湖北省＂荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟＂2020年春高二数学期中联考试题 理
2020 年春“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟 高二期中联考 高二七校联考地理答案解析
2020年春“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟高二期中联考地理参考答案一、单选题1.C2.B【解析】第1题，图中等高距为50米，依据山峰的高度与图中800米等高线的高度，推测出800米等高线左侧那条等高线也是800米，所以甲处为山地，高度是900m<H 甲<950m。
第2题，海南岛位于热带地区，气候湿热，正屋沿等高线平行或与等高线有一定角度排列，原因是可缩小房屋间的相对高差，而不是为了采光。
该地为鞍部，地面较为平坦，通风效果比较好，方便整个村落的通风散热。
3.B4.A【解析】第3题，根据气流从高气压流向低气压排除C和D，根据纬度变化判断出该地位于北半球，受到向右的地转偏向力的影响风向相对于水平气压梯度力向右偏，根据气压值判断该地位于近地面，所以与等压线斜交。
第4题，根据锋面符号可以判断，该天气系统为冷锋，图中锋面系统过境前后，冷气团代替暖气团，气温大幅下降，锋线附近为低压槽，锋线两侧气压较高，因此气压先降低后升高。
5.B6.B7.B【解析】第5题，①为曼德海峡，②为直布罗陀海峡，③为英吉利海峡，④为马六甲海峡，从伦敦到广州要先经过英吉利海峡到达大西洋，再经过直布罗陀海峡进入地中海，从曼德海峡出来到达印度洋，经过马六甲海峡北上到达广州。
第6题，经过①海峡时，从红海驶向阿拉伯海，表层海水是从阿拉伯海流向红海，所以逆着洋流，A错误；经过②海峡时，该地受副热带高气压带控制，盛行下沉气流，风平浪静，B正确；经过④海峡时位于赤道附近，受地砖偏向力影响很小，无台风出现，C错误；伏旱天气出现在长江中下游地区。
第7题，①为北海道岛，位于日本，不会经过；②为爪哇岛，位于印度尼西亚，会经过；③为新西兰北岛，位于新西兰，不会经过；④为古巴岛，位于古巴，不会经过。
8.C9.D【解析】第8题，该图为多纵坐标图，要注意不同要素所对应的曲线取值，图中A处对应的气温曲线上的值为12℃。
第9题，根据1月平均气温且位于我国可以推断出该山的基带为亚热带常绿阔叶林带。
2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l 经过点（﹣3，﹣2），（1，2），则下列不在直线l 上的点是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（2，1）2．2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ） A ．52B ．29.2C ．10D ．6.43．如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 满足OM →=2MA →，点N 为BC 的中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+b →−12c →4．已知直线l 1：ax +y +a ＝0与l 2：（a ﹣6）x +（a ﹣4）y ﹣4＝0，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1→•PF 2→=−2，且△PF 1F 2的面积为1，则a 2的最小值为（ ） A ．2B ．2√2C ．2√3D ．46．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，经测量知SD ：DA ＝CF ：FS ＝2：1，SE ：EB ＝3：1，这个容器最多可盛原来水的（ ）A ．34B ．49C ．56D ．797．已知点P 是直线l 1：mx ﹣ny ﹣5m +n ＝0和l 2：nx +my ﹣5m ﹣n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）的交点，点Q 是圆C ：（x +3）2+（y +5）2＝1上的动点，则|PQ |的最大值是（ ） A ．9+2√2B ．10+2√2C ．11+2√2D ．12+2√38．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且|F 1F 2|＝2|OB |（O 为坐标原点）．下列三个结论正确的是（ ）①B 的坐标为（a ，b ）；②|BF 1|﹣|BF 2|＞2a ；③若AB →=3F 1A →，则双曲线C 的离心率1+√173．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考数学试题(理)(解析版)
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考数学试题（理）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限『答案』B『解析』由题意可得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+, 对应的点在第二象限， 故选：B.2.已知全集U =R ，集合2230{|}A x x x =--≤，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =( ) A. (2,3] B. φC. [1,0)(2,3]-D. [1,0](2,3]-『答案』D『解析』集合U =R ,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤， 集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.3.已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则( )A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c <<『答案』A『解析』由指数函数底数21>，故指数函数2xy =在R 上单调递增，故0.800.20.8112222-⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭，由对数函数底数51>，故对数函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增，故5552log 2log 4log 51=<=.综上所述，1c a b <<<. 故选：A.4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ） A. 2盏 B. 3盏C. 26盏D. 27盏『答案』C『解析』设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，813,813x n x n x x +==-，2812,3n x x n ==， ()()()()23...8126x x n x n x n x n ++++++++=， ()9123...8126x n +++++=，936126x n +=，29361263n n ⨯+=，636126,42126n n n +==，126423n =÷=，2323x =⨯=（盏）， 所以最下面一层有灯， 13226⨯=（盏），故选C. 5.若直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，则12a b+的最小值为（ ） A.4B. 6C. 8D. 10『答案』A『解析』圆()()22211x y +++=的半径为1，圆心()2,1--，直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，直线经过圆的圆心，可得：220a b --+=，即22a b +=则1111(2)222422224b a a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,12a b ==时，等号成立， 故选：A.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A. B.C. D.『答案』B 『解析』因为()21cos 21x x f x x+=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B .7.函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移( )个单位长度得到． A.6π B.3π C.2π D.23π 『答案』D『解析』因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,2sin 2sin 2sin 333y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 故选：D.8.若向量a 与b 的夹角为60o ，(2,0)a =，223a b +=，则b ＝( ) A.B. 1C. 4D. 3『答案』B 『解析』因为()2,0a=，所以2=a ，又因为()()22222224cos 60423b ba a ab b a +=+=+⨯⨯⨯+= ,所以220b b +-=,解得1b =（-2舍去）， 故选：B.9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 21π-B.112π- C.2πD.1π『答案』A『解析』根据圆的对称性只需看四分之一即可， 设扇形的半径为r ，则扇形OBC 的面积为214r π，连接BC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142r r π-， ∴此点取自阴影部分的概率是22211242114r r r π-=-ππ．故选A ．10.