圆导学案之垂径定理

28.1.2 垂直于弦的直径（1）
班级: 姓名：时间：
学习目标：
1．理解圆的轴对称性；
２.了解拱高、弦心距等概念；
３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

一、自主先学
⒈叙述：请同学叙述圆的几何定义？
⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。

3.课本P80页有关“赵州桥”问题。

二、展示时刻
1）、动手实践，发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______
②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

2)、创设情境，探索垂径定理
⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？
⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。

⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知、求证。

然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：
⒌垂径定理：
推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且
表达式：
6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
【问题探究】
D D
例1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．
【练习】
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
例2．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，
拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.
【练习】
１．一条排水管的截面如图所示，水面宽AB=16，水深CD=4，求水管截面所在圆的直径。

例3：已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
【练习】
１．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．
三、学生展示
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．
BC BD
C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心
O到AB的距离是（
）
B
A ．1mm
B ．2mmm
C ．3mm
D ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______． 5．如图4，O
E ⊥AB 、O
F ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 四、当堂训练
定理的应用（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，求
所在圆的半径.
28.1.2垂直于弦的直径（2）
班级: 姓名： 时间：
学习目标：熟练掌握垂径定理及其推论，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

一、回顾
1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。

由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。

如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。

2、在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。

二、典例讲解
【问题探究】
例1． 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是 BE
上的三等分点， ∠AOE ＝60°，则∠COE =
【练习】
１．如图所示，在⊙O 中，
AB AC =， 70B ∠=︒，则A ∠= ． 例2．已知，如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于P ，PO 平分∠APD ．
求证：AB ＝CD ．
【练习】
１． 如图所示，点O 是∠EPF 平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与角的两边分别交于点B 和D ．求证：
PB ＝PD ；
例3． 如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是
AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则P A+PB 的最小值是多少？
【练习】
1、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.
2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F . 求证： （1）CE=DF ；（2）OE=OF
3、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2
1BF.
三、练习巩固
1、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦、最长弦的长为 .
2、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC
cm cm
C ． cm 或cm ．
cm 或
cm C
3、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
4、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O 的半径的长。

5、如图，已知：AB 为⊙O 的直径，C ，D 为OA ，OB 的中点，弦EF 过点C ，EF DG ⊥于G ．求证：GF EC =．
6、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，求弦BC 的长的最小值。

7.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，O C 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在弧 AC 上， AD ＝2 CD
，点P 是半径OC 上一个动点，求AP ＋PD
的最小值。