(完整版)数列常见题型总结经典(超级经典)
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a34）1a +求数列a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 1a =（4（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（1（2（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展21（1 (2)23已知{n a 是首项为１的正项数列，并且11n n n n ++，则它的通项公式n 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么7 数列{}n a 满足()11n n p S a -=-，其中p 为正实数，12n S a a =++…()*n a n N +∈(1)证明：{}n a 为等比数列，并求出它的通项；(2)数列{}n b 中，11b =，1n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（1）如果数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n ++，此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =2156nn +，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3（4如果数列(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n ，不等式12log (1)123n a a a >++恒成立求a 的取值范围？（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）恒成立，（2）m a ≤恒（3*N ，有n m a a ≤（1） 求n a 的通项公式（2） 求n S 的通项公式（3） 说说n 为何值时，n S 取得最小值？数列的求和（一）倒序相加法：（1（2） S（二） 求和：12（三） 公式求和法（1）数列{}n a 中，148,2a a ==且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，1234n S a a a a =++++…n a +，求n S ．（2（3（1（2+++…（3） )(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++（4（四）. 1. （1）112（2） 1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n2.奇偶分组（3）已知()()654n nn nan⎧-⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数求数列{}n a的前n项和．3（4）-4.（5（6数列的极限5个“三”三个定义极限（1）∞→n lim C =C （C 为常数）;（2）∞→n lim n 1=0;（3）∞→n lim q n =0（|q |＜1）n n n （1n lim →n(2)n（3若31n a →∞++三个待定形1）00型比较 2213lim 12n nn n n→∞++和2213lim 14n n n n n →∞++2）∞∞型 比较223）∞→n limn →∞n →∞S =例1（1）求证数列{}n a 不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2，若n n n a S ka 222)1(3•≤-对任意*∈N n 恒成立，求k 的最小值.例2定义1x （1（2（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n 对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．例3设满足条件)(2:*12N n a a a P n n n ∈≥+++的数列组成的集合为A ，而满足条件)(2:*12N n a a a Q n n n ∈<+++的数列组成的集合为B .（1）判断数列n a a n n 21:}{-=和数列n n n b b 21:}{-=是否为集合A 或B 中的元素？（2）已知数列3)(k n a n -=，研究}{n a 是否为集合A 或B 中的元素；若是，求出实数k 的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知*231(1)log (,)i n a n i Z n N =-⋅∈∈，若}{n a 为集合B 中的元素，求满足不等式60|2|<-n a n 的n 的值组成的集合.例类数列{2=n x 时}{n x （1}{n a 是周期为6（2① 若0>n a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；② 若01<+n n a a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；例5已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
数列的19种经典题型
数列的19种经典题型一、公差不等于零的等差数列1. 前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，Sn=n/2*(a1+an)；2. 等比数列的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为等比数列的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；3. 概率的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为概率的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；4. 等差数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若d为等差数列的公差，则Pn = (a1 + (n-1)*d) * (a1 + (n-2)*d) * … * a1；5. 等比数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若q为等比数列的公比，则Pn = a1 *q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；6. 概率的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn =a1*a2*…*an，若q为概率的公比，则Pn = a1 * q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；7. 等差数列的通项公式：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，则an = a1+(n-1)*d；列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；9. 概率的通项公式：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；10. 等差数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
