人教版八年级下册 第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析) (1)
人教版 八年级数学下册 18.1 平行四边形 培优训练(含答案)
人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°3. 如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm4. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍5. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．156. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF7.已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形8.（2020·临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则（ ）A.122SS S +>B.122SS S +<C.212SS S += D.21S S +的大小与P 点位置有关二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．10.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.11. 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB的长度为cm ．OD CBA12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________．13. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于 ．O EDCB A14. 如图，在ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．15. 如图，在▱ABCD中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．ABC16. 如图，一个平行四边形被分成面积为1S 、2S 、3S 、4S 四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时．① 14S S 与23S S 的大小关系为．② 已知点C 与点A 、B 不重合时，图中共有 个平行四边形，S 4S 3S 2S 1(3)DCBA三、解答题（本大题共4道小题） 17. （2020·重庆B 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，交对角线BD 于点E ，F ． （1）若∠BCF =60°，求∠ABC 的度数； （2）求证：BE =DF ．18. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA19. （2020·泰安）（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ﹦∠EAD﹦90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判断四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ﹦CD ． 求证：①EB ﹦DC ，②∠EBG ﹦∠BFC ．GFABCDEABCDE20. 如图，AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.3. 【答案】B【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.4. 【答案】B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，A B=2，AD=4，∴EH=12AD=2，HG=1122CD=AB=1，∴EH≠HG，故选项A 错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．5. 【答案】C6. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．7. 【答案】B8. 【答案】C【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.二、填空题（本大题共8道小题） 9. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．10. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 是平行四边形.11. 【答案】19【解析】如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==．12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE ＝12AD ，OE ＝12CD ．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋CD ＝8．∴平行四边形ABCD 的周长＝16．故答案为16．14. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ，∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ，∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.16. 【答案】①1423S S S S =；②9三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .18. 【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．QDPCBA19. 【答案】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形． 理由如下：∵△EAD 为等腰三角形且∠EAD ﹦90°， ∴∠E ﹦45°．∵B 是DE 的中点， ∴AB ⊥DE ． ∴∠BAE ﹦45°．∵△ABC 为等腰三角形且∠BAC ﹦90°， ∴∠CBA ﹦45°． ∴∠BAE ﹦∠CBA ． ∴BC ∥EA ． 又∵AB ⊥DE ，∴∠EBA ﹦∠BAC ﹦90°． ∴BE ∥AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴AE ﹦AD ，AB ﹦AC ． ∵∠EAD ﹦∠BAC ﹦90°，∴∠EAD ＋∠DAB ﹦∠BAC ＋∠DAB ．即∠EAB ﹦∠DAC ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴EB ﹦DC ．②延长FG 至点H ，使GH ﹦FG ． ∵G 是EC 中点，∴EG ﹦CG ．又∠EGH ﹦∠FGC ， ∴△EHG ≌△CFG ，∴∠BFC ﹦∠H ，CF ﹦EH ． 又∵CF ﹦CD ， ∴BE ﹦CF ． ∴BE ﹦EH ．∴∠EBG ﹦∠H ． ∴∠EBG ﹦∠BFC ．AB CDEEDCBA FGH20. 【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足． 显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =． 已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅， 则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+ ()AO AN NQ =+ AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．图（1）图（2）。
人教版八年级下册 第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析)
人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。
(全优)人教版八年级下册数学第十八章 平行四边形含答案
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A.8和14B.10和14C.18和20D.10和342、如图,平行四边形ABCD的周长为40,ΔBOC的周长比ΔAOB的周长多10,则AB为( )A.20B.15C.10D.5．3、已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF 于C、H．请判断下列结论：（1）BE=DF；（2）AG=GH=HC；（3）EG= BG；（4）S△ABE =3S△AGE．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形5、如图，已知∠MON=30°，点A在射线OM上，0A=4 ，长度为2的线段BC在射线ON上移动，连结AB, AC，则△ABC周长的最小值为（）A.6B.8C.4D.0A=4 ＋26、下列说法中错误的是（）A.四边相等的四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.菱形的对角线互相垂直且相等D.正方形的邻边相等7、在正方形ABCD中，AD=6，点M在边DC上，连结AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E.如图，如果ED=2EC，则DM=（）A.4+B.3+C.9-D.6-8、如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°9、如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm,连接各边中点E,F,G,H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为( ).A.20cmB.20 cmC.20 cmD.25 cm10、下列说法错误的是（）A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形11、如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE·AD=AH·AF；其中结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线相等且互相垂直平分C.对角线互相平分D.四条边相等，四个角相等13、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角形互相垂直平分14、如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA ＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（）A.2.5B.5C.7.5D.1015、顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（）A.正方形B.对角线互相垂直的等腰梯形C.菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=6cm，BC=10cm，则AE= ________cm.17、如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），则菱形的对角线交点D的坐标为________；若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D的坐标为________．18、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中四个直角三角形是全等的，若大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，则的值为________．19、在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是________．20、在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是________．21、已知直角三角形的三边长为 4，5，，为斜边，则以为边长的正方形面积为________.22、如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．23、如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________ ．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．24、如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________25、菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE等于多少时时，四边形BFCE是菱形．28、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.29、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF．30、如图，中，F在延长线上，，交于点E．求证：．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、D4、B5、B6、C7、C8、C9、A11、D12、C13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。
第18章平行四边形(解答题培优)2022—2023学年人教版数学八年级下册
人教版八年级下册数学：平行四边形（解答题培优）姓名：得分：日期：1、如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，并且DE⊥AB，若AB=4，求：(1)∠ABC的度数；(2)对角线AC的长；(3)菱形ABCD的面积．2、如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．(1)若∠F=40∘，求∠A的度数；(2)若AB=10，BC=16，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．3、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(6,6)，将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度F(0∘<F<90∘)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．(1)求证：△FFF≌△FFF；(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．4、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE(不须证明)．(1)如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．5、如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．6、一位同学拿了两块45∘的三角尺△FFF、△FFF做了一个探究活动：将△FFF的直角顶点M放在△FFF的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．(1)如图1，两个三角尺的重叠部分为△FFF，则重叠部分的面积为 ______ ，周长为 ______ ；(2)将图1中的△FFF绕顶点M逆时针旋转45∘，得到图2，此时重叠部分的面积为 ______ ，周长为 ______ ；(3)如果将△FFF绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．7、如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．8、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：AC=BE；(2)若∠AFC=2∠D，连接AC，BE.求证：四边形ABEC是矩形．9、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠FFF=30∘，AB=2．(1)求AC的长．(2)求∠AOB的度数．(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．10、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．(1)求证：EB=GD；(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；(3)若AB=2，FF=√2，求EB的长．FF，E是AC的中点，11、如图，FF//FF，且FF=12(1)求证：BC=DE；(2)连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△FFF添加什么条件，为什么？12、如图，在△FFF中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：AF=DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．(3)在(2)的条件下，要是四边形ADCF为正方形，在△FFF中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上______ (不需说明理由)．13、如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：(1)在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想．14、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．15、如图，在△FFF中，∠FFF=90∘，FF⊥FF，FF平分∠BAC交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形CEGF是菱形．16、如图，△FFF中，点O是边AC上一个动点，过O作直线FF//FF，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且△FFF满足什么条件时，四边形AECF是正方形？17、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足.求证：AP=EF．。