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A. 7[,)6-+∞ B. 5[,)3-+∞C. 5[,)4-+∞ D. 4[,)3-+∞『答案』D『解析』当(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111,f x x x x x +=-++-=-+⎡⎤⎣⎦又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x =+=-⨯+++=-++⎡⎤⎣⎦， 做出示意图如下图所示： 要使()89f x ≤，则需1x x ≥，而由()()84129x x -++=解得143x =-，所以43m ≥-， 故选：D.11.SC 是球O 的直径，A 、B是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=，棱锥S ABC -O 的表面积为( ) A. 4π B. 8πC. 16πD. 32π『答案』C『解析』如下图所示,由于SC 为球O直径,所以903,0SAC SBC ASC BSC ︒︒∠=∠=∠=∠=，所以12CB CA SC ==， 设球O 的半径为R ,连接,OA OB 则OA OB OC AC CB R =====,取AB 的中点D ,连接,OD CD ,又AB =,则OD CD == 设三棱锥S ABC -的高为2h ,又三棱锥O ABC -的高为△ODC 的边DC 上的高,所以三棱锥O ABC -的高为h ,故13S ABC V -=×12 2h ⨯=的所以3= ,在△ODC 中有12 = 12⨯ ,故32 =12 R ,解得2R =,故球O 的表面积为2416R ππ=， 故选：C.12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) （1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(110],k +∈. A. (1) (2) B. (2)(4)C. (1) (2) (4)D. (1)(2)(3)(4)『答案』C『解析』对于（1），由题意知,()'22x fx x-=，令()'0,f x =得2x =，所以函数()f x 在区间()0,2上单调递减,在区间(2,)+∞上单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点,故（1）正确;对于（2）令2()ln y f x x x x x =-=+-，则2220x x y x-+-'=<.函数y 在(0,)+∞上单调递减, 又当1x e=时,1210y e e =-->，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故（2）正确； 对于（3），令()()121ln 22h x f x x x x x =-=+-，则()2'2221124022x x h x x x x-+=-+-=-<， 所以函数()h x 在()0,∞+单调递减，且()2221121210,2022h e h e e e e e ⎛⎫=-->=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()h x 在()0,∞+内()0h x >不是恒成立的， 所以()12f x x >不是恒成立的，故（3）不正确； 对于（4），因为()()22224ln 4ln 2g x xf x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+++=-++⎪⎝⎭，所以()'ln 21g x x x =-+-，令()()'ln 21m x g x x x ==-+-，则()'1212x m x x x -=-+=，所以当12x >时，()'0m x >，所以()m x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且111ln 21ln 20222m ⎛⎫=-+⨯-=> ⎪⎝⎭，所以当12x >时，()'0g x >，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，也即是，()g x 在1[,],2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 又因为()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，所以()()()()12,2,2g a k a g b k b a b =+=+≤< ,则 g()(2)x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根, 则()2g x k x =+， 令()()2ln 21,222g x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭求导得()()2'232ln 41,22x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭+ 令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭，则()()()'2122230x x G x x x x-+=+-=≥，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，且10,(1)02G G ⎛⎫<=⎪⎝⎭， 所以当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()'0,0G x F x <∴< ，当[)1,x ∈+∞时，()()'0,0G x F x >∴>， 所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递减，()F x 在[)1,+∞上单调递增，所以()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，而()11,F =2111ln 2192ln 2222,121022F ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+所以92ln 2110k +<≤，故（4）正确； 所以正确的命题有：（1）（2）（4）， 故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线2sin x y e x =-，则其在点(0,2)处的切线方程是______． 『答案』20x y -+=『解析』由曲线2sin xy e x =-,得cos 2x yx e '-=,所以切线的斜率为01x k y ='==,又当0x =时,2y =,所以切线过点(0,2),曲线2sin xy e x =-在0x =处的切线方程是:20y x -=-，即20x y -+=,故答案为:20x y -+=.14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a =___． 『答案』1 『解析』n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,且39,S S ，6S 成等差数列,9362S S S ∴=+,显然1q =不满足此式，所以1q ≠，所以()()()9361112111111a q a q a q qq q---=+---,整理得:()9362111qqq -=-+-,即3612q q +=,即()()332110q q +-=，解得312q =-，又()52231111236112,2a a a q a q a q q a q +=+==+=所以214a q =，所以28269111412a a q q a q ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪⎝==⎭,故答案为:115.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为____． 『答案』78『解析』4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有4216=种情况，周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有12428C A ⋅=种情况；第二种：每天2人，共有2242162C A ⋅=种情况，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率为867168P +==， 故答案为：7.816.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___．『答案』y =『解析』由双曲线的方程()222210,0y x a b a b-=>>和抛物线的方程22y px =联立得2222212y x a by px ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消元化简得2222220a x pb x a b -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21222pb x x a+=， 由抛物线的定义得1212,22p pAF BF x x x x p +=+++=++又因为4AF BF OF +=，所以1242p x x p ++=⨯，所以2222pb p p a +=，化简得2221b a =，所以222a b=，所以双曲线的渐近线方程为y =，故答案为：y =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin 2A b=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =b =c 及ABC ∆的面积.解：（Ⅰ）sin 2A b=， 2sin b A =，2sin sin A B A =，又0A π<<，sin 0A ∴>，sin 2B ∴=， a b c <<，B C ∴<， 所以02B π<<，故4B π=.（Ⅱ）2a =，b =22222c c =+-⨯，即2230c c --=, 解得3c =或1c =-（舍去），故3c =.所以113sin 32222ABC S ac B ∆==⨯=. 18.如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，ABC ∆和PAC ∆都是正三角形，2AC = ， E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D .（Ⅰ）证明：直线DE ⊥平面PEF ； （Ⅱ）求二面角D AP E --的正弦值．（Ⅰ）证明：∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF //AB ，在正三角形P AC 中，PE ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC 平面ABC =AC ， ∴PE ⊥平面ABC ，∴PE DE ⊥且PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE PD =P ， ∴AB ⊥平面PED ， AB DE ∴⊥又EF //AB ， ∴DE EF ⊥，又DE PE ⊥，PE EF E ⋂=，∴直线DE ⊥平面PEF .（Ⅱ）解：∵平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面P AC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示：则()()()0,0,01,0,0,E A B，(P ,()()()0,3,01,0,3,1,EB PA AB ==-=-，，设(),,m a b c =为平面P AB 的一个法向量，则由mAB m PA ⊥⊥，得30a c a⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1c =，得1a b ==，即()3,1,1m =，设二面角D AP -的大小为θ，则0θπ≤<，则cos 55m EB mEBθ⋅===, sinθ∴==， 即二面角D AP -.19.