特殊三角形(习题及答案)
浙教版2019-2020年八年级数学上学期： 第2章 特殊三角形(A卷)含解析版答案
第2章特殊三角形单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•商河县期末）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2014•盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3. （3分）（2019春•甘井子区期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和4，则斜边长为（）A．3 B．C．D．54．（3分）（2019春•长沙县期末）如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（3分）（2019春•即墨区期末）等腰三角形的周长为11m，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4.5cm B．2cm C．2cm或4.5cm D．5.5cm6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．B．2 C．3 D．+27. （3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm28．（3分）（2019春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DCA，则∠DAC＝（）A．30°B．36°C．40°D．45°9．（3分）（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于（）A．25 B．31 C．32 D．4010．（3分）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•郁南县期末）如图的直角三角形中未知边的长x＝________．12．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A= 度．13．（4分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则∠B＝∠，∠C＝∠．14．（4分）（2019春•萧山区月考）已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，则∠B的度数是．15．（4分）（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，则四边形的面积为．16.（4分）（2018秋•抚宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．三．解答题（共7小题，共66分）17.（6分）（2018秋•北仑区期末）如图是由5个边长为单位1的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种．18．（8分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？19．（8分）（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．20．（10分）（2019春•海淀区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小21．（10分）（2019•南岸区校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．23．（12分）如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB．操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD 于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．（1）猜想△CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．第2章特殊三角形单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•商河县期末）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据轴对称图形的定义判断即可．【答案】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．2．（3分）（2014•盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．【答案】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：D．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．3. （3分）（2019春•甘井子区期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和4，则斜边长为（）A．3 B．C．D．5【思路点拨】根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方进行计算即可．【答案】解：斜边长为：＝，故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理内容．4．（3分）（2019春•长沙县期末）如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（）A．B．﹣C．D．﹣【思路点拨】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．【答案】解：AC＝＝＝，则AD＝，∵A点表示0，∴D点表示的数为：﹣，故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．5．（3分）（2019春•即墨区期末）等腰三角形的周长为11m，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4.5cm B．2cm C．2cm或4.5cm D．5.5cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2cm为腰或者2cm底边时．【答案】解：分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是11﹣2×2＝7cm，此时2cm，2cm，7cm不能组成三角形，应舍去；当2cm是底边时，腰长是（11﹣2）×＝4.5cm，2cm，4.5cm，4.5cm能够组成三角形．此时腰长是4.5cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．B．2 C．3 D．+2【思路点拨】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．【点睛】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．7. （3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【思路点拨】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【答案】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选：A．【点睛】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．8．（3分）（2019春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DCA，则∠DAC＝（）A．30°B．36°C．40°D．45°【思路点拨】设∠DAC＝x°，根据∠DAC＝∠DCA得到∠DAC＝∠DCA＝x°，然后利用等腰三角形的性质表示出相关的角的度数，利用三角形内角和定理求得x即可求得答案．【答案】解：设∠DAC＝x°，∵∠DAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝x°，∠BAD＝∠BDA＝2x°，∴x+2x+2x＝180，∴x＝36°，故选：B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形中等边对等角是解答本题的关键，难度不大．9．（3分）（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于（）A．25 B．31 C．32 D．40【思路点拨】如图，根据勾股定理分别求出AB2、AC2，进而得到BC2，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：AB2＝S1+S2＝13，AC2＝S3+S4＝18，∴BC2＝AB2+AC2＝31，∴S＝BC2＝31．故选：B．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．10．（3分）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】由OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP＝30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【答案】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠COP＝30°，∵CP∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝CP＝2，∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB，∴∠CPE＝30°，∴CE＝CP＝1，∴PE＝＝，∴OP＝2PE＝2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM＝OP＝．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•郁南县期末）如图的直角三角形中未知边的长x＝．【思路点拨】根据勾股定理计算即可．【答案】解：由勾股定理得，x＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．12．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A= 36 度．【思路点拨】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．【答案】解：设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°．故答案为：36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．13．（4分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．【思路点拨】先根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠C＝90°，再由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，那么根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，然后根据同角的余角相等即可得到∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．故答案为DAC，BAD．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，三角形的高，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．14．（4分）（2019春•萧山区月考）已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，则∠B的度数是20°或50°或80°．【思路点拨】没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【答案】解：∵一个外角为100°，∴与其相邻的内角为80°，如果80°为顶角，当∠B为顶角，∴∠B＝80°，当∠B为底角，∴∠B＝50°，如果80°为底角，当∠B为顶角，∴∠B＝20°，当∠B为底角，∴∠B＝80°，综上所述，∠B的度数是20°或50°或80°，故答案为：20°或50°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．15．（4分）（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，则四边形的面积为1+．【思路点拨】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到△ACD为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，AC＝＝，AC2+CD2＝5+1＝6，AD2＝6，则AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝×1×2+×1×＝1+，故答案为：1+．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．16.（4分）（2018秋•抚宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【思路点拨】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．【答案】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，∴BD＝12厘米，∵∠ABC＝∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，解得：x＝1或x＝2，x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；即点Q的运动速度是4或6，故答案为：4或6【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17.（6分）（2018秋•北仑区期末）如图是由5个边长为单位1的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种．【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解可得．【答案】解：如图所示：【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．18．（8分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？【思路点拨】根据等腰三角形的性质可知，∠1=∠2，∠B=∠C，由三角形外角平分线的性质可知∠3=∠C，AE∥BC，由平行线的性质可知AE⊥AD．【答案】证明：∵AB=AC，CD=BD，∴∠1=∠2，∠B=∠C，AD⊥BC，又∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠3=∠4=（∠B+∠C）=∠C，∴AE∥BC，∠DAE+∠ADB=180°，又∵AD⊥BC，∴∠DAE=∠ADC=90°．∴AE⊥AD．【点睛】本题考查的是角平分线、等腰三角形及平行线的性质；由已知证得AE∥BC，AD⊥BC是解答本题的关键．19．（8分）（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【思路点拨】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．