人教版-八年级数学下册-第18章-平行四边形培优练习(含答案)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形培优练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）…A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AD=2，则AC的长是（）《A．2 B．4 C．．4.下列说法正确的是（）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形，D.对角互补的平行四边形是矩形5.下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是斜边AB的中线，若AB=，则点D到BC的距离为（）D.27.下列命题是真命题的有（）①对顶角相等；%ODBA②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝PADθ∠，2＝PBA θ∠，3＝PCB θ∠，4＝PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．1423()()30＋－＋＝θθθθ︒B ．2413()()40＋－＋＝θθθθ︒>C ．1234()()70＋－＋＝θθθθ︒D ．1234()()180＋＋＋＝θθθθ︒9.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm ，把矩形沿直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE.下列结论中结论正确的个数有 ( ) ①△FBD 是等腰三角形； ②四边形ABDE 是等腰梯形； ③图中有6对全等三角形； ④四边形BCDF 的周长为532； ⑤AE 的长为145cm.|A ．2个B ．3个个D ．5个二、填空题（共有8道小题）10.如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使□ABCD 是矩形.11.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC,BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是＿＿。
人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 习题练习(附答案)
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形习题练习（附答案）一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为()A． 150°B． 130° C． 120°D． 100°2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE3.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝√2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A． 2√2B．3√2 C． 6√2D． 8√24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是()A．AB＝BE B．AC＝2AB C．AB＝2OE D．AC＝2OE5.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①，②B．①，④ C．③，④D．②，③6.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为()A． 1 B．√2 C． 2－√2D． 2√2－27.在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为()A． 8 B． 10 C． 12 D． 148.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于()A． 36° B． 108° C． 72° D． 60°9.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE 为菱形，下列选项中错误的是()A．BD＝AE B．CB＝BF C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF10.给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有()A． 4个B． 3个 C． 2个D． 1个11.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若BD＝6，则四边形CODE的周长是()A． 10 B． 12 C． 18 D． 2412.将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为()A． 3 cm2 B． 6 cm2 C． 9 cm2 D． 18 cm213.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为()A． 3 cm B． 4 cm C． 5 cm D． 8 cm二、填空题14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长度等于________．15.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于1BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.2(1)四边形ABEF是__________；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为________，∠ABC＝____________°.(直接填写结果)16.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EOF＝90°，则S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝__________.17.如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________．18.在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为__________．19.如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________．20.如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，若要使四边形AECF是平行四边形．则可以添加一个条件是：________________.21.如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________________．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．三、解答题22.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)求证：CE＝CF.(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．23.如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF.24.如图，已知平行四边形ABCD，点M，N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM ＝CN，DF＝BE.求证：(1)∠DFM＝∠BEN；(2)四边形MENF是平行四边形．答案解析1.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∵∠BED ＝150°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴∠A ＝180°－∠ABE －∠AEB ＝120°. 故选C.2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，又∵AD ＝DE ，∴DE ∥BC ，且DE ＝BC ，∴四边形BCED 为平行四边形，A ．∵AB ＝BE ，DE ＝AD ，∴BD ⊥AE ，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误；B ．∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C ．∵∠ADB ＝90°，∴∠EDB ＝90°，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误；D ．∵CE ⊥DE ，∴∠CED ＝90°，∴▱DBCE 为矩形，故本选项错误．故选B.3.【答案】A【解析】∵E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，EF ＝√2，∴AC ＝2EF ＝2√2，又∵BD ＝2，∴菱形ABCD 的面积S ＝12×AC ×BD ＝12×2√2×2＝2√2， 故选A.4.【答案】C【解析】∵点E 为BC 的中点，∴CE＝BE＝1BC，2∵AB＝BC，∴AB＝2BE，故选项A错误；∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AO＝CO＝1AC，2∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝1AB，故选项C正确；2∵AC≠AB≠BC，∴AC≠2AB≠2OE，故选项B，D错误，故选C.5.【答案】D【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D.6.【答案】C【解析】∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝√2，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S△ABB′＝1BA·AB′＝2，S△ABE＝1，2∴CB′＝2BE－BC＝2√2－2，∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2－√2.故选C.7.【答案】C＝12.故选C.【解析】读图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为6×4×128.【答案】B【解析】在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3，设每份比为x，则得到2x＋3x＋2x＋3x＝360°，解得x＝36°则∠D ＝108°. 故选B.9.【答案】A【解析】根据题意可得出：四边形CBFE 是平行四边形，A ．当BD ＝AE 时，无法得出平行四边形CBFE 是菱形，故选项A 错误，符合题意；B ．当CB ＝BF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项B 正确，不合题意；C ．当BE ⊥CF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项C 正确，不合题意；D ．当BA 平分∠CBF 时，平行四边形CBFE 是菱形，故选项D 正确，不合题意； 故选A.10.【答案】B【解析】如图所示：以点A ，B ，C 为顶点能做三个平行四边形：▱ABCD ，▱ABFC ，▱AEBC .故选B.11.【答案】B【解析】∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝12AC ，OD ＝12BD ，AC ＝BD ＝6， ∴OC ＝OD ＝3，∴四边形CODE 是菱形，∴DE ＝OC ＝OD ＝CE ＝3，∴四边形CODE 的周长＝4×3＝12.12.【答案】C【解析】如图AB 、AF .∵∠EAG ＝∠BAF ＝90°，∴∠BAE ＝∠FAG ，在△ABE 和△AFG 中，{∠ABE =∠AFG =45°，AB =AF ，∠BAE =∠FAG ，∴△ABE ≌△AFG ，∴S △ABE ＝S △AFG ，∴S 四边形AEBG ＝S △ABF ＝14S 正方形，∴S 阴＝4×14S 正方形＝9， 故选C.13.【答案】B【解析】∵▱ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋AD ＝13 cm ，OB ＝OD ，∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ， ∴(OA ＋OD ＋AD )－(OA ＋OB ＋AB )＝AD －AB ＝3 cm ， ∴AB ＝5 cm ，AD ＝8 cm.∴BC ＝AD ＝8 cm.∵AC ⊥AB ，E 是BC 中点，∴AE ＝12BC ＝4 cm ；故选B.14.【答案】3【解析】∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ＝12AC ，∵AC ＝6，∴AO ＝3.15.【答案】(1)菱形 (2)10√3 120【解析】(1)在△AEB 和△AEF 中，{AB =AF ，∠EAB =∠EAF ，AE =AE ，∴△AEB ≌△AEF ，∴∠EAB ＝∠EAF ，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF.∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．(2)∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝√3BO＝5√3，∠ABC＝2∠ABO＝120°.故答案为10√3，120.16.【答案】14【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠EAO＝∠FBO＝45°，又∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE与△BOF中，{∠AOE=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，∴△AEO≌△BFO，∴AE＝BF，∴BE＝CF，∴S四边形OEBF＝S△AOB，∴S四边形OEBF ∶S正方形ABCD＝14，17.【答案】2242n−1【解析】∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B 2C 2，A 2C 2，A 2B 2分别等于A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1的12， …，以此类推，则△A 4B 4C 4的周长是123×16＝2； ∴△AnBnCn 的周长是242n−1.18.【答案】1＋√2【解析】∵在矩形ABCD 中，BG 平分∠ABC ，∴∠A ＝90°，∠ABG ＝45°，∴∠AGB ＝∠ABG ＝45°，∴AB ＝AG .又∵AB ＝1，∴BG ＝√2.又∵四边形BHDG 为菱形，∴BG ＝GD ＝√2.∴AD ＝AG ＋GD ＝1＋√2.19.【答案】4【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点，∴AE ＝DG ＝BE ＝CG ，AH ＝DH ＝BF ＝CF ，∴△AEH ≌△DGH ≌△BEF ≌△CGF (SAS)，∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∴四边形EFGH 是菱形，∵HF ＝2，EG ＝4，∴四边形EFGH 的面积为12HF ·EG ＝12×2×4＝4. 20.【答案】BE ＝DF (答案不唯一)【解析】可添加条件：BE ＝DF .