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出王先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.解：（1）当2040t <≤时， 0.1215y t =+当4060t <≤时，()0.12400.2040150.211.8y t t =⨯+-+=+. 得：0.2015,20400.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505p +== ξ可取0，1，2，3.()03032327055125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2132354155125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2232336255125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 或依题意23,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，23 1.25E ξ=⨯= 20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2.（Ⅰ）求椭圆T 的标准方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可知：222222b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程， 消去y 得()222148440kxkmx m +++-=，所以()()()2228414440km km∆=-+->，即2241m k <+…………①由根与系数关系得122814kmx x k +=-+，则122214m y y k+=+， 所以线段MN 的中点P 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又线段MN 的垂直平分线l '的方程为()11y x k=--，由点P 在直线l '上，得221411414m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24310k km ++=，所以()21413m k k=-+…………② 由①②得()222241419k k k+<+，所以215k >，即k <或k >，所以实数k 的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由. 解：（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=- , （1）当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=， 则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a > 时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下： 当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--.∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-， 又()221g x x x-'=-. 则()()()121212121212121212122ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦. 设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増 函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为()2παα≠的直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ-=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求FQ 的值.解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为tan 1y x α=⋅+ ，由2sin 4cos 0ρθθ-=，得22sin 4cos 0ρθρθ-=，即240y x -=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， （Ⅱ）∵直线l 经过曲线C 的焦点()1,0F ∴tan 1α=- ，直线l 的倾斜角34πα=． ∴直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得280t +-=， 设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q对应的参数值为122t t +=-． 又点()1,0F，则122t t FQ +== 23.设函数f （x ）=丨x +a +1丨+丨x -4a丨，（a ＞0）． （1）证明：f （x ）≥5；（2）若f （1）＜6成立，求实数a 的取值范围． （1）证明：f （x ）=丨x +a +1丨+丨x -4a 丨≥丨（x +a +1）-（x -4a ）丨=丨a +1+4a丨∵a ＞0，∴f （x ）≥a +1+4a （II ）由f （1）＜6得：丨a +2丨+丨1-4a丨＜6 ∵a ＞0，∴丨1-4a 丨＜4-a ，a-4a丨丨＜4-a ①当a ≥4时，不等式a 4a-丨丨＜4-a 无解； ②当a ＜4时，不等式a 44a a--丨丨＜，即1a ＜1，a ＞1，所以1＜a ＜4综上，实数a 的取值范围是（1,4）。
荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题
荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知三条直线,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若,a和c相交,则b和c也相交;③若，,则；其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.中，分别是角的对边，则是“”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63 B．45 C．36 D．275.已知函数,则关于该函数性质的说法中，正确的是（）A．最小正周期为B．将其图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称C．对称中心为D．在上单调递减6. 正方体中，点E、F分别是棱和的中点，则直线AE与DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7. 设双曲线E：的右顶点为A，右焦点为为双曲线E在第二象限上的点，直线交双曲线E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线E的离心率为（）A. B. C. D.8．若函数满足：对，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间D上的“W函数”．则下列四个函数：①，；②，；③，；④，中，“W函数”有（）个A．4 B．3 C．2 D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9已知数列是等比数列，公比为q，前n项和为，下列判断正确的有（）A.为等比数列B．为等差数列C．为等比数列D．若，则．10.．给出下列命题，其中正确的选项有（）A．非零向量、满足，则与的夹角为B．若，则为等腰三角形.C．等边的边长为2，则D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相切B．以线段为直径的圆与y轴相切C．当时，D．的最小值为612．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是( )A．B．C．D．有极小值点，且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13斜率为2的直线过抛物线C：的焦点，且与C交于A，B两点，则________．14已知函数，则曲线在点处的切线方程是________15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为尺，则秋分的日影子长为________尺．16已知半径为的球面上有三点，，球心为O，二面角的大小为，当直线OC与平面OAB所成角最大时，三棱锥的体积为____．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟高二上学期期中考试数学试题
湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题考试时间：11月24日下午15:00—17：00试卷页数：共6页全卷满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|,20A x x N x x =∈-++≥，则集合A 的真子集．．．个数为 A ．16 B ．15 C ．8 D ．72．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是黑球B ．至少有1个白球，至少有1个黑球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是白球 3．对于常数m n 、，0mn >是方程221mx ny +=的曲线是椭圆的 A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为A ．12B ．38C ．716D ．5165．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣， 通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量 仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有 的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量 登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高12米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为60°，75°，则A 、B 的高度差为 A ．()332+米B ．6米C ．63米.D ．