曲边梯形的面积

n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
f (i-1) n
S第3个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
…
S第n个黄色矩形
1 n
f
( n-1) n
(n-1)2 n3
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
S黄色部分
n
n
lim f (i )x x0 i1
lim
n
n1 i1 n
f (i )
i为区间[
i
n
1
,
i n
]上任意一点
为了便于计算,一般用左(右)端点
练习
y x2
求曲边梯形的面积； 其中曲边为函数 y=x2
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 （2）求面积的和 （3）取极限n
y
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
的面积为:
y x2
S
lim
n
Sn
O 12 nn
k n
nx
n
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
y
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。
y f (x)
y
x
Oa b
y f (x)
—— 以直代曲
Oa
bx
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些 小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
f(i) n
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i) n
i2 n3
S第1个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
S第2个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
y f (x)
i-1 i nn
…
1 n1
S第n个黄色矩形
n
f
() n
n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
02
12
22
L
i 12
L
n 12
n3 n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n 12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n 12
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
lim
n
1
22
32
L n3
n 12
lim
n
1 6
n
1
n
1 1
n3
2
n
1
1
1 (n 1)[(n 1) 1][2(n 1) 1]
12 22 L i2 L n2
n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n2
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n2
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
1 22 32 L n2
lim
n
1 n(n
n3
1)(2n
1)
lim 6
n
n3
1 n(n 1)(2n 1)
曲边梯形的面积
说教学设想
这些图形的面积 该怎样计算？
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。 ①、只有一边是曲线
y
②、其他三边是特殊直线
y=f (x)Fra Baidu bibliotek
x=a
Oa
x=b
bx
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线， 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围 内以直代曲）．
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 y f (x) 下的面积 f (x) 0
若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？
lim 6 n
n3
lim(1 1 1 ) n 3 2n 6n2
1
1
1
lim lim lim
n 3 n 2n n 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
在区间[i 1, i ]上的左端点和 nn
右端点的函数值来计算有和区别
从小于曲边梯形的面积 从大于曲边梯形的面积
来无限逼近
来无限逼近
割 把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分点
越来越密时，即分割 越来越细时，矩形面 积和的极限即为曲边 形的面积。
o
x
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
lim 6
n
n3
lim(
n
1 3
1 2n
1 6n2
)
lim
n
1 3
lim
n
1 2n
lim
n
1 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
思考
阅读课本42页 探究，思考
f (i-1) n
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
y f (x)
第i个小 直边
“梯形”
i-1 i nn
2、近似代替
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0, 1];[1 , 2];[ 2 , 3];......[; n 1,1]
n nn nn
n
区间长度： 1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
(i
1) 2 n3
10
S第1个黄色矩形
f (i )
S第i个矩形
S第i个矩形
1 n
f (i )
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i
n i n
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
1 n
f (1)
1 n
f (2 ) ...
1 n
f (n )
n i1
1 n
f (i )
lim S曲边梯形