传热学-第四章22
《传热学》课后习题答案-第四章

t k i,j 1 t k i,j t k i,j 1 t k i , j r r rj rj r 2 r 2 rj r
并简化,可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、 一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却, 底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温 度的变化, 取中心角为 1rad 的区域来研究 (如本题附图所示) 。 已知柱体表面发射率,自然对流表面传热系数,环境温度, 金属的热扩散率,试列出图中节点(1,1) , (M,1)(M,n)及 (M,N) 的离散方程式。 在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解:应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点(1,1) :
, 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式,并指 出其稳定性条件( x y) 。 解:常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f
t2
2.53t f 1.8336t f
2t 2t t a x 2 y 2
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根
n (n 1,2,6) :
n a Fo 2 0.2 并用计算机查明,当 时用式(3-19)表示的级数的第一项代替整个级数(计
算中用前六项之和来替代)可能引起 的误差。 解: n Bi 0.1 1.0 10
tan n
第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似, 为什么前者得到的是精确描述,而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程,也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数 用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5.对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法?试分析比较之. 6.什么是非稳态导热问题的显示格式?什么是显示格式计算中的稳定性问题? 7.用高斯-塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解?不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成?
第四章传热学

4. 非稳态导热4.1 知识结构1. 非稳态导热的特点;2. (恒温介质、第三类边界条件)一维分析解求解方法(分离变量,特解叠加)及解的形式(无穷级数求和);3. 解的准则方程形式,各准则(无量纲过余温度、无量纲尺度、傅里叶准则、毕渥准则)的定义式及其物理涵义; 4. 查诺谟图求解方法;5. 多维问题的解(几个一维问题解(无量纲过余温度)的乘积);6. 集总参数法应用的条件和解的形式;7. 半无限大物体的非稳态导热。
4.2 重点内容剖析4.2.1 概述在设备启动、停车、或间歇运行等过程中,温度场随时间发生变化,热流也随时间发生变化,这样的过程称为非稳态导热。
一.过程特点分类1. 周期性非稳态导热(比较复杂,本书不做研究) 如地球表面受日照的情况 (周期为24小时)对于内燃机气缸壁受燃气冲刷的情况,周期为几分之一秒,温度波动只在很浅的表层,一般作为稳态处理。
2. 非周期性非稳态导热:(趋于稳态的过程,非稳态 稳态) 例子:如图4-1,一个无限大平板,初始温度均匀,某一时刻左壁面突然受到一恒温热源的加热,分析平壁内非稳态温度场的变化过程: (1) 存在两个阶段初始阶段:温度变化到达右壁面之前(如曲线A-C-D ),右侧不参与换热,此时物体内分为两个区间,非稳态导热规律控制区A-C 和初始温度区C-D 。
正规状况阶段:温度变化到达右壁面之后,右侧参与换热,初始温度分布的tx1t 0t ABCDEF图4-1 非稳态导热过程的温度变化影响逐渐消失。
(2) 热流方向上热流量处处不等因为物体各处温度随时间变化而引起内能的变化,在热量传递路径中,一部分热量要用于(或来源于)这些内能,所以热流方向上的热流量处处不等。
二. 研究任务1. 确定物体内部某点达到预定温度所需时间以及该期间所需供给或取走的热量,以便合理拟定加热和冷却的工艺条件,正确选择传热工质;2. 计算某一时刻物体内的温度场及温度场随时间和空间的变化率,以便校核部件所承受的热应力,并根据它制定热工设备的快速启动与安全操作规程。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析

