曲边梯形的面积
《曲边梯形的面积》教案
曲边梯形的面积教学设计宁波滨海国际合作学校汪庆东一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第5节的内容。
该内容不在浙江省高考范围之列，本节课作为一节数学拓展课，主要让学生学会曲边梯形的面积的求法，了解定积分的实际背景，同时让学生了解微积分及割圆术等数学历史，旨在帮助学生了解以曲代直及无限逼近这两种重要的数学思想，进一步拓展学生视野，增强学生学习数学的兴趣。
基于以上分析，教学内容应在类比和转化的方法引领下，引导学生利用分割与无限逼近的思想解决生活当中的曲边梯形的面积的求法。
重点是探究求曲边梯形面积的方法难点是把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
二、教学目标设置1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景；（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限；（3）了解割圆术、微积分创立的背景，了解相关数学史。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想；（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：（1）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的；（2）通过相关数学史教学，让学生感受数学来源于生活并服务于生活的工具作用。
三、学情分析本节课的教学对象是高一年级学生，且本节课不作为高考考试内容，而高一学生对本节课的认知基础有限，根据分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1. 学生学习过匀速直线运动的位移公式及其几何意义；2. 高一上学期学习了匀加速直线运动的位移公式，并初步了解其公式推导过程中的分割思想；3. 对割圆术求圆周率的方法有少部分的了解。
四、教学策略分析课堂教学以学生为中心，突出合作学习，探究学习和自主学习。
师生合作探究，通过匀速直线运动位移的几何意义匀加速直线运动的位移公式的推导变速运动位移公式的求解，通过师行合作，共同完成新知学习。
曲边梯形的面积完整版
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b
n1
f (x)dx
a
f (i )
i0
xi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
1.4.1曲边梯形的面积与定积分
1. 曲边三角形或梯形的面积
S= nlim f ( xi ) x
i 0 n 1
2.克服弹簧拉力的变力所做的功
W= nlim f ( xi ) x
i 0
n 1
类似地问题还很多，它们都可以归结为 求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦 心研究，得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。
作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，记作
b
a
f ( x)dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
利用积分的定义，前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 a f ( x)dx
1 2
1 于是例1的结果可以写作 S 0 x dx 3
kb W kxdx 0 2
b 2
例2中克服弹簧拉力的变力所做的功
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是一条 连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x) 在[a，b]一定是可积的。
f ( )x
i 1 i
i
．
ba S lim f ( i ) n n i 1
n
（类似方法求变力做功）
弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用三角函数是数学中的一种重要函数类型，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定积分计算方法，以及如何利用三角函数求解曲边梯形的面积。
一、三角函数的定积分计算定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线下的面积。
对于三角函数来说，我们可以利用其周期性和性质进行定积分的计算。
1. 正弦函数的定积分计算正弦函数的定义域是整个实数集，其周期为2π。
对于正弦函数sin(x)，其定积分可以表示为∫sin(x)dx。
利用正弦函数的性质可以得到该定积分的计算方法。
我们知道，正弦函数的一个周期(0到2π)的定积分为0，即∫[0,2π]sin(x)dx = 0。
由于正弦函数是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 4π]sin(x)dx，可以将其分解成四个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]sin(x)dx + ∫[2π, 4π]sin(x)dx + ∫[4π, 6π]sin(x)dx + ∫[6π,8π]sin(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
2. 余弦函数的定积分计算与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，其周期为2π。
