高等数学答案(第七版上册)同济大学版 习题5-5反常积分的审敛法答案
D5_5反常积分审敛法
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
知坐驮惩昨惟触畴邢哈碎枚枪滚肤依铰卡滚宅瓮山若帧虱零遭背晴客疾华D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理5.
证：
则
而
远锭愁扼恿景赁琴础惊斧中惨羽肪盛芭乱辩挂铭撅关拿禾攀颗侦哼罢湛陶D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
说明: 已知
得下列比较审敛法.
极限存在 ,
音蟹赶庄役娃傅坠陌筒懂颁凸苛渴酸驴傻泄咨畜荷最翟痈毋虱匿萤您齿紊D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理3. (比较审敛法 1)
歼辟帐譬又馒拜缎揣攫兼声永贰向狄掸渺贤箩川访五月嘱舅嗽险蔼腾拐迹D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
例1. 判别反常积分
二、无界函数反常积分的审敛法
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
掠蛛蛋壤钳淫裹若拘臼松耶滋垄锌绑拳浅惜炊机赚携氨敏桐脆郑隧熊腾藕D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
解:
的敛散性 .
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分
的敛散性 .
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散 .
咋肤情赂坊考又婉叼庐它崩续间韦警搭明烁肢涎拍蔚锌巨迅汾嘻别厕凌卯D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理4. (极限审敛法1)
高等数学同济大学数学系 第七版上册第五章课后答案
高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案高等数学（同济大学数学系第七版）上册第五章：定积分课后习题答案39/ 1．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 2．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 3．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 4．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 5．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 6．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 7．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 8．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 9．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 10．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 11．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 12．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 13．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 14．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 15．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 16．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 17．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 18．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 19．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 20．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 21．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 22．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 23．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 24．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 25．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 26．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 27．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 28．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 29．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 30．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 31．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 32．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 33．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 34．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 35．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 36．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 37．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 38．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案39/ 39．。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
高数第七版习题答案
高数第七版习题答案高等数学第七版的习题答案涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个数学领域，下面是一些常见习题的解答示例，以供参考：# 第一章：极限与连续性习题1：求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的左极限和右极限。
解答：左极限 \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0 \)右极限 \( \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0 \)由于左极限和右极限相等，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限存在，且等于0。
# 第二章：导数与微分习题3：求函数 \( g(x) = \sin(x) + x^3 \) 的导数。
解答：\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + x^3) = \cos(x) + 3x^2 \)# 第三章：积分学习题5：计算定积分 \( \int_{0}^{1} 2x \, dx \)。
解答：\( \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 -0^2 = 1 \)# 第四章：级数习题7：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：该级数是交错级数，可以使用比较判别法。
由于 \( \frac{1}{n^2} \) 随着 \( n \) 的增大而减小，且 \( \frac{1}{n^2} \leq\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)，而\( \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \) 是收敛的，因此原级数也收敛。