证明：∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，同理可证：△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为BE＝DF.21.【答案】①②④【解析】∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HPFD、菱形BEPG，∴①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE＝BG，PG＝BE，在△BEP和△PGB中，{BE=PG，BP=BP，PE=BG，∴△BEP≌△PGB(SSS)，∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∴AH＝BG＝PE，AE＝HP＝DF，BE＝PG＝CF，DH＝PF＝CG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP＝∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB＝∠GBP，∴∠EBP＝∠EPB，∴BE＝PE，∴AH＝PE＝BG＝BE＝CF＝PG，同理AE＝HP＝DF＝PF＝CG，∴四边形AEPH的周长＝四边形GPFC的周长，∴④正确；22.【答案】(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴CE＝CF；(2)解四边形AEMF是菱形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，在△COE和△COF中，{CE=CF，∠ACB=∠ACD，OC=OC，∴△COE≌△COF(SAS)，∴OE＝OF，又OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．【解析】(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；(2)由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立(1)的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF；已知OA＝OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．23.【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，{∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.【解析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．24.【答案】证明(1)由平行四边形ABCD，得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，∵AM＝CN，∴AD－AM＝BC－CN，即DM＝BN，又∵DF＝BE，∴△DMF≌△BNE，∴∠DFM＝∠BEN；(2)由△DMF≌△BNE，得NE＝MF，∵∠DFM＝∠BEN，∴∠FEN＝∠MFE，∴MF∥NE，∴四边形NEMF是平行四边形．【解析】(1)由平行四边形的性质得到得AD∥BC，AD＝BC，∠ADF＝∠CBE，然后根据AM＝CN得到DM＝BN，从而证得△DMF≌△BNE，理由全等三角形对应角相等证得结论；(2)利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定即可．。
2021人教版数学八年级下平行四边形解答题培优练习含答案
人教版数学八年级下册：平行四边形解答题专题练习（培优篇）1．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE＝EO＝DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E．（1）求∠EDC的度数；（2）若AE＝2，求CE的长．3．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AH⊥BC，垂足为H．求证：（1）HD＝EF．（2）∠DHF＝∠DEF．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．5．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．6．如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．7．如图，已知矩形ABCD中，点P为AD边上的一个动点，O为对角线BD的中点，PO 的延长线交BC于点E．（1）求证：OP＝OE；（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，点P从点A出发，以2cm/min的速度向D运动（不与D重合）．设点P的运动时间为tmin，当t为何值时，四边形PBED是菱形．8．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O．（1）下列判断正确的有（填序号）．①AC、BD互相垂直；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BAD、∠BCD；④BD平分∠ABD、∠ADC．（2）求证：△ABC≌△ADC．9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB＝a，∠ABE＝45°，求BC的长．10．如图，长方形ABCD的顶点A，D在x轴上，OA＝OD＝2，AB＝6．点P从原点出发，沿O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣O的路径，以每秒2个单位的速度移动．（1）写出长方形4个顶点的坐标．（2）经过3s，指出点P的坐标．（3）经过多长时间，△POA的面积为5平方单位．（4）经过多长时间，△POA的面积最大．11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．（1）如图1，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形：（2）如图2，过点O作EF⊥BD交BC于点E，交AD于点F，连接DE、BF，AB ⊥BD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有的锐角等腰三角形．13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．（1）求证：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的长．14．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1①证明：∠DAH＝∠DCH②猜想△GFC的形状并说明理由．（2）取DF中点M，MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．15．已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）求证：AF⊥DE．参考答案1．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG＝DE＝EG＝DG，∵AE＝EO＝DE，∴EO＝OG＝EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO＝∠DGO＝120°，又∵AE＝DG，OE＝OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO＝DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝2DO＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．2．解：（1）连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵DE⊥AC于E，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°﹣30°＝60°；（2）∵∠AED＝90°，∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，AE＝1，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝4，在Rt△ADC中，AD＝4，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝8，则CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6．3．（1）证明：在△ABC中，AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∵D为AB中点，∴DH＝AB，∵E，F分别为BC，AC边中点，∴EF＝AB，∴DH＝EF；（2）∵D、E分别为AB、BC中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F为AC中点，∴AF＝AC，∴DE＝AF，∴四边形DEFA为平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵DH＝AB＝AD，∴∠BAH＝∠DHA，∵F为AC中点，∠AHC＝90°，∴FH＝AC＝AF，∴∠HAC＝∠AHF，∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH，即∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．4．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．5．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．6．解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵点F为等边△DCE边CE的中点，∴DF是CE的垂直平分线，∴GE＝GC，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝15°，∴∠GEC＝∠GCE＝60°﹣15°＝45°，∴GC⊥AE，∴△AGC为直角三角形，∵∠GAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，AG＝2，∴GC＝GE＝AG＝2；故答案为：2；（2）由（1）可得AC＝4，则DC＝2，在等边△DCE中DF＝，在等腰直角△CGE中，由斜边上中线等于斜边的一半得GF＝，∴DG＝﹣．（3）如图2，过D作DN⊥AE于N，过A作AM⊥AE交GD的延长线于M，∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠DAN＝∠CDN，∵AD＝DC＝DE，∴∠DAN＝∠CDN＝∠DEA，∵F是CE中点，∴∠CDF＝∠EDF，∵∠NDG＝∠CDN+∠CDF，∠DGN＝∠DEA+∠EDF，∴∠NDG＝∠DGN＝45°，∴∠M＝45°，∴AM＝AG，∵∠DAM+∠DAN＝90°，∠BAG+∠DAN＝90°，∴∠DAM＝∠BAG，在△MAD和△GAB中，，∴△MAD≌△GAB（SAS），∴BG＝DM，∴BG+DG＝DM+DG＝MG＝AG＝×2＝2．7．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠EBO，∵O为BD的中点，∴DO＝BO，在△PDO和△EBO中，，∴△PDO≌△EBO（ASA），∴OP＝OE；（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝2tcm，∴PD＝8﹣2t，由题意：PB＝PD，∴PB2＝PD2，即AB2+AP2＝PD2，∴62+4t2＝（8﹣2t）2，解得t＝，∴当t＝时，四边形PBED是菱形．8．（1）解：∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，即AC平分∠BAD、∠BCD．∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直．故选①、③．（2）证明：∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．9．解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BE＝BC，即△BEC是等腰三角形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝AEB＝45°，∴AB＝AE＝a，由勾股定理得：BE＝＝a，即BC＝BE＝a．10．解：（1）由题意：A（2，0），B（2，6），C（﹣2，6），D（﹣2，0）；（2）经过3s运动的路程为6，6﹣2＝4，∴点P在线段AB上，P（2，4）；（3）∵OA＝2，△POA的面积为5平方单位．∴点P到AD的距离为5，∴t＝＝3.5s或＝6.5s，∴经过3.5s或6.5s时间，△POA的面积为5平方单位．（4）当点P在线段BC上时，△POA的面积最大，需要经过＝4s，＝6s，∴当4≤t≤6s时，△POA的面积最大．11．解：（1）∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠DBO、∠AEO＝∠BDO，∵O是AB的中点，∴AO＝BO，在△AOE和△BOD中，∵，∴△AOE≌△BOD（AAS），∴AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC、D是BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．12．证明：（1）∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO，∠AFO＝∠CEO，∴在△AFO和△CEO中，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴FO＝EO，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）∵AF＝BF，CE＝DE，BF＝BE，DF＝DE，∴△ABF，△CDE，△BEF，△DEF都是等腰三角形．13．证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE与△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）设EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．14．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH，∴∠DAH＝∠DCH；②解：结论：△GFC是等腰三角形，理由：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形．（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝5，在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可证GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为7或1．15．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，在Rt△ADF与Rt△DCE中，∴Rt△ADF≌Rt△DCE（HL）；（2）设AF与DE交于G，∵Rt△ADF≌Rt△DCE（HL），∴∠DAF＝∠CDE，∴∠DGF＝∠DAF+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴AF⊥DE．。
(人教版)上海八年级数学下册第十八章《平行四边形》习题(培优)
