简单好用的四棱台&圆台体积计算
四棱台体积的计算公式
四棱台体积的计算公式
1 四棱台的概念
四棱台是几何学中的一种基本形体，棱台的一面与平面相接，另外三面分别由棱组成，因此也叫棱锥。
它是由一个矩形的底面和四个相互垂直的棱构成的，因此它也被称作“矩形棱锥”。
2 四棱台体积的计算
矩形棱锥的体积可以通过以下公式计算：V=1/3*AH，其中V表示四棱台体积，A表示棱锥底面积，H表示高。
要计算四棱台体积，先要计算底面积。
若为正方形，则底面积=边长的平方；若为长方形，则底面积=长*宽。
然后用公式V=1/3*AH，将底面积A和高H带入，就可以计算出四棱台体积V了。
3 总结
四棱台是几何学中的一种基本形体，广泛应用于工程计算中。
要计算出四棱台体积，可以通过计算其底面积，再用体积计算公式
V=1/3*AH，将底面积和高带入，即可计算出四棱台的体积。
四棱台体积公式推导过程
四棱台体积公式推导过程
嘿，咱今天来聊聊四棱台体积公式的推导过程哈。
你知道吗，有一次我在家搭积木玩。
我就想用那些小积木搭出个四棱台的样子来。
我一块一块地摆啊，好不容易搭出个大概的形状。
然后我就开始琢磨，这四棱台的体积到底该咋算呢。
我就想啊，要是能把这个四棱台拆分成一些我熟悉的形状就好了。
就像我们吃蛋糕，把它切成小块就好下嘴了嘛。
于是我就试着把四棱台想象成从一个大的长方体上面削掉了一部分。
哎呀，这么一想，好像有点眉目了。
我就开始比划，把这个四棱台上面和下面的面都当成是长方形，然后把侧面想象成四个梯形。
嘿，这样一来，我好像能找到计算的方法了。
咱就说上面那个小长方形的面积乘以个高度，再加上下面大长方形的面积乘以个高度，然后把这两部分加起来，好像就差不多了。
但还缺点啥呢，对啦，那些侧面的梯形也要算进去啊。
我就这么一点点琢磨，一点点推导，嘿，还真让我弄出了四棱台体积公式啦！就像我搭积木最后搭出了满意的造型一样开心。
所以啊，其实很多复杂的东西，只要我们仔细去观察、去体验，就像我搭积木那样，总能找到解决的办法。
这就是我推导四棱台体积公式的有趣经历啦，哈哈！。
凉亭结构样式
凉亭结构样式咱来说说凉亭的结构样式哈。
一、传统四角凉亭。
1. 顶部。
它的顶就像一个倒扣着的大斗笠。
一般是那种尖尖的顶，四个坡面朝着四个方向倾斜下来。
顶子有的是用瓦片一片一片盖上去的，就像鱼鳞似的，整整齐齐，这些瓦片可能是青灰色的，古色古香的。
也有的是用茅草铺的顶，感觉特别有田园风，就像回到了古代那种乡间小路上的小亭子。
2. 柱子。
四角凉亭有四根大柱子，就像四个大力士一样稳稳地撑着上面的顶。
柱子通常是木头做的，有的是粗壮的圆木，摸起来糙糙的，还能看到木头的纹理呢。
柱子的颜色可能是那种暗红色，看起来很有年代感。
有的柱子底下还会有石头做的柱础，柱础就像柱子的小鞋子，造型可多啦，有方形的，上面刻着简单的花纹，像是莲花之类的，既好看又能防止柱子受潮腐烂。
3. 座椅。
在亭子里面，四周会有一圈座椅。
座椅有的是那种长长的条凳，和柱子连在一起的。
木头做的座椅坐上去有点硬邦邦的，不过在夏天的时候，凉凉的还挺舒服。
座椅的靠背可能是有弧度的，就像一个弯弯的月亮，靠着的时候能让你的背得到很好的放松。
二、六角凉亭。
1. 顶部。
六角凉亭的顶就更复杂一点啦。
它有六个坡面，就像一朵盛开的六边形花朵一样。
顶的中间部分可能会有个小尖顶，周围的坡面角度都很巧妙，雨水能很顺畅地流下来。
顶子的材料也是多种多样，有琉璃瓦的，在阳光下会闪闪发光，特别华丽。
琉璃瓦的颜色也很鲜艳，有黄色的、绿色的，组合在一起特别好看。
2. 柱子。
既然是六角的，那就有六根柱子啦。
这六根柱子就像六个忠诚的卫士一样守护着亭子。
柱子的粗细可能比四角凉亭的稍微细一点，但也很结实。
柱子的材质除了木头，也有用石头做的，石头柱子给人一种很厚重、很威严的感觉。
石头柱子上还可能刻着一些诗词或者图案，像什么山水风景啊，让人在亭子里休息的时候还能欣赏一下这些艺术作品。
3. 围栏。
六角凉亭可能会有围栏，围栏的高度大概到人的腰部左右。
围栏有的是用木条做的，一根一根排列得很整齐，中间的间隔不大不小，既能保证安全又能让你看到亭子外面的景色。
四棱台体计算公式
四棱台体计算公式
四棱台是一种立体几何体，它有四个侧面是等边三角形，底面是一个四边形。
四棱台的计算公式有很多，下面我将介绍其中一种计算四棱台体积和表面积的方法。
我们需要知道四棱台的底面边长和高。
假设底面边长为a，高为h。
那么四棱台的侧面积可以通过计算底面边长和高的乘积再乘以2来得到，即侧面积=2ah。
底面积可以通过计算底面边长的平方再乘以根号3再除以4来得到，即底面积=a^2√3/4。
所以四棱台的表面积等于侧面积加上底面积的两倍，即表面积=2ah+a^2√3/2。
接下来是计算四棱台的体积。
四棱台的体积可以通过计算底面积再乘以高再除以3来得到，即体积=a^2√3h/3。