20．（10分）（2019春•海淀区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到∠ABM＝90°，∠BAM＝∠CAM，根据角平分线的定义得到∠ABC ＝2∠EBM＝52°，于是得到结论．【答案】解：∵AB＝AC，M是边BC的中点，∴∠AMB＝90°，∠BAM＝∠CAM，∵∠BEM＝∠AED＝64°，∴∠EBM＝26°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBM＝52°，∴∠BAM＝90°﹣∠ABM＝38°，∴∠BAC＝2∠BAM＝76°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．21．（10分）（2019•南岸区校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，【思路点拨】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．【答案】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．22．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．【思路点拨】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD=BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．23．（12分）如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB．操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD 于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．（1）猜想△CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．【思路点拨】（1）猜想△CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形；（3）只要证得△ACD≌△BEC，可得到CD＝CE，即可得到结论；【答案】解：（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，容易猜想到△ACD≌△BEC，那么CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形如下：（3）结论成立；证明：∵∠ACB＝90°，AF⊥BE，∴∠FDB+∠FBD＝90°，∠EBC+∠CEB＝90°，∴∠FDB＝∠CEB；又∵∠FDB＝∠ADC，∴∠ADC＝∠CEB；∵在三角形ACD和三角形BCE中，∴△ACD≌△BEC；∴CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形．即猜想△CDE是等腰直角三角形结论成立．【点睛】此题主要考查直角三角形全等的判定，要利用已知条件寻找缺少的条件判定三角形全等，解题关键在于证明两腰相等．。
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。
2. 整数边长的直角三角形有__________组。
3. 锐角三角形的内角和为__________度。
4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。
三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。
解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。
2. 在等边三角形ABC中，边长为6。
连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。
解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。
四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。
结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。
浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)
浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
特殊三角形单元检测 (困难)培优提升 答案
第二章、特殊三角形单元测试（难度：困难）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图标中轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，轴对称图形共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°﹣αB．β＝180°﹣αC．β＝D．β＝120°﹣α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90°﹣α＝α+β，即β＝90°﹣α；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：β＝180°﹣α；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：β＝α﹣90°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形D．正五边形【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．5．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（）A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补【分析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，根据矩形的性质可得AB ∥CD，∠B＝90°，再根据折叠可得：∠B＝∠GHE＝90°，从而可得GH∥FN，进而可得∠1＝∠MFN，即可判断A；根据角平分线和平行线的性质即可判断B和C；根据平角定义即可判断D．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合题意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折叠得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合题意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合题意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4与∠2不一定互补，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，∠FBA＝∠CBE＝∠ABC，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠F AB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC，∵∠CBE＝∠ABC，∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；∵BG⊥DG，∴∠G＝90°，∴∠GDB+∠GBD＝90°，又∵∠GDB＝∠ABC，∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；又∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠GBD，∵∠ABF＝∠EBC，∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝＝2+．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．10．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）11．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系求单线段的最值是解题的关键．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．【分析】连接BD交AC于点O，证明AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法可求解DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC＝2，若点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN 交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，∵AC＝2，∴AK＝KC＝2，∵AB＝3，∴BK＝AB﹣AK＝1，在Rt△BKC中，∠BKC＝90°，BK＝1，CK＝2，∴BC＝＝，∵•BC•AH＝•AB•CK，∴AH＝，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为，∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．【点评】本题考查了轴对称问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．15．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是4．【分析】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F 作FH⊥CA交CA的延长线于H．则DE＝AD，则DC+DB+DA＝DC+DE+EF≥CF，求出CF即可得出结论．【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．图①、图②、图③均是9×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画△ABC关于AC的轴对称图形，得到四边形ABCD．（2）在图②中，画EF∥BC，点E在AC上，点F在AB上，且AE＝2EC．（3）在图③中，画△ABC关于BC的轴对称图形，得到四边形ACMB．【分析】（1）依据要求，根据轴对称的性质作图即可．（2）利用平行线分线段成比例定理作图即可．（3）取格点P，Q，连接PQ，过点A作BC的垂线，与PQ交于点M，连接CM，BM 即可．【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．（2）如图②，EF即为所求．（3）如图③，四边形ACMB即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点B、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．20．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB 的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO ＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【分析】先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故PM ＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN ＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC ﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．22．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．。
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷1(解析版)
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意.故答案为：A.2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是()A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25【答案】D【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是。
A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D.3．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故答案为：B．4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【答案】C【解析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．①当xcm为腰时，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴该等腰三角形底边长为2cm.故答案为：C.5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A ，B 两点．若花瓶高16cm ，底面圆的周长为24cm ，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）A ．20cmB ．8√13cmC ．16√13cmD ．40cm 【答案】D【解析】将圆柱体展开如图，点A 为展开图长方形一边的中点，BC 为底面圆周长的一半，∴BC =12cm ，在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，∴AB =√AC 2+BC 2=√162+122=20cm ， ∴需要金色铁丝的长度最少为20×2=40cm ， 故答案为：D ．6．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相较于O ，若OB=2则B 点到AQ 的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．32【答案】C【解析】 △ABC 是等边三角形∴△BAP ＝△ACQ ＝60°，AB ＝AC ∵在△ABP 和△ACQ 中∵AB ＝AC ，△BAP ＝△ACQ ，AP ＝CQ ∴△ABP△△CAQ （SAS ） ∴△ABP ＝△CAQ ，∵△BAQ ＋△CAQ ＝60°∴△BAQ ＋△ABP ＝60° ∵△BOQ ＝△BAQ ＋ABP ∴△BOQ ＝60° 如图：过点B 作BE△AQ 于点E ，∴△BEA=90°，在Rt△BEO 中，△AOE=60°， ∴△OBE=30°， ∴OE=12BO=1，∴BE=√BO 2−OE 2=√22−12=√3即B点到AQ的距离等于√3.故答案为：C.7．如图，在四边形ABCD中，△DAB＝△BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【答案】B【解析】连接BD，∵△DAB＝△BCD＝90°，∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，∴S3+S2=S4+S1=135；∴S4=135-48=87.故答案为：B8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB=AD=DC，过点D作DE⊥AD，交AC 于点E.