中考数学：存在性问题复习

中考数学：存在性问题复习

二次函数中的图形构建及存在性问题

一、二次函数中有关面积的存在性问题

例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点x两点，与x轴交于点x以x为直径作x过抛物线上一点x作x的切线x切点为x并与x的切线x相交于点x连结x并延长交x于点x连结x

(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；

(2）若四边形x的面积为x求直线x的函数关系式；

(3）抛物线上是否存在点x，使得四边形x的面积等于x的面积？若存在，求出点x的坐标；若不存在，说明理由.

答案：解：（1）因为抛物线与x轴交于点x两点，设抛物线的函数关系式为：x

∵抛物线与x轴交于点x

∴x

∴x

所以，抛物线的函数关系式为：x

又x

因此，抛物线的顶点坐标为x

(2）连结x∵x是x的两条切线，

∴x∴x

又四边形x的面积为x∴x∴

x

又x∴x

因此，点x的坐标为x或x

当x点在第二象限时，切点x在第一象限.

在直角三角形x中，

x

∴x∴x

过切点x作x垂足为点x

∴x

因此，切点x的坐标为x

设直线x的函数关系式为x将x的坐标代入得

x

解之，得

x

所以，直线x的函数关系式为

x

当x点在第三象限时，切点x在第四象限.

同理可求：切点x的坐标为x直线x的函数关系式为

x 因此，直线x的函数关系式为

x 或

x

(3）若四边形x的面积等于x的面积

又x

∴x

∴x两点到x轴的距离相等，

∵x与x相切，∴点x与点x在x轴同侧，

∴切线x与x轴平行，

此时切线x的函数关系式为x或x

当x时，由x得，x

当x时，由x得，x

故满足条件的点x的位置有4个，分别是x

x

说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.

强化训练

★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x 轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．

(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；

(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．

答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程

∴

x 解之得：

x

；故x为所求

(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

设BD的解析式为x，则有

x ，

x

，

故BD的解析式为x；令x则x，故x

(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，x 易知BN=MN=1，易求x

x

；设x，

依题意有：

x ，即：

x

解之得：x，x，故符合条件的P点有三个：

x

★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(－

2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)．

(1)求直线AB的解析式；

(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；

(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与

EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG＝S△PEH．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题

例2 (甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.

即抛物线的解析式为．………………………1分

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得

解得.

∴抛物线的解析式为y = x2－2x－3．……………………………………………3分

∴顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分

说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分

理由如下：

过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴. …………………………6分

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴. …………………………7分

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴. …………………………8分

∴，故△BCD为直角三角形. …………………………9分

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．………10分