12米6．已知直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为 A ．3230x y --=或23150x y +-=B ．2330x y -+=或3230x y --=C ．2330x y -+=或23150x y +-=D ．23150x y +-=或2320x y +-=7．已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，若函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 8．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各个面都相切，则平面1ACD 截此球所得的截面面积为 A ．3πB ．23πC ．πD ．43π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数()f x 对,R a b ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为A ．3()f x x =B ．()f x x x =C ．()e +e x xf x -=D ．()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥ABCD PA AB =BDE 直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是 A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3π C ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:411．已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是A ．()f x 的图象关于直线x ＝2π对称B ．()f x 的一个周期是2π C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是区间(0，2π)上的增函数 12．已知正数,,x y z 满足326x y z==，下列结论正确的有A ．623z y x >>B．111x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_______人．14.函数()2xf x e x a =+-,若命题():1,1,()0P x f x ∀∈-≠是假命题,则实数a 的取值范围是_______．15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy 中,()()3,0,3,0AB -,点P 满足2PA PB=.则PAB 的面积最大值为_______．16.已知圆22:(7)16C x y -+=,过点(5,0)M 作直线交圆C 于,A B 两点．若(2,5)P ,则PA PB +的最小值为_______． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)在①222b ac a c +=+，②3cos sin a B b A =，③3sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，2b =．（1）求角B ；（2）求ABC 的面积．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是22的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD . （1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知向量(cos4,sin 2)m x x =，1(,2)2sin(2)4n x π=+，函数()f x m n =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调递增区间； （2）当[,]43x ππ∈时，对任意t R ∈，不等式22()mt mt f x -+≥恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD 展出。
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理科数学试题及答案
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理科数学试题本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()1z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U R =，集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}2lo |g 1x B =≤，则()U AC B =（ ） A.(]2,3 B.∅C.[)(]1,02,3-D.[](]1,02,3- 3.已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =则（ ） A.c a b << B.c b a << C.a b c << D.b a c <<4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏.A.2B.3C.26D.27 5.若直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，则12a b +的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D.106.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是（ ） A. B. C. D.7.函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移________个单位长度得到. A.6π B.3π C.2π D.23π 8.若向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0a =，223a b +=，则b =（ ）B.1C.4D.39.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.21π- B.112π- C.2π D.1π10.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()21f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =--.若对任意[),x m ∈+∞.都有()89f x ≤二，则m 的取值范围是（ ） A.7,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.5,4⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭ D.4,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，棱锥S ABC -的体O 的表面积为（ ）A.4πB.8πC.16πD.32π 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） （1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）()12f x x >恒成立； （4）设函数()()24g x xf x x =-++，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊂+∞⎪⎢⎣⎭，使()g x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则92ln 21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. A.（1）（2） B.（2）（4） C.（1）（2）（4） D.（1）（2）（3）（4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线2sin xy e x =-，则其在点()0,2处的切线方程是___________. 14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a =___________.15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为___________.16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点.若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin A =。
2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x2≤1}，集合M={a}，若M∪P=P，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a≤−1C. a≥−1D. −1≤a≤12.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.4，敌机被击中的概率为()A. 1B. 0.86C. 0.24D. 0.763.数列{a n}满足“对任意正整数n，都有a n+a n+3=a n+1+a n+2“的充要条件是()A. {a n}是等差数列B. {a2n−1}与{a2n}都是等差数列C. {a2n}是等差数列D. {a2n−1}与{a2n}都是等差数列且公差相等4.一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是()A. 16B. 112C. 124D. 1365.在平面四边形ABCD中，∠B=∠D=π2，∠A=π3，AB=4，AD=5，则AC=()A. √7B. √21C. 2√21D. 2√76.定义点P(x0,y0)到直线l：ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=0022，已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2，以下命题正确的有()①若d1−d2=0，则直线P1P2与直线l平行；②若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行；③若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直；④若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=4sin(2x−π6),x∈[0,16π3]，若函数F(x)=f(x)−3的所有零点依次记为x1，x2，x3…，x n，且x1<x2<x3<⋯<x n，则x1+2x2+2x3+⋯+2x n−1+x n=()A.85π3B.155π3C. 42πD.281π68.