设∠BAD=α，∠CAD=β，∠CDE=γ，则（）A．2α+3β=180°B．3α+2β=180°C．β+2γ=90°D．2β+γ=90°【答案】D【解析】∵AB=AD=DC，∠BAD=α，∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD=β，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠CAD+∠AED=90∘∵∠CDE=γ，∠AED=∠CDE+∠C∴∠AED=γ+β∴2β+γ=90∘故答案为：D.9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△ADB＝△AEB；④S四边形BCDE＝12BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵△BAD=△BAC+△CAD=90°+△CAD，△CAE=△DAE+△CAD=90°+△CAD，∴△BAD=△CAE，∴△ABD△△ACE（SAS），∴CE=BD，△ABD=△ACE，故①正确；∴△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°-（△BCG+△CBG）=180°-90°=90°，∴BD△CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD，所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD，故②错误；∵△ABD△△ACE，∴△ADB=△AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE，∴△AEC与△AEB相等无法证明，∴△ADB=△AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故答案为：C.10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，△PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为()A．16√2B．64C．32D．36【答案】C【解析】过点C作CE△y轴于点E，过点B作BF△x轴于点F，延长FB交CE于点D，∴△OFD=△EOF=△OEC=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴OF=DE，OE=DF，∵点B（3，-3），点A（6，0），∴OF=AF=BF=DE=3，∵△PBC是等腰直角三角形，∴PB=BC，△PBC=90°，∴△FPB+△FBP=90°，△FBP+△DBC=90°，∴△DBC=△FPB，在△FBP和△DCB中{∠BFP=∠BDC ∠FPB=∠DBC PB=BC∴△FBP△△DCB（AAS），∴BF=DC=3，PF=BD，∴CE=DE+CD=3+3=6；在△COE中OE=DF=√OC2−CE2=√102−62=8∴BD=PF=DF-BF=8-3=5，∴OP=OF+PF=3+5=8，∴S△COP=12OP·DF=12×8×8=32.故答案为：C二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．下列条件：①△C ＝△A －△B ；②△A ：△B ：△C ＝5△2△3；③a ＝35c ，b ＝45c ；④a△b△c ＝1△2：√3，则能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个． 【答案】4【解析】①∵△C=△A -△B ，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ②∵△A ：△B ：△C ＝5：2：3，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ③∵a= 35 c ，b= 45c ，∴a 2+b 2=c 2，∴△c=90°，故△ABC 是直角三角形；④∵a ：b ：c ＝1：2：√3，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△B=90°，故△ABC 是直角三角形. 故答案为：4.12．如图，把长方形纸条依次沿着线段EF 、HI 折叠，且EF ∥HI ， 得到“Z”字形图案．已知∠DFE =60°，AE =2cm ，要使点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），则AB = cm ．【答案】10【解析】如图，连接DH ，FK ，点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），点M 为EH 延长线上一点．在长方形纸条ABCD 中，∠A =∠ADC =90°，AB ∥CD ， ∴∠DFE =∠BEF =60°，EH ∥FI ， 由折叠可知：∠GEF =∠BEF =60°， ∴∠AEG =60°， ∴∠AHE =30°，∴AE =12EH ，∵EH ∥FI ，∴∠EHI +∠GEF =180°， ∴∠EHI =120°， ∴∠MHI =60°，由折叠可知：∠JHI =∠MHI =60°， ∴∠EHK =60°， ∵∠GEF =60°， ∴∠EKH =60°，∴ΔEHK 是等边三角形， ∴EH =HK =EK ，∵AE =12EH ，AE =2cm∴EH =HK =EK =4cm ，由折叠可知：AE +EH +HK =AB ， ∴AB =2+4+4=10cm ， 故答案为：10.13．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分△CAB 交BC 于D ，DE△AB 于E ，且AB ＝8cm ，则△BED 的周长是 .【答案】8cm【解析】∵△C ＝90°，AD 平分△CAB ，DE△AB ， ∴CD ＝DE ，在△ACD 和△AED 中， {AD =AD CD =DE，∴△ACD△△AED （HL ）， ∴AC ＝AE ，∴△BED 的周长＝DE+BD+BE ， ＝BD+CD+BE ， ＝BC+BE ， ＝AC+BE ， ＝AE+BE ， ＝AB ，∵AB ＝8cm ，∴△BED 的周长是8cm. 故答案为：8cm. 14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．【答案】76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ， 则x 2=122+52=169， 解得：x =13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76． 故答案为：76.15．如图，在Rt△ABC 中，AC ＝BC ＝1，D 是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .【答案】12或√2−1【解析】∵Rt△ABC 中，AC=BC=1， ∴△CAB=△B=45°，∵△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ， ∴△ECD=90°，△CDE=△CED=45°，①AF=FD 时，△FDA=△FAD=45°， ∴△AFD=90°，△CDA=45°+45°=90°=△ECD=△DAE ， ∵EC=CD ，∴四边形ADCE 是正方形， ∴AD=DC ，∴AF= 12AC= 12×1= 12；②AF=AD 时，△ADF=△AFD=67.5°，∴△CDB=180°-△ADE -△EDC=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=△CDB ， ∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD= √2−1， ∴AF=AD= √2−1，故答案为： 12或 √2−1.16．如图，已知△ABC 中，△ACB=90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE=AC ，△BAE=15°，则△COE= 度．【答案】75【解析】∵△ACB=90°，CE=AC ，∴△CAE=△AEC=45°， ∵△BAE=15°，∴△CAB=60°，∴△B=30°，∵△ACB=90°，O 为AB 的中点，∴CO=BO=AO= 12AB ，∴△AOC 是等边三角形，△OCB=△B=30°，∴AC=OC=CE ， ∴△COE=△CEO= 12×（180°-30°）=75°.故答案为：75.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形． （3）请你在图3中画出△ABC 的边BC 上的高AD ，△ACB 的角平线CE 【答案】（1）解：如图（1）解：如图 （2）解：如图， （3）解：如图AD ，CE 就是所求作的图形.18．如图，ΔABC 为任意三角形，以边AB 、AC 为边分别向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ，CD 、BE 相交于点P.（1）试说明：ΔDAC ≌ΔBAE ； （2）求∠BPC 的度数. 【答案】（1）解：∵ΔABD 和ΔACE 都是等边三角形， ∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠EAC =60°， ∴∠DAC =∠BAE =60°+∠BAC ， 在ΔDAC 和ΔBAE 中，{AD =AB∠DAC =∠BAE AC =AE，∴ΔDAC ≌ΔBAE(SAS).（2）解：由（1）得∠ADC =∠ABE ，∴∠BPC =∠PBD +∠PDB =∠ABD +∠ABE +∠PDB =∠ABD +∠ADC +∠PDB =∠ABD +∠ADB ， ∵∠ABD =∠ADB =60°， ∴∠BPC =120°. 19．已知 △ABC ， AB =AC ，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上.设 ∠BAD =α ， ∠CDE =β .（1）如果 ∠B =60° ， α=20° ， β=10° 那么 △ADE 是什么特殊三角形？请说明理由. （2）猜想 α 与 β 之间有什么关系时，使得 AD =AE ，并进行证明. 【答案】（1）解： △ADE 等腰三角形，理由是： ∵AB =AC ， ∠B =60° ， α=20° ， ∴∠BAC =∠B =∠C =60° ∴∠DAE =60°−α=40° . ∵∠ADC =∠B +α=80° ， ∴∠ADE =∠ADC −β=70° .∵∠AED =∠C +β=70° ， ∴∠ADE =∠AED ∴AD =AE∴△ADE 是等腰三角形（2）解：要使 AD =AE ，则需 ∠ADE =∠AED ， ∵∠ADE =∠ADC −β=∠B +α−β ， ∠AED =∠C +β ，又∵∠B =∠C ， ∠ADE =∠AED ， ∴∠B +α−β=∠C +β . ∴α=2β .20．如图，在等边△ABC 中，AB =AC =BC =10厘米，DC =4厘米，如果点M 以3厘米/秒的速度运动从点C 到点B 运动.（1）经过多少秒后，△CDM 是等边三角形？（2）若点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动.点N 和点M 同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，△BMN 是一个直角三角形？（3）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都是顺时针沿△ABC 三边运动，经过20秒，点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是多少厘米/秒？ 【答案】（1）解：设经过t 秒后，△CDM 是等边三角形，则CM=3t ， ∴CM =DC =4， ∴3t =4，∴t =43，答：经过43秒后，△CDM 是等边三角形；（2）解：设运动时间为t 秒，△BMN 是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BNM =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BN =2BM ，∴3t =2×(10−3t)，∴t =209；②当∠BNM =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BMN =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BM =2BN ，∴10−3t =2×3t ，∴t =109，综上，当t =209或t =109时，△BMN 是直角三角形；（3）解：分两种情况讨论：若点M 运动速度快，则3×20−10=20V N ， 解得：V N =2.5；若点N 的运动速度快，则20V N −20=3×20， 解得：V N =4；答：点N的运动速度是2.5厘米/秒或4厘米/秒.21．已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，作CD⊥AB，AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC=6，BC=8.（1）求证：CE=CF；（2）求证：MN∥AB；（3）请你连接DN，并求线段DN的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，∵∠CEF=∠AED，∴∠EAD+∠CEF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF；（2）证明：如图，连接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N为EF的中点，∴CN⊥EF，∴∠ANC=90°，∴ΔACN是直角三角形，∵M是AC的中点，∴MN=12AC.∵AM=12AC∴AM=MN，∴∠MAN=∠MNA.∵AF平分∠CAB∴∠MAN=∠NAD，∴∠MNA=∠NAD，∴MN∥AD；（3）解：延长CN交AB于点G，连接DN，∵MN ∥AG ，M 是 AC 的中点，∴N 是 CG 的中点，∴MN =12AG ， 在 Rt △CDG 中， DN =12CG ； ∵∠ACB =90° ， AC =6，BC =8 ，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ， 即： 6×8=10CD ，∴CD =245， ∴AD =√AC 2−CD 2=√62−(245)2=185 ， ∵MN =12AC ， ∴AG =AC =6，∴DG =AG −AD =6−185=125， ∴CG =√CD 2+DG 2=√(245)2+(125)2=12√55， ∴DN =12CG =65√5 . 22．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E 、D 、F ，使得AE ＝BD ＝CF ，过点E作EP△DF ，垂足为点P（1）求证：△BDE△△CFD ；（2）求△DEP 的度数；（3）当点E 、D 、F 分别在三边BA 、CB 及AC 的延长线上时，过点E 作EP△DF ，垂足为点P ，若AE ＝BD ＝CF ＝2，若△BDE 的周长为19，求DP 的长.