08张量分析4
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再由轮换定理
A12 = 0 A21 = 0
A11 = A22 = A33 = λ A12 = A23 = A31 = A21 = A32 = A13 = 0
所以有
Aij = λδ ij
这是二阶各向同性张量分量的一般形式。
♣ 三阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11 β11 β11 A111 = ( −1) A111 = − A111 A111 = A111
若对任一自变量（例如 b ）满足
φ = f ( a , αb + βb′ ) = α f ( a , b ) + β f ( a , b′ ) （1.11）
则称为线性函数，容易验证（1.9a）式为双线性函数， （1.9b）式为四重线性函数。 一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如
f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x2 , y2 )
不难得知，指标中有三个 1 一个 2 或三个 1 一个 3 的分量也有同样结果
A1112 = A1121 = A1211 = A2111 = 0 A1113 = A1131 = A1311 = A3111 = 0
再由轮换定理
Hale Waihona Puke Baidu
A1112 = A2223 = A3331 = 0 A1211 = A2322 = A3133 = 0 A1113 = A2221 = A3332 = 0 A1311 = A2122 = A3233 = 0
附 1.1
用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
′ = Aij Aij
′ ℓ = Aijk ℓ Aijk
♣ 一阶张量
一阶张量满足
ai′ = β ij a j = β i1a1 + β i 2 a2 + β i3 a3
0 1 0 β ij = 0 0 1 1 0 0
根据各向同性张量定义和变换 II（ II（附图 1b）
′ = β12 a2 = ( +1) a2 = a2 a1 = a1 ′ = β23 a3 = ( +1) a3 = a3 （1.1a） a2 = a2 ′ = β31a1 = ( +1) a1 = a1 a3 = a3
A111 = A222 = A333 = 0 A112 = A223 = A331 = 0 A113 = A221 = A332 = 0
至此 27 个分量全为零，表明 ★ 不存在三阶各 不存在三阶各向同性张量 向同性张量
A121 = A232 = A313 = 0 A131 = A212 = A323 = 0
a1 = a2 = a3
根据变换 I（附图 1a） （1.1b）
′ = β11a1 = ( −1) a1 = − a1 a1 = a1
a1 = a2 = a3 = 0
1
a1 = 0
这表明 ★ 不存在一阶各 不存在一阶各向同性张量 从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理： 将各向同性张量分量指标作置换 1 例如
附录 1 各向同性张量分量 各向同性张量分量的构成 分量的构成
通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。 一是利用某些特殊的坐标变换， 根据各向同性张量定义直 接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的 Chauchy 表示定理求分量表达式。前者较 为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。
（1.7）式为正交变换的充要条件，也可作为正交变换的定义。满足（1.7）式的张量称为正交张量。 由此可见 ★ 正交变换具有保点积性，反之保点积性 反之保点积性的变换必为 保点积性的变换必为正交变换 的变换必为正交变换 再讨论一种有重要应用的张量函数，即自变量为向量组，函数为标量的张量函数：
φ = f ( u1 , u2 , ... , um )
所以有 3 个指标相同的分量全为 0。
A1121 = A2232 = A3313 = 0 A2111 = A3222 = A1333 = 0 A1131 = A2212 = A3323 = 0 A3111 = A1222 = A2333 = 0
第三，考虑 2 个指标相同另两个不同的分量（共 36 个）
由轮换定理
A1111 = A2222 = A3333 = η
第二，考虑 3 个指标相同的分量（共 24 个） 根据变换 I（附图 1a）
（1.2）
′ = β11 β11β11β 22 A1112 = ( −1) ( +1) A1112 = − A1112 A1112 = A1112