对于余弦函数cos(x)，其定积分可以表示为∫cos(x)dx。
同样地，余弦函数一个周期(0到2π)内的定积分为0，即∫[0,2π]cos(x)dx = 0。
由于余弦函数也是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 6π]cos(x)dx，可以将其分解成三个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]cos(x)dx + ∫[2π, 4π]cos(x)dx + ∫[4π, 6π]cos(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
二、曲边梯形的面积应用曲边梯形是一个由曲线和直线围成的四边形，其中有一条边为曲线边，其余三条边为直线边。
对于曲边梯形的面积计算，我们可以利用三角函数进行求解。
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
摘要：
一、抛物线弧段曲边梯形面积的背景知识
二、计算抛物线弧段曲边梯形面积的方法
1.分解抛物线弧段为无数小线段
2.计算每个小线段的面积
3.求和得到总面积
三、结论与拓展
正文：
在数学中，抛物线弧段常常作为曲边梯形的曲边。
那么，如何计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积呢？下面，我们将详细介绍计算方法。
首先，我们需要了解一些背景知识。
抛物线是一种二次函数，它的图像是一个向上开口的曲线。
抛物线弧段则是抛物线的一部分，通常用来表示曲边梯形的曲边。
要计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，可以采用以下方法：
1.将抛物线弧段分解为无数小线段。
这样可以近似地表示曲边梯形的面积。
2.计算每个小线段的面积。
每个小线段可以看作是一个小矩形，其面积可以通过计算矩形的长和宽相乘得到。
这里的长是线段在横轴上的投影长度，宽则是线段与横轴的交点到曲边梯形底边的距离。
3.将所有小线段的面积求和，得到曲边梯形的总面积。
求和的过程中，可
以使用积分的方法，将所有小线段的面积累加起来。
通过以上步骤，就可以得到以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积。
需要注意的是，随着小线段数量的增加，计算结果会越来越接近真实的面积。
总之，计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，需要将其分解为无数小线段，计算每个小线段的面积，并求和。
课件2：1.4.1曲边梯形的面积
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
曲边梯形的面积(说课)
探 究 二 求 和
… … 面 积 和 Sn
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作——自主探究，近似求和
精心设计表格
1.降低计算难度
2.提高课堂效率
3.培养计算能力
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作——自主探究，近似求和
计算三种方案的面积近似值
1.分组合作，相互交流
2.经历过程，体验异同
三、教学过程设计
y
y
S i y x 2
O
1 4
1 2
3 4
1
x
O
1 2 n n
i 1 i n n
n n
x
以直代曲
减小误差
细化分割
顺应学生思维，设置递进问题，
类比概括思想，具体实施分割。
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作
引导递进，类比分割 自主探究，近似求和 动画演示，极限逼近 概括步骤，形成方法
2
探究学习，具体操作——概括步骤，形成方法
分割
转化
四 步 曲
近似代替
以直代曲
化不规则为规则
求和
化近似为精确
取极限
转化
无限逼近
三、教学过程设计
3
应用推广，深化认识
本环节将求曲边梯形面积 的“四步曲”推广应用到汽车 行驶路程这一物理问题上，介 绍定积分的物理背景，突出物 理问题中的数学本质。而具体 的计算过程留作课后作业。
f (i )
探究四:如果用每个小区间任意一点 的函数值作近似代替，会有怎样的结 果？
1. 直观感知面积与选取的点无关 2. 直观体会“左右夹逼”的方法
xi1 i xi
三、教学过程设计
《曲边梯形的面积》优秀课件
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
高中数学总结归纳 定积分与曲边梯形的面积
定积分与曲边梯形的面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.当函数f(x)在区间〔a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．那么在一般情形下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线y=f(x)，两条直线x ＝a,x ＝b 与x 轴所围成的各部分面积的代数和.本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系.一. 利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1.利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积． 分析:画出草图,形象直观,帮助解题.对定积分定义的理解程度决定了解题的成败. 解：（1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点把区间［1,2］等分成n个小区间每个小区间的长度为过各分点作x 轴的垂线，把曲线梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作△S 1 ,△S 2，…,△S n ．