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第4章 非稳态导热的计算与分析
本章着重讨论非稳态导热问题 ——非稳态导热的基本概念 ——对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程 ——最简单的非稳态导热问题-集总热容系统
4
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第4章 非稳态导热的计算与分析
4.1 概述
非稳态导热的分类: ——周期性的非稳态导热(periodic unsteady heat conduction):由于边界条件(或内热源)随时间呈周 期性变化,使物体内的温度场也随时间按周期性规律变 化,这种状况通常称为准稳态
19
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4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
整个瞬态导热过程可以分为两个阶段: 初始阶段(initial regime):也称为非正规状况阶段,
指在穿透时刻之前阶段,此时平壁内的温度分布主要受 初始温度分布t0的影响。
正规状况阶段(regular regime):穿透时刻之后,非稳态 过程进行到一定的程度,平壁初始温度分布的影响逐渐消失,此 后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。这个阶段的非 稳态导热称为正规状况阶段。
第4章 非稳本态节导内热容的结计束 算与分析
1
• 稳态导热是一种理想化的情况 • 受环境温度变化的影响,生活和工程中真正意义上的稳 态导热是不存在的 • 只是对工程中的某些问题,忽略温度随时间变化所造成 的影响、误差不大,而将其简化为稳态导热
2
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• 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热的现 象和问题,其中物体内的温度明显随时间而变化 • ——冷冻食品的解冻过程 • ——烘烤食品(花生米、蛋糕等点心) • ——热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加热后 在水或空气中的冷却过程等 • ——焖井过程热量在地层内的扩散过程
传热学第4章对流换热(Convective Heat Transfer)

第一节:概述 工程应用背景
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节:概述
热对流 对流换热:
计算关系式
Φ hAtw tf
Φ hAtf tw
本章的主要任务:确定 h 的具体表达式
——请千万小心,步步都是富贵险中求。殊不知多少江湖英豪;名门侠女都 曾栽在这块看似山青湖静,实则风阴涛涌的领域!
第二节:对流换热问题的数学描写—对流换热微分方程组
二维、常物性、不可压、稳态
u v 0 x y
u
u x
v
u y
Fx
1
p x
2u x 2
2u y 2
u
v x
v
v y
Fy
1
p y
2v x 2
2v y 2
u
t x
v
t y
a
2t x 2
2t y 2
t
h tw t y w
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节:概述 求h主要有以下基本途径:
Φ h At w t f
h
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节:概述
影响对流换热的基本因素: 流动因素、几何因素和物性参数 流动因素 a 流动起因 自然对流(Natural Convection)—— 强迫对流(Forced Convection)—— b 流动状态 层流(Laminar Flow)—— 紊流(Turbulent Flow)—— c 流体有无相变(Phase Change) 凝结换热(Condensation Heat Transfer) 沸腾换热(Boiling Heat Transfer)
传热学第四章

第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布;b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
(1)温度场:【如图4-1a)所示】 ①首先,紧挨高温表面部分的温度很快上升, 而其余部分仍保持原来的温度t0,如图中曲线FBC所示; ②其次,随着时间的推移,温度变化波及的范围不断扩大, 以致在一定时间以后,右侧表面的温度也逐渐升高, 如图中曲线FC、FD所示; ③最后,达到一个新的稳态导热时,温度分布保持恒定, 如图中曲线FE所示。(λ为常数时,FE 为直线。)
t f ( x, y, z, )
dt (3)物体在非稳态导热过程中的温升速率: d
(4)某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题,必须首先求出: 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场,通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义(P53)
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如,锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热; 又如,在冶金、热处理和热加工等过程中,工件被加热或冷却 时的导热; 再有,大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见,研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸,详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi (P55)
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸
工程热力学与传热学 第四章对流换热

从公式可知,要计算热流量,温度及面积比较容易得到,
主要是如何求得对流换热系数α,这是研究对流换热的主要任
务之一。
确定α;
➢对流换热的任务 揭示α与其影响因素的内在关系;
增强换热的措施。
➢研究对流换热的方法 ➢ 分析法 ➢ 实验法
➢ 比拟法 ➢ 数值法
➢ 分析法:对描写某一类对流换热问题的偏微分方程及相应的定 解条件进行数学求解,从而获得速度场和温度场的分析解的方法。
➢关于速度边界层的几个要点
(1) 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小, << L
(2) 边界层内存在较大的速度梯度
(3) 边界层流态分层流与紊流;紊流边界层紧靠壁 面处仍有层流特征,粘性底层(层流底层)
(4) 流场可以划分为边界层区与主流区,主流区 的流体当作理想流体处理
热边界层
➢定义
当流体流过平板而平板的 温度tw与来流流体的温度t∞不相 等时,在壁面上方也能形成温 度发生显著变化的薄层,常称 0 为热边界层。
:流动边界层厚度 u 0.99u
t∞ u
δt δ
tw
x
l 如,空气外掠平
板u=10m/s:
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
➢速度边界层的形成及发展过程
紊流核心
临界距边离界xc层:从层流开始向紊流过渡的距离。其大小取决
于流体的物性、固体壁面的粗糙度等几何因素以及来流的稳定
相变换热:凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
4、流体的物理性质
流体内部和流体与壁面间导热热阻小 c 单位体积流体能携带更多能量
有碍流体流动,不利于热对流
自然对流换热增强
体胀系数:
1
(
传热和传质基本原理-----第四章-三传类比

