特殊三角形(习题及答案)

B
C
6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD，CE 分别为 AC，AB 边上的
高，F 为 BC 的中点，连接 DE，DF，EF．
求证：∠FED=∠FDE．
D
E
A
B
F
C
7. 已知：如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，E 为
AC 的中点，BE 交 CD 于点 G，EF⊥BE 交 AB 于点 F．求证：EF=EG． C
C
A
D
B
【参考答案】
1. 45° 2. 90° 3. 6 4. 60° 5. 证明：如图
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∵∠B=15° ∴∠ACB=15° ∵∠DAC 是△ABC 的一个外角， ∴∠DAC=∠B+∠ACB
=15°+15°
=30°
∵CD⊥AB
∴∠D=90°
在 Rt△ADC 中，∠D=90°，∠DAC=30°
E G
AF
D
B
思考小结
1. 在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑 30°角所对的直角边是 ___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形 _____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形 ___________．
2. 根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质： 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，CD⊥AB 于点 D，如果从等腰的角度出 发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到 AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑 _____________________________，可以得到 CD=______． 综上可得，对于图中的等腰直角三角形 ABC 我们可以得到： CD=______=_______．
∴∠A=45° ∵CD⊥AB
AF
D
B
∴∠ADC=90°，AD=
1AB 2
∴CD= 12AB
∴AD=CD
∵E 为 AC 中点
∴DE= 12AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°
∴∠AED=90°，∠A=∠1
∴∠2+∠DEF=90°
∵EF⊥BE
∴∠3+∠DEF=90°
∴∠2=∠3
在△AEF 和△DEG 中
A 1 EA ED 2 3
特殊三角形（习题）
例题示范
例 1：已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点
E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且∠EAF=60°．
求证：△AEF 是等边三角形．
A
【思路分析】
①读题标注：
A
D
60° 60°
BE
60°
BE
F C
②梳理思路： 要证△AEF 是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF 是等腰三角形即 可，考虑证 AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接 AC，可以把线段 AE 和 AF 分别放在△ABE 和
A
1
60° 3
2
D
60°
60°
BE
F C
∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形
D
F C
巩固练习
1. 如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向外作等边三角形 ABE，连接 DE， 则∠BED 的度数为________．
A
D
∴CD=
1AC 2
∴CD= 12AB
即 AB=2CD
6. 证明：如图
∵BD，CE 分别为 AC，AB 边上的高
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵F 是Biblioteka BaiduBC 的中点
∴DF= 12BC，EF= 12BC
∴DF=EF
C
∴∠FED=∠FDE
7. 证明：如图，连接 DE． ∵AC=BC，∠ACB=90°
E
2
3G 1
E
B
C
2. 如图，在△ABC 的外部，分别以 AB，AC 为直角边，点 A 为直角顶点，作
等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE，CD 与 BE 交于点 P，则∠
BPC 的度数为________．
D
A
E
P
B
C
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，DE 是线段 AB 的垂直平分线，
交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 DE=2，则 AC 的长是________．
C
E
A
D
B
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在 BC 上，E 为 AB 的中点，AD，CE
相交于 F，且 AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE 的度数为________．
A
E F
B
D
C
5. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=15°，过 C 作 CD⊥AB，交 BA 的 延长线于点 D．求证：AB=2CD． D A
△ACF 中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC 和△ ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°， ∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．
【过程书写】 证明：如图，连接 AC． ∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60° ∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF ∵∠EAF=60°