通过上述计算公式，我们可以得到四棱台的表面积和体积。
这些计算公式可以帮助我们更好地理解和计算四棱台的相关问题。
在实际生活中，我们可以应用这些计算公式来解决一些与四棱台相关的实际问题，如建筑设计、物体容量计算等。
四棱台是一种具有特殊形状的几何体，通过合理运用计算公式，我们可以计算出它的表面积和体积。
这些计算公式为我们解决实际问题提供了便利，同时也帮助我们更好地理解和认识四棱台这一立体几何体。
正四棱台体积计算方法
正四棱台体积计算方法正四棱台呀，它的体积计算其实并不像想象中那么难。
那怎么算呢？公式是$V = \frac{1}{3}h(S + \sqrt{SS'} + S')$。
这里面的$h$就是正四棱台的高，$S$是下底面的面积，$S'$是上底面的面积。
那怎么找下底面和上底面的面积呢？对于正四棱台，下底面和上底面都是正方形呀。
正方形面积好算吧，边长的平方就得了。
假如下底面正方形边长是$a$，那$S = a^{2}$；上底面正方形边长是$a'$，那$S' = a'^{2}$。
计算的时候有啥要注意的呢？哎呀，可别把上下底面的边长弄混了，要是弄混了，那算出的体积肯定错得一塌糊涂。
就像你穿鞋子，左右脚穿反了，走路能舒服吗？肯定不舒服。
还有啊，高$h$的数值一定要量准了，这就好比盖房子打地基，地基没打好，房子能稳吗？肯定不能。
这计算过程有啥安全性和稳定性可言呢？你可能会想这只是个数学计算，哪来的安全性和稳定性。
其实呀，在一些工程设计里，正四棱台结构的体积计算准确与否可关系到整个工程的安全稳定呢。
比如说一个正四棱台形状的桥墩基础，如果体积算错了，那可能用的材料就不对，这桥墩能稳稳当当的吗？肯定不能，这就像让一个身体不协调的人去走钢丝，不掉下去才怪呢。
正四棱台体积计算的应用场景可不少呢。
在建筑工程里经常能看到正四棱台形状的建筑结构部分，像刚才说的桥墩基础，还有一些古建筑的台基之类的。
那它有啥优势呢？正四棱台形状的结构比较稳定呀。
你看金字塔，虽然不是严格意义上的正四棱台，但类似的形状让它历经千年还屹立不倒，多厉害呀。
这就好比一个团队，每个人都在自己合适的位置上，整个团队就很稳固。
给你讲个实际案例吧。
有个小型的建筑工程，要建造一个正四棱台形状的装饰性基座。
下底面边长是3米，上底面边长是1米，高是2米。
先算下底面面积$S = 3^{2}=9$平方米，上底面面积$S' = 1^{2}=1$平方米。
4棱台体积公式
4棱台体积公式4棱台是个常见的几何体，它有数学家陈立群先生在1758-1838年研究出来的一个重要的几何定理。
根据这一定理，4棱台的体积是可以用公式来表示的，公式如下：V = ah/3，其中V表示4棱台的体积，a表示4棱台的底面积，h表示4棱台的高。
4棱台的底面积与其形状有关，通常4棱台的底面是正方形或者长方形，正方形底面积为a=a×a，而长方形底面积为a=a1×a2。
4棱台的高h与其形状也有关，通常在普通情况下，4棱台的高指的是其底部和顶部之间的距离。
一般来说，使用这个公式计算4棱台体积是非常方便的，不需要太多的数学知识就可以求出4棱台的体积。
例如，一个4棱台的底面积是4m×4m，高是2m，根据该公式，4棱台的体积可以得到：V=4×4×2/3=16/3，即16/3。
因此，4棱台体积公式：V=ah/3，上述公式可以用来计算4棱台体积，应用非常广泛。
4棱台是数学中一种重要的几何体，其体积公式更是几何学中非常常见的一种计算方法，常用于各种工程实践中。
在建筑工程中，4棱台的体积常常被用来计算建筑物的体积，因为4棱台是一种容易计算出体积的几何体，可以省去很多计算量。
比如说，一栋建筑的底面是正方形，则可以使用4棱台体积公式，根据该公式计算出这栋建筑的体积，从而可以更加准确地掌握建筑物的体积。
在石油勘探与储存工程中，也常常涉及到4棱台体积公式的使用，比如储气和水的储量计算。
因为4棱台体积公式可以准确计算出储气和水仓的容量，这既能够帮助人们更准确地估算储气和水的量，也能更好地控制人们的储量。
另外，4棱台体积公式在机械行业中也有着重要的应用，比如它可以用来求取各种金属零件的体积，这样就可以更准确地确定零件的重量，为机械行业的发展和提高工作效率提供了有力的支撑。
总的来说，4棱台体积公式在各种工程实践中都有着广泛的应用，是一个十分重要的数学公式。
其精准的计算方式在各种领域，特别是在建筑工程、石油勘探、机械行业等领域具有重要的意义，为现代人解决各种工程计算问题提供了极大的帮助。
四棱台体积公式及推导过程
四棱台体积公式及推导过程四棱台是一种由一个四边形底面和四个三角形侧面围成的立体图形。
其体积可以通过以下公式计算：V=(1/3)*A*h其中，V表示四棱台的体积，A表示底面的面积，h表示四棱台的高。
接下来，我将详细介绍四棱台体积公式的推导过程。
假设有一个四棱台，其底面是一个四边形，边长分别为a，b，c，d，四个侧面分别是三角形ABC，ABD，BCD，CDA。