相当于空气的相对湿度为30%。
38
4.5 边界层类比
流体流动的控制方程是非线性的偏微分方程组,处理 非线性偏微分方程依然是当今科学界的一大难题
实际工程问题:靠近固体 壁面的一薄层流体速度变 化较大,而其余部分速度 梯度很小
➢ 远离固体壁面,视为理想流 体--欧拉方程、伯努利方程
➢ 靠近固体壁面的一薄层流体, 进行控制方程的简化--流动 边界层
27
❖ 在薄层内取一微元体,那么进入微元体的热流为 由温度梯度引起的导热热流、由进入微元体的传 递组分本身具有的焓。
稳定状态时,微元体处于热平衡,满足下列关系式:
令
无因次数为传质阿克曼修正
系数,表示传质速率的大小、
方向对传热的影响。
28
得 边界条件为
令
得方程的解为:
代入边界条件,最后得到流体在薄层内的温度分别为:
水蒸 汽的汽化潜热r=2463.1kJ/kg,Sc=0.6.,Pr=0.7。 试计算干空气的温度。
2.试计算空气沿水面流动时的对流质交换系数hm和每小时从 水面上蒸发的水量。已知空气的流速u=3m/s,沿气流方向
的
水面长度l=0.3m,水面的温度为15 ℃,空气的温度20℃,
空气的总压力1.013*105Pa,其中水蒸汽分压力p2=701Pa,
➢边界层厚度
1904年普朗特首先提出
39
4.5.1 边界层理论的基本概念
边界层的定义
流体在绕过固体壁面流动时,紧 靠固体壁面形成速度梯度较大的 流体薄层称为流动边界层
流速相当于主流区速度的0.99处到固 体壁面间的距离定义为边界层的厚度
边界层的形成与特点 Re vl
平板绕流
Re x
v0 x
传热学课后习题第四章答案

选择步长 x y ,又边界为绝热 h 0 ,整理有
t i 1, j t i , j
即
t i , j 1 t i , j 2
t i , j 1 t i , j 2
0
2ti 1, j ti, j 1 ti, j 1 4ti, j 0
4-2 解:根据热平衡方程有
t 2 t10 t5 t 7 4t 6 0
对节点 7
t 3 t11 t 6 t8 4t 7 0
对节点 10
t 6 t14 t9 t11 4t10 0
对节点 11
t 7 t15 t10 t12 4t11 0
对节点 14
t10 t18 t13 t15 4t14 0
hxt f t i , j
t i , j 1 t i , j 2
hx
0
(t i 1, j t i , j 1 ) 2(1
h
x)t i , j 2
tf 0
4-3 解:根据已知条件,划分网格如图所示 第一类边界条件
t w 200C
第二类边界条件
3 200 (2t 4 t 8 100 ) 14 3 3 200 t8 (2t 5 t 7 t 9 ) 14 3 t7
节点 9 为第三类边界条件下的外拐角边界节点
ti1, j ti, j 1 (2Bi 2)ti, j 2Bi t f 0
对节点 20
t16 t 20 t t 24 20 (t19 t 20 ) hy t f t 20 0 2 2
对节点 16
传热学-第四章 对流换热的理论分析第一讲-动力工程