下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交； ②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内； ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内； ④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )A. 经过10min 点P 距离地面10mB. 若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的12倍 C. 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同D. 摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为203min10. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为DB 的中点，直线A 1C交平面C 1BD 于点M ，则( )A. C 1，M ，O 三点共线B. 直线AD 1与BD 的夹角为60°C. 直线AC 与平面C 1BD 所成的角为45°D. 二面角B −A 1C −C 1的大小为120°11. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是( )A. 14B. 54C. −74D. −3412. 下列各式的最小值为2的是( )A. a +b(ab =1)B. b a +ab (ab =1) C. a 2−2a +3D. √a 2+2+√a 2+2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某电器公司对500名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0.4,0.7)内的购物者的人数为______．14.已知x∈R，命题“若2<x<5，则x2−7x+10<0”的否命题是________．15.在平面直角坐标系中，已知定点A(0,−2)，B(0,2)，直线PA与直线PB的斜率之积为−4，则动点P的轨迹方程为______16.直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|=2√2，则k=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在△ACB中，∠ACB=π2，∠CAB=π3，AC=2，点M在线段AB上．(1)若sin∠CMA=√33，求CM的长；(2)点N是线段CB上一点，MN=√7，且S△BMN=12S△ACB，求BM+BN的值．18.如图，长方体中，为中点．(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角的大小为，求的长．19.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(λ,1)，(1)当a⃗⊥b⃗ 时，求λ的值．(2)若a⃗与b⃗ 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．20.已知函数为奇函数。
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷含答案
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题（答案在最后）命题学校：审题学校：考试时间：2024年4月22日考试用时：120分钟试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,2,,0A B m -，若直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，则实数m =（）A.3-B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为：12k =-，因为直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，所以()0221AB k m --==-，解得：2m =.故选：B.2.现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（）A.47种B.74种C.7654⨯⨯⨯种D.432⨯⨯种【答案】A 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有47种，经检验只有A 选项符合.故选：A.3.若直线y kx =与曲线3log y x =相切，则实数k =（）A.eln 3B.3elog eC.1e D.31log e e【答案】D 【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可.【详解】设切点为()030,log x x ，由3log y x =可得1ln3y x '=，则001ln3x x y k x ='==，所以00301ln3log k x kx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e 1eln3x k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即31log e e k =..故选：D.4.已知向量a b c、、，其中在同一平面的是（）A.()()()1,1,0,0,1,1,1,4,1a b c ===B.()()()3,0,0,1,1,2,4,1,2a b c ===C.()()()1,2,4,1,4,2,2,3,1a b c ===D.()()()1,0,0,0,0,2,0,3,0a b c ===【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量定理，结合方程思想逐项分析判断即可.【详解】对于A ，假定,,a b c共面，设()()()1,1,00,1,11,4,1m n =+，则1410n m n m n =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，A 不是；对于B ，由()()()4,1,213,0,011,1,2=⋅+⋅，得,,a b c共面，B 是；对于C ，假定,,a b c共面，设()()()1,2,41,4,22,3,1x y =+，则2143224x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，C 不是；对于D ，假定,,a b c共面，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，则013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾，D 不是.故选：B5.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn r =++（p q r 、、为常数），则“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式函数性质、n S 与n a 的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，类比表达式2n S pn qn r =++，有1,,022d dp q a r ==-=.当{}n a 为递增等差数列时，有0p >；反之，当0,0p r >≠时，例如221n S n n =-+，可得10a =；()1232n n n a S S n n -=-=-≥，则()2111,23n n a a a a n --=-=≥，此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；所以“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的充分不必要条件.故选：A.6.如图，111ABC A B C -是一个由棱长为2a 的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线1AC 与1BB 夹角的余弦值为（）A.3B.12C.3D.36【答案】D 【解析】【分析】补形成正四面体，记,,PA a PB b PC c ===，利用基底求出111CA CA B B ⋅ ，，代入夹角公式即可求解.【详解】补形成正四面体，如图.记,,PA a PB b PC c ===，则112CA a c =- ，由正四面体的性质和题意可知，π,,,,23a b a c b c a b c a ====== ，所以1CA ==== ，22211111111224222CA B B a c b a b c b a a a ⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，所以21112cos ,6a CA B B -==-，所以，异面直线1AC 与1BB 的夹角的余弦值为36.故选：D.7.已知点()()1122,,,A x y B x y是曲线y =121222x x y y =++，则直线AB 的斜率的取值范围是（）A.4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将原条件等价转换为过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得解.【详解】由y =()22(4)40x y y -+=≥，所以曲线为以()4,0C 为圆心，2为半径的上半圆弧.由()()1122,,,A x y B x y 为不同两点，且121222x x y y =++可转化为121222y y x x ++=，则过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点.如图，当直线AB 位于直线PE 的位置时，(20)E ,，PE 斜率为()102120k --==-.当过点P 的直线与圆相切于点T 时，设直线方程为2y kx =-，即：20kx y --=，由圆心()4,0C到直线的距离2d ==，解得0k =（舍），或43k =，即直线PT 的斜率为243k =.如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点，则直线AB 斜率k 的取值范围为413k ≤<，即41,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.8.