在该四棱台中，我们可以找到一个三角形OAB，其中O是四棱台的顶点，OA、OB分别是该三角形的两边。
首先，我们可以通过三角形的面积公式计算出三角形OAB的面积S1：S1 = (1/2) * OA * OB * sin(∠AOB)其中，∠AOB表示角AOB的大小，sin(∠AOB)表示该角的正弦值。
然后，我们将三角形OAB沿着AB这条边旋转，旋转一周后，形成一个圆锥体，其中圆的半径是OA，高是OB。
这个圆锥体的体积可以通过公式计算：V1=(1/3)*π*OA^2*OB接下来，我们考虑将底面为四边形的四棱台切割成多个小的三角形，使得底面上的任意一点到顶点O的距离相等。
这样，我们可以将四棱台划分为多个小的圆锥体。
其中，底面上的任意一点到顶点O的距离可以用OA表示。
此时，我们可以得到底面上的三角形ABC的面积S2：S2 = (1/2) * OA * AB * sin(∠AOB)由于底面上任意的三角形面积都可以表示为S2，我们可以认为这些小的三角形的底面积是相等的。
假设每个小三角形的底面积为ΔA，那么整个四棱台的底面积A可以表示为：A=n*ΔA其中n表示小三角形的数量。
对于每个小的圆锥体，其体积可以用V1表示。
那么整个四棱台的体积V可以表示为：V=n*V1将V1的公式代入，得到：V=n*(1/3)*π*OA^2*OB将A的公式代入，得到：V=(1/3)*π*OA^2*OB*n由于n表示小三角形的数量，随着小三角形数量的增多，逐渐趋近于无穷大，我们可以求出n的极限值。
四棱台公式万能体积公式
四棱台公式万能体积公式
四棱台是一种特殊的几何体，它有四个面是等边三角形，而底面则是一个平行四边形。
对于一个任意形状的四棱台，我们可以利用万能体积公式来计算其体积，而不需要知道具体的形状和尺寸。
万能体积公式是一种普适的计算体积的公式，适用于许多不规则形状的几何体。
通过该公式，我们可以根据已知的参数来求解体积，而不需要进行复杂的计算或使用专门的公式。
具体来说，万能体积公式可以表示为V = Bh，其中V表示体积，B 表示底面积，h表示高度。
对于一个四棱台来说，底面积就是底面的面积，而高度则是四棱台的高度。
要计算四棱台的体积，我们首先需要测量底面的面积。
对于一个等边三角形的底面，我们可以使用普通三角形的面积公式来计算。
假设等边三角形的边长为a，则底面的面积为B = (sqrt(3)/4) * a^2。
接下来，我们需要测量四棱台的高度。
高度是指从底面到顶点的垂直距离。
可以通过测量底面顶点到顶点的距离，然后用垂直距离定理计算出高度。
将底面积和高度代入万能体积公式中，即可求解出四棱台的体积。
通过万能体积公式，我们可以轻松计算出任意形状的四棱台的体积，无需繁琐的计算和复杂的公式。
这使得我们在实际问题中能够更加
便捷地求解体积，为科学研究和工程应用提供了有力的支持。
万能体积公式是一种简便而实用的计算体积的方法，适用于各种不规则形状的几何体。
通过该公式，我们可以准确地求解四棱台的体积，无需过多的计算和复杂的公式，为几何学和工程应用提供了有力的工具。
无论是在学习还是实际应用中，万能体积公式都是我们不可或缺的工具之一。
制作旋转的四棱台
天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称制作旋转的四棱台
所属课程名称几何画板
实验类型
实验日期2012-5-18
班级08级数应二班
学号281010234
姓名李婷婷
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计
性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
四棱台体积计算方法
四棱台体积计算方法哎呀，说起四棱台体积的计算方法，我得先吐槽一下，这玩意儿可真是个头疼的玩意儿。
记得上高中那会儿，数学老师一讲到这个，我就得拿出小本本，把公式记下来，生怕自己一不留神就给忘了。
不过，话说回来，四棱台体积的计算其实也挺有意思的。
四棱台，就是那种上底和下底都是正方形，而且上下底面不平行的立体图形。
你想想，这不就像个倒扣的金字塔吗？不过，它的顶点被削去了一小块，变成了个四棱台。
记得有一次，我在家里帮忙整理阁楼，发现了个奇怪的木盒子。
这个盒子的顶部和底部都是正方形，但顶部明显比底部小一圈。
我当时就想，这玩意儿不就是个四棱台吗？我得算算它的体积，看看能装多少东西。
我拿起卷尺，量了量上下底面的边长，分别是10厘米和15厘米。
然后又量了量高，大概是8厘米。
有了这些数据，我就可以开始计算了。
四棱台的体积计算公式是：V = (1/3) * h * (A1 + A2 + sqrt(A1 * A2))，其中h是高，A1是上底面积，A2是下底面积。