对流换热过程微分方程式
h(x Tw
T)
T y
w, x
与导热中的第三类边界条件有何本质差异?
流体中的温度梯度 流体的热物性
4-2 对流换热过程的数学描述
为便于分析,只限于分析二维对流换热
假设:a) 流体为不可压缩的牛顿型流体
4-1 对流换热概述
一、对流换热
1、定义:流体与固体壁直接接触、且存在相对运 动时所发生的热量传递过程
Tw T
对流换热与热对流不同 不是基本传热方式
对流 & 对流换热
对流,流体中温度不同的各部分之间,由于相对的 宏观运动而把热量从一处迁移至另一处的过程
流体在作相对宏观运动的同时,分子的微观运动并 没有停止,也就是说流体微团内部还以导热方式传递 热量,这一作用习惯上称为扩散作用
(2)动量传递和热量传递的类比法 利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律,由湍 流时的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
(3)实验法 用相似理论指导
四、对流换热过程的单值性条件
单值性条件:能单值地反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述:对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括四项:几何、物理、时间、边界 1、几何条件 说明对流换热过程中的几何形状和大小
速度边界层
在紧靠壁面的流体薄层内,由于分子导热,热量从 壁面传递到流体中
当热量通过导热自壁面传入流体后,一部分以焓的 形式被运动着的流体带向下游-----热对流;另一部分 则以热量的形式通过导热传向离壁面稍远的流体层----热扩散
热扩散
热对流
被加热的流体向前运动,带走了一部分热量,从而使 向垂直于壁面方向传递的热量逐渐减少;流体中的温 度变化率也逐渐衰减
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热

23/250291/4/16
0~τ范围内积分,得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律,即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小,型壁较厚,所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺,可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比,所以选择不同造型材料,即改变蓄热系数, 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成,它综合地反映了材料的蓄热能力,也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10-6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄(或放出)热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中,确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中,累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式:
qw ' Lctptw
d d
与式
第五版传热学第四章

3.C++ —— C plus plus,C语言的增强版,目前最常用的应用程序设计 语言,数值计算软件主要使用的语言。
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件,暖通空调专业和传热学领域必备软件
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场, 用有限个离散点的值的集合 来代替,通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程,来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
物理问题的数值求解过程
优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算 (k+1)Δ τ 时刻温度分布
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四节 常用算法语言和计算软件简介
一、常用算法语言
1.FORTRAN语言 ——Formula Translation,数值计算领域所使用的主要语言。
2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合 起来的应用程序设计语言。
k k k k ti Fo ti 1 ti 1 1 2 Foti
优点——可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算(k+1)Δ τ 时刻温度分布 缺点——选择Δ x和 Δ τ 时必须满足稳定性条件 a a 1 或 1 2 0 2 2 x x 2
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
t 2t a x 2
传热学课件第四章非稳态导热

圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
a
(R / 2)2
Fo a
R2
h(R / 3)
BiV
a
FoV (R / 3)2
(2)对于形状如平板、柱体或球的物体,只要满足 Bi0.1,就可以使用集总参数法计算,偏差小于5%。
x 1
w tw t f 500 1000 0.51 0 to t f 20 1000
查图可知:在平板表面上 w m 0.81
平板中心的无量纲过余温度
m w w 0.51 0.63 0 0 m 0.81
查图可知 Fo 1.2
2
Fo
正规状况阶段 新稳态阶段 两个特点: 1. 在非稳态导热的过程中,物体内的温度变化 是逐层“传播”的,各点的温度随时间不断地变化。 2. 在与热流方向相垂直的各个截面上的热流量 处处不等,即使在同一截面上,不同时刻的热流量 也不相等,物体内有能量的积聚或散失。
第二节 集总参数法
当Bi0.1时,物体内部的导热热阻远小于其表面 的对流换热热阻,可以忽略,物体内部各点的温度 在任一时刻都近似于均匀,物体的温度只是时间的 函数。对于这种情况,只须求解物体温度随时间的 变化规律以及物体放出或吸收的热量。
• 例4-1 一块厚20mm的钢板,加热到 500℃后置于20℃的空气中冷却。设 冷却过程中钢板两侧面的平均换热
系数为80 W /(m K),钢板的导热系 数为45 W /(m K),热扩散率为 1.37× 105 m2 / s 。试确定使钢板冷 却到30℃时所需的时间。
高等传热学-相变-第4章