（2)近似代替取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长△x=n1为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即（4）求极限当分点数目愈多，即△x 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S.因此∞→n 即△x →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积点评: (1)据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． (2)独立研究一个这种例题，是学习定积分过程中必需的，重点在于体验其中的数学思想．二、利用微积分基本定理求曲边梯形的面积 1.以x 为积分变量例2.求由抛物线y=x 2-1，直线x=2,y=0所围成的图形的面积． 分析：首先要较准确地画出图形，尤其是公共点． 解：首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形． 由x 2-1=0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0)所求图形分成两块，分别用定积分表示面积为：因为1)3(,1)3(2323-='--='-x x x x x x ，所以 dx x dx x ⎰⎰---+-112112)1(|1|=dx x dx x ⎰⎰-+--212112)1(|1|=213113|)3(|)3(x x x x -+-- =1-31+1-31+38-2-(31-1)=38, 即所围成的三角形面积为38．点评：在[-1,1]上, 抛物线在x 轴下方,这时有两种办法表示，其面积表示其一是dx x ⎰--112|1|,其二是dx x ⎰---112)]1(0[．2. 以y 为积分变量例3求曲线y=2x 与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x ，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 解得⎩⎨⎧-==,2,2y x 和⎩⎨⎧==.4,8y x 即A,B 两点的纵坐标分别是-2和4. 因此所求的面积为因为,24)642(232y y y y y -+='-+所以 S=4232422|)642(]2)4[(---+=-+⎰y y y dy y y =18.点评：由本题可看出，如果采用x 作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．三、逆用曲边梯形的面积求定积分 例4.求定积分⎰---12))1(1(dx x x 的值.解析:⎰---12))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积，因此⎰---12))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评: 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---12))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
“曲边梯形的面积”教学设计与评析
的过程 ，再在 此基础上 引出取极 限的方法 ，使学生循序 渐进地 完成从感性到理性 的认识过程． 二 、学生学情分析 本节课 的教学对象是 北京市示范校 的学生 ，学生 的思维 比
本节课的重点是 ：求曲边 梯形 面积 的方法 ． 针对这一教学重
点 ，教学 中采用从一般到特殊再 到一般 的教学过程．先通过讨论 较活跃 ，数 学基础较好 ，理解能力 、运算 能力和学 习交流能力 般的 曲边梯形 如何 “ 以直代曲” ；再通 过特例应用实施 ，小结 较强．学生在本节课之前 已经具备 的认知基础有如下几个方面． （ １ ） 学生学习过如何计算 不规则 图形 的面积 ，例如通 过割补 步骤 ；最后进行一 般推广 ，共性归 纳 ，从而 逐步强化 求 曲边梯
，
问题 ４ ：请 比较不同方案的区别 ，哪种方 案既实现 了 “ 以直
代 曲”和 “ 逐步逼近” ，又更便于实际操作？
／ ＿
【 设计意图】通过问题 ４引导学生选择便于操作的方案，培
养 学生化繁为简 的意识．
３ ． 特 例 应 用 ， 细化 操 作
；
…
／ Ｉ
ｆ ＿
有 一定 的认识 ．二 是 通 过分 组 的 方式 让 学生 进 行 自主探 究 、
一
、
教 学 内容 分 析
１ ．教 材 的 地 位 和 作 用
本节课 的内容是 《 普通高 中课程标 准实验教科 书 ・ 数学 ２ — ２ （ 选修） 》（ 人教 Ａ版）第一章第五节 “ 定积分的概念”的起始课 ，
汇 报展示 ，通 过分 析 和 比较 各种 方 案 的优 劣 繁简 ，为 后面 的 具体 操作 打下基 础．
针对另一个 难点是对 “ 极 限”和 “ 无 限逼近” 的理解 ，教 学 中先分别采 用图形 、数 表两种方式呈现 逐渐细分 和无 限逼近
高一数学曲边梯形的面积
y
(过剩近似值)
y x2
1 n
2 n
k n
n n
x
i 1 i 21 S Si f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 i 1 1 2 2 2 2 3 [1 2 (n 1) n ] n
n
n
n
y
(过剩近似值)
y x2
1 n
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
y 曲边梯形的面积。 （1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
f ( xi )
f ( xi 1 )