【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴△B=△C=60°，AB=BC ，∵AE=BD=CF ，∴AB -AE=BC -BD ，即BE=CD ，∴△BDE△△CFD （SAS ）；（2）解：由（1）得△BDE△△CFD ，∴△BED=△CDF ，又∵△EDC=△B+△BED，∴△ EDP+△CDF=△B+△BED，∴△ EDP=△B=60°，∵EP△DF，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30° ；（3）解：∵△ABC边长为6，AE=BD =2，∴BE=AB+AE=8，又∵△BDE的周长为19，∴ DE=19-BD-BE=9，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC=△ACB=60°，BA=CB，∴△EBD=180°-△ABC=180°-△ACB=△DCF=120°，又∵BD=AE，∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，∴△BDE△△CFD（SAS），∴△DEB=△FDC，∵△EBC=△EDB+△DEB=60°，∴△EDB+△FDC=60°，即△EDP=60°，又∵EP△DF ，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30°，∴DE=2DP，∴DP= 4.5.23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，△A＝60°，△B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，△A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM△l于M，DN△l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN 的最大值．【答案】（1）①（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°−60°−40°=80°，如图，当EC＝EA时，△AEC＝60°，当FC＝FB时，△BFC＝100°，当BC＝BG时，△B＝40°．如图，当AC＝AR时，△CAR＝20°，当CA＝CW时，△C＝80°，如图，当BC＝BQ时，△CBQ＝20°，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如图2中，作AG△l于点G．∵CD为AB边上的高，∴△CDB＝△CDA＝90°．∴△ACD＝90°﹣△A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD为△ABC的“友好分割线”，∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵△BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN△l于N，∴△DNE＝△AGE＝90°．∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，{∠AGE=∠DNE DE=AE∠DEN=∠AEG∴△DNE△△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，△CMF＝△AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值为8．【解析】（1）根据“友好分割线”的定义可知，如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．故答案为：①；24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，△ABC＝120°，△ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积.（2）√22（3）解：由题意可知：△ABP△△DBP，∴BA＝BD，△ABP＝△DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，△BAD＝60°，∴△ABP＝△DBP＝30°，∴△PBC＝90°，∵△CPB＝45°，∴△APB＝180°﹣45°＝135°，∴△DPC＝90°，∵△ABC＝120°，△ACB＝45°，∴△BAC＝15°，∴△CAD＝45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP＝DP＝√2，∴AD＝2，延长BP交AD于点E，如图，∵△ABP＝△PBD，∴BE△AD，PE＝12AD＝AE＝1，∴BE＝√AB2−AE2=√4−1＝√3，∴PB＝BE﹣PE＝√3﹣1，∵△CPB＝△PCB＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝√2PB＝√6﹣√2，∴S△PDC＝12×PC•PD＝12×（√6﹣√2）× √2＝√3﹣1.【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2+a2＝2a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2+b2＝c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，则满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，联立解得{a=1b=√2，则Rt△ABC的面积为：√22；故答案为：√22；。
冀教版数学八年级上册-第十七章-特殊三角形-巩固练习(含答案解析)
A(3，4)．连接 OA，若在直线 a 上存在点 P，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的
点 P 的坐标是________.
11.若等腰三角形的顶角为
，则它腰上的高与底边的夹角是________度．
12.现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得 A、B
【解析】【解答】解：当腰为 6 时，则三角形的三边长分别为 6、6、5，满足三角形的三边 关系，周长为 17； 当腰为 5 时，则三角形的三边长分别为 5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为 16； 综上可知，等腰三角形的周长为 16 或 17． 故选 C． 【分析】分腰为 6 和腰为 5 两种情况，再求其周长． 6.【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得， 3cm 作腰，6cm 作底或 12cm 作底，则三边分别为 3cm，3cm，6cm，不能构成三角形， 3cm，3cm，12cm，不能构成三角形； 6cm 作腰，3cm 作底或 12cm 作底，则三边分别为 6cm，6cm，3cm，能构成三角形， 6cm，6cm，12cm，不能构成三角形； 12cm 作腰，3cm 或 6cm 作底，则三边分别为 12cm，12cm，3cm，能构成三角形， 12cm，12cm，6cm，能构成三角形， 故最多能组成 3 个等腰三角形， 故选：C． 【分析】由题意，可分情况：3cm 作腰，6cm 作底或 12cm 作底；6cm 作腰，3cm 作底或 12cm 作底；12cm 作腰，3cm 或 6cm 作底；再根据三角形的三边关系定理：任意两边之和 大于第三边，判定等腰三角形的个数． 7.【答案】B
的关键是学生熟练掌握三角形内角和定理．
二、填空题
10.【答案】 (8，4)或(－2，4)或(－3，4)或(－ ，4) 【解析】【解答】∵A（3，4）， ∴OB=3，AB=4，
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
第二章 特殊三角形单元评估及答案
第二章 特殊三角形单元评估（满分100分，时间60分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1、等腰三角形的两条边长是3和6，则它的周长是（ ）A 、12B 、15C 、12或15D 、15或18 2、已知∠A =37°，∠B =53°，则△ABC 为（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、以上都有可能 3、如图在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，则图中互为余角的有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对 4、下列图形中，对称轴最多的是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 5、在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是110°，要使△ABC 为等腰三角形，则底角∠B 的度数是（ ）A 、70B 、55°C 、70°或55°D 、60° 6、下列判断正确的是（ ） A 、顶角相等的的两个等腰三角形全等 B 、腰相等的两个等腰三角形全等C 、有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D 、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等7、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A =20 º，则∠BDC =（ ） A 、30 º B 、40 º C 、45 º D 、60 º 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形 9、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ） A 、中线上 B 、角平分线上 C 、高线上 D 、不能确定10、已知如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC =( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6二、填空题（每题4分，共24分） 11、在△ABC 中, ∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，点D 为AB 的中点，则CD ＝____ _cm. 12、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若∠B ＝25°，则∠CAD ＝__________° 13、在△ABC 中, ∠A ＝120°，∠B ＝30°，AB ＝4cm ，则AC ＝＿＿＿.14、有三枝木棒其中两枝的长分别是5cm ，13cm ，已知这三枝木棒首尾相连，能组成一个直角三角形，则第三枝木棒的长是 cm.15、E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边AB 上的两点，AF =AC ，BE =BC，B D CA ED B A C EA B CR P Q则∠ECF =______．16、如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 是BC 边上的任意点，DE ⊥AB 于E 点，DF ⊥AC 于F 点，则DE+DF = .三、解答题（46分） 17、（ 8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.（1）请你在图1中画出两条平行线，要求每条直线至少经过两个格点（网格的交点），但是又不与网格线重合；（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形. （3）请你在图3中画一个以格点为顶点，三边都不与网格线重合的直角三角形 （4）请你在图4中画一条以格点为端点，长度为10的线段.图1 图2 图3图418、（6分）如图，在△ABC 中， P 是的BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q ，交CA 的延长线于点R ，若AQ=AR ，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由.19、（6分）给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形，并在图上给出相应的说明．20、（本题6分）等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，求EC 的长度.21、（10分）如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =90度，E 是AB 上一点，且AE =BC ，∠1=∠2（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由（3分）； （2）AB ＝AD ＋BC （3分） （3）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由.（4分）21ED CBA C22、（10分）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC 于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P. （1）请说明△PQR是等边三角形的理由；（3分）（2）若BD=1.3㎝，则AE= ㎝（填空）（3分）（3）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.（4分）参考答案第二章 特殊三角形单元评估 1-10. BCCBC DBABA11. 5；12. 40；13. 4㎝；14. 12或194；15. 45°；16. 3 17.略；18.是，略；19. 略；20.524；21.（1）全等，理由略；（2）略；（3）是，理由略； 22.（1）略，（2）2.4，（3）34㎝。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
特殊三角形综合测试(人教版)(含答案)
特殊三角形综合测试（人教版）试卷简介:针对等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定及性质进行综合考查，训练同学们几何做题过程中画图，见到什么想什么，辨析结构的能力.一、单选题(共10道，每道10分)1.在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC,AB于点D,E,则△AEC的周长等于( )A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b答案：A解题思路：根据题意画出图形，∵DE垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=a，∴EC+AE=a，∵AC=b．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=a+b，故选A．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,则∠BAC的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：如图，延长AD交BC于点E．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∵∠ADC=125°，∴∠DCE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到,交AC于点D.若AC=12,则的面积为( )A.6B.9C.12D.18答案：D解题思路：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴由旋转可知：，，∴，∴为等腰直角三角形，∴即．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质4.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1,则DB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：在等边△ABC和等边△DEF中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，DE=DF=EF，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴∠ADF=90°，同理∠EFC=90°，∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），∴AD=BE．在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴BD＝2BE，∴BD＝2AD．