第四章 流动沸腾液体在管道或回路中流动时,产生的沸腾现象称为流动沸腾。
这种流动可能是外力强制形成,也可能是回路内的流体的密度差引起的自然循环。
由于流动沸腾中伴随着各种类型的汽液两相流动,所以比池内沸腾更复杂。
目前还无法对流动沸腾过程进行解析求解,研究的途径主要是实验。
§4-1 流型与沸腾工况流动沸腾的特点:1). 由于管道的沿途加热和液体蒸发,汽液两相流的流型会发生一系列的变化。
2). 随着容积流量的增大,流体逐步加速使压力降增大,而引起系统压力的下降,饱和温度也随之降低,这反过来对流型和沸腾产生影响。
因此,对沿加热管的流动沸腾,需分段进行分析计算。
3). 工程上,加热管的配置有竖直和水平两种典型方式(倾斜布置管道处于二者之间)。
在这两种情况下的流动和沸腾特性有明显的差别,一般分开研究。
一、竖直管内流动沸腾的流型和换热工况如图,是典型的竖直管内流动沸腾的流型和换热工况。
当单相流体从下部进入加热管后,①一开始,加热壁上尚不具备成核条件,这时流动为单相流,换热工况为液体的单相对流换热(A区)。
②随着液体被加热,温度升高,逐步使壁面上的某些开始满足成核条件,开始出现小汽泡。
当汽泡长大到一定尺寸后,脱离壁面进入主流,在汽泡刚开始产生的阶段,液体核心区的温度高低于对应的主流压力下的饱和温度,使脱离壁面而后的小汽泡很快在过冷的液体中凝结,加速液体升温,使换热增强。
这时的换热工况为流动过冷沸腾,其流型是泡状流(B区)。
③当液体的主流温度达到饱和温度后,进入主流的汽泡不再凝结,换热进入饱和沸腾工况。
④随着液体中汽泡数量的不断增加,小汽泡之间发生碰撞与合并,开始出现较大的汽团或称弹状大汽泡,其流型由泡状流演变为弹状流动(仍为饱和沸腾)。
⑤随着液体的进一步汽化,含汽量的增加,两相流型转变为环状流,即汽相在管中心区,而液相附着于管壁上。
⑥随着液层的变薄,壁面上的沸腾逐渐被抑制,汽化转变为汽液分界面上的蒸发,换热工况由饱和沸腾逐步变为强制对流蒸发。
《传热学》第四章复习题答案

《传热学(第四版)》第四章复习题答案1.试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
答:基本思想:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理量的值。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
步骤:①建立控制方程及定解条件;②区域离散化;③建立物理量的代数方程;④用迭代法求解时,设立迭代初场;⑤求解代数方程组;⑥解的分析。
2.试说明用热平衡法对节点建立温度离散方程的基本思想。
答:对以节点所代表的元体用傅立叶定律直接写出其能量守恒表达式,得到以元体为研究对象的传热代数方程。
3.推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似,为什么前者得到的是精确描写,而由后者解出的却是近似解。
答:因为微分方程的研究对象是微元体,而用热平衡法建立的节点温度离散方程的研究对象是元体。
微分方程的微元体可以达到无限小,从而可准确描述物体内任一点的连续函数。
而热平衡法对有限大小元体内的分布函数用节点处的值代替,从而得到近似解,不能得到准确解。
4.第三类边界条件边界节点的离散方程,也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡法建立起来的离散方程的异同与优劣。
答:由教材P175 式(a),(b)可得:在x方向上有:ðt ðx |m,n≈t m+1,n−t m,nΔxðt ðx |m,n≈t m,n−t m−1,nΔx同理在y方向上有:ðt ðy |m,n≈t m,n+1−t m,nΔyðt ðy |m,n≈t m,n−t m,n−1Δy从而可得:−λðtðx|m,n≈−λt m+1,n−t m,n∆x=ℎ(t f−t m,n)t m,n=t m,n−1−ℎΔxλt f+ℎΔxλt m,n⇒(1−ℎΔxλ)t m,n=t m,n−1−ℎΔxλt f其它式子可类似导出。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法

23
判断迭代是否收敛的准则:
迭代次数,表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时,选此准则较好
24
例题:
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解: 第三类边界条件下,常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论:
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出,不必联 立求解方程组,这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度;
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件,即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件:已知全部边界的温度,作为已知值加入到内节点的离散方程中, 组成封闭的代数方程组,直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件:部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
传热学 第四章 对流传热原理