C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确
f (i )(i xi , xi 1 )
作业 P42 练习题
； /ielts 雅思培训班 ；
实上绝大多数国家の国尪和战申都选择在大斗场等一个事辰,等到对战名单公示在大斗场名牌上面.一个事辰很短,在闲谈之中便悄然の结束了.大斗场名牌上,准事の出现了详细の对战名单列表.大斗场名牌,是一面极其巨大の翠玉墙壁,此事上面,密密麻麻の出现了一个个战申の名字.善王 级强者の目历自然是非常强大の,即便不靠近名牌,也能够看得清楚.鞠言和纪沄战申,就站在比较远の地方,寻找名牌上鞠言の名字.“看到了,鞠言战申,俺看到你の名字了.”纪沄国尪开口道.呐个事候,鞠言也看到了自身の名字.而当申念接触名字后,便能查探到更多の相关信息.鞠言自身 の申念,接触名牌上自身の名字,就看到了介绍信息,如来自龙岩国等等.“俺の第一轮对手,名字叫向清,来自猎天尪国.”鞠言查探了一下对手の信息,呐是他在战申榜排位赛中遇到の第一个对手,猎天尪国の战申.“果然不是无名之辈.”纪沄国尪预料之中の语气道.“陛下,呐个向清战申 名气很大?”鞠言转目看向纪沄国尪问道.“名气倒也不算很大,但在混元空间也不是毫无名气,猎天尪国在混元空间,也是比较强大の尪国.”纪沄国尪点点头说道.混元空间之中,最强大の国家,自然是那七大王国,之后,就是顶级尪国,如玄秦尪国、波塔尪国等等,顶级尪国数量一共有拾八 个.顶级尪国之下,就是著名尪国,整个混元空间,有约莫二百个左右の著名尪国.猎天尪国,就是著名尪国中の一员,在著名尪国中排名比较靠后.像枯生国那样の国家,距离跻身著名尪国之列还是有一定距离の.能跻身著名尪国之列,在混元空间就有一定の名气了.“陛下,咱们去押注大厅看 看情况吧！”鞠言顿了一下说道.呐边对战名单公布出来,押注大厅那边同步得到相关信息,便会立刻开放盘口の押注了.“好！”纪沄国尪点头道：“那俺们现在就过去看看吧！”纪沄国尪,也是有些期待和紧罔,不知道有没有人在鞠言の身上押注,有多少人在鞠言战申身上押注.两人离开 大斗场,到了押注大厅.押注大厅,其实就在大斗场旁边.押注大厅内,热闹非凡.今天,战申榜排位赛不会有对战发生,但是押注大厅开放押注,所以大斗场内人不多,押注大厅却是人声鼎沸の.由于是第一轮对战,没有任何战申被淘汰,所以在押注大厅,是三百个盘口全部都开放押注の.押注大 厅の翠玉墙壁上,一个个盘口の信息处于随事更新中.第二九陆思章鞠言战申の赔率盘口刚刚开始,接受押注の柜台就变得忙碌起来.而一个个可押注の盘口,有の异常吙爆,有の则比较冷清了.鞠言の盘口,就是冷清盘口中の一个.呐还是由于鞠言の对手向清战申在混元空间有一定の名气,如 果鞠言の对手也是一个毫无名气の战申,那只怕关注呐个盘口の押注者就更少了.鞠言和纪沄国尪来到押注大厅,两人观察了一会.“果然是没哪个人押俺啊！”鞠言苦笑着摇摇头.“还是有一些人押注の,不过好像多数都是押你会败给向清战申.”纪沄国尪说道.鞠言の呐个盘口,由于鞠言 是被押注の人选,所以押注者,只能押鞠言胜利或者失败,而不能对向清战申进行押注.当然,呐对于押注者来说也没哪个影响.“陛下,俺们去柜台问问关于俺の具体赔率.”鞠言随即道.两人找了一个排队人数较少の柜台,排队等待.押注过程很简单,所以每一个押注者都很快便可完成自身の 押注.鞠言和纪沄国尪,只等了不到盏茶事间,便轮到他们二人来到柜台之前.“俺们想对鞠言战申押注,不知他现在の赔率情况是多少.”鞠言开口对柜台内の工作人员问道.那工作人员看了看鞠言,而后在一个晶球内查找了一番,找到关于鞠言盘口の信息.“押注鞠言战申胜向清战申,赔率 是一赔伍,暂事押注上限是一千万白耀翠玉.押注鞠言战申败给向清战申,赔率是一赔一点一,押注上限是两百万乌翠玉.”工作人员对鞠言说道.就是说,押鞠言获胜,押注一枚白耀翠玉,最终若是赢了可获得伍枚白耀翠玉.若押鞠言失败,押注一枚白耀翠玉,最终赢了则只能获得一点一枚黑耀 翠玉.呐赔率悬殊,确实是非常巨大.由此也可看得出来,目前虽然有一些人在鞠言战申盘口押注,但押鞠言胜の确实没有多少人.恐怕,就连押注大厅官方,都认为鞠言战申の胜算不大.而且呐个赔率并不是固定の,会随事变化.押注鞠言战申失败の银额越多,那么赔率就会越低.总体而言,法辰 王国の押注大厅在每一个盘口都会极尽全历の争取盈利.“陛下,咱们也押注吧！”鞠言眼申眯了眯对纪沄国尪道.纪沄国尪点了点头,她对工作人员说道：“俺是龙岩国国尪纪沄,俺们想押注鞠言战申の盘口.”工作人员查看了纪沄国尪の身份证明,而后才说道：“由于鞠言战申是龙岩国 の战申,所以纪沄国尪若要押注,就只能押鞠言战申胜向清战申.”“嗯,俺知道,俺就是要押注鞠言战申获胜.”纪沄国尪点头回应道.“纪沄国尪需要押注多少数额白耀翠玉呢?”工作人员问纪沄国尪.“上限是一千万白耀翠玉,那俺就押注一千万白耀翠玉吧！”纪沄国尪说话间,已经是拿 出了一个空间宝物,在里面放了一千万白耀翠玉递给工作人员.听到呐个数字,工作人员明显是愣了一下,应该是没想到纪沄国尪会呐么狠,一开口就是一千万白耀翠玉.一千万白耀翠玉,可不是小数目,别看此事押注大厅如此の吙爆,可是一般の押注额也
曲边梯形的面积教学案例
《曲边梯形的面积》教学案例八中高中数学组兰北平“曲边梯形的面积”是定积分的内容，定积分在高中的教材里曾经几进几出，原因可能是这部分内容实在是太有用同时又存在不小的难度，就像是一种美味好吃却不易吃，会使人觉得弃之可惜。
新课程把其加进来，采用了不同于高等数学的处理方式，即不介绍不定积分，而直接通过一个几何问题和一个物理问题引入定积分的概念。
这充分体现新课程返璞归真，回归本质的理念。
不过这样无论对学生还是教师，都将是一个不小的挑战。
对于本节课的设计，笔者将重心放在如何使新课引入自然以及如何突破难点上。
一、对本节课的认识“曲边梯形的面积”是“定积分的概念”的第一课时。
定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积，变速运动的路程，变力做功等问题方面有着广泛的应用。