已知对存在的()0,m n ∈+∞、，不等式()222e e 4e eln 4e 2m n m n +≤+恒成立，则（）A.294m n +>B.21m n -<C.222m n -<D.221m n >【答案】C 【解析】【分析】把不等式变形为()21221e41ln402m m n n --+--≤，构造函数证明不等式11ln ,e x x x x --≥≥，根据保值性即可列式求解2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，逐项判断即可.【详解】()()22211222222e 11e4e eln4e e 4ln 4e e 41ln40222m mmn m n n m n m n n --+≤+⇔+≤+⇔-+--≤（1）由()1ln (0)f x x x x =-->，则()111(0)x f x x x x-=->'=，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10f x f ≥=，即1ln x x -≥.由()1ex g x x -=-，则()1e 1x g x -='-，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10g x g ≥=，即1e x x -≥.故()21221e,41ln 42m m n n ≥-≥，所以()21221e 41ln402m m n n --+--≥.由（1）式得，当且仅当21241m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以294m n +=，2714m n -=>，2231216m n -=<，22118m n =<.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后逐项求解，即可判断.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()34f x x x =-，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-B.233x =是函数()f x 的极大值点C.函数()sin y x f x =+在R 上有3个极值点D.函数()sin y x f x =-在R 上有3个零点【答案】AD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A ，求出函数的单调区间，即可判断B ，分析sin y x =的单调性，结合函数图象判断D ，设()()sin g x x f x =+，利用导数说明函数的单调性，即可判断C.【详解】因为()34f x x x =-，则()234f x x ='-，所以()04f '=-，又()00f =，所以()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-，故A 正确；因为()234333f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎪，所以当3x <-或3x >时()0f x '>，当33x -<<时()0f x '<，所以()f x在,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和,3∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，因此233是极小值点，故B 错误；因为[]sin 1,1y x =∈-，且在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，画出()y f x =与sin y x =的图象如下所示：因此()y f x =与sin y x =的图象有3个交点，即()sin y x f x =-有3个零点，故D 正确；设()()3sin sin 4g x x f x x x x =+=+-，则()2cos 34g x x x +'=-，令()()2cos 34h x g x x x +'==-，则()6sin h x x x -'=，设()()6sin x h x x x ϕ=-'=，则()6cos 0x x ϕ'=->恒成立，即()h x '是增函数，而()00h '=，所以当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()g x '（即()h x ）在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()0g '=-30<，()()220g g ''-=>，所以()g x '存在两个零点，由()g x '的单调性知这两个零点就是()g x 的两个极值点，故C 错误.故选：AD.10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为,A B ，右焦点F ,P 为双曲线C 在第一象限上的点，则下列结论正确的有（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.双曲线C 的离心率为C.设直线AP 的倾斜角为α，直线BP 的倾斜角为β，则tan tan αβ⋅为定值D.若直线PF 与双曲线的两条渐近线分别交于M N 、两点，且2FM FN =，则2MOF NOF S S =△△【答案】ACD 【解析】【分析】求出右焦点F 到渐近线的距离，进而求得b =，再逐项分析计算即可得解.【详解】依题意，设(c,0)F ，而双曲线2222:1x yC a b-=的渐近线为0bx ay ±=，则点Fb =，因此b =，2c a =，对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y =，A 正确；对于B ，双曲线C 的离心率为2ca=，B 错误；对于C ，显然(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a=-，所以22000222000tan tan 3y y y b x a x a x a a αβ⋅=⋅===+--为定值，C 正确；对于D ，由2FM FN =，得N 是FM 的中点，则2MOF NOF S S =△△，D 正确.故选：ACD11.如图，已知二面角l αβ--的平面角为π3，棱l 上有不同的两点,,A B AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥.若2AC AB BD ===，则下列结论正确的是（）A.点D 到平面α的距离是2B.直线AB 与直线CD 的夹角为π4C.四面体ABCD 的体积为3D.过,,,A B C D 四点的球的表面积为28π3【答案】BCD 【解析】【分析】补成正三棱柱，根据正三棱柱的性质即可求点面距离判断A ，根据异面直线夹角定义求解判断B ，根据等体积法求解判断C ，利用球的性质确定外接球的球心，根据勾股定理求出R ,由表面积公式即可求解判断D.【详解】在平面α内过B 作与AC 平行且相等的线段BE ，连接EC ，在平面β内过A 作与BD 平行且相等的线段AF ，连接,,FD FC ED ，补成一个正三棱柱,AFC BDE BDE -△是边长为2的正三角形，所以D 到平面α的距离为点D 到BE的距离22⨯=，所以A 错误；因为AB FD ∥，直线AB 与直线CD 的夹角即直线FD 与直线CD 的夹角，又FDEC 是正方形，所以夹角为π4，B正确；111223323A BCD D ABC ABC V V S --===⨯⨯⨯=，所以C 正确；如图，取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，1O ，2O 为ABD △，ABC 的外心，取AB 的中点M ，连接1MO ，2MO ，则2O M AB ⊥，1O M AB ⊥，所以21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则21π3O MO ∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和过1O 作平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，所以2OO ⊥平面CAB ，1OO ⊥平面DAB ，连接OM ，12112O M O M BD ===，所以易证得：1O MO 与2O MO 全等，所以12π6OMO OMO ∠=∠=，所以在直角三角形1111,tan 3013OO OO O MO MO ︒===，所以133OO =，3OD R=====，则过,,,A B C D四点的球的表面积为228π4πR3S==球，所以D正确.故选：BCD【点睛】方法总结：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；3、求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d=+（r为底面多边形的外接圆的半径，R为几何体的外接球的半径，d表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线()120k x y k++--=恒过定点P，则点P到直线20x y--=的距离为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线恒过定点P的坐标，然后代入点到直线距离公式求解即可.【详解】由直线()120k x y k++--=化为()()120k x x y-++-=，令1020xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，于是此直线恒过点()1,1P.由点到直线的距离公式得P到直线20x y--=的距离d==.13.若251121111C C Cx x x--=+，则正整数x的值为______.【答案】5【解析】【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可.【详解】由组合数性质：11C C C m m m n nn -+=+，可得1111112C C C x x x -+=，则251212C C x x-=，所以25x x -=或2512x x -+=，解得5x =或173x =（舍）.故答案为：514.如图，已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于第一象限的,A B 两点，若AFB CFB ∠=∠，则直线AF的斜率k =_________．【解析】【分析】设直线l 的方程为2,0x my m =->，与抛物线方程联立表示出,AB BC ，再结合正弦定理，抛物线焦半径公式及韦达定理即可求解．