我先算出上底和下底的面积，分别是10厘米 * 10厘米 = 100平方厘米，和15厘米* 15厘米 = 225平方厘米。
然后，我把这些数据代入公式，算出了体积：V = (1/3) * 8厘米 * (100 + 225 + sqrt(100 * 225)) = (1/3) * 8厘米 * (325 + 150) = (1/3) * 8厘米 * 475 = 1200立方厘米。
所以，这个四棱台形状的木盒子，它的体积是1200立方厘米。
我心想，这盒子虽然不大，但也挺能装的嘛。
通过这次经历，我发现，其实数学公式并不总是那么枯燥无味的。
只要你能找到生活中的实例，把那些看似复杂的公式应用到实际问题中，就能发现它们的乐趣所在。
就像这个四棱台体积的计算，虽然一开始看起来挺复杂的，但当你真正动手去计算，去解决实际问题时，你会发现，数学其实也挺有趣的。
所以，下次再遇到四棱台体积的计算，不妨先找个生活中的实例，亲自动手量一量，算一算，说不定你也会像我一样，发现数学的另一面呢。
四棱台体积公式及推导过程
四棱台体积公式及推导过程
四棱台一种特殊台梯形体（好比正方形与长方形），即底面与顶面均为相似的四边形，侧面都是梯形，四条棱的延长线能够交汇于一点的一种台体。
它的体积计算公式是V=(S1+4S0+S2)*H/6。
扩展资料
四棱台体积计算公式
①[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥）专 [上面面积+下面面积+根号下(上面面积×属下面面积)]×高÷3 。
②(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥）(上面面积+下面面积)x高÷2 。
注意：第②个最简便的公式可以把正方体当作四棱台验证2把四棱锥看成上面面积为0的四棱台适用于第①个公式但是四棱锥不能用第②个公式。
[全]四棱台 圆角四棱台 天圆地方-宏程序编程技巧
![[全]四棱台 圆角四棱台 天圆地方-宏程序编程技巧](https://img.taocdn.com/s3/m/f98b3ebca98271fe900ef953.png)
四棱台/圆角四棱台/天圆地方-宏程序编程技巧四棱台和天圆地方的编程有相似之处，天圆地方在四棱台程序的基础上做修改就可以生成。
下面是一个四棱台加工示意图当球刀与四棱台在点C位置相切时，对应俯视图上，加工一个沿虚线的正方形，可以使用圆弧切入切出方式。
当变量#1由0变换刀15时，正方形走刀的尺寸也逐渐变大，最终一层层的刀轨铣削完成棱台的加工。
因为四棱台侧面的斜率是固定的，在这里设置了比较简单的45度，所以有：刀补值#5=4*COS[45]刀尖Z坐标#6=-15+#1+4*SIN[45]-4对应正方形边长的一半#3=30-#1程序编制如下：G90G54G40G1Z100F1000M03S1500G1X40Y0Z5#1=0.1WHILE[#1LT15]DO1#5=4*COS[45] 刀补大小#6=-15+#1+4*SIN[45]-4 刀尖Z坐标#3=30-#1 正方形角点G10L12P1R#5G1G41X[#3+10]Y10D1 G3X#3Y0R10G1Y-#3X-#3Y#3X#3Y0G3X[#3+10]Y-10R10 G1G40X40Y0#1=#1+0.1END1G1Z5F200Z100F1000M5M30仿真结果如果要再等边加上R3的倒角，则需要，在正方形走刀轨迹的各个角点加上圆角指令,R程序修改如下：G90G54G40G1Z100F1000M03S1500G1X45Y0Z5#1=0.1WHILE[#1LT15]DO1#5=4*COS[45] 刀补大小#6=-15+#1+4*SIN[45]-4 刀尖Z值#3=30-#1 正方形角点#2=5G10L12P1R#5G1Z#6G1G41X[#3+10]Y10D1G3X#3Y0R10G1Y-#3,R#2X-#3,R#2Y#3,R#2X#3,R#2Y0G3X[#3+10]Y-10R10G1G40X45Y0#1=#1+0.1END1G1Z5F200Z100F1000M5M30此时的加工结果是那么，天圆地方和这个有什么不同呢，天圆地方从最下面到最高处，所倒圆角从0变化到最大15，所以圆角R的尺寸在每一层都是变化的，并且是与#1对应等比例变化的。
