包括圆的概念以及与圆相关的概念
二、探索新知
（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发
现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
之间距离。
=7cm，。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
垂径定理导学案
垂径定理（第一课时）导学案【学习目标】①掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题； ②掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
【探究新知】1．观察猜想：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？ CA EB D猜想结论 ：2．证明猜想，归纳定理：垂径定理： 几何语言： 3．巩固定理：在下列图形（如下图(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
C C C ABA B A B A E BD D(a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E【应用新知】1．运用定理进行计算〖例1〗如图，在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
A E B。
O。
O。
O 。
O。
O 。
O〖变式一〗在上图中，若⊙O 的半径为10cm ，OE=6cm ，则AB= 。
思考一：若圆的半径为R ，一条弦长为a ，圆心到弦的距离为d ， C 则R 、a 、d 三者之间的关系式是 。
A E B 〖变式二〗如图6，在⊙O 中，半径OC ⊥AB ，垂足为E ， 若CE=2cm ，AB=8cm ，则⊙O 的半径= 。
思考二：你能解决本节课一开始提出的问题吗？ 2．运用定理进行证明〖例2〗证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
已知： 求证： 证明： 思考三：已知：AB 和CD 是⊙O 内的两条平行弦，AB=6cm ，CD=8cm ，⊙O 的半径为5cm ，（1）请根据题意画出符合条件的图形；（2）求出AB 与CD 间的距离。
【归纳总结】1．定理的三种基本图形——如图（1）、（2）、（3）。
2．计算中三个量的关系——如图13，222)2(ad R +=。
3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
导学案第18个教案 23垂径定理.doc
第18个教案2. 3垂径定理【教学目标】知识与技能:1.掌握圆的两种对称性质。
2.理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理。
过程与方法：在探圆的对称性以及直径垂直于弦的性质中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力。
情感态度价值观：通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。
教学重点：利用圆的对称性引出两个定理。
教学难点：垂径定理证明的严谨性。
【导学过程】【知识回顾】通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？【情景导入】从图中找到哪些相等的线段和孤？为什么？【新知探究】探究一、圆的三种对称性(1)什么是相等的圆(等圆)？(2)圆有几种对称性？圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。
特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴?2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.因此，我们可以得到:圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线. 按下面要求完成下题：如图，AB是。
O的一条弦，作直径CD,使CD_LAB,垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些线段的等量关系？说一说你理由.我发现：(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2) AM=BM,即直径CD平分弦AB,这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分这条弦.| (用因为、所以的几何语言来表达)下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CDXAB垂足为M 求证：AM=BM.分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可.证明：如图，连结OA、OB,贝ij OA=OB在RtAOAM 和RtAOBM 中OA = 0B' OM =OM:.RtAOAM^RtAOBM.♦.AM=BM进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦"［师］为什么上述条件要强调“弦不是直径” ？［生］因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的.［师］我们把上述结论称为垂径定SB勺一个逆定理.探究三、例1、如图，弦AB=8cm, CD是。
3.3垂径定理-(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了垂径定理及其在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。这种方法有助于吸引学生的注意力，使他们更快地进入学习状态。在今后的教学中，我将继续采用这种导入方式，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为垂径定理在建筑设计中有哪些应用？”
-理解垂径定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理过程往往感到困难。
-作图的准确性：学生在作图时难以精确地表示出直径垂直于弦，以及弦被平分的情况。
-弦、弦心距、半径之间数量关应用于不同题型。
-解决实际问题时构建数学模型的能力：学生需要学会将实际问题转化为数学问题，并运用垂径定理进行解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指出，圆的直径垂直于其所在的弦，并且平分这条弦。这个定理在几何学中非常重要，它不仅揭示了圆的内在性质，还在解决实际问题中有着广泛的应用。
垂径定理导学案
28.4垂径定理【教材分析】垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
【教学目标】1、经历探索垂径定理过程，掌握并学会运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题；2、经历探索过程，发展学生的合情推理能力，有条理的表达能力；3、在学生通过观察、操作、和探究的过程中培养学生运用数学的习惯和意识。
【重点】运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题； 【难点】垂径定理的探索和证明；复习案【学法指导】第一步：独立思考，自主完成，巩固基础知识。
第二步：同伴互查互阅，然后交流讨论，解决自己的困惑。
1、如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，（1）如果AB ＝CD ，那么___=___，___=___， ___=___； （2） 如果=，那么 ___=___， ___=___；（3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么___=___， ___=___；2、如图，AB 是⊙O 的弦，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD ，找出图中相等的线段，并说明理由。
探究案探究一：动手操作，观察发现：CD 是⊙O 的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD ，将⊙O 沿CD 所在的直线对折，比较图中的线段和弧，你有哪些发现？并说明理由。
【学法指导】第一步：自己动手操作，认真观察；第二步：归纳总结所得发现，小组成员之间交流、讨论、总结；第三步：完成证明过程，并做好展示；1、发现：2、完成证明过程：已知：CD是⊙O的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，求证：证明：3、用自己的语言归纳总结所得结论：4、跟踪练习：看下列图形，能使用垂径定理的是：探究二：【学法指导】第一步：独立思考，自主完成；第二步：灵活运用垂径定理，解决实际问题；第三步：小组成员之间交流、讨论、总结，做好展示；1、如图，已知CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，若AB=8厘米，圆心O到AB的距离为2厘米，求⊙O的半径。
(横版)圆--垂径定理教案
教学过程一、复习预习圆的周长：C=2πr或C=πd 、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²- r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识讲解考点1 垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