3
A1112 = 0
(
)
T( ik )
上式虽然未出现（1.2）式的 η ，但实际上包括了 i = j = k = ℓ 的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
η = λ + µ +γ
可见η 不是独立参数。 （1.3）式是四阶各向同性张量分量的一般形式。 从以上讨论可知，奇数阶张量不是各向同性张量，这是否为普遍规律？另外当阶数进一步升高，用上面方 法构造各向同性张量非常困难。
至此 81 个分量全部确定，归纳为
Aijk ℓ = λδ ijδ k ℓ + µδ ik δ jℓ + γδ iℓδ jk （1.3）
Aijk ℓ = λδ ijδ k ℓ + µ (δ ijδ k ℓ )
T
T( jk )
T + γ δ ij δ kℓ
(
)
T( ik )
A = λ I I + µ ( I I ) ( jk ) + γ I T I
附 1.2
用线性张量函数和 Chauchy 表示定理求分量表达式 表示定理求分量表达式
♣ 各向同性张量函数与 各向同性张量函数与 Chauchy 表示定理
自变量为张量的函数称张量函数，其函数值可以是标量，也可以是张量，例：
v = Aiu
v i = Aij u j （1.4）
f
(
u、 v 为向量， A 为二阶张量。当 A 为固定值， u 为变量时， v 为 u 的张量函数，函数关系为， （1.4）式记为 )= A i ( )，
对于各向同性标量函数，有著名的 Chauchy 表示定理: 表示定理: 标量函数为各向同性的充要条件为函数可表示为 自变量点积的函数：
f ( u1 , u2 , ... , um ) = φ ( ui i u j )
v 1 i v 2 = ( Q i u1 ) i ( Q i u2 )
若点积不变，必有
↔
v1iv 2i = Qk i Qk j u1i u2 j
Qk i Qk j = δi j
↔
Q i Q T = I （1.7）
↔ v 1 i v 2 = u1 i u2
v1iv 2i = δij u1iu2 j = u1i u2i
3
根据变换 I（附图 1a）
′ = β33 β33 β11 β22 A3312 = ( +1) ( −1)( +1) A3312 = − A3312 A3312 = A3312
2
A3312 = 0
不难得知，指标中有两个 3，或两个 2 的分量也有同样结果
A3312 = A3321 = ... = A1323 = 0 A2231 = A2213 = ... = A3212 = 0
′ = β12 β12 β 21 β21 A2211 = ( +1) ( +1) A2211 A1122 = A1122
2 2
同理
A1212 = A2121
再由轮换定理
4
A1221 = A2112
A1122 = A2211 = A2233 = A3322 = A3311 = A1133 = λ A1212 = A2121 = A2323 = A3232 = A3131 = A1313 = µ A2112 = A1221 = A3223 = A2332 = A1331 = A3113 = γ
3
A111 = 0
不难得知，指标中有两个 2，一个 1 或两个 3，一个 1 或三个指标均不同的分量也有同样结果
A133 = A313 = A331 = 0
A122 = A212 = A221 = 0
A123 = A231 = A312 = A132 = A213 = A321 = 0
再由轮换定理
2
x1 ≠ x2
y1 ≠ y2
x f ( x , y) = φ y
但对某些函数，自变量的按一定规律变化时，函数值将保持不变，例如
当
x1 x2 = ， y1 y2
有
x x f ( x1 , y1 ) = φ 1 = φ 2 = f ( x2 , y2 ) （ x1 ≠ x2 y1 y2
A211 = A322 = A133 = 0 A311 = A122 = A233 = 0
♣ 四阶张量
第一，考虑 4 个指标相同的分量（共 3 个） 根据变换 I（附图 1a）
′ = β11 β11 β11 β11 A1111 = ( −1) A1111 = A1111 A1111 = A1111
4
考虑附图 1 特殊坐标变换
附图 1
特殊坐标变换
′) e3 ( e3
反射变换 （I） （a）
′ e1
′) e2 ( e2
e1 ′) e3 ( e2
−1 0 0 β ij = 0 1 0 0 0 1
轮换旋转变换（ （II） II） （b）
′) e2 ( e1 ′) e1 ( e3
2 , 2
3
, 3
1 所得的分量值不变。
A11 = A22 = A33 A12 = A23 = A31 A21 = A32 = A13
♣ 二阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11β11 A11 = ( −1) A11 = A11 A11 = A11
2