# 第五章：多元函数微分学习题9：求函数 \( h(x, y) = xy^2 + \ln(x) \) 的偏导数。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章 定积分【圣才出品】
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高等数学(同济第七版)课后答案解析
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
(NEW)同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)配套题库【考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
图1
【答案】C
【解析】函数 在
内连续，观察知，函数 在除去点
外处处二阶可导．如图1所示，虽然 不存在，但在点 两侧
异号，因此
是
的拐点．
A点处二阶导数为0，且A点两侧 异号，根据拐点的定义知，A 点为曲线的拐点．B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧 都是大 于0，因此，B点不是拐点．
2．设函数 具有二阶导数， （ ）．[数一 2014研]
A．
，则当 充分大时，下列正确的有（ ）.[数三
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，所以
， ，当 时，有
，取 ，则知
．
6．设
，则当 时，若
是比 高阶
的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）. [数三 2014研]
A． B．
C． D．
目 录
第一部分 考研真题 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 微分方程
第二部分 课后习题 第一章 函数与极限 习题1-1 映射与函数 习题1-2 数列的极限 习题1-3 函数的极限 习题1-4 无穷小与无穷大 习题1-5 极限运算法则
【答案】1
【解析】在方程
两端关于x求导，得
将x＝0代入方程
将
代入
，得
． ，得
则
【答案】 【解析】因为
，
，所以
所以
7．曲线
上对应于t＝1的点处的法线方程为 ______．
[数二2013研]
【答案】
【解析】由题中函数表达式得，曲线上对应于t＝1的点处的切线斜 率为
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案【注意：以下是根据题目需求给出的格式，仅供参考。
具体格式请根据实际情况自行调整。
】第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.（1）解：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则有：f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -11.（2）解：设函数g(x) = 2x - 1，则有：g(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 51.（3）解：将x = 3代入f(x) = x^2 + g(x)中，得：f(3) = 3^2 + g(3) = 9 + 5 = 141.（4）解：由f(x) = 2x + g(2)可得：g(2) = f(x) - 2x = 2x + g(x) - 2x = g(x)1.（5）解：f(g(-1)) = f(2(-1) - 1) = f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 2 = 9 - 9 - 2 = -21.（6）解：海伦公式中，设a = BC = 3，b = AC = 4，c = AB = 5，则有：p = (a + b + c) / 2 = 6S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6(3)(2)(1)] = √[36] = 62.极限与连续性2.（1）解：根据极限的定义，当x趋于2时，有：lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 82.（2）解：根据极限的性质，当x趋于2时，有：lim(x->2)(2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 32.（3）解：由题意得，当x趋于3时，有：lim(x->3)(x^2 + 2x) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 152.（4）解：在x = 2处，f(x)不连续。
高等数学同济第七版上册课后答案
习题1101证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x)x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1)3f(2)25f(1)f(2)0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(12)使f()0即x是方程x53x1的介于1和2之间的根因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a0b0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x)asin x b x则f(x)是[0a b]上的连续函数f(0)b f(a b) a sin (a b)b(a b)a[sin(a b)1]0若f(a b)0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b)0则f(0)f(a b)0由零点定理至少存在一点(0a b)使f()0这说明x也是方程x asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)|L|x y|其中L为正常数且f(a)f(b)0证明至少有一点(a b)使得f()0证明设x0为(a b)内任意一点因为0||lim |)()(|lim 0000x x L x f x f xx x x 所以0|)()(|lim 00x f x f xx 即)()(lim 00x f x f xx 因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a 处左连续在点b 处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a)f(b)0由零点定理至少有一点(a b)使得f()04若f(x)在[a b]上连续a x 1x 2x n b 则在[x 1x n ]上至少有一点使nx f x f x f f n )()()()(21证明显然f(x)在[x 1x n ]上也连续设M 和m 分别是f(x)在[x 1x n ]上的最大值和最小值因为x i [x 1x n ](1i n)所以有m f(x i )M 从而有Mn x f x f x f m n n )()()(21Mnx f x f x f mn )()()(21由介值定理推论在[x 1x n ]上至少有一点使nx f x f x f f n )()()()(215证明若f(x)在()内连续且)(lim x f x存在则f(x)必在()内有界证明令A x f x)(lim 则对于给定的0存在X 0只要|x|X 就有|f(x)A|即Af(x)A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)|M x [X X]取N max{M |A | |A|}则|f(x)|N x ()即f(x)在()内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？。
高等数学同济第七版上册课后答案
习题1-101.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0...证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为0||lim |)()(|lim 00000=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00=-→x f x f x x , 即 )()(lim 00x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ, 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在[x 1, x n ]上的最大值和最小值.因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ . 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ..5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界.证明 令A x f x =∞→)(lim , 则对于给定的ε >0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有|f (x )-A |<ε , 即A -ε<f (x )<A +ε .又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界.6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？。