一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（ ）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠D解析：D【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）A ．22B ．23C ．231+D ．232+D解析：D 【分析】 连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GIHF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI ， 则有1FIGI ， ∴31EF HF HI FI ，∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）A ．52B ．26C ．13D ．39C解析：C【分析】 设平行四边形AB 边上的高为h ，分别表示出△ACE 的面积和平行四边形ABCD 的面积，从而求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，12CE CD =， 设平行四边形AB 边上的高为h ，∴△ACE 的面积为：12CE h ⋅，平行四边形ABCD 的面积为2CE h ⋅， ∴△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的14， 又∵□ABCD 的面积为52cm 2，∴△ACE 的面积为13cm 2．故选C ．【点睛】 本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的14． 4．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．5．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若3AC =DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2C解析：C【分析】 根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，利用勾股定理求出BC ，再根据三角形中位线定理求出DE ．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，设BC=x ，则AB=2x ， ∴()222483x x =+， 解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥，∴DE=12BC=4， 故选C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出平行四边形ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵在平行四边形ABCD 中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴平行四边形ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．8．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（ ）A ．3B 17C ．25D ．35C解析：C【分析】 如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠,AFE AEF ∴∠=∠5AE AF ∴==，224AB AE BE ∴=-=，四边形ABEM 为矩形，43ME AB AM BE ∴====，，2MF ∴=，22+2 5.EF ME MF ∴==故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A 3B 423C ．2D 352解析：D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD 22AD AB +5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，∠DA′G ＝∠A ＝90°，∴∠BA′G ＝90°，BG ＝AB-AG ＝4-x ，A′B ＝BD-A′D ＝5-3＝2，∵在Rt △A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，∴x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， ∴AG ＝32， ∴在Rt △ADG 中，DG ＝22352AD AG +=． 故选：D ．【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题11．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．12．如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC的长再求出ΔABC 的周长【详解】∵点DE 分别是ABBC 的中点∴DE 是ΔABC 的中位线∴DE=AC ∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C △ABC=A解析：30【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC 的长，再求出ΔABC 的周长．【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，∴DE 是ΔABC 的中位线，∴ DE=12AC ， ∵ DE=2.5 ，∴ AC=5 ， ∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30．故答案为：30.【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm 故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半解析：9【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm ．故答案为9．【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．14．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【 解析：183【分析】由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得160,2BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =，在Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，160,2BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥ 30ABO ∴∠=︒63BD =33BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，222(33)(2)x x ∴+=22274x x +=解得3x =3AO ∴=6AC ∴=∴菱形的面积6362183S =÷=故答案为：183【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．16．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2120cm，正方形AECF的面积为250cm，则菱形的边长为___cm．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO∵正方形AECF的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2，∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ，∴22AB AO BO =+=25144+=13cm ， 故答案为13．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 17．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒． 65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE ，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 18．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 17【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =++．综上可知PB DB ''+17．故答案为：17． 【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF 进而得出FG 是△DCP 的中位线得出DG=GP=PE=再利用勾股定理得出BG 的长进而得出FG 即可【详解】解：如图过点C 作CP ∥BG 交DE 于点P ∵B解析：53【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF ，进而得出FG 是△DCP 的中位线，得出DG=GP=PE=12233DE =，再利用勾股定理得出BG 的长，进而得出FG 即可． 【详解】解：如图，过点C 作CP ∥BG ，交DE 于点P ．∵BC=CE=2，∴CP 是△BEG 的中位线，∴P 为EG 的中点．又∵AD=CE=2，AD ∥CE ，在△ADF 和△ECF 中，AFD EFC ADC FCE AD CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴CF=DF ，又CP ∥FG ，∴FG 是△DCP 的中位线，∴G 为DP 的中点．∵CD=CE=2，∴，因此DG=GP=PE=133DE =． 连接BD ，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．又∵BD =∴3BG ===．∴1124FG CP BG ===【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．20．如图，在正方形ABCD 中，，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD 于点M ，当满足四边形AGDF面积BCE =△时，线段AM 的长度是_______．【分析】根据正方形ABCD 得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且 解析：33【分析】根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，6AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12ACD S =正方形ABCD 面积，结合四边形AGDF 面积2BCE S =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABM NBM BCE NME EDM SS S S S ++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．【详解】∵正方形ABCD∴90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD ，6AB BC CD AD ====∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠=∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF ADG △≌△∴CDF ADG S S =△△∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S S +=+==△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=16632⨯⨯= ∵11622BCE S BC CE CE =⨯=⨯△，且满足四边形AGDF 面积2BCE S =△ ∴12632CE ⨯⨯= ∴3CE = ∴22633BE BC CE =+=+=如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME∵∠ABE 的平分线交AD 于点M∴ABM NBM ∠=∠∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠= ∴ABM NBM △≌△∴6BN AB ==，MN AM =设AM x = 162ABM NBM S S AB x ==⨯=△△ 113632222BCE S BC CE =⨯==△ ()(11136222NME S NE MN BE BN MN x =⨯=-⨯=-△ ()())111636222EDM S ED DM CD CE AD AM x =⨯=-⨯-=△ ∵ABM NBM BCE NME EDM S S S S S ++++=正方形ABCD∴()63112236636662222x x x ⨯+=∴63333x ==-+ 故答案为：33-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．三、解答题21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝22，AB ＝23，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．（1）求证：∠ACB ＝90°；（2）求线段BE 的长度．解析：（1）见解析；（211【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝90°；（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．∵D 是AB 的中点，AB ＝3CE ＝CD ，∴CE ＝CD ＝12AB 3 ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE 22BC EC +22(22)(3)+11【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．22．已知：在Rt△ABC中，90BAC∠=，DE是直角边AB的垂直平分线，DBA ABC∠=∠，连接AD．求证：（1）四边形ADBC是梯形；（2）12AD BC=．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB，进而可以证明AD∥BC，可以证出四边形ADBC是梯形；（2）延长DE交BC于F，证明△BDE≌△BFE，从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DBA=∠DAB，∵∠DBA=∠ABC，∴∠ABC=DAB，∴AD∥BC，∵AC与BD不平行，∴四边形ADBC是梯形，（2）如图，延长DE交BC于F，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC =． 【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．23．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A D ∠=∠=︒，点E 是AD 的中点，连接BE ，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在四边形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ，连接EF ．（1）求证：EGF EDF △△≌；（2）求证：BG CD =；（3）若点F 是CD 的中点，8BC =，求CD 的长．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）42【分析】（1）根据HL 证明Rt △EGF ≌Rt △EOF 即可；（2）证明四边形ABCD 为矩形，可得BG=CD ；（3）设CD=x ，分别表示出BE 2，EF 2，BF 2，证明∠BEF=90°，利用勾股定理得到方程，解之即可．【详解】解：（1）∵E 是AD 中点，∴AE=DE ，由折叠可知：AE=EG ，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED ，又EF=EF ，∴Rt △EGF ≌Rt △EOF （HL ）；（2）△ABE 折叠得到△GBE ，∴AB=BG ，∵AD ∥BC ，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC ，∴BG=CD ；（3）∵点E 是AD 中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F 是CD 中点，∴设CD=x ，则DF=12x ， 则BE 2=BG 2+EG 2，即BE 2=CD 2+AE 2， 即BE 2=x 2+42，且EF 2=DE 2+DF 2，即EF 2=42+（12x ）2， 且BF 2=BC 2+CF 2，即BF 2=82+（12x ）2， ∵∠AEB=∠GEB ，∠DEF=∠GEF ，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF 2=BE 2+EF 2，∴82+（12x ）2= x 2+42+42+（12x ）2， 解得：x=42，即CD=42．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟记性质，找出三角形全等的条件，合理利用勾股定理得到方程是解题的关键．24．如图，点E 在ABCD 内部，//,//AF BE DF CE ．（1）求证：BCE ADF ≅∆；（2）求证：AEDF 1S 2ABCD S =四边形解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明CBE DAF ∠=∠，BCE ADF ∠=∠，然后利用ASA 证明：△BCE ≌△ADF ；（2）根据点E 在ABCD 内部，可知：S △BEC +S △AED =12S ▱ABCD ，可得结论． 