高数背诵公式(仅收集较难易混,简单的大家都知道)

一．三角函数关系
①倍角公式（积分最常用的）
cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1
sin2α
2
=
1−cosα
2
; cos2
α
2
=
1+cosα
2
②基本关系
1=sin2α+cos2α=sec2α−tan2α=csc2α−cot2α③和差公式
tan(α±β)=
tanα±tanβ1∓tanα·tanβ
arctanA+arctanB=arctan A+B
1−AB （若AB=1，则arctanA+arctanB=π
2
）
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π2
④和差化积（学有余力背一背，不排除考题突然发难）
正加正，正在前：sinα+sinβ=2sinα+β
2cosα−β
2
正减正，余在前：sinα−sinβ=2cosα+β
2sinα−β
2
余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cosα+β
2cosα−β
2
余减余，负正弦：cosα−cosβ=−2sinα+β
2sinα−β
2
⑤积化和差（和差化积都会了，这不就是逆推）
sinαcosβ=1
2[sin(α+β)+sin (α−β)]；cosαsinβ=1
2
[sin(α+β)−sin (α−β)]
cosαcosβ=1
2[cos(α+β)+cos (α−β)]；sinαsinβ=1
2
[cos(α−β)−cos(α+β)]
⑥万能公式
u=tan α
2
，则sinα=
2u
1+u2
，cosα=
1−u2
1+u2
，(−π<α<π)
二．泰勒公式
①x→0的麦克劳林公式
sinx=x−x3
3!+o(x3)；cosx=1−x2
2!
+x4
4!
+o(x4)
arcsinx=x+x3
3!+o(x3)；tanx=x+x3
3
+o(x3)
arctanx=x−x3
3+o(x3)；(1+x)α=1+αx+α(α−1)
2!
x2+o(x2)
e x=1+x+x2
2!+x3
3!
+o(x3)；ln(1+x)=x−x2
2
+x3
3
+o(x3)
②拉格朗日余项：f (n+1)(ξ)
(n+1)!
(x−x0)n+1（比前一项高一次）
③佩亚诺余项：o(x −x 0)n （和前一项次数相同）
三．幂级数
e x
=∑x n
n!∞n=0 ； ln (1+x )=∑(−1)n−1
x n n
∞n=1
1
1+x =∑(−1)n x n ∞n=0 ； 1
1−x =∑x n ∞n=0 sinx =
∑(−1)n x 2n+1(2n+1)!
∞n=0 ； cosx
=
∑(−1)n x 2n (2n)!
∞n=0 (1+x)α=1+αx +α(α−1)2!
x 2+···+
α(α−1)···(α−n+1)
n!
x n
四．低阶导数
(arcsinx )′=
√1−x 2 ； (arccosx )′=√1−x 2
(tanx )′=sec 2x ； (cotx )′=−csc 2x [ln(x +√x 2+a 2)]′
=22
； [ln(x +√x 2−a 2)]′
=22
五．不定积分（那俩很长的还经常考，要背下来）
∫tanxdx =−ln |cosx| ； ∫cotxdx =ln |sinx|
∫secxdx =ln |secx +tanx| ； ∫cscxdx =ln |cscx −cotx|
∫1
x 2−a 2dx =1
2ln |x−a
x+a | ； ∫1
a 2−x 2dx =1
2ln |a+x
a−x | ； ∫1
x 2+a 2dx =1
a arctan x
a √x 2+a 2=ln(x +√x 2+a 2)；√x 2−a 2=ln (x +√x 2−a 2) ；√a 2−x 2=arcsin x
a ∫√a 2−x 2dx =x 2√a 2−x 2+a 22arcsin x
a
∫√a 2
+x 2dx
=
x 2
√a 2
+
x 2
+
a 22
ln(x +√a 2+x 2)
六．高阶导数
(sinkx)(n)=k n sin(kx +π
2n) (coskx)(n)=k n cos(kx +π2n)
七．基本不等式
2
1
a +1b
<√ab <
a+b 2
<√
a 2+
b 2
2
八．平面图形面积：（别怪我没提醒你坐标转换的上下限）
直角坐标：S =∫|y 1(x )−y 2(x)|dx b
a
极坐标：S =1
2∫|r 12(θ)−r 22
(θ)|dθβ
α
参数方程：代入直角坐标表达式，注意上下限转换。

九．旋转体体积：
绕x 轴：V =π∫y 2(x )dx =b
a π∫|y 12(x )−y 22(x )|dx b
a
绕y=a ：V =π∫[y (x )−a]2dx b
a
绕y 轴：V =2π∫x|y (x )|dx =b
a 2π∫x|y 1(x )−y 2(x )|dx b
a 绕x=a ：V =2π∫|x −a||y (x )|dx
b a
十．平面曲线的弧长：
直角坐标 y =y (x )：s =∫√1+[y′(x)]2b
a dx
参数方程 x =x (t )，y =y (t )：s =∫√[x′(t)]2+[y′(t)]2β
αdt 极坐标 r =r(θ)：s =∫√[r(θ)]2+[r′(θ)]2β
αdθ
十一．旋转曲面的面积：
直角坐标：绕x 轴：S =2π∫|y(x)|√1+[y′(x)]2dx b
a
绕y 轴：把|y(x)|换成|x|
参数方程：绕x 轴：S =2π∫|y(t)|√[x′(t)]2+[y′(t)]2βαdt
绕y 轴：把|y(t)|换成|x(t)|
十二．曲边梯形的形心：
x̅=∫xf(x)dx
b
a ∫f(x)dx
b a ; y ̅=12∫f 2
(x)dx b a ∫f(x)dx b a
十三．微分方程：
①一阶线性微分方程
y ′+P (x )y =q (x ) ⟹ y =e −∫P (x )dx [∫e ∫P(x)dx ·q (x )dx +C]
②二阶常系数齐次线性微分方程的通解：
对于y ′′+py ′+qy =0 ⟹ λ2+pλ+q =0 （1）p 2−4q >0，y =C 1e λ1x +C 2e λ2x
（2）p 2−4q =0，y =(C 1+C 2x)e λx
（3）p 2−4q <0，y =α±βi ，y =e αx (C 1cosβx +C 2sinβx) ③二阶常系数齐非次线性微分方程的特解：
（1）自由项为f (x )=P n (x )e αx ，则y ∗=e αx Q n (x)x k {
e αx
照抄
Q n (x )为x 的n 次一般多项式
k ={0 (α≠λ1,α≠λ2)1 (α=λ1或α=λ2)
2 (α=λ1=λ2)
（2）自由项为f (x )=e αx [P m (x )cosβx +P n (x )sinβx]
则y ∗=e αx [Q 1(x )cosβx +Q 2(x )sinβx]x
k
{
e αx
照抄
Q 1(x )、Q 2(x )分别为x 的max {m,n }次一般多式k ={
0 (α±βi 不是特征根)1 (α±βi 是特征根)。