′ = β11 β 22 A12 = ( −1) ( +1) A12 = − A12 A12 = A12 ′ = β 22 β11 A21 = ( +1)( −1) A12 = − A21 A21 = A21
2
类似
′ = A1212 A1212
根据附图 2 变换 III 可证 1，2 指标可交换
′ = A2112 A2112
附图 2
反射与旋转复合 反射与旋转复合变换 与旋转复合变换 （III） III）
′) e3 ( e3 ′) e2 ( e1 ′) e1 ( e2
0 1 0 β ij = 1 0 0 0 0 1
再由轮换定理
(12个) (12个)
A1123 = A1132 = ... = A2131 = 0
36 个分量全为 0。 第四，考虑指标中有两对重复的分量（共 18 个） 根据变换 I（附图 1a）
(12个)
′ = β11 β11β 22 β 22 A1122 = ( −1) ( +1) A1122 = A1122 A1122
例如
【双点积】
（1.8）
φ = A : a b = Aij ai b j
（1.9a）
【四重点积】
φ = A ┋ a b c d = A ijkℓ ai b j ck d ℓ
6
（1.9b）
当式中二阶或四阶张量 A 取固定值时，上式为向量的标量函数
φ = f ( a , b ) （1.10a） φ = f (a , b ， c , d ) （1.10b）
y1 ≠ y2 ）
类似地，对于某些张量函数（ （1.8）式） ，自变量按正交变换（ （1.6）式）变化时函数值将保持不变，这 类函数称为各向同性标量函数 各向同性标量函数： 量函数：
f ( u1 , u2 , ... , um ) = f ( Q i u1 , Q i u2 , ... , Q i um ) （1.12）
v = f ( u ) （1.5）
f 或 A 亦称为变换或映射，它把一向量变换为另一向量（见附图 3a） 。
5
y2
附图 3
向量的变换
v = f ( u)
v2 v1
θ
y2
u2
θ
u
y1
u1
y1
（a） 向量变换的图示
（b）正交变换保持长度和夹角不变
如果某变换
v = Q i u （1.6）
保持任意两个向量的点积不变，则称为正交变换。我们知道，点积决定向量的长度和夹角，因此,在正交变换 下，向量的长度与向量之间的夹角不变（见附图 3b） 。 ★ 这里的正交变换 这里的正交变换是同一坐标系的变换 正交变换是同一坐标系的变换， 是同一坐标系的变换，定义卡氏张量的正交变换 定义卡氏张量的正交变换是不同坐标系间的变换 正交变换是不同坐标系间的变换 因为
A12 = 0 A21 = 0
A11 = A22 = A33 = λ A12 = A23 = A31 = A21 = A32 = A13 = 0
所以有
Aij = λδ ij
这是二阶各向同性张量分量的一般形式。
♣ 三阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11 β11 β11 A111 = ( −1) A111 = − A111 A111 = A111
若对任一自变量（例如 b ）满足
φ = f ( a , αb + βb′ ) = α f ( a , b ) + β f ( a , b′ ) （1.11）
则称为线性函数，容易验证（1.9a）式为双线性函数， （1.9b）式为四重线性函数。 一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如
f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x2 , y2 )
不难得知，指标中有三个 1 一个 2 或三个 1 一个 3 的分量也有同样结果
A1112 = A1121 = A1211 = A2111 = 0 A1113 = A1131 = A1311 = A3111 = 0
再由轮换定理
Hale Waihona Puke Baidu
A1112 = A2223 = A3331 = 0 A1211 = A2322 = A3133 = 0 A1113 = A2221 = A3332 = 0 A1311 = A2122 = A3233 = 0
附 1.1
用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
′ = Aij Aij
′ ℓ = Aijk ℓ Aijk
♣ 一阶张量
一阶张量满足
ai′ = β ij a j = β i1a1 + β i 2 a2 + β i3 a3
0 1 0 β ij = 0 0 1 1 0 0
根据各向同性张量定义和变换 II（ II（附图 1b）
′ = β12 a2 = ( +1) a2 = a2 a1 = a1 ′ = β23 a3 = ( +1) a3 = a3 （1.1a） a2 = a2 ′ = β31a1 = ( +1) a1 = a1 a3 = a3