11. 等比数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等比数列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
12. 概率的某项的值：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
(完整)(经典)高中数学最全数列总结及题型精选,推荐文档
）
A．120
B．105
(四)、等差数列的性质：
C． 90
D． 75
1 在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
2 在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； 3 在等差数列a中，对任意 m ， n N ， a a (n m)d ，d an am (m n) ；
点。
（4） 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系
分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，…
(2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
(4)a, a, a, a, a,…
（5） 数列{ an}的前 n 项和 S 与n 通项 a 的n 关系： a n
SS1 S
(n (n
≥12) )
n
n1
二、等差数列
(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an an1 d (n 2) 或 an1 an d (n 1)
n
n
m
n m
（4） 在等差数列an中，若 m ， n ， p ， q N 且 m n p q ，则 am an ap aq ；
(五)、等差数列的前 n 和的求和公式： S n(a1 an ) na n(n 1) d 1 n 2 （a d ）n 。 (
n
2
1
(经典)高中数学最全数列总结与题型精选
高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作a n ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为 n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ； 数列的一般形式：a1, a 2, a 3,……，……，简记作 ｛a n ｝。
(2)通项公式的定义：如果数列 ｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5.1111 1,—2 3 4 5说明:①｛a n ｝表示数列，斗表示数列中的第n 项，a n = f (n 庚示数列的通项公式; n-1,n =2k-1a n =（-1）n =n1,n=2k③不是每个数列都有通项公式。
例如， 1, 1.4, (3)数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + (或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1),f(2), f(3),……，f(n),…….通常用an 来代替f (n ),其图象是一群孤 立点。
(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系 分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1,0, 1,0, 1,0,…(4)a, a, a, a, a,…(5)数列｛a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系:二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第_2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母_d 表示。
(完整word版)数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常有、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前 n 项和法（知 S n 求 a n ） a nS 1(n 1)S n S n 1(n 2)例 1、已知数列 { n } 的前 n 项和 S n 12nn 2 ，求数列{| a n|} 的前 n 项和T na1、若数列 {a n } 的前 n项和 S2n，求该数列的通项公式。
n2、若数列 { a n } 的前 n 项和 S n3 a n 3 ，求该数列的通项公式。
23、设数列 {} 的前，知足 T2Sn 2，a n n 项和为S n ，数列{ S n } 的前n 项和为T nnn求数列 { a n } 的通项公式。
2. 形如 a n 1 a nf (n) 型（累加法）（ 1）若 f(n) 为常数 , 即： a n 1 a n d , 此时数列为等差数列，则 a n =a 1(n 1)d .（ 2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法 .例 1. 已知数列｛ a n ｝知足 a 1 1, a n3n 11. 已知数列a n 的首项为 1，且 a n 1a n 2. 已知数列 { a n } 知足 a 1 3 ， a na n 13. 形如an 1( )f n 型（累乘法）a na n 1 ( n 2) , 证明 a n 3n122n(n N * ) 写出数列a n 的通项公式 .1 ( n 2) ，求此数列的通项公式 .n(n 1)（ 1）当 f(n) 为常数，即：a n 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且 a n = a 1 q n 1 .a n（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 , 用累乘法 .例 1、在数列 { a n } 中 a 11, a nn a n 1 (n 2) ，求数列的通项公式。
n 1 1、在数列 { a n } 中 a 11, a n n 1a n 1 (n 2) ，求 a n 与 S n 。
数列题型总结(全)
11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最小值时， 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知 ，得 ．
一：定义法：
例：（1）设 是等差数列，证明：数列 （c>0, 是等比数列。（2）设 是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列 的前n项和记为 ，已知 （n=2,3,4…）,证明：数列 是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列 的前n项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列 中， ，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由 得 又
（2）由 ，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设 点 在直线 上， 与 共线，而