必修四棱柱、棱锥、棱台的结构特征(附答案)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.知识点一空间几何体1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′底面的面侧面：其余各面侧棱：顶点：顶点边形，其余各面都是有一个公共顶点的底面侧面：三角形面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之.如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：顶点：侧面与上的公共顶点思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？(2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.(2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征例1下列说法中，正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误．．的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答案 C解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.题型二棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.跟踪训练2下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.A.①②B.①③C.②③D.②④答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.题型三多面体的表面展开图例3画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.截面周长最小问题例4 如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面AEF 分别交VB ，VC 于点E ，F ，求截面△AEF 周长的最小值.分析 将正三棱锥沿侧棱VA 展开→求截面周长转化为求线段长→ 利用正三棱锥的性质求解解 将三棱锥V －ABC 沿侧棱VA 剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则△AEF 的周长＝AE ＋EF ＋F A 1. 因为AE ＋EF ＋F A 1≥AA 1，所以线段AA 1(即A ，E ，F ，A 1四点共线时)的长即为所求△AEF 周长的最小值.作VD ⊥AA 1，垂足为点D . 由VA ＝VA 1，知D 为AA 1的中点. 由已知∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA 1＝40°， 得∠AVD ＝60°.在Rt △AVD 中，AD ＝VA sin 60°＝23×32＝3， 即AA 1＝2AD ＝6.所以截面△AEF 周长的最小值是6.1.下列命题中，真命题是( )A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥2.下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A.①③B.②④C.③④D.①②4.下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.一、选择题1.下列四个命题中，真命题有()①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体.A.1个B.2个C.3个D.4个2.一般棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为()A.20B.15C.12D.104.某棱台的上、下底面对应边之比为1∶2，则上、下底面面积之比是()A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶15.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3 m，则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE＋BF是定值.其中，正确的说法是()A.①②B.①C.①②③D.①③8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.9.下列叙述正确的是________.(只填序号)①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；②三棱锥的四个面都可以是直角三角形；③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为______.12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？13.长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.