【详解】解：()1四边形ABCD 是平行四边形， ,//AD BC AD BC =，180,ABC BAD ∴∠+∠=//,AF BE180,EAB BAF ∴∠+∠=︒,CBE DAF ∴∠=∠同理得,BCE ADF ∠=∠()BCE ADF ASA ∴∆≅∆()2点E 在ABCD 内部，∴12BEC AED ABCD S S S ∆∆+=，由()1知： ,BCE ADF ∆≅∆BCE ADF S S ∆∆∴=∴AEDF 1S 2ADF AED BEC AED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+=+=四边形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．25．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =， OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在边AB 上，点 G 是线段AD 的中点．（1）求ABD ∠的度数；（2）求证：OG 平分AOB ∠．解析：（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．【分析】（1）只需要证明△BOD ≌△AOC ，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得ABD ∠的度数；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，可证明△OBE ≌△OBA ，得出OA=OE ，从而得出OG 为△ADE 的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，OA OB =，∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC （SAS ），∴∠OBD=∠OAB=45°，∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°，又∵OB=OB ，∠OBD=∠OBA=45°，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA ，又∵G 为AD 的中点，∴OG 为△ADE 的中位线，即OG//ED ，∴∠AOG=∠E=45°，即12AOG AOB ∠=∠ ， ∴OG 平分AOB ∠．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．27．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，且90EDF ∠=︒．求证：DE DF =．解析：见解析【分析】利用ASA 证明△ADE ≌△CDF 即可得到结论．【详解】 证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90A DCF ADC ∠=∠=∠=︒，又90EDF ∠=︒，ADC EDC EDF EDC ∴∠-∠=∠-∠．ADE CDF ．在ADE 与CDF 中，ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴△≌△．DE DF ∴=．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 28．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．解析：（1）是；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为长方形的四个角都是直角，所以长方形是美妙四边形；（2）连接BD ，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，根据勾股定理可以解决；（3）连接AD ，利用等腰直角三角形的性质证明90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，于是可证ADF BDE ∠=∠，继而证明用ASA 证明BED AFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得BE AF =，据此可得AE AF AB +=．【详解】解：（1）∵长方形的四个角都是直角，∴长方形是美妙四边形；故答案是：是；（2）如图1，连接BD ，在Rt △ABD 中，222BD AB AD =+，在Rt △CBD 中，222BD BC CD =+，∴2222CD CB AD AB +=+，∴2222CD AB AD BC -=-；（3）如图2，连接AD ，∵四边形AEDF 是美妙四边形，90A ∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∵,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，∴90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴ADF BDE ∠=∠，在Rt △ADF 和Rt △BDE 中，DAF DBE AD BDADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BED AFD ASA ∆≅∆BE AF ∴=，AE AF AE BE AB ∴+=+=【点睛】本题考查了四边形综合问题，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．。
人教版八年级下册 第十八章 平行四边形单元练习题(含答案及解析)
A. 2B. 2.2C. 2.4D. 2.5
4.下列性质中，平行四边形不一定具备 是（）
A.邻角互补B.对角互补
C.对边相等D.对角线互相平分
5.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
第十八章平行四边形
一、选择题
1.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）
A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3， ，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
A.2B.3C.2 D.4
6.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A 8B. 10C. 12D. 14
7.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( )
10.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为()
A.5B.6C.9D.13
【答案】D
【解析】
【分析】由ABCD为正方形得到AB=BC，∠ABC为直角，再由AE与CF都垂直于EF，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得出△ABE与△BCF全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF，EB=CF，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出正方形的面积．
人教版初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B A G E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（ ）A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m 2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．243．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）A ．52B ．26C ．13D ．395．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 6．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A ．3B ．2C ．23D ．47．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，己知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确．．的是（ ）A ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形D ．若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是正方形9．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A．3B．23C．33D．4310．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形11．如图，以AB为斜边的Rt ABC和Rt ABD△位于直线AB的同侧，连接CD．若135,6BAC ABD AB∠+∠=︒=，则CD的长为（）A．3 B．4 C．32D．3312．如图，直线L上有三个正方形,,a b c，若,a c的边长分别为1和3，则b的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1113．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C13D．614．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边的中线，点D，E分别在边AC 和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，则以下结论；①∠DBM=∠CDE；②BN=DN；③AC=2DF；④S BDE∆﹤S BMFE四边形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③ 15．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．322二、填空题16．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2． 17．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．18．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．19．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．20．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．21．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）22．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．23．在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD=AE，且CE<AC．若AD=6，AB=10，则CE=___________24．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN、点E F P Q、、、分别在边AB BC CD AD、、、上，点M N、在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为__________．25．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．26．如图，将Rt△ABC沿着点B到A的方向平移到△DEF的位置，BC＝8，FO＝2，平移距离为4，则四边形AOFD的面积为__．三、解答题27．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F在边BC上，DE∥AB，AF∥CD，且四边形AEFD是平行四边形．（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）现有三个论断：①AD AB=；②=B C +∠∠90°；③=2B C ∠∠．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．28．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．（1）求证：BE DG =（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．29．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．30．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．。
人教版初中数学培优系列八年级下册之第18章平行四边形题目和详解(40题)
人教版初中数学培优系列八年级下册之第18章平行四边形题目和详解（40题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。
2、本资料仅供优生（百分制下得分80分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍资料方能理解其中真谛和得到能力提升。
3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容也适用于其它版本的教材的对应章节。
一．选择题（共16小题）1．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（）A．（1345，0）B．（1346，0）C．（1345.5，）D．（1346.5，）2．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A．1 B．C．D．3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A．B．C．1 D．1﹣4．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°5．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．C．D．6．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．187．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35°B．45°C．50°D．55°8．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG等于（）A．47°B．46°C．11.5°D．23°10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC 相交于点M，则DM的长为（）A．+1 B．+1 C．2 D．2﹣11．如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．12．如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是（）A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜613．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，CD=4，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．815．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S=2S△CEF，其中结论正确的个数为（）△ABEA．2个 B．3个 C．4个 D．5个16．如图，已知直线l∥AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C 在D点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABCD的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BCA′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二．填空题（共5小题）17．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．18．在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交▱ABCD的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．（1）如图①，四边形EGFH的形状是；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，四边形EGFH的形状是．19．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD 的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=．20．已知▱ABCD两条对角线AC=8，BD=10，则AB2+BC2+CD2+DA2=．21．