【详解】由题意得，()()2,0,2,0F C -，当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线l 的方程为2,0x my m =->，联立28y x =，可得28160y my -+=，易得()2Δ641m =-，即210m >>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212120,8,16y y y y m y y >>+==，则1222,AB y y BC y y =-==，由正弦定理得,CF BCAFAB ==∠∠∠∠，因为,πAFB CFB CBF ABF ∠=∠∠+∠=，所以CF BCAF AB =，即2124y AF y y ==-，又由焦半径公式可知111222AF x my my =+=-+=，则21124y my y y =-，即121244my y y y =-=即16m =，解得3m =，满足21m >，于是1212,163y y y y +==，解得(16,y A =，所以43062k ==-，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e sin 2xf x a x =+-，且()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线210x y +-=垂直.（1）求a 的值；（2）当0x ≥时，求()f x 的导函数()f x '的最小值.【答案】（1）1（2）2【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义及直线垂直的斜率关系列方程求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求解函数的最小值.【小问1详解】因为()cos e xf x x a =+'，所以()10f a '=+，因为直线210x y +-=的斜率为12-，所以()1112a ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭，解得1a =；【小问2详解】令()()()cos e 0xg x f x x x +'==≥.()sin e 0x g x x =+'-> ，()f x '∴在[)0,∞+上单调递增.()f x '∴的最小值是()00cos0e 2f ='+=.16.已知数列{}n a 中，122,4a a ==，且2132n n n a a a ++=-.（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n n n b a a S =为数列{}n b 的前n 项和，求使1262n n n S +⋅-≤成立的正整数n 的最大值.【答案】（1）证明见解析，2n n a =；（2）5.【解析】【分析】（1）将已知变形为()2112n n n n a a a a +++-=-，即可得证，然后利用累加法可得通项；（2）根据错位相减法求出n S ，代入不等式求解即可.【小问1详解】由已知得()2112n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}1n n a a +-是以212a a -=为首项，公比为2的等比数列.所以11222n n n n a a -+-=⨯=.当2n ≥时，12112212,2,,2n n n n n n a a a a a a ------=-=-= .累加得12122222n n n n a a ---=+++=- ，()22n n a n ∴=≥，当1n =时满足上式，2nn a ∴=.【小问2详解】由（1）知22log 22nnnn b n ==⋅.()231122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ①，()23412122232122n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②，①-②得()231122222122nn n n S n n ++-=++++-⋅=-⋅- ，()1122n n S n +∴=-⋅+.由1262n n n S +⋅-≤得162642n +≤=，16n ∴+≤，即5n ≤.所以，所求正整数n 的最大值为5.17.在ABC 中，,242B AB BC π===，点D E 、分别为边AC AB 、的中点，将AED △沿DE 折起，使得平面AED ⊥平面BCDE .（1）求证：DC AE ⊥；（2）在平面ACD 内是否存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD ？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点M ，M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上【解析】【分析】（1）利用已知可得AE ED ⊥，结合面面垂直可得⊥AE 平面BCDE ，可证结论.（2）以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -，求得平面ABD 的一个法向量，若AM DC ∥，求得平面AEM 的一个法向量，可判断此情况不成立，若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN ，利用0EN BD ⋅=，可求得结论.【小问1详解】在ABC 中， 点D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，DE BC ∴∥且,2B AE ED π=∴⊥.又 平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面,BCDE ED =AE ⊂平面AED ，AE ∴⊥平面BCDE .又DC ⊂ 平面,BCDE DC AE ∴⊥.【小问2详解】由（1）知，,,AE ED AE EB EB ED ⊥⊥⊥.以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -.则()()()()()0,0,02,0,02,2,00,1,00,0,2E B C D A 、、、、.()()()0,0,22,0,20,1,2EA AB AD ==-=- 、、，设(),,m x y z =为平面ABD 的一个法向量，则0220200m AB x z y z m AD ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ ，取1z =，则()1,2,1m = .假设在平面ACD 内存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD .连接AM .若AM DC ∥，则设()2,,0AM DC μμμ== .设平面AEM 的一个法向量为(),,n a b c =.由020200n EA a b c n AM μμ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，取1a =，则()1,2,0n =- . 平面ABD 的法向量()1,2,1m =.由0m n ⋅≠知，此情况不成立.若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN.设()()2,1,02,,0DN DC λλλλ=== ，则()2,1,0EN ED DN λλ=+=+.当()()2,1,02,1,00EN BD λλ⋅=+⋅-= ，即13λ=时，BD EN ⊥.又,AE BD BD ⊥∴⊥ 平面AEN ，即平面ABD ⊥平面AEN ，也即平面AEM ⊥平面ABD .所以在平面ACD 内存在点M ，当M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上时，平面AEM ⊥平面ABD .18.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，且满足：()()()()00,00,f R f R =''=()()()()()()00,,00m n m n f R f R ++=⋅⋅⋅=''''.（注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()(),f x f x ''''⎡'⎤⎣⎦'=()()()()()()()()()454,,,n f x f x fx fx fx ''⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦''为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1mxg x nx=+.（1）求实数,m n 的值；（2）证明：当0x ≥时，()()f x g x ≥；（3）设a 为实数，讨论方程()()02af xg x -=的解的个数.【答案】（1）11,2m n ==；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据()()()()00,00f g f g '''='''=列方程组求解可得；（2）构造函数()()()x f x g x ϕ=-，利用导数求单调性，由()()0x ϕϕ≥即可得证；（3）构造函数()()()2ah x f x g x =-，分2a ≤，2a >利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当2a >时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.【小问1详解】由()()()ln 1,1mxf x xg x nx=+=+，有()()00f g =，可知()()()()223112,,,1(1)(1)(1)m mnf x f xg x g x x x nx nx -==-=''''=+++''+，由题意，()()()()00,00f g f g '''='''=，所以121m mn =⎧⎨-=-⎩，解得11,2m n ==.【小问2详解】由（1）知，()22xg x x =+，令()()()()()2ln 102xx f x g x x x x ϕ=-=+-≥+，则()()2221401(2)1(2)x x x x x x ϕ=-=++'≥++，所以()x ϕ在其定义域()1,∞-+内为增函数，又()()()0000f g ϕ=-=，0x ∴≥时，()()()()00x f x g x ϕϕ=-≥=，得证.【小问3详解】()()()()ln 122a ax h x f x g x x x =-=+-+的定义域是()1,∞-+，()()()()222421121(2)1(2)x a x ah x x x x x +-+=-=++++'.①当2a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，且()00h =，所以()h x 在()1,∞-+上存在1个零点；②当2a >时，令()()()()()224214242t x x a x x a x a =+-+=+-+-，由()0t x =，得()()1222x a x a =--=-.