当堂检测答案1.答案 D解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若P A＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.2.答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.3.答案 C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.4.答案①③④⑥⑤解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.5.答案四棱柱解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析根据平行六面体的定义，知①为真命题；根据长方体的定义，知②为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题.2.答案 C解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3.答案 D解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.4.答案 B解析因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5.答案 D解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3 cm.6.答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.7.答案 D解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH 的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.二、填空题8.答案13解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.答案①②解析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以①是正确的；如图，当三棱锥满足侧棱AD⊥底面DCB(其中△BCD中，∠BCD是直角)时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以②是正确的；③中的平面不一定平行于底面，所以③是错误的；若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的.10.答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.11.答案 2解析如图所示，将三棱锥S－ABC沿SA剪开，连接AA′，则AA′为最短距离，∠ASA′＝90°，SA＝SA′＝1，∴AA′＝ 2.三、解答题12.解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.13.解把长方体的部分面展开，如图所示.再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.。
四棱台外接球半径求法
四棱台外接球半径求法好嘞，今天我们来聊一个看似高大上的几何问题——四棱台外接球的半径怎么求。
听起来是不是有点儿头大？其实呢，别慌，咱慢慢来，轻松搞定！四棱台，这个名字一听就让人脑袋嗡嗡的，四面不是平的，就是有点台形的感觉。
它就像是一个上面小、下面大，形状像四个梯形拼起来的“错台”一样。
嗯，听上去是不是有点儿形象？咱先来想象一下四棱台的外接球，这东西不就是把一个球塞进去，让这个球跟四棱台的“外表”亲密接触，正好把它“包围”住嘛。
这样一想，似乎问题也没有那么复杂了。
关键是，这个球和四棱台的接触点，得满足什么条件呢？球要跟四棱台的每一面都能贴合，不偏不倚，得均匀地包裹四棱台的每个侧面。
咋做到呢？嘿嘿，这就得用到一些数学的小妙招了。
我们得从四棱台的底面和上面着手。
四棱台有两个底面，一个大一个小，像一个“台子”或者说“平顶山”的结构。
哦对了，别看它是台形的，其实它的侧面是四个梯形拼成的。
所以，找到它的底面边长，顶面边长，这两个东西，咱得先搞清楚。
这些数据，直接关系到最后的球的半径。
所以，算一算底面的边长和上面的边长差不多是多少，要有个概念。
然后呢，别忘了四棱台的高度。
这个高度就像是“台子”的竖直高度，直接影响到球的半径有多大。
如果高度比较高，球就要更大；如果高度不够，球自然也得小点。
别看这东西不大，但它跟球的关系可紧密了。