即 有 .
故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时
于是
12、
变式一：设数列 ， 都是等差数列，若
变式二：在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和等于
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
一、等差数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn−n(d+a2)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=Sn−n(d+a1)
3、求和：求出数列前n项和可用公式：Sn=n(a1+an)2
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1+(n-1)d
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1+(k-1)d
二、等比数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn(qn−1)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=a1qn−1
3、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1(1−qn)1−q
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1qn−1
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1qk−1
三、复合数列
1、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1+a2+…+an
2、求某项：求出第k项可用公式：ak=ak−1+ak
解题技巧：
1、利用性质转化：根据所给的条件，尝试将原数列转换成更简单的形式，如等差数列、等比数列或者复合数列。
2、利用关系性：通过对数列中一些特殊项的求出，可以确定整个数列的情况，比如求出第一项和最后一项，就可以确定数列的前n项和。
3、利用规律性：数列中的每一项都有一定的规律性，依靠这一点可以得到数列的通项公式，进而求出数列的其他项。
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
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数列 【1 】百通通项公式求法(一)转化为等差与等比1.已知数列{}n a 知足11a =,n a =,n N *∈２≤n ≤８）,则它的通项公式n a 什么{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列,并且231n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么4.已知数列{}n a 中,10a =,112n na a +=-,*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式;{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,假如2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理办法1）知数列{a n }的前n 项和S n 知足log 2（S n +1）=n +1,求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 知足,2(2)8n n a S +=则,数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 知足,111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则,数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三） 累加与累乘（1）假如数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 知足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式(3)12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 知足,211,2n n S n a a ==则,数列n a（四）一次函数的递推情势1. 若数列{}n a 知足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a2 .若数列{}n a 知足1111,22n n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a（五）分类评论辩论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==,求数列n a（2）1222,(3)1,3n n a n a a a -=≥==,求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41n n na a a a ++==-,求数列2004a（2）假如已知数列11n n n a a a +-=-,122,6a a ==,求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }知足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }知足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 分解实例剖析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ,且对随意率性天然数n,总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)假如数列{}n b 中,11222,,n b n q a b a b =+=<,求实数p 的取值规模2已知整数列{a n }知足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=,求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列,并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==,则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列,并且134n n n a a a +=+,则它的通项公式n a 是什么5.数列{}n a 和{}n b 中,1,,+n n n a b a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,且11=a ,21=b ,设nn n b a c =,求数列{}n c 的通项公式.6设无限数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,且当n N ∈时,总有1312n n S S +=+,求n a 及n S ．