∵AB=1，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形5.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,则PE+PF 与BD的大小关系为( )A.PE+PF>BDB.PE+PF=BDC.PE+PF<BDD.无法确定答案：B解题思路：如图，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，（出现多个垂直考虑等面积法），，，∵，即∵AB=AC，∴BD=PE+PF．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质．6.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,按如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.则∠MEC的度数为( )A.30°B.36°C.45°D.60°答案：C解题思路：如图，连接AM．∵三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°，60°角的三角板，∴∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，∴∠DAB=90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∴AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，∴∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°∵M点为BD的中点，∴AM=DM=BM，∴△DEM≌△ACM（SAS），∴ME=MC，∠6=∠5，∵∠AMD=90°，∴∠6+∠EMA=90°，∴∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∴∠MEC=45°．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质7.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于点O,连接BC,则∠BOC的度数为( )A.120°B.125°C.135°D.150°答案：A解题思路：如图，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AC=AE，AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，∠3=60°，∴∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠EAB=∠CAD．∴△EAB≌△CAD（SAS）．∴∠1=∠2∵∠2+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB+∠3=120°，即∠BOC=120°．故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质8.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BN,CM为高,P是BC的中点,连接MN,MP,NP,则以下结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.②④答案：B解题思路：结论①：∵BN，CM为高，∴∠BMC=∠BNC=90°，∵P为BC的中点，∴NP=MP，①正确；结论②：当∠ABC=60°时，∵∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC∵BN，CM为高，∴，∴AM=AN，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN=60°，∴∠AMN=∠ABC∴MN∥BC，②正确；结论③：在Rt△ABN中，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=30°，∴AB=2AN，∴BN≠2AN，③错误；结论④：由③可知AN:AB=1:2，同理可得：AM:AC=1:2，∴AN:AB=AM:AC，④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质9.如图,在△ABD中,C是BD的中点,∠BAC=90°,∠CAD=45°.若AC=2,则AB的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：1．思路点拨看到中点，想到以下几种方法：与直角三角形结合利用直角三角形斜边中线等于斜边一半；与等腰三角形结合利用“三线合一”；另外就是倍长中线或者类倍长中线，结合题目中的条件，发现可以利用倍长中线法．2．解题过程如图，延长AC至点E，使得CE=AC，连接DE．∵C是BD的中点，∴BC=DC，又∵∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD（SAS）∴∠E=∠BAC=90°，DE=AB，∵∠CAD=45°，∴∠ADE=45°，∴AE=DE，∵AE=2AC，∴AB=2AC，∵AC=2，∴AB=4．3．易错点对中点这个条件不敏感，所以需要同学们对于中点的几种用法进行总结，并能够结合题干条件选择合适的方法解决问题．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质10.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在AB,BC边上,且AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G.下列结论:①AE=CD;②∠AFC=120°;③△ADF是等边三角形;④.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④答案：D解题思路：结论①：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，又∵AD=BE∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正确；结论②：由①知△ABE≌△CAD∴∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=120°，故②正确；结论③：∵∠FAD<∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD≠60°，∴△ADF不是等边三角形，故③错误；结论④：由②知∠AFC=120°∴∠AFG=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∴，即．故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选D．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质第11页共11页。
特殊三角形培优专项训练(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．9【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．6【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（）A．10B．4C．D．8【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB．【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故选：D．6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4B．6C．8D．12【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝S Rt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝S Rt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC＝6﹣6+6＝6，故选：B．7．（勾股定理与整体思想）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故选：C．8．（等边三角形“手拉手”模型）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列六个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题；③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到结论；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正确；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正确；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN为等边三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正确；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正确．正确的有：①②③④⑤⑥，共6个．故选：D．9．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5B．4C．3D．2【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC ＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，∴＝，故⑤正确，故选：A．10．（折叠与勾股定理求长度）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF ＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．11．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC 内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，当DE⊥AC时，则DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③错误，故选：A．二．填空题12．（中垂线性质定理与特殊角的应用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DE＝2，则AC的长为．【分析】利用线段垂直平分线的性质，说明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求出∠BEA和∠BDC的度数，利用特殊的直角三角形的性质求出BE、DB的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案为：3+．13．（特殊三角形的判定）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．14．（赵爽弦图）如图由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S2的值是．【分析】先设一个直角三角形的面积为x，然后结合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积关系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：设一个直角三角形的面积为x，∵图中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案为：20．15．（直角三角形的分类讨论）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝．【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，综上所述，PB的值为：1或．16．（将军饮马）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出P A的最小值，可得结论．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠P AB+∠P AC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2P A，∴当P A⊥BC时，P A的值最小，此时P A＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．17．（角平分线与将军饮马）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，则：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到结论；（2）作点A关于BD的对称点A′，根据等腰三角形的性质得到点A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案为：2；（2）作点A关于BD的对称点A′，∵BD是Rt△ABC的角平分线，∴点A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案为：2．18．（折叠与直角三角形分类讨论）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，△DEF为直角三角形，则CF＝．【分析】分两种情况讨论，当∠EFD＝90°时和当∠EDF＝90°时，然后利用折叠的性质和含30°角的直角三角形三边关系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折叠得，∠E＝∠A＝30°，①如图1，当∠EFD＝90°时，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如图2，当∠EDF＝90°时，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝2，综上所述，当△BFC为直角三角形时，CF＝2或．故答案为：2或．三．解答题19．（“两定一动”型等腰三角形分类讨论）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD ＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定与角度转化）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，点D是线段AH 上的一个动点，连接CD，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至点E，连接DE交BC于点F．（1）连接BE，求证：△ACD≌△BCE；（2）当α＝15°时，判断△BEF是什么三角形？并说明理由．（3）在点D运动过程中，当△BEF是锐角三角形时，求α的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；（2）根据三角形内角和定理求出∠ADC，根据全等三角形的性质求出∠CEB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CED，结合图形计算，得到答案；（3）根据三角形内角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根据锐角的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由题意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作类等腰三角形分类讨论）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，△ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个△ABC的4等分线的示意图．