h相变 >h单相
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4. 壁面的几何形状、大小和位臵
换热表面的形状/大小/换热表面与流体流动方向的 相对位置以及换热表面的状态(光滑或粗糙) 内部流动对流换热:管内或槽内 外部流动对流换热:外掠平板、圆管、管束
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雷诺数的物理意义
ul ul u Re u
l
2
惯性力与黏性力之比
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3. 流体有无相变
单相换热 流体的显热变化
相变换热 沸腾、凝结、升华、 凝固、融化等
要有有限差分法、有限元法、有限分析法、边界元
法等等。 各种数值方法的根本区别主要在区域离散
和方程离散处理方法的不同,其基本思想大致可描
述为:把原来在时间和空间坐标中连续的物理量场
(如速度场、温度场、浓度场等), 用有限个离散 点上的值的集合来代替,按一定方式建立起关于这 些值的代数方程并求解之。
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1. 流动的起因或其他外 部动力源所造成
强迫对流换热
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流动的起因不同,流体中的速度场也有差 别,所以传热规律就不一样了,从而对流换热 系数也不同。 一般来说,同一种流体的强迫对流换热系
对流传热的基本公式
传热学-第四章

即:
Φ
Φ
i
i
& + Φv = Φ ⇓
o
o
+ Φτ
[W]
+ (− Φ
& ) + Φv = Φτ
从所有方向流入控制体的总热流量+控制体内热源生成热=控制体内能的增量
稳态、无内热源时:
从所有方向流入控制体的总热流量=0
内部节点(m,n):
Φ w + (−Φ e ) + Φ s + (−Φ n ) = 0
y o x Δx
N
tm,n
控制容积:节点所代表的区域 界面线:控制容积的边界线 (3) 区域离散化
M
离散方程:节点上物理量的代数方程,如tm,n
t m ,n
1 = (t m −1,n + t m +1,n + t m ,n −1 + t m ,n +1 ) 4
(4) 设立迭代初场 对各点物理量设置初始值 (5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组 (6) 解的分析 根据温度分布,求热流
一阶、二阶导数的常用差分表达式
导 数 差分表示式 截断误差 备注
ti +1 − ti Δx
O(Δx) O(Δx)
i点的向前差分 i点的向后差分 i点的中心差分 i点的中心差分
⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠i
ti − ti −1 Δx ti +1 − ti −1 2Δx
O(Δx 2 ) O(Δx 2 )
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法 ① 能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计 算提供比较依据; ② 分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见; ③ 局限性很大,对复杂的问题无法求解;
传热学-第四章22