A111 = A222 = A333 = 0 A112 = A223 = A331 = 0 A113 = A221 = A332 = 0
至此 27 个分量全为零，表明 ★ 不存在三阶各 不存在三阶各向同性张量 向同性张量
A121 = A232 = A313 = 0 A131 = A212 = A323 = 0
a1 = a2 = a3
根据变换 I（附图 1a） （1.1b）
′ = β11a1 = ( −1) a1 = − a1 a1 = a1
a1 = a2 = a3 = 0
1
a1 = 0
这表明 ★ 不存在一阶各 不存在一阶各向同性张量 从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理： 将各向同性张量分量指标作置换 1 例如
附录 1 各向同性张量分量 各向同性张量分量的构成 分量的构成
通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。 一是利用某些特殊的坐标变换， 根据各向同性张量定义直 接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的 Chauchy 表示定理求分量表达式。前者较 为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。
（1.7）式为正交变换的充要条件，也可作为正交变换的定义。满足（1.7）式的张量称为正交张量。 由此可见 ★ 正交变换具有保点积性，反之保点积性 反之保点积性的变换必为 保点积性的变换必为正交变换 的变换必为正交变换 再讨论一种有重要应用的张量函数，即自变量为向量组，函数为标量的张量函数：
φ = f ( u1 , u2 , ... , um )
所以有 3 个指标相同的分量全为 0。
A1121 = A2232 = A3313 = 0 A2111 = A3222 = A1333 = 0 A1131 = A2212 = A3323 = 0 A3111 = A1222 = A2333 = 0
第三，考虑 2 个指标相同另两个不同的分量（共 36 个）
由轮换定理
A1111 = A2222 = A3333 = η
第二，考虑 3 个指标相同的分量（共 24 个） 根据变换 I（附图 1a）
（1.2）
′ = β11 β11β11β 22 A1112 = ( −1) ( +1) A1112 = − A1112 A1112 = A1112
3
A1112 = 0
(
)
T( ik )
上式虽然未出现（1.2）式的 η ，但实际上包括了 i = j = k = ℓ 的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
η = λ + µ +γ
可见η 不是独立参数。 （1.3）式是四阶各向同性张量分量的一般形式。 从以上讨论可知，奇数阶张量不是各向同性张量，这是否为普遍规律？另外当阶数进一步升高，用上面方 法构造各向同性张量非常困难。
至此 81 个分量全部确定，归纳为
Aijk ℓ = λδ ijδ k ℓ + µδ ik δ jℓ + γδ iℓδ jk （1.3）
Aijk ℓ = λδ ijδ k ℓ + µ (δ ijδ k ℓ )
T
T( jk )
T + γ δ ij δ kℓ
(
)
T( ik )
A = λ I I + µ ( I I ) ( jk ) + γ I T I
附 1.2
用线性张量函数和 Chauchy 表示定理求分量表达式 表示定理求分量表达式
♣ 各向同性张量函数与 各向同性张量函数与 Chauchy 表示定理
自变量为张量的函数称张量函数，其函数值可以是标量，也可以是张量，例：
v = Aiu
v i = Aij u j （1.4）
f
(
u、 v 为向量， A 为二阶张量。当 A 为固定值， u 为变量时， v 为 u 的张量函数，函数关系为， （1.4）式记为 )= A i ( )，
对于各向同性标量函数，有著名的 Chauchy 表示定理: 表示定理: 标量函数为各向同性的充要条件为函数可表示为 自变量点积的函数：
f ( u1 , u2 , ... , um ) = φ ( ui i u j )
v 1 i v 2 = ( Q i u1 ) i ( Q i u2 )
若点积不变，必有
↔
v1iv 2i = Qk i Qk j u1i u2 j
Qk i Qk j = δi j
↔
Q i Q T = I （1.7）
↔ v 1 i v 2 = u1 i u2
v1iv 2i = δij u1iu2 j = u1i u2i
3
根据变换 I（附图 1a）
′ = β33 β33 β11 β22 A3312 = ( +1) ( −1)( +1) A3312 = − A3312 A3312 = A3312
2
A3312 = 0
不难得知，指标中有两个 3，或两个 2 的分量也有同样结果
A3312 = A3321 = ... = A1323 = 0 A2231 = A2213 = ... = A3212 = 0