7 数列{}n a 知足()11n n p S a -=-,个中p 为正实数,12n S a a =++…()*n a n N +∈(1)证实：{}n a 为等比数列,并求出它的通项;(2)数列{}n b 中,11b =,1n n n b b a +=+,求{}n b 的通项公式数列求最值的办法（一）化为函数办法转化为耐克函数 （1）假如数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n++,此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）假如数列{}n a 的通项公式是n a =2156n n +,此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3）假如数列{}n a 的通项公式是n a ,此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为二次函数（4）假如数列{}n a 的通项公式是n a =22n kn ++是单调递增数列,求k 的取值规模. 假如该数列在第四项最小,求k 的取值规模（二）数列的简略单调性求最值的办法： 假如数列{}n a 的通项公式是n a =*111.....()12n N n n n n++∈+++, (1)断定数列的增减(2)若对于一切大于1的天然数n,不等式12log (1)123n a a a >++恒成立求a 的取值规模？（三）盘算器联合庞杂单调性,求最值的办法（1）数列{}n a 的通项公式是n a =*1,n n N +∈,是否消失天然数m,使对随意率性的序号*n N ∈,有n m a a ≥恒成立,若消失,求出m,假如不消失,请解释来由（2）假如数列{}n a 的通项公式是n a =*9(),10n n N ∈,是否消失天然数m,使对随意率性的序号*n N ∈,有n m a a ≤恒成立,若消失,求出m,假如不消失,请解释来由（3）假如数列{}n a 的通项公式是n a =*9(1)(),10n n n N +∈,是否消失天然数m,使对随意率性的序号*n N ∈,有n m a a ≤恒成立,若消失,求出m,假如不消失,请解释来由（四）数列单调性求“和”的最值的办法已知数列前n 项和为n S ,且585,()n n S n a n N =--∈（1） 求n a 的通项公式（2） 求n S 的通项公式（3） 说说n 为何值时,n S 取得最小值？数列的乞降（一）倒序相加法：（1）设()f x =应用教材中推导等差数列前n 项和公式的办法,求： ()()87f f -+-+…()0f ++…()()89f f ++的值（2） 01231234....(1)n n n n n n n n n S C C C C nC n C -=++++++（二） 错位相减法乞降：135724816++++ (212)n n -+（三） 公式乞降法（1）数列{}n a 中,148,2a a ==且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈, 1234n S a a a a =++++…n a +,求n S ．（2）)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=----（3）乞降22221234++++ (2)n +（三）裂项乞降法（1）111,,,153759⋅⋅⋅…（2+++…（3） )(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++（4）求数列!n a n n =⋅的前n 项和（四）. 分组乞降法（1）111 1,2,3, 248…（2） 1,3＋13,32＋132,……,3n＋13n（3）已知()()654n nn nan⎧-⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数求数列{}n a的前n项和．3平均分组（4）1,3,5,7--…（5）求数列：1111111111,,,,,,,,,,223334444…的前100项和;（6）求数列：1,23,456,78910,++++++…的前n 项和．数列的极限5个“三”三个界说极限（1）∞→n lim C =C （C 为常数）; （2）∞→n lim n1=0; （3）∞→n lim q n =0（|q |＜1） 三个不消失的极限lim n n →∞lim(1)n n →∞- lim 2n n →∞三个推导极限（1）多项式1*1101110,;...(,,0,0)...0,.lim k k k k k l l l n l l a l k a n a n a n a k l N a b b b n b n b n b l k ---→∞-⎧=++++⎪=∈≠≠⎨++++⎪>⎩ 3543lim 2-=+++∞→n bn an n ,则.________________,==b a(2)单指数1(1)(1)(1)lim n n n r q q q +→∞+++（3）多指数若()131lim331n n n n a +→∞=++,求a 的取值规模三个待定形1）00型 比较 2213lim 12n nn n n→∞++和2213lim 14n n n n n →∞++2）∞∞型 比较2232lim 21n n n →∞++和2252lim 21n n n →∞++3）0+0+0+0+0+0+0+0……型∞→n lim .___________)12131211(2222=++⋅⋅⋅++++++n n n n n三个主要前提0(11)lim n n q q →∞=-<<lim n n q→∞极限消失(11)q -<<1lim 1n n a S S q→∞==-(0||1)q <<设数列}{n a 是公比0>q 的等比数列,n S 是它的前n 项和,若∞→n lim 7=n S ,那么1a 的的取值规模是_________例1已知数列{}n a 中,)(2,111*+∈==N n a a a n n n（1）求证数列{}n a 不是等比数列,并求该数列的通项公式;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ;（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2,若n n n a S ka 222)1(3•≤-对随意率性*∈N n 恒成立,求k 的最小值.例2界说1x ,2x ,…,n x 的“倒平均数”为nx x x n +++ 21（*N n ∈）． （1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为421+n ,求}{n a 的通项公式; （2）设数列}{n b 知足：当n 为奇数时,1=n b ,当n 为偶数时,2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数,求n n T ∞→lim ; （3）设函数x x x f 4)(2+-=,对（1）中的数列}{n a ,是否消失实数λ,使得当λ≤x 时,1)(+≤n a x f n 对随意率性*N n ∈恒成立？若消失,求出最大的实数λ;若不消失,解释来由．例3设知足前提)(2:*12N n a a a P n n n ∈≥+++的数列构成的聚集为A ,而知足前提)(2:*12N n a a a Q n n n ∈<+++的数列构成的聚集为B .（1）断定数列n a a n n 21:}{-=和数列n n n b b 21:}{-=是否为聚集A 或B 中的元素？（2）已知数列3)(k n a n -=,研讨}{n a 是否为聚集A 或B 中的元素;若是,求出实数k 的取值规模;若不是,请解释来由.