（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．）【分析】（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个△ABC的4等分线的示意图；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如图2，取三边的中点D，E，F，并连接，得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②如图，作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，所以△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形与方程思想）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；（2）证明P A＝PQ，构建方程求出m即可．（3）证明DE＝EQ，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴P A＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形动点问题）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP 的长．【解答】解：（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，∴h＝OB＝4，即点P到直线AB的距离是4，故答案为：4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP＝4；综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．24．（特殊三角形综合题）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF ＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．。
特殊三角形综合习题精选
特殊三角形综合一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）A ． 线段B ． 角C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2．以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ）A ．1, 1 ,2B ．5, 8 10C ．6 ,7 ,8D ．3 ,4 ,53．等腰三角形的一内角为40º，则它的底角为（ ）A ．100ºB ．40ºC ．70ºD ．70º或40º4．下列判断正确的是（ ）A ． 顶角相等的的两个等腰三角形全等B ． 腰相等的两个等腰三角形全等C ． 有一直角边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等5．已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是 （ ）A ．6c ｍ2B ．7.5c ｍ2C ．10c ｍ2D ．12c ｍ26．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．b 2=a 2-c 2B ．∠C =∠A -∠B C ．∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5D ．a ∶b ∶c =12∶13∶57．如图，CD 是Rt ⊿ABC 斜边AB 上的高线，将∆BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 大小为…………………………………………………………（ ）A ．25B ．30C ．45D ．608．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，以B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD 的大小为…………………………………………………………( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里10．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于（ ）A B C D 第7题图第8题图 北 南 A 东 第9题图A ． 4B ． 5C ． 6 D． 7二、填空题（每小题3分，共24分）11．一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合．12．直角三角形两锐角之差是12°，则较大的一个锐角是 °．13. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD 与BE 相交于H ，且BH =AC ，DH =DC ，则∠ABC = °．14．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高线长为______．15. 直角三角形的斜边上的高线长4cm ，斜边上的中线长为5cm ，则此三角形的面积是 ．16．如图，在△ABC 中，AB =5cm ，AC =4cm ，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点F ，DE 过点F 且平行于BC ，则△ADE 的周长为__________cm ． 17. 如图，， ，则的大小是 140 ° ．18. 如图，△ABC 中，∠ACB =60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC 形外的等边三角形，点D 在边AC 上，且DC =BC ．连接DB ，DB′，DC′．有下列结论：①CDB 是等边三角形；②△C′BD ≌△B′DC ；③S △AC′D ≠S △DB′A ；④S △ABC +S △ABC ′=S △ACB′+S △A′BC其中，正确的结论有____①②④ ______（请写序号，少选、错选均不得分）．三、解答题（共46分）19．（本题6分）已知：如图∠B =∠E =90°，AC =DF ，FB =EC ，求证：AB =DE .l 321S 4S 3S 2S 1A B CD E H 图3 第17题图 第16题图 第18题图A B20．（本题6分）如图, 已知在△ABC 中,AB = AC , 点D 在BC 上 , ∠DAC = 90°, AD = 21CD . 求：∠BAC 的度数．21．（本题8分） 如图，点C 为线段AB 上的一点，△ACM ，△BCN 都是等边三角形，AN ，MC 相交于点E ，CN 与BM 相交于点F ．（1）求证AN =BM ；（2）设MB 与NC 交于点F ,AN 与MC 交于点E ,在图中除等边三角形的边角关系外,请找出另外两个等量的关系，不必说明理由．22．（本题8分）如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米．（1）当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？（2）在端点B 移动的过程中，滑杆上有一个点到点C 的距离不会变化，用语言叙述这个点的位置，并简要说明理由．23. （本题8分）在ΔABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点．（1）如图1，如果∠BAD =30°，AD 是BC 上的高，AD =AE ，则∠EDC =__________；（2）如图2，如果∠BAD =40°，AD 是BC 上的高，AD =AE ，则∠EDC =__________；（3）思考：通过以上两题，当D 不是垂足时，设BAD x ∠=︒，DAE y ∠=︒，判断∠EDC与∠BAD 之间的数量关系．24．（本题10分）如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ABC DO110 α答案：一、选择题：DDDCA CCBDA二、填空题：11．中线 角平分线 12．51 13．45 14．8 15．20 16．9 17．140 18．①②④三、解答题19．由⊿ABC ≌⊿DEF 得AB =DE20．由∠DAC = 90°, AD =21CD 得∠C=30°，又AB =AC ，得∠BAC =120° 21．（1）由等边三角形的性质得：60,ACM NCB ∠=∠=︒∴ACN MCB ∠=∠，又AC =MC ，NC =CB ，得△ACN ≌△MCB ，∴AN =BM（2）如：CE =CF ，FB =EN 等22．（1）由初始位置知AC =2m ，当点B 向右移动0.5m 时，CD =2m ，此时EC =1.5m ，即顶端A 下滑0.5m（2）是AB 的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半23．（1）15°；（2）20°；（3）12EDC BAD ∠=∠,理由：设∠BAD =x°，∠DAE =y°，可得1802x y B --∠=，18018022x y x y ADC x --+-∠=+=，又1802y ADE -∠=， ∴180180222x y y x EDC +--∠=-=，即12EDC BAD ∠=∠ 24．（1）∵△BCO ≌△ACD ∴OC =CD 又∵∠OCD =60° ∴△OCD 是等边三角形（2）∵△OCD 是等边三角形 ∴∠DOC =∠CDO =60° ∵∠AOB +∠α+∠COD +∠AOD =360°且∠AOB =110°,∠α=150°∴∠COD =40°又∵∠ADC =∠α=150°∴∠ADO =∠ADC -∠CDO =150°-60°=90°∴△ADO 是直角三角形（3）若∠ADO =∠AOD ,即∠α-60°=190°-∠α,则∠α=125°若∠ADO =∠OAD ,则∠α=110°若∠OAD =∠AOD ,则∠α=140°。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．
2020年中考数学考点总动员第17讲 特殊三角形(含答案解析)
第17讲特殊三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有_两边相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1：等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE ＝30°，DE 交AC 于点E.若DE ∥BC 时，如图2. ①∠CDB ＝120°；②求证：△ADE 为等腰三角形；③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD. ∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF. (2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形． ③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°. ∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ， ∴∠AED ＝60°.Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°.Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED. (1)求证：BD ＝CP ；(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长； (3)直接写出线段DE 长度的最小值．【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADP 是等边三角形， ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP. ∴∠DAB ＝∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS)． ∴BD ＝CP.(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°. ∵CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BFBC ，∴BF ＝2tan30°＝233.(3)DE 长度的最小值是12，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此时PF ＝12，故DE长度的最小值是12.归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简略答案)
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 是直线 下方抛物线上的一点，连接 ，当 的面积最大时，连接 ，设 分别是线段 上的点，且 ，求四边形 的面积；
（3）如图2，点 是线段 的中点，将抛物线 沿 轴正方向平移得到新抛物线 ， 经过点 ， 的顶点为 ，在新抛物线 的对称轴上，是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点，其中 ， ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；
（3）在抛物线对称轴上找一点 ，使点 ， ， 三点构成的图形是直角三角形，求点 的坐标．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由
8．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点B，抛物线 的顶点为 ，且经过点 ．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 是抛物线上的点， 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出点 的坐标．
13．如图，抛物线 经过 ， 两点，且与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 交 轴于点 ，连接 ．
（1）求经过 三点的抛物线的函数表达式；
（2）点 在该抛物线的对称轴上，若 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标；
（3）若 为 的中点，过点 作 轴于点 ， 为抛物线上一动点， 为 轴上一动点， 为直线 上一动点，当以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 的坐标．
最新2019-2020年度浙教版八年级数学上册《特殊三角形》单元综合测试题及答案解析-精品试题