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：①△DEF是等腰直角三角形②四边形CEDF不可能为正方形③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化④点C到线段EF的最大距离为其中正确的有（填上你认为正确结论的所有序号）三．解答题（共19小题）22．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．23．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．24．如图矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，求折痕EF 的长．25．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．（1）求证：BE=DE．（2）若四边形ABCD的面积为9，求BE的长．26．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P 点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．27．如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B ⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．28．已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD 上的一点，连接DF、EG、AG，并延长AG、BC交于点H，∠DFC=∠EGC．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：点G为CD中点；（3）求证：∠AGE=2∠CEG．29．▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．30．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）试说明四边形EHFG是平行四边形．（2）平行四边形ABCD满足什么条件EHFG会成为一个菱形？说出你的理由．（3）平行四边形ABCD再满足什么条件EHFG就会成为一个正方形？说出你的理由．31．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？32．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．（1）求证：四边形ADCE为矩形．（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．33．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．34．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1个单位的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3个单位的速度向点B运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ将四边形ADBC面积平分？35．已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，且C（4，0）、D（0，3）．现有两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是；（2）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．问在整个运动过程中，以点A、B、P、Q为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．（3）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BC 上时，△APQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．36．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；②若点P、Q的速度分别为v1、v2（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．37．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两个猜想；（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．38．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）39．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）40．（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．人教版初中数学培优系列八年级下册之第18章平行四边形题目和详解（40题）参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2017=336×6+1，因此点B1向右平移1344（即336×4）即可到达点B2017，根据点B1的坐标就可求出点B2017的坐标．【解答】解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2017=336×6+1，∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．∵B1的坐标为（1.5，），∴B2017的坐标为（1.5+1344，），∴B2017的坐标为（1345.5，）．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．2．【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．3．【分析】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴CO=AC=，∴CF=CO=，∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣，∴DE==﹣1，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．4．【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．【解答】解：∵AD∥BC，∠APB=80°，∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1，∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，故选：A．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．5．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．6．=S△PFD解答即可．【分析】想办法证明S△PEB【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△ADC=S△PBE=×2×8=8，∴S△DFP=8+8=16，∴S阴故选：C．【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S=S△PFD．△PEB7．【分析】延长EF交DC的延长线于H点．证明△BEF≌△CHF，得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠FPC=∠FHP=∠BEF．在等腰△BEF 中易求∠BEF的度数．【解答】解：延长EF交DC的延长线于H点．∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，∴∠B=80°，BE=BF．∴∠BEF=（180°﹣80°）÷2=50°．∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°．又∵BF=FC，∠B=∠FCH，∴△BEF≌△CHF．∴EF=FH．∵EP⊥DC，∴∠EPH=90°．∴FP=FH，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，综合性较强．如何作出辅助线是难点．8．【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2=平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．【解答】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE=S△CDF=S，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2=平行四边形ABCD的面积∴S=S△CBE +S△CDF+2+S4+3﹣12，即S=S+S+2+S4+3﹣12，解得S4=7，故选：D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积=△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2．9．【分析】根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解．【解答】解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．故选：D．【点评】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质．10．【分析】由正方形和等边三角形的性质可求得∠CBE=15°，则可求得∠ABM=75°，过B 作BF⊥AC于点F，在Rt△ABF中可求得BF，在Rt△BFM中可求得BM的长，再利用正方形的对称性可知DM=BM，可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE为等边三角形，∴CD=CE=CB，∠DCE=60°，∠DCB=90°，∴∠BCE=150°，∴∠CBE=15°，∴∠ABM=90°﹣15°=75°，过B作BF⊥AC于点F，如图，∵∠BAC=45°，∴BF=AB=，∴∠MBF=75°﹣45°=30°，∴=cos30°=，∴BM=2，∵M在AC上，∴DM=BM=2，故选：C．【点评】本题主要考查正方形的性质和等边三角形的性质，利用条件求得∠ABM=75°是解题的关键，注意构造直角三角形求线段长度．11．【分析】首先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a，利用勾股定理求出CH、DM、HM的长，即可得到MN的长，也就是阴影部分的边长，面积也就求出了，再求比值就可以了．【解答】解：设CH与DE、BG分别相交于点M、N，正方形的边长为3a，DH=CG=a，首先由正方形的中心对称得到阴影部分为正方形，以及△ADE≌△DCH，证到DM⊥CH，在Rt△CDH中，由勾股定理得CH=a，由面积公式得CH•DM=DH•CD得DM=a，在Rt△DMH中由勾股定理得MH=，则MN=CH﹣MH﹣CN=a﹣﹣=，所以阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=：9a2=2：5．故选：A．【点评】本题考查学生对相似形的性质，正方形的性质及全等三角形的判定方法的掌握．12．【分析】在平行四边形中，对角线互相平分，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，则可得OA=AC，OB=BD，在△AOB中，由三角形三边关系可得OA﹣OB＜AB＜OA+OB，即6﹣5＜m＜6+5，1＜m＜11．故选：A．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，关键是根据在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．13．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．14．【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是边AB的中点，∴AB=2CD=8，∵点E、F分别是边AC、BC的中点，∴EF=AB=4，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．16．【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【解答】解：①∵AB=CD=5，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC是平行四边形，∵A′与D重合时，∴AC=CD，∵四边形ABDC是平行四边形，∴四边形ABDC是菱形；故②正确；③连结A′D，如图，∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，在△A′CD和△A′BD中，∴△A′CD≌△A′BD（SSS），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D∥BC，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a，b，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S=S△ABC=×2×5=5，△A′CB=10，即ab=10，∴S矩形A′CBD而BA′=BA=5，∴a2+b2=25，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，∴a+b=3，当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=2，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为3或7．故④正确．故选：D．【点评】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．二．填空题（共5小题）17．【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【解答】解：∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=，故答案为：．【点评】根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．18．【分析】（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．【解答】解：（1）结论：四边形EGFH是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AE∥CF，∴∠AEO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，同理可证：OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形，（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形；（3）菱形；由（2）知四边形EGFH是菱形，当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，同理可得：EO=OH，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．故答案为：平行四边形，菱形，菱形，正方形；【点评】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．19．【分析】连结AE，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出∠CED，∠CDE，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，可得∠ABE=∠CDE=48°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质可求∠BCE．【解答】解：连结AE，∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，∴∠ABE=∠CDE=48°，∵若点E在线段AD的垂直平分线上，∴EA=ED，∴AB=AE，∴∠AEB=48°，∴∠AED=132°，∴∠ADE=24°，∴∠BCE=180°﹣24°﹣48°﹣66°=42°．故答案为：42°．【点评】考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定与性质等知识点．难度较大，综合性较强．20．【分析】作DE⊥BA于点E，CF⊥AB交AB的延长线于F，则∠AED=∠BFC=90°．由△ADE ≌△BCF（AAS），推出AE=BF，DE=CF，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：作DE⊥BA于点E，CF⊥AB交AB的延长线于F，则∠AED=∠BFC=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠DAE=∠CBF，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，DE=CF．在Rt△DBE和Rt△CAF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2=CF2+（AB+AE）2，BD2=DE2+BE2=CF2+（AB﹣AE）2，AD2=AE2+DE2，CB2=BF2+CF2，则AC2+BD2=CF2+AB2+AE2+2AB*AE+CF2+AB2﹣2AB*AE+AE2=（CF2+AE2）+（CF2+AE2）+AB2+AB2=AB2+BC2+CD2+DA2．故AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．∴AB2+BC2+CD2+DA2=164，故答案为164．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．21．【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．【解答】解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确；故正确的有①④．故答案为：①④【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．三．解答题（共19小题）22．【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．【点评】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．23．【分析】要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠BEF+∠BFE=90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°．∴∠BFE=∠CED．∴∠BEF=∠EDC．。