而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。
本节课内容较为单一，目标也比较明确，就是用“以直代曲，无限逼近”的思想求曲边梯形的面积。
然而，这种思想方法给学生带来的理解上的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须对极限的思想要有比较清晰的认识。
不过，新课程似乎为了避免增加学生的负担，而不要求深入介绍极限的概念，其旨在用最易于让学生接受的手段，使学生获得最有价值的数学知识。
这节课亦是如此。
基于以上原因，备课时认为本节课有两大难点：一是如何使学生获得“无限分割，以直代曲”的思路；二是对“极限”“无限逼近”的理解，即理解为什么将近似值取极限正好是面积的精确值。
二、教学设计I、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景；（2）会用分割-近似代替-求和-取极限的四步曲求曲边梯形的面积；2.过程与方法：（1）体会以直代曲的数学思想方法；（2）体会无限逼近的数学思想；3.情感、态度与价值观：通过以直代曲求曲边梯形面积的过程感受数学化归思想化难为易，化不可计算为可以计算的妙处；II、重点、难点1.重点：以直代曲的思想方法；求曲边梯形的四步曲；2.难点：以直代曲的思想方法；III、教学教法讲授与启发相结合，采用几何画板制作课件IV、教学过程（一）引入问题引入：这是浙江省地图，怎样求其面积？意图：用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题. （二）新课问题1：我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？回答问题1：通过将曲边梯形分割成等宽的多个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积用高为左端点函数值矩形代替，求和，取极限得到面积.2、板书分割-近似代替-求和-取极限四步曲的详细步骤；3、用几何画板表格展示当n逐渐增大时，矩形面积和的值的变化趋势，验证计所得结果，并且发现面积和会从小于的方向逐渐接近1/3,思考为什么，引出下面探究问题. 探究：如果认为y=f(x)在每个小区间上的函数值近似地等于右端点的函数值，是否也能求出S=1/3?为什么？2、结合表格数据说明取区间右端点函数值得到的是过剩近似值，是从大于的方向趋近1/3；3、进一步说明取区间中的任何一点来近似也是可以的从而得到求面积的一般表达式01111lim ()lim ()3n n i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑为引出定积分的概念做铺垫. 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x(^2)所围成的曲边梯形的面积.38,21111382212→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n n i n S n n n n n i S意图：用一个与例题相仿，只是区间不同的例子进一步体验“分割—求和—近似—取极限”的方法.（三）小结：这节课我们学到了什么？1.求曲边梯形的面积的方法和步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2.以直代曲，无限逼近的思想V 、布置作业作业本B 本P51，1、2、3、4、6、7、10三、教学片断实录及反思片断一：新课的引入师（提出问题）：这是浙江省地图，怎样求其面积？生：思考片刻，有的一脸茫然，有的在迟疑，个别窃窃私语：“用割补法”.师：“怎么割补？能否说得具体点？”生：不敢说或者不知道，不能给出答案.师：有一种近似求不规则图形面积的方法——“网格法”，接着介绍这种方法的具体做法。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积(教案)第一章：引言1.1 课程背景本节课我们将学习一种新的几何形状——曲边梯形，并了解其面积的计算方法。
曲边梯形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、土木工程等领域。
通过学习本节课，学生将能够掌握曲边梯形面积的求解方法，提高解决实际问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解曲边梯形的定义及其特点；2. 掌握曲边梯形面积的计算方法；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：曲边梯形的定义及特点2.1 曲边梯形的定义曲边梯形是一种四边形，其中两边为直线，两边为曲线。
曲边梯形的特点是两边平行，而两边则不平行。
2.2 曲边梯形的特点1. 两边平行；2. 两边不平行；3. 对角线相交于一点。
第三章：曲边梯形面积的计算方法3.1 分割法将曲边梯形分割成无数个小的曲边三角形，近似认为这些小三角形都是直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到曲边梯形的面积。
3.2 积分法利用积分公式计算曲边梯形的面积。
将曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到曲边梯形的面积。
第四章：实例讲解4.1 实例一：直角曲边梯形已知直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用分割法，将直角曲边梯形分割成无数个小的直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到直角曲边梯形的面积。
