高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习

1、下列结论：①函数y =

2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为

[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3-

其中正确的个数为 ( )

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2.定义在R 上的函数()f x 满足1

(0)0,()(1)1,()()52

x f f x f x f f x =+-==

，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1

(

)2007

f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 164

3.已知()f x 是定义在R 上的函数，且3

()[1()]1()2

f x f x f x +-=+，(2)2f =，则

()2009f 值为（ ）

A. 2

B. 22 D. 2-4.已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根

1

2

x =

，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007

5.已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______.

6.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题：

①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =.

其中正确的序号为_________.

7.已知函数()f x 定义在(1,1)-上，对于任意的,(1,1)x y ∈-，有()()()1x y

f x f y f xy

++=+，且当0x <时，()0f x >.

(1)验证函数1()ln

1x

f x x

-=+是否满足这些条件； (2)若()1,()211a b a b

f f ab ab +-==+-，且||1,||1a b <<，求(),()f a f b 的值．

(3)若1()12f -=，试解关于x 的方程1

()2f x =-．

8.已知函数()()f x x R ∈满足：对于任意实数,x y ，都有1

()()()2

f x y f x f y +=++恒成立，且当0x >时，1

()2

f x >-

恒成立； (1)求(0)f 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；

(2)判定函数()f x 在R 上的单调性，并加以证明；

(3)若函数2()(max{,2})()1F x f x x x f k =--+-+(其中,()

max{,},()

a a

b a b b a b ≥⎧=⎨

<⎩)有三个零点123,,x x x ，求123123()u x x x x x x =+++⋅⋅的取值范围．

9.已知函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=++成立，且当0x >时，()1f x >-，(1)0f =.

(1)求(5)f 的值；

(2)判断()f x 在R 上的单调性，并证明；

(3)若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当0||x x σ-<时，

0|()()|f x f x ε-<，则称函数()f x 在0x x =处连续.

试证明：()f x 在0x =处连续.

10.已知函数()f x 满足对一切12,x x R ∈都有1212()()()2f x x f x f x +=+-，且(1)0f =，当1x >时有()0f x <.

(1)求(1)f -的值；

(2)判断并证明函数()f x 在R 上的单调性；

(3)解不等式：222[(2)]2(21)120f x x f x x -+---<.

11.定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意实数,a b ，有()()()f a b f a f b +=⋅，求证：

(2)证明：()f x 是R 上的增函数；

(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.

12.已知函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[2,1]-上的值域.

13.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足 ()()()f xy f x f y =+， 1

()12

f =-

(1)求证：(2)1f =

(2)求不等式()(3)1f x f x -->的解集.

答案和解析

1.答案：A

分析：因为函数y =

R ，2y =的定义域为[0,)x ∈+∞所以①不成立. 由

函数(1)f x -的定义域为[1,2]，所以011x ≤-≤所以函数2(3)f x 要满足2

031x ≤≤，所以函数

2(3)f x 的定义域为[33

-

故②不成立，因为函数22log (23)y x x =+-的定义域为2230,3x x x +->∴<-或1x >所以递增区间为(1,)-+∞不正确，所以③不成立.因为函数(21)y f x =-与函数(12)y f x =-的图像关于y 轴对称，所以④不正确.故选A 2.答案：C

分析：由(0)0,()(1)1f f x f x =+-=，得1

1()2

2f =，(1)1f =，又()1

()52

x f f x =，11()52f ∴=，41()52f =，又1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，所以若14[,]55x ∈，1()2f x =，

1()()52x f f x =，则在14[,]55n n 区间上1()2n f x =，又55114[,]200755∈，11()200732

f ∴=. 3.答案：A