2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专题练习试卷(含答案解析)
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB BC∠+=︒B C∠=∠D．180=B．AD BC=C．A C2、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（）A B C．4.5 D．4.33、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AE D．AE＝CE4、如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F 点，若AD＝10，AB＝8，那么AE长为（）A．5 B．12 C．D．135、在菱形ABCD中，两条对角线AC=10，BD=24，则此菱形的边长为（）A．14 B．25 C．26 D．136、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足222222+，则这个a b c d ab cd++=+四边形是（）A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形AB=，则BC的长为7、如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若6（）A．2 B．C．4 D．8、如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，若20ADB∠=︒，要使AB BD'∥，则BAF∠的度数应为（）A．20°B．55°C．45°D．60°9、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A 出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或65D．2或12510、如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m，在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，若容器壁厚忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是______m．2、如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 __．3、如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为___．4、如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD 左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________．5、如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若4AD，则CF的长为_____．=三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF DE⊥，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG CE=；（2）若BE=DG=BG的长．2、如图，ABCD是平行四边形，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（－2，0），求点B、C、D的坐标．3、如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．（小海的证明过程）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．（挑错改错）（1）请你帮小海找出错误的原因；（2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程．4、已知：在ABC∆中，点D、点E、点F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．=，求证：四边形DECF为菱形；（1）如图1，若AC BC（2）如图2，过C 作CG AB ∥交DE 延长线于点G ，连接EF ，AG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与ADG ∆面积相等的平行四边形．5、如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB 和BC 上的点，且BE ＝BF ．求证：∠DEF ＝∠DFE ．---------参考答案-----------一、单选题1、C【解析】【分析】由平行线的性质得180A D +=︒∠∠，再由A C ∠=∠，得180C D ∠+∠=︒，证出//AD BC ，即可得出结论．【详解】解：一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是A C∠=∠，理由如下：AB CD，//∴∠+∠=︒，A D180∠=∠，A C180∴∠+∠=︒，C D∴，//AD BC又//AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出//AD BC．2、A【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角DE，利用勾边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝12股定理求出DE的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，在△CBE和△DCF中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE = ∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3、D【解析】【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC =∠CAB ′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC =∠ACD ，从而得到∠ACD =∠CAB ′，然后根据等角对等边可得AE =CE ，从而得解．【详解】解：∵矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B ′，∴∠BAC =∠CAB ′，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠ACD ，∴∠ACD =∠CAB ′，∴AE =CE ，∴结论正确的是D 选项．故选D.【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴10BC AD ==，8CD AB ==，90B C D ∠=∠=∠=︒， ∵将△ADE 沿着AE 对折，点D 恰好折叠到边BC 上的F 点，∴10AF AD ==，90AFE D ∠=∠=︒，∴6BF =，∴4CF=，∵8==-，EF DE CE∴()222-=+，84CE CE∴3CE=，∴5EF=，∴AE故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5、D【解析】【分析】由菱形的性质和勾股定理即可求得AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=12BD=12，OA=OC=12AC=5，在Rt△ABO中，AB，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB=13是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：222222a b c d ab cd++=++，2222022a ab bc cd d-++-+=，22()0)c da b+--=（，0,0c da b--==，∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【详解】解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，∴EB=2，EC=4，∴Rt△BCE中，BC故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．8、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠， ∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒； 故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=125．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．10、D【解析】【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，∵DH ⊥BC ，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=， ∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=，∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．二、填空题1、2.5．【解析】【分析】如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，然后分别求出AC ，BC 的长度，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，∵圆柱形容器高为0.8m ，底面周长为4.8m 在容器内壁离底部0.1m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A 处，∴0.8m AD =， 2.4m DE =，0.1m BE =，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD =90°，∵四边形ADEF 是矩形，∴∠ADE =∠DEF =90°∴四边形BCDE 是矩形，∴ 2.4m BC DE ==，=0.1m CD BE =，∴=0.7m AC AD CD =-，∴ 2.5m AB ，答：则壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m ．故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了平面展开—最短路径，解题的关键在于能够根据题意确定展开图中AB 的长即为所求． 2、4.8【解析】【分析】由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】设AC 与BD 的交点为O ，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12AC＝3，BO＝DO＝12BD＝4，∴5 BC=，∵12ABCDS AC BD BC AP=⨯⨯=⨯菱形，∴244.85AP==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．3、15或24或75 8【解析】【分析】分三种情形讨论求解即可．【详解】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN；②如图2中，当DM=DN时，此时M与B重合，∴BC=CN=12，∴BN=24；③如图3中，当MN=MD时，∴∠NDM=∠MND，∵∠MND=∠CBD，∴∠NDM=∠MND=∠CBD，∴BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（12-x）2+92，∴x=758，综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或758．故答案为：15或24或758．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．4、【解析】【分析】如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°，∵AO=OD，∴PO=OA=AD，∴AD∴OP=∵BD=CD=4，OD=∴OC==∵PC≤OP+OC，∴PC≤∴PC的最大值为故填：【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长．5、6-【解析】【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝()22+x，在Rt△FCE 中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x的方程，求解x即可．【详解】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE=根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝2，∴CF＝4-（2），故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质及翻转折叠的性质，勾股定理，拓展一元一次方程，准确运用题目中的条件表示出EF列出方程式解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BG=【分析】（1）由正方形的性质可得BC DC=，BCG DCE∠=∠，由E∠的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG ≌△DCE ，从而证明CG =CE ；（2）证明正方形的性质可得BC DC =，结合已知条件即可求得,CG BC ，进而勾股定理即可求得BG 的长【详解】（1）∵BF ⊥DE∴∠BFE =90°∵四边形ABCD 是正方形∴∠DCE =90°BC DC =,BCG DCE ∴∠=∠∴∠CBG +∠E =∠CDE+∠E ，∴∠CBG =∠CDE∴△BCG ≌△DCE∴CG =CE（2）∵BC DC =，且BE =DG =∴CE CG =∵CG =CE∴CG BC =在Rt BCG 中，BG =【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．2、(3,0)B 、(5,C 、(0,D【分析】根据5AB =，(2,0)A -即可求得点B ，勾股定理求得OD 即可求得点D ，再根据平行四边形的性质可得C 点坐标．【详解】解：ABCD 是平行四边形，∴CD x ∥轴，5CD AB ==，由题意可得，2OA =，90AOD ∠=︒，∴OD =，即(0,D ，∵(2,0)A -，5AB =，∴(3,0)B ，∵(0,D ，5CD AB ==，CD x ∥轴，∴(5,C ，∴(3,0)B 、(5,C 、(0,D ．【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由垂直平分线的性质可求解；（2）由“ASA ”可证AOF COE ∆≅∆，可得EO FO =，且AO CO =，AC EF ⊥，由菱形的判定可证四边形AECF 是菱形．