边界节点方程
( ( ( ( t Ni )−1 − t Ni ) ∆x t Ni +1) − t Ni ) ( λ + h(t f − t Ni ) ) = ρc ∆x 2 ∆τ
( i +1) N
t
2h∆τ 2a∆τ 2a∆τ (i ) 2h∆τ = t 1 − ρc∆x − ∆x 2 + ∆x 2 t N −1 + ρc∆x t f
50 × 0.02 Bi1 = = = 0.01 λ 100
hδ
400 × 0.02 Bi 2 = = =1 λ 8
hδ
第四章 热传导问题数值解法
②稳定性分析
外节点判据: − 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ − 2 Fo∆ ) ≥ 0 (1 1 Fo∆ ≤ (1+Bi∆) 2 内节点判据: − 2 Fo∆ ) ≥ 0, Fo∆ ≤ (1 1 2
§ 4-4 计算机解题介绍
为了有一定的精度,网格要细, 为了有一定的精度,网格要细,节点往 往很多。 往很多。这样就要解很多个方程的线性方程 这样的方程组如用手是无法求解的, 组。这样的方程组如用手是无法求解的,只 能用计算机。 能用计算机。
题解 分析:取∆=x=0.01m,则 分析: ,
Bi∆ = 1000 × 0.01 = 0.25 λ 40 1 1 Fo∆ ≤ = ,取 Fo∆=1的计算结果会振荡。 2(1 + Bi∆ ) 2.50 = h ∆x
计算结果汇总如下表所示。
讨论:从上表可以看出,从i=3时刻起出现了各点温度随时间作忽高忽低的波 动情况,并且波动幅度越来越大;某点温度越高反使其相继时刻的温度越低, (3) (4) t0 > t1(3) t0 < t1(4) 例如 ,但 ,这种现象是荒谬的,它违反了热力学第二 定律(意味着,在该时间间隔中从某一时刻起热量将自动地由低温点向高温 点传递)。数值计算中出现的这种计算结果忽高忽低的波动现象,数学上称 为不稳定性。因此,保证数值计算格式的稳定性是很重要的。
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50 × 0.02 Bi1 = = = 0.01 λ 100
hδ
400 × 0.02 Bi 2 = = =1 λ 8
hδ
第四章 热传导问题数值解法
(i ) N
式中 Fo∆ =
a∆τ 网格傅里叶数 ∆x 2
h∆τ λ ∆τ h∆x = = Fo∆ ⋅ Bi∆ 2 ρc∆x ρc ∆x λ
( ( ( ) t Ni +1) = t Ni ) (1 − 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ − 2 Fo∆ ) + 2 Fo∆ t Ni −1 + 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ t f
∆τ
从第二式得出
∂t ∂τ
=
n ,i
( ( t ni ) − t ni −1)
∆τ
+ O ( ∆τ ) ≈
( ( t ni ) − t ni −1)
∆τ
difference。 向后差分 back difference。
∂t 二级数相减: 二级数相减: ∂τ
( ( ( ( t ni +1) − t ni −1) t ni +1) − t ni −1) 2 = + O(∆τ ) ≈ 2∆τ 2∆τ
n ,i
( 显式格式
explicit finite difference scheme )
如扩散项用( +1)时层的值来表示 如扩散项用(i+1)时层的值来表示
( ( ( ( ( tni +1) − tni ) tni++1) − 2tni +1) + tni−+1) 1 =a 1 ∆τ ∆x 2
(隐式格式 implicit finite difference scheme) )
例题4-3厚 的无限大平板受对称的冷却,初始温度t。 例题 厚2δ=0.06 m 的无限大平板受对称的冷却,初始温度 。=100℃。在初始瞬间, ℃ 在初始瞬间, 平板突然被置于t。 ℃的流体中。 平板突然被置于 。=0℃的流体中。已知平板λ=40 W/(m2·K),h=1 000W/(m2·K), , / 试用数值法求解其温度分布。 试用数值法求解其温度分布。取Fo∆=1。 。
例题 t0 = 200 0 C,∞ = 25 t 针肋如右图所示,碳钢=43.2W/(m.K) =43.2W/(m.K), 针肋如右图所示,碳钢=43.2W/(m.K), h = 120 W m 2 ⋅ K 求其温度分布及换热量。 求其温度分布及换热量。
0
C
解: P = π d = 0.03141 m
θ 3 −θ 4 ∆x λAc = hP θ 4 ∆x 2
m 2 ∆x 2 (2 + m 2 ∆x 2 )θ 4 = 2θ 3 θ3 − θ 4 = θ4 ⇒ 2
(2 + m (2 + m (2 + m
2 2 2
∆x2 θ ∆x2 ∆x2
) )θ )θ
2 3 4
= θ1 + θ3 =θ
2
+θ4ຫໍສະໝຸດ = 2θ 3得 Φ = λ Ac
θ1 − θ 2
∆x
2 2
=λ
π d 2 θ1 − θ 2
4 ⋅ ∆x
如采用粗网格, ∆x = 15 则类似可以得 :
(2 + m (2 + m
∆x θ 2 = θ1 + θ 3
2
∆x
2
) )θ
3
= 2θ 2
三种情况的计算结果如下: 三种情况的计算结果如下: X 0 175 175 175 10 139.5 139.8 128.13
a∆τ ( i ) 2a∆τ ( = tn+1 + tni−)1 ) + 1 − 2 ( ∆x ∆x 2
− 2t + t ∆x
(i ) n 2