第二章特殊三角形单元检测一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°3．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个5．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．非等腰三角形8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150° D．30°或120°或150°9．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于点D，点M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2等于______．12．（4分）（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．13．（4分）（2016春•高安市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB•PC=______．14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C 落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC=______度．15．（4分）（2016•迁安市一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ．点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则整个阴影部分图形的周长为______．16．（4分）（2016•湖州一模）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB=6，BC=4，则FD 的长为______．17．（3分）（2016春•乌拉特前旗期末）如图，以直角△ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3且S 1=4，S 2=8，则S 3=______．18．（4分）（2016•萧山区模拟）如图，将正方形ABCD 的边AD 和边BC 折叠，使点C 与点D 重合于正方形内部一点O ，已知点O 到边CD 的距离为a ，则点O 到边AB 的距离为______．（用a 的代数式表示）三．选择题（共12小题，满分90分）19．（6分）（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC 的平分线，求∠BDC的度数．20．（6分）（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？21．（6分）（2016春•芦溪县期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．22．（6分）（2016春•临清市期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．24．（8分）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．25．（8分）（2016春•十堰期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．26．（8分）（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．27．（8分）（2016•丹东模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．28.（12分）（2016•徐州模拟）一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．29．（14分）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．第二章特殊三角形单元检测参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．3．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD 的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．5．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．【解答】解：连接AC，设每个小正方形的边长都是a，根据勾股定理可以得到：AC=BC=a，AB=a，∵（a）2+（a）2=（a）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故选B．【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．非等腰三角形【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150° D．30°或120°或150°【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：①如图，∵∠ADB=90°，AD=AB，∴∠B=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣30°=120°．②如图，∵∠ADB=90°，AD=AC，∴∠ACD=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=15°，∠ACB=180°﹣30°=150°．③如图，∵∠ADB=90°，AD=BC，∴∠B=30°，∵AB=BC，∴∠CAB=∠C=75°，∴∠B=30°．故选D．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．9．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE的面积求解．【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN =S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．二．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于点D，点M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2等于24 ．【分析】在Rt△ABD及RtADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及RtCDM 中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2=AB2﹣AD2，CD2=AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2=BD2+MD2=AB2﹣AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2=（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）=AC2﹣AB2=72﹣52=24．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．12．（4分）（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8 ．【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．13．（4分）（2016春•高安市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB•PC=25 ．【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得BD=CD，由勾股定理可得PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，然后由AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，∴AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．故答案为25．【点评】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及灵活运用．注意得到AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）是解此题的关键．14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C 落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC= 63 度．【分析】首先连接OC，设∠OCE=x°，由折叠的性质易得：∠COE=∠OCE=x°，又由三角形三边的垂直平分线的交于点O，可得OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，然后利用等边对等角与三角形外角的性质，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB 的度数，又由三角形内角和定理，可得方程x+2x+2x=180，解此方程求得∠OCE的度数，继而求得∠ABC的度数．【解答】解：连接OC，设∠OCE=x°，由折叠的性质可得：OE=CE，∴∠COE=∠OCE=x°，∵三角形三边的垂直平分线的交于点O，∴OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A，∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO，∴∠BOE=∠OEB=2x°，∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠OBC=∠OCE=36°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC ﹣∠OCE=108°，∴∠A=∠BOC=54°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB==63°，故答案为：63．【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及三角形外接圆的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．（4分）（2016•迁安市一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ．点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则整个阴影部分图形的周长为 36cm ．【分析】根据折叠的性质，得A 1E=AE ，A 1D 1=AD ，D 1F=DF ，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A 1E=AE ，A 1D 1=AD ，D 1F=DF ．则阴影部分的周长=矩形的周长=2（12+6）=36（cm ）．【点评】此题要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．16．（4分）（2016•湖州一模）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB=6，BC=4，则FD 的长为 4 ．【分析】根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG ，然后利用“HL”证明△EDF 和△EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF ；设FD=x ，表示出FC 、BF ，然后在Rt △BCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可．【解答】解：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴AE=EG ，AB=BG ，∴ED=EG ，∵在矩形ABCD 中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，，∴Rt △EDF ≌Rt △EGF （HL ），∴DF=FG ，设DF=x ，则BF=6+x ，CF=6﹣x ，在Rt △BCF 中，（4）2+（6﹣x ）2=（6+x ）2，解得x=4．故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG 是解题的关键．17．（3分）（2016春•乌拉特前旗期末）如图，以直角△ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3且S 1=4，S 2=8，则S 3= 12 ．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC 直角三角形，∴BC 2+AC 2=AB 2，∵S 1=BC 2，S 2=AC 2，S 3=AB 2，S 1=4，S 2=8，∴S 3=S 1+S 2=12．【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系．18．（4分）（2016•萧山区模拟）如图，将正方形ABCD的边AD和边BC折叠，使点C与点D重合于正方形内部一点O，已知点O到边CD的距离为a，则点O到边AB 的距离为（3+2）a ．（用a的代数式表示）【分析】作OG⊥CD于G，交AB于H，根据翻转变换的性质得到OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DE、EF、FC，得到正方形的边长，计算即可．【解答】解：作OG⊥CD于G，交AB于H，∵CD∥AB，∴OH⊥AB于H，由翻转变换的性质可知，OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，∴△OAB是等边三角形，∠EOF=120°，∴∠OEF=30°，∴EO=2a，EG=a，∴DE=OE=2a，OF=FC=2a，EF=2EG=2a，∴DC=4a+2a，∴点O到边AB的距离为4a+2a﹣a=3a+2a=（3+2）a．故答案为：（3+2）a．【点评】本题考查的是翻转变换的性质和等边三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三．解答题（共12小题，满分88分）19．（6分）（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC 的平分线，求∠BDC的度数．【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C 的度数．20．（6分）（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？【分析】根据已知条件“上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处”可以求得AB=120海里，然后根据三角形的内角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的两腰相等的性质来求从B处到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即从B处到灯塔C的距离是120海里．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方向角．解答该题时充分利用了三角形的内角和定理．21．（6分）（2016春•芦溪县期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．【分析】由MD⊥BC，且∠B=90°得AB∥MD，∠BAD=∠D，再利用AD为∠BAC 的平分线得∠BAD=∠MAD，利用等量代换即可证明．【解答】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线段的判定与性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．22．（6分）（2016春•临清市期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB ⊥CB 于B ，∴S △ABC =，S △DAC =，∵AB=CB=，DA=1，AC=2，∴S △ABC =1，S △DAC =1而S 四边形ABCD =S △ABC +S △DAC ，∴S 四边形ABCD =2．