这里有个小窍门，球的半径其实跟四棱台的“顶高”有密切的联系哦。
所以说，搞清楚了这个高度，基本就能猜出球的半径了。
再说一点，四棱台其实还可以看成是两个不同大小的棱形——一个大棱形和一个小棱形。
现在呢，我们就是要想办法把这两个棱形的“距离”拉开，得让这两个棱形的接触点正好吻合在球面上。
哦，别看它听上去有点复杂，但其实这是个挺直观的过程。
只要弄明白这些尺寸关系，球的半径基本上就能“自然而然”地出来了。
对了，还记得刚才说的那个“巧妙的小技巧”吗？你其实可以通过底面和顶面的对角线长度来辅助计算。
一般来说，底面和顶面的对角线越长，球的半径也就越大。
四棱台的体积公式
四棱台的体积公式四棱台是一种具有四个面是等腰梯形的多面体。
它是一个非常常见的几何形状，常常出现在我们的日常生活中，如建筑物的屋顶、书架的支架、微调器物件等等。
在研究四棱台的性质时，计算其体积是一个必备的技能。
下面我们将探讨四棱台的体积公式及其推导过程。
首先，我们来定义一下四棱台。
四棱台是一种多面体，它的底面是一个等腰梯形，顶面与底面平行，并且每个侧面都是一个平行四边形。
四棱台有两个底面，它们之间的距离称为四棱台的高。
四棱台的高不是底面上的线段的长度，而是从一个底面上的一点垂直地向另一个底面上的平行线段的长度。
现在，我们来推导四棱台的体积公式。
假设四棱台的底面上的较短边的长度为a，较长边的长度为b，高为h。
我们需要找出四棱台的体积与这些参数之间的关系。
首先，我们可以将四棱台分割成一个柱体和两个四边形棱锥。
柱体的底面积是a乘以b，高为h。
所以柱体的体积可以表示为V1=a*b*h。
接下来，我们来看一下四边形棱锥的体积。
一个四边形棱锥的底面积是(a+b)乘以h，高为h/2、所以一个四边形棱锥的体积可以表示为V2=1/3*(a+b)*h*(h/2)。
由于我们有两个相同的四边形棱锥，所以它们的体积之和是2*V2=2/3*(a+b)*h*(h/2)。
最后，将柱体和两个四边形棱锥的体积相加，我们得到四棱台的体积。
V=V1+2*V2=a*b*h+(2/3*(a+b)*h*(h/2))。
如果我们化简这个公式，可以得到更简洁的形式。
V=(1/3)*(a*b*h+a*h^2+b*h^2)。
综上所述，我们得到了四棱台的体积公式：V=(1/3)*(a*b*h+a*h^2+b*h^2)。
通过这个公式，我们可以计算任意给定参数的四棱台的体积。
这个公式可以在实际问题中得到广泛应用，如建筑设计、物体容量计算等。
举一个实际问题的例子来应用这个公式。
假设我们有一个长方形的四棱台，长边为8cm，短边为4cm，高为6cm。
我们可以使用这个公式来计算它的体积。
正四棱台体积公式
正四棱台体积公式
正四棱台是由六个面连接而成的几何形状，它由四个正四棱面和四个三棱面构成，每个棱面的角度都是相等的。
首先，计算正四棱台底面积A，这可以通过矩形、正方形或多边形的方式来计算。
矩形底面积的计算公式为：A=a*b，其中a为矩形的长，b 为矩形的宽；正方形底面积的计算公式为：A=a*a，其中a为正方形的边长；多边形底面积计算公式为：A=1/2*a*b*sinC，其中a、b为多边形的两条边，C为这两条边之间的夹角。
其次，计算正四棱台高h，这可以用正四棱台三视图平面来计算。
如果棱长为a，棱宽为b，则正四棱台高的计算公式为：
h=s2*a2+s2*b2+a2*b2，其中s1、s2是正四棱台底面两条对角线的长度。
最后，用上面的公式，可以得出最终的正四棱台体积公式：V=Ah，其中A为正四棱台的底面积，h为正四棱台高。
四棱台-独立基础体积及模板面积公式
b*h1
#VALUE!
n
4.281
4
2.6925
2
8.357
2
总计
#VALUE! 17.124 5.385 16.714 39.223
V=(2*La*Lb
+La*lb+la*
Lb+2la*lb) 个数
*h2/6+La*L
b*h1
#VALUE!
n
总计
#VALUE!
四棱台体积(实例） 四棱台体积公式
模板面积 S
个数
#VALUE!
n
6.06 4
5.61 2
8.94 2
总计
#VALUE! 24.24 11.22 17.88
四棱台模板面积(实例）
四棱台模板面积(实例） 53.34
模板面积 S
个数
#VALUE!
n
总计
#VALUE!
四棱台模板面积公式
4.5
0.5
0.5
0.3
0.3
3.4
0.5
2.9
0.3
0.3
序号
J-n J-1 J-2 J-3
四棱锥台底边的长
La
四棱锥台底边 四棱锥台上 四棱锥台上 四棱锥台底 四棱锥台的
的宽
边的长 边的长 座的厚度 高度
Lb
la
lb
h1
h2
V=(2*La*Lb
+La*lb+la*
Lb+2la*lb) 个数
*h2/6+La*L
的宽
边的长 边的长 座的厚度 高度
J-n
La
J-1
J-2
J-3
Lb