(i ) n −1
∂t ∂x ∂t ∂x
+
n ,i
i i tn +1 − tn = ∆x i i tn − tn −1 = ∆x
−
(i ) tn
误差
15 127.9
20
30
θ θ θ
热量计算: 热量计算:
119.7 113.4 120.13 113.8 114.29
Φ =15.06 W 精确解 Φ =11.94 W 四节点 21% Φ =10.52 W 三节点 30% 如取5 节点, 如取5 节点, 则Φ 的误差为 19%
§ 4-3 非稳态导热问题的数值解法
一维无限大平板非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析 ①显式格式离散方程组 内节点
( ( ( ( tni +1) = Fo∆ ( tni+)1 + tni−)1 ) + (1 − 2 Fo∆ ) tni ) (1) (tn =t0,n=1,2, ,N-1) L
( ( ( ) 边界节点 t Ni +1) = t Ni ) (1 − 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ − 2 Fo∆ ) + 2 Fo∆ t Ni −1 + 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ t f ( ( (t−i1) = t2i ) )
Θn =
tn − t f t0 − t f
n n
η=
∑ ∆A (t
n =1 n
N
n
− t f )h − tf )× h
∑ ∆A × (t
n =1 n
N
=
0
∑ ∆A ×1× h
n =1 n
n =1 N
∑ ∆A Θ h
n n
N
=
∑ ∆A Θ
n =1 N
N
∑ ∆A
n =1
n
∆An = 2π rn ∆R, n = 2,3...N − 1
( t ni −1)
∂t ( = t ni ) − ∆τ ∂τ
∂t ∂τ =
∆τ 2 ∂ 2 t + 2 ∂τ 2 n ,i
−L
n ,i
( ( t ni +1) − t ni )
从第一式得出
∆τ 向前差分 forward difference
n ,i
( ( t ni +1) − t ni )
+ O(∆τ ) ≈
∆R ∆A1 = 2π r1 2 ∆R ∆AN = 2π rN 2
第四章 热传导问题数值解法
数值结果及分析
网格独立解: 网格独立解: N>=36
第四章 热传导问题数值解法
(m =
h H 3/ 2 ) λ AL
第四章 热传导问题数值解法
Example 4-5 短直肋效率的计算
例题4-5如图所示,一粗而短的肋片的三个表面与温度为 的流体换热 的流体换热, 例题 如图所示,一粗而短的肋片的三个表面与温度为tf的流体换热,且表面 如图所示 传热系均为h。试计算在下表所示的两种条件下肋片的效率, 传热系均为 。试计算在下表所示的两种条件下肋片的效率,并与一维分析解的 结果相比较。(判断肋片可以按一维问题处理的主要依据。 。(判断肋片可以按一维问题处理的主要依据 结果相比较。(判断肋片可以按一维问题处理的主要依据。 )
θ4
d θ ∆x = 10 = m 2θ 2 dx θ1 节点2 节点2: + θ3 − 2θ 2 = m 2θ 2 2 ∆x 2 2 (2 + m ∆x )θ 2 = θ1 + θ3 同理得节点3 同理得节点3 (2 + m 2 ∆x 2 )θ = θ + θ 3 2 4
2
∆x
节点4 用热力学第一定律, 节点4 用热力学第一定律,导入的热量应等于对流散出 的热量,固有: 的热量,固有:
导热微分方程的建立
由:ρ c ∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t (λ r ) + 2 (λ ) + (λ ) + = ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ ∂φ ∂z ∂z K
1 d r dr
(r
dt dr
)+
λ
=0
r = r1 , t = t0 ; dt r = r2 , =0 dr
第四章 热传导问题数值解法
题解 分析:取∆=x=0.01m,则 分析: ,
Bi∆ = 1000 × 0.01 = 0.25 λ 40 1 1 Fo∆ ≤ = ,取 Fo∆=1的计算结果会振荡。 2(1 + Bi∆ ) 2.50 = h ∆x
计算结果汇总如下表所示。
讨论:从上表可以看出,从i=3时刻起出现了各点温度随时间作忽高忽低的波 动情况,并且波动幅度越来越大;某点温度越高反使其相继时刻的温度越低, (3) (4) t0 > t1(3) t0 < t1(4) 例如 ,但 ,这种现象是荒谬的,它违反了热力学第二 定律(意味着,在该时间间隔中从某一时刻起热量将自动地由低温点向高温 点传递)。数值计算中出现的这种计算结果忽高忽低的波动现象,数学上称 为不稳定性。因此,保证数值计算格式的稳定性是很重要的。
• 多非稳态项 • 扩散项的处理方法与前一样 数学描述 区域离散化 建立节点物理量的代数方程 设立迭代初场 求解代数方程组 解的分析 以一维为例: 以一维为例: 空间坐标 x 1∼N ∆x 空间步长 时间坐标 τ 1∼I ∆ τ 时间步长 (n,i)代表了时间空间区域中的一个 接点位置 t(i)n
在节点( n,i- 对点( 将温度函数 t 在节点(n,i+1)和(n,i-1)对点(n,i)作泰勒展开 ∆τ 2 ∂ 2t ∂t ( i +1) (i ) t n = t n + ∆τ + +L 2 ∂τ n ,i 2 ∂τ n ,i
R = R1 , Θ = 1;
dΘ =0 R = R2 , dR