【详解】解：（1）EF 是AC 的垂直平分线，OA OC ∴=，EF AC ⊥，OE OF ≠∴不能得出OE OF =；（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴．FAC ECA ∴∠=∠ EF 是AC 的垂直平分线，EF AC ∴⊥，OA OC =，且FAC ECA ∠=∠，AOF COE ∠=∠()AOF COE ASA ∴∆≅∆EO FO ∴=，且AO CO =∴四边形AECF 是平行四边形EF AC ⊥．∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质．4、（1）证明见详解；（2）与ADG 面积相等的平行四边形有ADFE 、DEFB 、DECF 、EFCG ．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得：∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =，依据平行四边形的判定定理可得四边形DECF 为平行四边形，再由BC AC =，可得DE DF =，依据菱形的判定定理即可证明；（2）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可得四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得出ADE 与各平行四边形面积之间的关系，再根据平行四边形的判定得出四边形EGCF 是平行四边形，根据其性质得到EG FC DE ==，根据等底同高可得2=ADG ADE SS ，据此即可得出与ADG 面积相等的平行四边形．【详解】解：（1）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，12DE BC =，12DF AC =， ∴四边形DECF 为平行四边形，∵BC AC =， DE DF ∴=，∴四边形DECF 为菱形；（2）∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴∥DE BC ，DF AC ∥，EF AB ∥，12DE BC =，12DF AC =， 12EF AB =， 且AD BD =，AE CE =，BF CF =，∴四边形DEFB 、DECF 、ADFE 是平行四边形， ∴111222======ADE DEF EFC DBF ADFE DEFB DECF S S S S S S S ，∵∥DE BC ，∥∥CG EF AB ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴EG FC DE ==，∴2=ADG ADE S S ，∴====ADG ADFE DEFB DECF EFCG S S S S S∴与ADG 面积相等的平行四边形有ADFE 、DEFB 、DECF 、EFCG ．【点睛】题目主要考查菱形及平行四边形的判定定理和性质，中位线的性质等，熟练掌握平行四边形及菱形的判定定理及性质是解题关键．5、见解析【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，∵BE=BF，∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．。
2020-2021学年人教版 八年级下册 第18章 平行四边形 培优训练(含答案)
人教版 八年级下册 第18章 平行四边形 培优训练一､选择题1. 已知四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC ､BD 交于点O,E 是BC 的中点,以下说法错误的是( )A . OE=12DC B . OA=OC C . ∠BOE=∠OBA D . ∠OBE=∠OCE2. 如图,在菱形ABCD 中,6AC =,8BD =,则菱形的边长为( )A.5B.10C.6D.83. (2019·上海)下列命题中,假命题是()A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C.矩形的对角线互相平D.矩形对角线交点到四条边的距离相等4. 如图,在ABCD 中,将△ADC 沿AC 折叠后,点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE 的周长为A.12B.15C.18D.215. 关于▱ABCD的叙述,正确的是( )A . 若AB ⊥BC,则▱ABCD 是菱形 B . 若AC ⊥BD,则▱ABCD 是正方形 C . 若AC=BD,则▱ABCD 是矩形D. 若AB=AD,则▱ABCD是正方形6. (2020·南通) 下列条件中,能判定□ABCD是菱形的是A.AC=BDB.AB⊥BCC.AD=BDD.AC⊥BD7. 如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E､F､G､H分别是AB､BD ､CD､AC的中点,则四边形EFGH的周长为A.12B.14C.24D.218. 如图,在平行四边ABCD中,AC､BD为对角线,6BC ,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ).A.3B.6C.12D.24(1)DBA9.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=45,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )A. (0,0)B. (1,12) C. (65,35) D. (107,57)10. (2020·深圳)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,折痕为EF,点E､F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H.给出以下结论:①EF⊥BG;②GE=GF;③△GDK和△GKH的面积相等;④当点F与点C重合时,∠DEF=75°.其中正确．．的结论共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二､填空题11. 如图,如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.DCAB12. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=________.13. 如图,▱ABCD中,AC=8,BD=6,AD=a,则a的取值范围是________.14. 已知平行四边形ABCD的周长为60cm,对角线AC､BD相交于O点,AOB∆的周长比BOC∆的周长多8cm,则AB的长度为cm.OD CBA15. 矩形ABCD的对角线AC､BD交于O,如果ABC∆的周长比AOB∆的周长大10cm,则边AD的长是.16. 如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E 处,AD′与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为________.17.▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,请添加一个条件:________,使得▱ABCD 为正方形.18. 如图,已知等边三角形的边长为10,P 是ABC ∆内一点,PD AC ∥,PE AB PF BC ∥，∥,点D E F ，，分别在AB BC AC ，，上,则PD PE PF ++=PFEDCBA19.如图,正方形ABCD 中,O 是对角线AC BD ，的交点,过点O 作OE OF ⊥,分别交AB CD ，于E F ，,若43AE CF ==，,则EF = OFE DC BA20.如图,在正方形ABCD 中,点1P P ，为正方形内的两点,且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，,则1BPP ∠= P 1PDC BA三､解答题21. 如图,将▱ABCD 的边AB 延长至点E ,使BE=AB ,连接BD ,DE ,EC ,DE 交BC 于点O.(1)求证:△ABD ≌△BEC ;(2)若∠BOD=2∠A ,求证:四边形BECD 是矩形.22. 如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC ､BD 交于点O ,E 是BD 延长线上的点,且ACE ∆是等边三角形.⑴ 求证:四边形ABCD 是菱形;⑵ 若2AED EAD ∠=∠,求证:四边形ABCD 是正方形.OEDCBA23.如图,正方形ABCD 中,在AD 的延长线上取点E ,F ,使DE AD =,DF BD =.连结BF 分别交CD ,CE 于H ,G .求证:GHD ∆是等腰三角形.3142FE GHCDBA24. 如图所示,矩形ABCD 内一点P 到A ､B ､C 的长分别是3､4､5,求PD 的长.PDCB A人教版八年级下册第18章平行四边形培优训练-答案一､选择题1. 【答案】D【解析】A､B､C均正确,因为OB不一定等于OC,所以∠OBE不一定等于∠OCE.2. 【答案】A【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A3. 【答案】D【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等,故选项D错误,是假命题.4. 【答案】C【解析】由折叠可得,∠ACD=∠ACE=90°,∴∠BAC=90°,又∵∠B=60°,∴∠ACB=30°,∴BC=2AB=6,∴AD=6,由折叠可得,∠E=∠D=∠B=60°,∴∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴△ADE的周长为6×3=18,故选C.5. 【答案】C【解析】逐项分析如下表:选项逐项分析正误A有一个角是直角的平行四边形是矩形,不是菱形×B对角线互相垂直的平行四边形是菱形,不一定是正方形×C对角线相等的平行四边形是矩形√D有一组邻边相等的平行四边形是菱形,不一定是正方形×6. 【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;判断定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.只有D能够判断出四边形ABCD是菱形.故选D.7. 【答案】A【解析】∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,∴2222++BD CD=43∵E､F､G､H分别是AB､AC､CD､BD的中点,∴EH=FG=12BC,EF=GH=12AD,∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC, 又∵AD=7,∴四边形EFGH 的周长=7+5=12.故选A.8. 【答案】C9. 【答案】D【解析】如解图,连接CA ､AD ,CA 与OB 相交于点E ,过点E 作EF ⊥OA ,交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ,AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质,菱形的对角线互相垂直且平分两组对角,可知△COE ∽△EOF ,∴CO EO =EO OF ,∵OC =OA =5,OE =OB 2=25,∴OF =OE 2CO =（25）25=4,根据勾股定理可得EF =OE 2－OF 2=（25）2－42=2,点E 的坐标为(4,2),易得直线OE 的函数解析式为y =12x ,直线AD 的函数解析式是y =-15x +1,联立得:⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xy ＝－15x ＋1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57,∴点P 的坐标为(107,57).解图10. 【答案】C【解析】由轴对称可知,B ､G 关于EF 对称,EF 垂直平分BG ,故①正确;又由矩形ABCD 知,AD ∥BC ,∴∠GEF =∠BFE ,连接BE ,∠BEF =∠GEF ,∴∠BEF =∠BFE ,∴BE =BF ,而BE =GE ,BF =GF ,∴GE =GF ,故②正确;由BE =GE =BF =GF 知,四边形BEGF 是菱形,∴GK 平分∠DGH ,而DG <GH ,∴DK ≠KH ,∴S △GDK ≠S △GKH ,故③错误;当点F 与点C 重合时,BF =BC =12,∴BE =12,而AB =6,∴∠AEB =30°,∴∠GEF =180°－∠AEB 2=75°,故④正确;因此本题选C.二､填空题11. 【答案】AB AD AC BD =⊥，12. 【答案】2 【解析】根据“矩形的对角线相等且互相平分”进行解题便可.∵四边形ABCD 是矩形,∴BD=AC=2OA,∵OA=1,∴BD=2.13. 【答案】1<a <7 【解析】如解图,对角线AC,BD 相交于点O,则OA=12AC=4,OD=12BD=3,在△OAD 中,OA-OD<AD<OA+OD,即1<a<7.14. 【答案】19【解析】如图,AOB ∆的周长为AB AO BO ++,BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==.15. 【答案】10cm【解析】∵AC AO BO =+,∴()()10cm AD BC AB AC BC AB AO BO ==++-++=.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中,∠D=∠B=52°,∴∠AEF=∠DAE+∠D=20°+52°=72°,∴∠AED=180°-∠AEF=108°,由折叠的性质得,∠AED ′=∠AED=108°,∴∠FED ′=∠AED ′-∠AEF=108°-72°=36°.17. 【答案】∠BAD =90°(答案不唯一) 【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,∴▱ABCD 是菱形,当∠BAD=90°时,菱形ABCD 为正方形.故可添加条件:∠BAD=90°.18. 【答案】1019. 【答案】520. 【答案】45︒【解析】连结PC ,则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌,得145BPP BCP ∠=∠=︒三､解答题21. 【答案】[解析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形,然后由SSS推出两三角形全等即可;(2)欲证明四边形BECD是矩形,只需推出BC=ED即可.证明:(1)在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.又∵BE=AB,∴BE=DC,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=EC.在△ABD与△BEC中,∴△ABD≌△BEC(SSS).(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形,则OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴BC=ED,∴平行四边形BECD是矩形.22. 【答案】⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO CO=.又∵ACE∆是等边三角形,∴EO AC⊥,即DB AC⊥.∴平行四边形ABCD是菱形.⑵∵ACE∆是等边三角形,∴60AEC∠=︒.∵EO AC⊥,∴1302AEO AEC∠=∠=︒.∵2AED EAD∠=∠,∴15EAD∠=︒.∴45ADO EAD AED∠=∠+∠=︒. 四边形ABCD是菱形,∴290ADC ADO∠=∠=︒∴四边形ABCD是正方形.23. 【答案】首先证明:GDH GHD∠=∠.因为DE BC DE BC =∥，,所以四边形BCED 为平行四边形, 14∠=∠,又BD FD =,所以1123452∠=∠=∠=⨯︒,134452∠=∠=⨯︒,BC GC CD ==.因此,DCG ∆为等腰三角形,故()11351804522CDG ︒∠=︒-︒=. 又451359039022GHD ︒︒∠=︒-∠=︒-=,所以CDG GHD ∠=∠.从而GD GH =.24. 【答案】【解析】过P 点分别作AD ､AB ､BC ､CD 的垂线,垂足分别为E ､F ､G ､H ,HGFEP D CBA显然AFPE ,EPHD ,FBGP ,PGCH 都是矩形,则2222AP AE EP PF PE =+=+,222PC PG PH =+,222PB PF PG =+,222PD PE PH =+, ∴22222222PA PC PE PF PG PH PB PD +=+++=+, ∴222222235418PD PA PC PB =+-=+-=,∴PD =.另解:如图所示,连接AC ､BD 交于点O ,连接PO .OAB CDP因为AO OC =,BO DO =,故2222111224OP PA PC AC =+-(中线定理),2222111224OP PB PD BD =+-.而AC BD =,故2222PA PC PB PD +=+,则PD ==。
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人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。