（3）已知*231(1)log (,)i n a n i Z n N =-⋅∈∈,若}{n a 为聚集B 中的元素,求知足不等式60|2|<-n a n 的n 的值构成的聚集.例4对于数列}{n x ,假如消失一个正整数m ,使得对随意率性的n （*∈N n ）都有n m n x x =+成立,那么就把如许一类数列}{n x 称作周期为m 的周期数列,m 的最小值称作数列}{n x 的最小正周期,以下简称周期.例如当2=n x 时}{n x 是周期为1的周期数列,当sin()2n y n π=时}{n y 是周期为4的周期数列.（1）设数列}{n a 知足n n n a a a -=++12（*∈N n ）,b a a a ==21,（,a b 不合时为0）,求证：数列}{n a 是周期为6的周期数列,并求数列}{n a 的前2012项的和2012S ;（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,且2)1(4+=n n a S .①若0>n a ,试断定数列}{n a 是否为周期数列,并解释来由; ②若01<+n n a a ,试断定数列}{n a 是否为周期数列,并解释来由;例5已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分离为36n a n =+,27n b n =+（*n N ∈）,将聚集**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次分列,构成数列123,,,,,n c c c c .（1）求1234,,,c c c c ;（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ;（3）求数列{}n c 的通项公式.例6假如有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）知足前提m a a =1,12-=m a a ,…,1a a m =,即1+-=i m i a a （12i m =，，，）,我们称其为“对称数列”．例如,数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”,个中1234b b b b ，，，是等差数列,且21=b ,114=b ．依次写出{}n b 的每一项; （2）设{}n c 是49项的“对称数列”,个中252649c c c ，，，是首项为1,公比为2的等比数列,求{}n c 各项的和S ; （3）设{}n d 是100项的“对称数列”,个中5152100d d d ，，，是首项为2,公役为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．挑衅一已知数列{}n a 是首项1a a =,公役为2的等差数列;数列{}n b 知足n n a n b )1(2+=. （1）若1a .3a .4a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式;（2）若对随意率性n N *∈都有5n b b ≥成立,求实数a 的取值规模;（3）数列{}n c 知足1213()(3)2n n n c c n N n -*--=⋅-∈≥且,个中11c =,232c =-;n n c b n f -=)(,当1614a -≤≤-时,求)(n f 的最小值（n N *∈）挑衅二我们划定：对于随意率性实数A ,若消失数列{}n a 和实数(0)x x ≠,使得21123.....n n A a a x a x a x -=++++,则称数A 可以暗示成x 进制情势,简记为：1231~()()().....()()-=n n A x a a a a a .如：2~(1)(3)(2)(1)=--A ,则暗示A 是一个2进制情势的数,且23132(2)212=-+⨯+-⨯+⨯A ＝5.（1）已知2(12)(13)=-+m x x （个中0)x ≠,试将m 暗示成x 进制的简记情势. （2）若数列{}n a 知足12a =,*11,1k ka k N a +=∈-, 123323132~()()().....()()()--=n n n n b a a a a a a *()n N ∈,是否消失实常数p 和q,对于随意率性的*n N ∈,n n b p 8q =+总成立？若消失,求出p 和q;若不消失,解释来由.（3） 若常数t 知足0t ≠且1t >-,1231~()()().....()()-=n nn n n n n n d t C C C C C ,求1limnn n d d →∞+.挑衅三已知数列{}．，满足)(22111*+∈+==N n a a a a n n n n (1){}n n a a 并求出数列的通项公式；(2)求等差数列{}11231201)(++*=++++∈n nn n n n nn a C b C b C b C b N n b ，使对*∈N n 都成立; M a c a c a c a c M N n nb c nn n n <++++∈=* 332211)(，使，是否存在正常数令*∈N n 对恒成立，并证实你的结论．挑衅四已知等差数列{}n a 中,公役0d >,其前n 项和为n S ,且知足2345a a ⋅=,1414a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设由n n S b n c =+（0c ≠）构成的新数列为{}n b ,求证：当且仅当21-=c 时,数列{}n b 是等差数列; （3）对于（2）中的等差数列{}n b ,设8(7)n n nc a b =+⋅（*n ∈N ）,数列{}n c 的前n 项和为n T ,现稀有列{}()f n ,8()30.9n n n n f n T a b ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）, 是否消失整数M ,使()M n f <对一切*n ∈N 都成立？若消失,求出M 的最小 值,若不消失,请解释来由.挑衅五已知,数列{}n a 有p a a a ==21,（常数0>p ）,对随意率性的正整数n n a a a S n +++= 21,,并有n S 知足2)(1a a n S n n -=. （1）求a 的值;（2）试肯定命列{}n a 是不是等差数列,若是,求出其通项公式.若不是,解释来由;（3）对于数列{}n b ,假如消失一个常数b 使得对随意率性的正整数n 都有b b n <且b b n n =∞→lim ,则称b 为数列{}nb 的“上渐进值”,令2112+++++=n n n n nS S S S p,求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐进值”.挑衅六已知数列{}n a 中,10a =,112n na a +=-,*N n ∈. （1）求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式;（2）假设对于随意率性的正整数m .n ,都有||n m b b ω-<,则称该数列为“ω域收敛数列”. 试断定: 数列45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭,*N n ∈是否为一个“23域收敛数列”,请解释你的来由.211123(18)(),(0),()0.(1){},()4,{};(2){}124......2......