′ = β12 β12 β 21 β21 A2211 = ( +1) ( +1) A2211 A1122 = A1122
2 2
同理
A1212 = A2121
再由轮换定理
4
A1221 = A2112
A1122 = A2211 = A2233 = A3322 = A3311 = A1133 = λ A1212 = A2121 = A2323 = A3232 = A3131 = A1313 = µ A2112 = A1221 = A3223 = A2332 = A1331 = A3113 = γ
3
A111 = 0
不难得知，指标中有两个 2，一个 1 或两个 3，一个 1 或三个指标均不同的分量也有同样结果
A133 = A313 = A331 = 0
A122 = A212 = A221 = 0
A123 = A231 = A312 = A132 = A213 = A321 = 0
再由轮换定理
2
x1 ≠ x2
y1 ≠ y2
x f ( x , y) = φ y
但对某些函数，自变量的按一定规律变化时，函数值将保持不变，例如
当
x1 x2 = ， y1 y2
有
x x f ( x1 , y1 ) = φ 1 = φ 2 = f ( x2 , y2 ) （ x1 ≠ x2 y1 y2
A211 = A322 = A133 = 0 A311 = A122 = A233 = 0
♣ 四阶张量
第一，考虑 4 个指标相同的分量（共 3 个） 根据变换 I（附图 1a）
′ = β11 β11 β11 β11 A1111 = ( −1) A1111 = A1111 A1111 = A1111
4
考虑附图 1 特殊坐标变换
附图 1
特殊坐标变换
′) e3 ( e3
反射变换 （I） （a）
′ e1
′) e2 ( e2
e1 ′) e3 ( e2
−1 0 0 β ij = 0 1 0 0 0 1
轮换旋转变换（ （II） II） （b）
′) e2 ( e1 ′) e1 ( e3
2 , 2
3
, 3
1 所得的分量值不变。
A11 = A22 = A33 A12 = A23 = A31 A21 = A32 = A13
♣ 二阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11β11 A11 = ( −1) A11 = A11 A11 = A11
2
′ = β11 β 22 A12 = ( −1) ( +1) A12 = − A12 A12 = A12 ′ = β 22 β11 A21 = ( +1)( −1) A12 = − A21 A21 = A21
2
类似
′ = A1212 A1212
根据附图 2 变换 III 可证 1，2 指标可交换
′ = A2112 A2112
附图 2
反射与旋转复合 反射与旋转复合变换 与旋转复合变换 （III） III）
′) e3 ( e3 ′) e2 ( e1 ′) e1 ( e2
0 1 0 β ij = 1 0 0 0 0 1
再由轮换定理
(12个) (12个)
A1123 = A1132 = ... = A2131 = 0
36 个分量全为 0。 第四，考虑指标中有两对重复的分量（共 18 个） 根据变换 I（附图 1a）
(12个)
′ = β11 β11β 22 β 22 A1122 = ( −1) ( +1) A1122 = A1122 A1122
例如
【双点积】
（1.8）
φ = A : a b = Aij ai b j
（1.9a）
【四重点积】
φ = A ┋ a b c d = A ijkℓ ai b j ck d ℓ
6
（1.9b）
当式中二阶或四阶张量 A 取固定值时，上式为向量的标量函数
φ = f ( a , b ) （1.10a） φ = f (a , b ， c , d ) （1.10b）
y1 ≠ y2 ）
类似地，对于某些张量函数（ （1.8）式） ，自变量按正交变换（ （1.6）式）变化时函数值将保持不变，这 类函数称为各向同性标量函数 各向同性标量函数： 量函数：
f ( u1 , u2 , ... , um ) = f ( Q i u1 , Q i u2 , ... , Q i um ) （1.12）
v = f ( u ) （1.5）
f 或 A 亦称为变换或映射，它把一向量变换为另一向量（见附图 3a） 。
5
y2
附图 3
向量的变换
v = f ( u)
v2 v1
θ
y2
u2
θ
u
y1
u1
y1
（a） 向量变换的图示
（b）正交变换保持长度和夹角不变
如果某变换
v = Q i u （1.6）
保持任意两个向量的点积不变，则称为正交变换。我们知道，点积决定向量的长度和夹角，因此,在正交变换 下，向量的长度与向量之间的夹角不变（见附图 3b） 。 ★ 这里的正交变换 这里的正交变换是同一坐标系的变换 正交变换是同一坐标系的变换， 是同一坐标系的变换，定义卡氏张量的正交变换 定义卡氏张量的正交变换是不同坐标系间的变换 正交变换是不同坐标系间的变换 因为