4.2 实例二：非直角曲边梯形已知非直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用积分法，将非直角曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x 轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到非直角曲边梯形的面积。
第五章：课堂练习5.1 练习一已知直角曲边梯形的上底为2cm，下底为6cm，高为5cm，求其面积。
5.2 练习二已知非直角曲边梯形的上底为3cm，下底为9cm，高为8cm，求其面积。
第六章：巩固练习6.1 题目一给出一个曲边梯形，其上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm。
定积分与曲边梯形面积的关系
定积分与曲边梯形面积的关系
定积分和曲边梯形面积有着密切的关系。
对于一个连续的函数
$f(x)$，我们可以将其在$x\in[a,b]$的区间上分成许多小的梯形形状，将梯形的面积加起来即可得到曲边梯形的面积，即：
$$S=\sum_{i=1}^{n}(\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2})(x_{i}-
x_{i-1})$$
其中，$n$表示我们分割的梯形数量，$x_{i}$表示分割后的小区
间的右端点，$x_{i-1}$则表示左端点。
$(\frac{f(x_{i-
1})+f(x_{i})}{2})$则表示这个小梯形的高，$(x_{i}-x_{i-1})$表示
它的底边长度。
可以发现，将$n$增加到无限大时，曲边梯形面积就会趋于某个
定值$S$，这个定值就是$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分。
我们可以
用积分符号表示为：
$$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
因此，我们可以通过定积分来求解曲线的面积问题，从而将几何
问题转化为数学问题，达到简便、准确的目的。
曲边梯形的面积
2近似代替
y
y x2
o
y
i 1 i n n
1
y x2
o
i 1 i n n
1
地代替小曲边梯形的曲 i 1 i 边.这样, 在区间 , n n ' 上, 用小矩形的面积 Si x 近似地代替 S i ,即在局部 小范围内"以直代曲", 则有 i 1 ' S i S i f x n 2 i 1 1 i 1,2, , n . x n n
探究 在 " 近似代替" 中,如果认为函数f x x 2 在 i 1 i 区间 , i 1 2, , n上的值近似地等于右端 , 点 n n i i 处的函数值 f , 用这种方法能求出 的值吗? S n n 1 i 1 i 若能求出这个值也是 吗 ? 取任意ξ i , , 处 3 n n 的函数值f ξ i 作为近似值 情况又怎样? ,
练习：p42
如汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为v(t ) t 2 2 （单位：km / h），那么它在0 t （单位：h）这段时间内 1 行驶的路程S（单位：km）是多少？
S lim ( S1 S2 …… Sn ) lim f (i )x
n n i 1
（i 1） 2i 2 , ]的长度为 每个区间 [ n n 2 x 过每个分点作x轴的垂 n
线,将原曲边梯形分割为n个小 曲边梯形;
(2)近似替代
以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形, 当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯 形的面积S;
(3)求和
（i 1）2 2 （i 1）2 2 2 Sn f ( ) x f ( ) n n n i 1 i 1
曲边梯形的面积与定积分
n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f
x
பைடு நூலகம்
x2在区间i
1, n
i n
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S
lim
n
n i1
f
ξi
Δx
lim 1 f n n
ξi
1. 3
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
• 求曲边梯形面积： • (1)思想：以直代曲． • (2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． • (3)关键：近似代替． • (4)结果：分割越细，面积越精确．
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 近似代替 (不足近似值)
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
y
O 12 nn
y x2
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
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y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 y f (x) 下的面积 f (x) 0
若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？
f (i )
S第i个矩形
S第i个矩形
1 n
f (i )
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i
n i n
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
1 n
f (1)
1 n
f (2 ) ...
1 n
f (n )
n i1
1 n
f (i )
lim S曲边梯形
y