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD 是直角三角形是解题的关键．23．（6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E ．求证：∠CBE=∠BAD ．【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD ，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD ，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD ．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．24．（8分）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【解答】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．25．（8分）（2016春•十堰期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．【分析】（1）利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可．（2）画一个边长，2，的三角形即可；（3）画一个边长为的正方形即可．【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．【点评】考查了格点三角形的画法．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．26．（8分）（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．27．（8分）（2016•丹东模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．【分析】此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．28．（12分）（2016•徐州模拟）一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．【分析】一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2=AD2，AC2﹣CD2=AD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理得出a2+b2=c2+2a•CD，即可得出结论；（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即可得出结果．【解答】一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD=BC﹣CD=a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2=AD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2+2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD=BC+CD=a+CD，在△ABD中，AD2=AB2=BD2，在△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．【点评】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．29．（14分）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．【分析】延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，再结合条件可得到∠ANC=90°，可证得结论．【解答】证明：延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，∵BM=EM，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠ABF=∠CAD，∵BF=AE，AD=AE，∴BF=AD，在△ABF和△CAD中，，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF=∠ACD，∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAN=90°，∴∠ACD+∠CAN=90°，∴∠ANC=90°，∴AM⊥CD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF=∠ACD是解题的关键．。
特殊三角形经典习题
特殊三角形回顾一、选择题1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）A 17B 22C 17或22D 132、等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,54、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ）A 中线上B 角平分线上C 高线上D 不能确定5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）A 两个锐角对应相等B 一条边和一个锐角对应相等C 两条直角边对应相等D 一条直角边和一条斜边对应相等6、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（ ） （A ）100º （B ）40º （C ）70º （D ）70º或40º7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30º、∠B=60º （B ）∠A=50º、∠B=80º（C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ）个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为（ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）以上都有可能12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）线段 （B ）角 （C ）等腰三角形 （D ）直角三角形13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（ ）（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是（ ） （A ）2个角分别相等，且有一边相等; （B ）3个角对应相等;（C ）2边分别相等，且第三边上的中线也相等; （D ）一边相等，且这边上的高也相等DCBA15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ） （A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）以上结果都不对16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（ ）（A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70°BADC EB 'B ACA 'AD C(4) (5) (6)17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，•那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形（C ）可能是锐角三角形 （D ）以上说法都不对18．如图5所示，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：10，又△A ′B ′C•′≌△ABC ，•则∠BCA ′：∠BCB ′等于（ ）（A ）1：2 （B ）1：3 （C ）2：3 （D ）1：419．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ •）（A ）85 （B ）45（C ）165（D ）22520．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2-MB 2•等于（ ）（A ）9 （B ）35 （C ）45 （D ）无法计算21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( )A. 0.7mB. 0.9mC. 2.4mD. 2.5m22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°23. 有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为3∶4∶5；B A DC M(3) 三边之比为5∶12∶13； (4) 三边长分别为7、24、25.其中直角三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24、下列数组中，是勾股数的是 （ ）(A) 1，1，3 (B) 5,3,2 (C) 5.0,3.0,2.0 (D) 31，41，5125、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ).A.1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍26、在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（ ）（A ）42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33.27、等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为（ ） A ．2 B 。
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。
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C
A
D
B
【参考答案】
1. 45° 2. 90° 3. 6 4. 60° 5. 证明：如图
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∵∠B=15° ∴∠ACB=15° ∵∠DAC 是△ABC 的一个外角， ∴∠DAC=∠B+∠ACB
=15°+15°
=30°
∵CD⊥AB
∴∠D=90°
在 Rt△ADC 中，∠D=90°，∠DAC=30°
∴CD=
1AC 2
∴CD= 12AB
即 AB=2CD
6. 证明：如图
∵BD，CE 分别为 AC，AB 边上的高
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵F 是 BC 的中点源自∴DF= 12BC，EF= 12BC
∴DF=EF
C
∴∠FED=∠FDE
7. 证明：如图，连接 DE． ∵AC=BC，∠ACB=90°
E
2
3G 1
△ACF 中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC 和△ ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°， ∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．
【过程书写】 证明：如图，连接 AC． ∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60° ∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF ∵∠EAF=60°
特殊三角形（习题）
例题示范
例 1：已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点
E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且∠EAF=60°．
求证：△AEF 是等边三角形．
A
【思路分析】
①读题标注：
A
D
60° 60°
BE
60°
BE
F C
②梳理思路： 要证△AEF 是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF 是等腰三角形即 可，考虑证 AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接 AC，可以把线段 AE 和 AF 分别放在△ABE 和
交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 DE=2，则 AC 的长是________．
C
E
A
D
B
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在 BC 上，E 为 AB 的中点，AD，CE
相交于 F，且 AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE 的度数为________．
A
E F
B
D
C
5. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=15°，过 C 作 CD⊥AB，交 BA 的 延长线于点 D．求证：AB=2CD． D A
A
1
60° 3
2
D
60°
60°
BE
F C
∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形
D
F C
巩固练习
1. 如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向外作等边三角形 ABE，连接 DE， 则∠BED 的度数为________．
A
D
B
C
6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD，CE 分别为 AC，AB 边上的
高，F 为 BC 的中点，连接 DE，DF，EF．
求证：∠FED=∠FDE．
D
E
A
B
F
C
7. 已知：如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，E 为
AC 的中点，BE 交 CD 于点 G，EF⊥BE 交 AB 于点 F．求证：EF=EG． C
E G
AF
D
B
思考小结
1. 在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑 30°角所对的直角边是 ___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形 _____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形 ___________．
∴∠A=45° ∵CD⊥AB
AF
D
B
∴∠ADC=90°，AD=
1AB 2
∴CD= 12AB
∴AD=CD
∵E 为 AC 中点
∴DE= 12AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°
∴∠AED=90°，∠A=∠1
∴∠2+∠DEF=90°
∵EF⊥BE
∴∠3+∠DEF=90°
∴∠2=∠3
在△AEF 和△DEG 中
E
B
C
2. 如图，在△ABC 的外部，分别以 AB，AC 为直角边，点 A 为直角顶点，作
等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE，CD 与 BE 交于点 P，则∠
BPC 的度数为________．
D
A
E
P
B
C
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，DE 是线段 AB 的垂直平分线，
A 1 EA ED 2 3