考点2 垂径定理的推论推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BDD三、例题精析【例题1】【题干】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．DE=BE B．C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【答案】B．【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，，根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选B．【考点】垂径定理【例题2】【题干】如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．【答案】2【解析】∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm，∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，∴OD=cm，∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．故答案为：2．考点：1、垂径定理；2、勾股定理【例题3】【题干】如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为．【答案】8【解析】连接OC，如图所示．∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、三角形中位线定理【例题4】【题干】如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB 的长为A．9cm B．3cmC．cm D．cm【答案】A【解析】如图，连接AC，∵∠CBA＝30°，∴∠COA＝60°。
圆(垂径定理)导学案
B A CD O M 24.1.2 垂直于弦的直径（1）【学习目标】1、理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理及其他结论，并学会运用这些结论进行证明、计算和作图；3、了解拱高、弦心距等概念。
【重、难点】垂径定理及推论的探究过程。
【易混点】对垂径定理推论中“弦不是直径”的理解。
【导学过程】（一）预习检查：圆是___对称图形，其对称轴是任意一条过_______的直线．圆的对称轴有_______条.（二）自主探究： 1、在右图上画出直径AB 、弦CD （不是直径）。
直径AB 所对的两条弧是_________；弦CD 所对的两条弧分别是：____________________。
2、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ， 垂足为M ． 相等的线段：相等的弧：3、证明这个发现。
★归纳总结：垂径定理：垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 ．表达式：∵ ，____________∴ ,____________,______________.4、如果我们把一条直线满足的条件记为：（1）过圆心或直径、（2）垂直于弦、（3）平分弦、（4）平分弦所对的优弧、（5）平分弦所对的劣弧。
可以看出“垂径定理”是由(1)(2)得出(3)(4)(5)，记为：(1)(2)⇔(3)(4)(5).请同学们大胆猜想，由任意两个条件能否得到其他三个条件？还有九种情况：(1)(3)（这条弦不能是直径，知道为什么吗？） ⇔(2)(4)(5)、(1)(4) ⇔ (2)(3)(5)、 (1)(5) ⇔ (2)(3)(4)、(2)(3) ⇔ (1)(4)(5)、 (2)(4) ⇔(1)(3)(5)、(2)(5) ⇔ (1)(3)(4)、(3)(4) ⇔ (1)(2)(5)、(3)(5) ⇔ (1)(2)(4)、(4)(5)⇔ (1)(2)(3)。
请同学们证明第一种情况(1)(3)（这条弦不能是直径，知道为什么吗？）⇔ (2)(4)(5).归纳为：垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ．表达式：∵ ，_________________∴ ,____________,______________.（三）巩固训练：5、如图所示，在⊙O 中，根据已知条件写出等量关系： （1）若MN ⊥AB 于点C ，MN 为直径，则______，___________，_________。
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28.1.2 垂直于弦的直径（1）
班级: 姓名：时间：
学习目标：
1．理解圆的轴对称性；
２.了解拱高、弦心距等概念；
３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一、自主先学
⒈叙述：请同学叙述圆的几何定义？
⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P80页有关“赵州桥”问题。
二、展示时刻
1）、动手实践，发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______
②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
2)、创设情境，探索垂径定理
⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？
⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知、求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：
⒌垂径定理：
推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且
表达式：
6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
【问题探究】
D D
例1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．
【练习】
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
例2．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，
拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.
【练习】
１．一条排水管的截面如图所示，水面宽AB=16，水深CD=4，求水管截面所在圆的直径。
例3：已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
【练习】
１．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．
三、学生展示
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．
BC BD
C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心
O到AB的距离是（
）
B
A ．1mm
B ．2mmm
C ．3mm
D ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______． 5．如图4，O
E ⊥AB 、O
F ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 四、当堂训练
定理的应用（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，求
所在圆的半径.
28.1.2垂直于弦的直径（2）
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学习目标：熟练掌握垂径定理及其推论，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一、回顾
1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。
由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。
如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
2、在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
二、典例讲解
【问题探究】
例1． 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是 BE
上的三等分点， ∠AOE ＝60°，则∠COE =
【练习】
１．如图所示，在⊙O 中，
AB AC =， 70B ∠=︒，则A ∠= ． 例2．已知，如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于P ，PO 平分∠APD ．
求证：AB ＝CD ．
【练习】
１． 如图所示，点O 是∠EPF 平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与角的两边分别交于点B 和D ．求证：
PB ＝PD ；
例3． 如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是
AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则P A+PB 的最小值是多少？
【练习】
1、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.
2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F . 求证： （1）CE=DF ；（2）OE=OF
3、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2
1BF.
三、练习巩固
1、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦、最长弦的长为 .
2、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC
cm cm
C ． cm 或cm ．
cm 或
cm C
3、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
4、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O 的半径的长。
5、如图，已知：AB 为⊙O 的直径，C ，D 为OA ，OB 的中点，弦EF 过点C ，EF DG ⊥于G ．求证：GF EC =．
6、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，求弦BC 的长的最小值。
7.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，O C 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在弧 AC 上， AD ＝2 CD
，点P 是半径OC 上一个动点，求AP ＋PD
的最小值。