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。
y f (x)
y
x
Oa b
y f (x)
—— 以直代曲
Oa
bx
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些 小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
12 22 L i2 L n2
n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n2
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n2
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
1 22 32 L n2
lim
n
1 n(n
n3
1)(2n
1)
lim 6
n
n3
1 n(n 1)(2n 1)
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
lim 6 n
n3
lim(1 1 1 ) n 3 2n 6n2
1
1
1
lim lim lim
n 3 n 2n n 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
在区间[i 1, i ]上的左端点和 nn
右端点的函数值来计算有和区别
从小于曲边梯形的面积 从大于曲边梯形的面积
来无限逼近
来无限逼近
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
f (i-1) n
S第3个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
…
S第n个黄色矩形
1 n
f
( n-1) n
(n-1)2 n3
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
lim 6
n
n3
lim(
n
1 3
1 2n
1 6n2
)
lim
n
1 3
lim
n
1 2n
lim
n
1 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
思考
阅读课本42页 探究，思考
f (i-1) n
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
y f (x)
第i个小 直边
“梯形”
i-1 i nn
2、近似代替
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0, 1];[1 , 2];[ 2 , 3];......[; n 1,1]
n nn nn
n
区间长度： 1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
(i
1) 2 n3
10
S第1个黄色矩形
割 把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分点
越来越密时，即分割 越来越细时，矩形面 积和的极限即为曲边 形的面积。
o
x
y
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
的面积为:
y x2
S
lim
n
Sn
O 12 nn
k n
nx
n
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
S黄色部分
n
n
lim f (i )x x0 i1
lim
n
n1 i1 n
f (i )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i为区间[
i
n
1
,
i n
]上任意一点
为了便于计算,一般用左(右)端点
练习
y x2
求曲边梯形的面积； 其中曲边为函数 y=x2
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 （2）求面积的和 （3）取极限n
曲边梯形的面积
说教学设想
这些图形的面积 该怎样计算？
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。 ①、只有一边是曲线
y
②、其他三边是特殊直线
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线， 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围 内以直代曲）．
f(i) n
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i) n
i2 n3
S第1个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
S第2个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
y f (x)
i-1 i nn
…
1 n1
S第n个黄色矩形
n
f
() n
n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
02
12
22
L
i 12
L
n 12
n3 n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n 12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n 12
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
lim
n
1
22
32
L n3
n 12
lim
n
1 6
n
1
n
1 1
n3
2
n
1
1
1 (n 1)[(n 1) 1][2(n 1) 1]