{},{};(3)(){}23,1,{n n n n n n n n n n n f x x ax a a x R x f x a S f n a a b b n T c c c n c c -+=-+≠∈≤=-+=+=、本大题分已知二次函数有且仅有唯一的实数值满足在数列中满足求的通项在数列中依次取出第项、第项、第项第项组成新数列求新数列的前项和理科设数列满足数列1},(1).(3)(),{}.n n n n n n n n n H H S nc c a a +=的前项和记作试比较与题中的大小文科设求数列的最大和最小值挑衅八已知函数()311223log ,(,),(,)1x f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点,横坐标为21的点P 知足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）.（1）求证：12y y +为定值;（2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，, 求1149lim 49n n n n S S S S n ++→∞-+的值; （3）在(2)的前提下,若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ,n T 为数列{}n a 的前n 项和,若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立,试求实数m 的取值规模.挑衅九本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．把公役为2的等差数列}{n a 的各项依次拔出等比数列}{n b 中,将}{nb 按原次序分成1项.2项.4项.…….12-n 项的各组,得到数列}{nc ：3765423211,,,,,,,,,a b b b b a b b a b ,……,记数}{c n 项和为n S ．若11=c ,22=c ,=3S 413． （1）求数列}{n a .}{n b 的通项公式; （2）求数列}{n c 的前100项和100S ;（3）设n n n a b T +⋅=2009,浏览框图写出输出项,解释来由．挑衅十已知数列{a n }和{b n }知足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+个中λ为 实数,n 为正整数.（1）对随意率性实数λ,证实:数列{a n }不是等比数列;（2）证实：当18{}n b λ≠-时，数列是等比数列；（3）设0＜a ＜b （a,b 为实常数）,S n 为数列{b n λ,使得对随意率性正整数n,都有a ＜S n ＜b?若消失,求λ的取值规模;若不消失,解释来由.挑衅十一将数列{an} 中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规矩排成如数表：记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知：①在数列{bn} 中,b1=1,对于任何n∈N*,都有（n+1）bn+1﹣nbn=0;②表中每一行的数按从左到右的次序均构成公比为q（q＞0）的等比数列;③．请解答以下问题：（1）求数列{bn} 的通项公式;（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）;（3）若关于x的不等式在上有解,求正整数k的取值规模。
(完整版)数列题型全归纳(附知识点)
数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列12+=n a n 的图像.（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
数列全部题型归纳(非常全面,经典)(20201128150721)
数列百通通项公式求法(一)转化为等差与等比a n什么1、已知数列｛a n｝满足a i 1 , a n ... a n 1 1 ( n N , 2< n <8)，则它的通项公式2•已知｛a n｝是首项为2的数列，并且a n i a n 2a n a n i，则它的通项公式a n是什么3•首项为2的数列，并且a n 3a n，则它的通项公式a n是什么4、已知数列a n中，a1 0, a n 11,n 2 a n5.已知数列 a n 中，a i 3, a n 1 2a . 2n 2，如果b a . 2n ,求数列a .的通项公式（二）含有S n 的递推处理方法1）知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n+1,求数列｛a n ｝的通项公式求证: a n 1是等差数列；并求数列a n 的通项公式;244) a 1 2a 2 3a 3 ...na n n(n 1)(n 2) 求数列a n(三) 累加与累乘(1)如果数列 a n 中a i1,a n a n 1 2n(n 2)求数列a n2.)若数列a n 的前n 项和S n 满足，S n(2 a n)则，数列3)若数列a n 的前n 项和S n 满足，a nS n S ni ，a n 0禺-则，数列 a .4⑶a i 1a 2,a n+2=3a ni 2a.,求此数列的通项公式21（4）若数列a n的前n项和S n满足，& n2a n,a l贝打数列a n2（四）一次函数的递推形式1.若数列a n满足a i 1,a n ；am 1(n 2)，数列a n2 .若数列a n满足a i 1,a n(2)已知数列｛a n｝满足a1 3 , a n a n 1n(n 1)(n2），求此数列的通项公式261尹1 2 (n 2)，数列a n（五）分类讨论（1） a n 3 a n 2（n 3）,印 1耳 7，求数列 a .a (2) J 2,( n3)a 1 1® 3，求数列 a .a n 2(六) 求周期 16 (1) a n 1, a 2 4，求数列 a 20041 a n(2)如果已知数列a n 1a n a n 1, a12,a26，求a2010拓展1：有关等和与等积(1)数列｛a n｝满足a i0, a n 1 a n 2,求数列｛a n｝的通项公式(2)数列｛a n｝满足a i0 , a n 1 a n 2n,求数列｛a n｝的通项公式(3).已知数列｛a n｝满足a13,a n a n 1(!)n, (n N*),求此数列｛a n｝的通项公式2拓展2综合实例分析1已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且对任意自然数n,总有S n p a n 1 , p 0, p 1(1)求此数列｛a n｝的通项公式⑵如果数列b n中，b n 2n q© ga? b?，求实数p的取值范围2 已知整数列｛a n｝满足qa2a2a3a3a4...a n 1a n3已知｛a n｝是首项为1的正项数列,2 2并且(n 1)a n 1 na n a. Qn0(n 1,2,3丄),则它的通项公式a n是什么4已知｛a n｝是首项为1的数列，并且a n 1a n3a n 4则它的通项公式a n是什么求所有可能的5、数列a n和b n中，a n,b n,a n 1成等差数列，• b n , B n 1 , S 1成等比数列，且玄勺1 , 2，设C n ,b n求数列C n的通项公式。
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n项和法(知求）例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和练习:1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式.答案：2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。
答案：3、设数列的前n项和为,数列的前n项和为，满足,求数列的通项公式。
4。
为｛｝的前n项和，=3（－1），求（n∈N+）5、设数列满足，求数列的通项公式（作差法)2.形如型（累加法）(1)若f（n)为常数，即:，此时数列为等差数列,则=。
（2）若f（n)为n的函数时,用累加法。
例 1。
已知数列｛a n}满足，证明例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式。
例3。
已知数列满足，，求此数列的通项公式.3.形如型(累乘法）（1）当f（n）为常数，即：(其中q是不为0的常数),此数列为等比且=. (2）当f(n）为n的函数时，用累乘法。
例1、在数列中 ,求数列的通项公式.答案:练习:1、在数列中，求。
答案：2、求数列的通项公式。
4。
形如型（取倒数法)例1。
已知数列中，,，求通项公式练习:1、若数列中，,，求通项公式。
答案：2、若数列中，，，求通项公式。
答案：5．形如，其中）型（构造新的等比数列)（1）若c=1时,数列{｝为等差数列；(2）若d=0时,数列｛}为等比数列；(3）若时,数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
方法如下：设，利用待定系数法求出A例1．已知数列中，求通项。
练习:1、若数列中，,，求通项公式。
答案：2、若数列中，，,求通项公式。
答案：6。
形如型（构造新的等比数列）(1）若一次函数（k，b是常数,且),则后面待定系数法也用一次函数。
例题。
在数列中，,,求通项。
解：原递推式可化为比较系数可得：k=—6，b=9，上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即:,故.练习：1、已知数列中，，，求通项公式（2）若（其中q是常数,且n0,1）①若p=1时，即：,累加即可②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。
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高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨
⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。
2、若数列}{n a 的前n 项和32
3-=
n n a S ，求该数列的通项公式。
3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。
2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3
,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2
13-=n n a
1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(11≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
3.形如
)(1n f a a n
n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例1、在数列}{n a 中111,1-+=
=n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
1、在数列}{n a 中1111,1-+-=
=n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
2、求数列)2(1232,11
1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如s
ra pa a n n n +=
--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,1
31+=+n n n a a a ,求通项公式n a .
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .
5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A
例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a .
练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。
3、若数列}{n a 中，11=a ,13
21+=
+n n a a ,求通项公式n a 。
6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。
例题. 在数列{}n a 中，2
31=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
(2)若n
q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。
两边同除以1+n q
. 即： q q a q p q a n n n n 111
+⋅=++, 令n n n q a b =
,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解，
例1. 在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a
1、已知数列{}n a 中，211=
a ，n n n a a )2
1(21+=-，求通项公式n a 。
2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。
题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，
327++=n n T S n n ，则=55b a .
3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S a a 则（ ）
5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .
7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）
8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += .
题型三：证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=
21.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；
题型四：求数列的前n 项和
基本方法：A ）公式法，
B ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1； 例1、求和：S =1+
n ++++++++++ 32113211211
例2、求和：
n
n +++++++++11341231121 .
D ）倒序相加法， 例、设22
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
E ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
3. 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）。