又因为()()110,0420t t a -=>=-<，所以()()121,0,0,x x ∞∈-∈+.x()11,x -1x ()12,x x 2x ()2,x ∞+()h x '+-0+()h x 单调递增极大值()1h x 单调递减极小值()2h x 单调递增当()12,x x x ∈时，因为()00h =，所以()h x 在()12,x x 上存在1个零点，且()()()()1200,00h x h h x h >=<=；当()11,x x ∈-时，因为()()e 12ee1lne 0e 1e 1a aaaaaa a h ---------=-=<++，1<e 10a ---<，而()h x 在()11,x -单调递增，且()10h x '=，而()e10ah --<，故11e 1a x --<-<，所以()h x 在()11,x -上存在1个零点；当()2,x x ∞∈+时，因为()()e 12e 1lne 0e 1e 1a a a a aa ah --=-=>++，e 10a ->，而()h x 在()2,x ∞+单调递增，且()20h x '=，而()e 10ah ->，所以2e 1ax ->，所以()h x 在()2,x ∞+上存在1个零点.从而()h x 在()1,∞-+上存在3个零点.综上所述，当2a ≤时，方程()()02af xg x -=有1个解；当2a >时，方程()()02af xg x -=有3个解.【点睛】思路点睛：关于零点个数问题，一般从以下方面入手：（1）转化为两个函数图象相交问题进行讨论；（2）利用导数求极值，根据极值符号，结合单调性以及变化趋势进行判断；（3）利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理进行判断.19.已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线2x =与x 轴交于点,P A C 、为粗圆Γ上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线2x =上），直线AP 、CP 分别交椭圆于B D 、两点，直线AD BC 、分别交直线2x =于E F 、两点.①设()11,A x y ，试用11,x y 表示()22,B x y 的坐标；②求证：P 为线段EF 的中点.【答案】（1）22184x y +=（2）①11113833x y x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程即可求解椭圆方程；（2）①设直线AB 的方程，与椭圆方程联立，韦达定理，表示出12,y y ，代入即可求解；②先求出直线AD 的方程，令2x =得E y 311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，进而0E F y y +=，即可证明.【小问1详解】已知2c e a ===，可得222a b =，所以椭圆方程为222212x y b b +=，由直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为(在椭圆上，故22222(2)12b b+=，解得24b =，则2b =，故椭圆Γ的标准方程22184x y +=；【小问2详解】①设直线AB 的方程为2x my =+（由题意可知，其斜率不为0），与椭圆22184x y +=联立得()222440m y my ++-=，0∆>，可得12242y y m =-+，由112x my =+，有112x m y -=，于是有()1222221111111444244222y y x y x my x y y ---===+-+⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而221128x y +=，所以1213y y x =--.又222x my =+，所以111121111223822333x y x x x y x x x ⎛⎫---=⋅-+=+= ⎪---⎝⎭.②设()()3344,,,C x y D x y ，同理由①，可知33443338,33x y x y x x -==--直线AD 的方程为()411141y y y x x y x x -=-+-，令2x =得：33311141144133334113382222333383E x y yy x y x y x y y y x x x y x x x x x -⋅-⋅+--+----==----311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，同理，F 的坐标只需要将上式中的()11,x y 和()33,x y 作一个交换即可，E y 的表达式中分母是对称的，分子刚好是一个逆序的即311331311322338F x y x y y y y x x x x -+-=-+--，从而0E F y y +=，故P 为EF 的中点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；第21页/共21页（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020-2021年高二第一学期期中联考地理试题【含答案】
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020-2021年高二第一学期期中联考地理试题考试时间：11月25日下午16:05-17:35 试卷页数：4页全卷满分：100分考试用时：90分钟★祝考试顺利★一、选择题：本题共15小题，每小题3分。
共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
2018年7月，美国特斯拉与上海签署了纯电动车项目投资协议，将独资建设集研发、制造、销售等功能于一体的特斯拉超级工厂。
特斯拉拥有世界上最先进的电池技术和最强的设计。
据此完成下列各题。
1．特斯拉在中国投资设厂的主要原因是中国A．市场广阔B．政策支持C．用地成本低D．劳动力充足2．特斯拉超级工厂选址上海主要是由于上海A．用地充足B．资金雄厚C．技术先进D．产业基础好M港过去是一个小渔村（港）。
20世纪六、七十年代，由于捕鱼业受配额限制及北海油田的发现和开发，M港从渔村（港）发展为石油重镇。
21世纪初，随着全球变暖和《京都议定书》对温室气体减排的限制，开始涉足海上风电业务。
目前，已发展成为世界知名的风电母港。
下图示意M港位置。
据此完成下列各题。
3．M港附近海上油田开发的不利气候条件是A．多台风B．多阴雨C．冰期长D．光照强4．21世纪初，M港从石油重镇向风电母港转型的主要是由于A．风能资源丰富B．环保要求提高C．资金技术雄厚D．石油资源枯竭延安位于陕北黄土高原，是历史名城，也是革命圣地。
“城市双修”是指生态修复、城市修补，是治理“城市病”、改善人居环境、转变城市发展方式的有效手段。
延安是住建部第二批“城市双修”试点城市之一。
下图为延安城市空间形态图。
据此完成下列各题。
5．影响延安城市布局的主要自然因素A．交通B．气候C．地形D．矿产6．延安市“城市双修”的主要措施包括①合理布局城市功能区②保护性开发革命旧址，适度发展红色旅游③拓展完善交通，治理环境污染④改造老旧小区，改善人居环境A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④国家统计局按照常住人口的口径统计的数据显示：2016年底全国有2.22亿老年人，全国平均老龄化水平是16.15%，其中，农村是18.47%，城市是14.34%。
2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 由题意可得1=-iz i ,根据复数的除法运算得1122z i =-+，可得选项. 【详解】 由题意可得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+, 对应的点在第二象限， 故选：B.本题考查复数的除法运算和复数的坐标表示，属于基础题.2．已知全集U =R ，集合2230{|}A x x x =--≤，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =I ð( )A ．(2,3]B ．φC ．[1,0)(2,3]-UD ．[1,0](2,3]-U【答案】D根据对数不等式的解法可求得集合{|02}B x x =<<, 根据一元二次不等式的解法可求得集合13{|}A x x =-≤≤, 再根据集合的补集运算可求得{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 从而可得选项.【详解】集合U =R ,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥,所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.本题考查对数不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的交集、补集运算，属于基础题.3．已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A先判断指数函数底数21>，故指数函数2xy =在R 上单调递增，可得0.800.20.8112222-⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭，再由对数函数底数51>，故对数函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增，故5552log 2log 4log 51=<=，从而可得选项。
2019-2020学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省四地七校考试联盟高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．84．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）67．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣808．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题（共4小题）.13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为．（参考数据：X，X，P）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g（x）．参考答案一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．【分析】利用二项分布的期望与方差公式，转化求解即可．解：随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，可得np＝300，np（1﹣p）＝100，故选：A．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．【分析】先由复合函数的求导公式求出f′（x），再把x＝代入计算．解：函数f（x）＝sin（2x﹣），f′（x）＝[sin（2x﹣）]′•（2x﹣）′＝2cos （2x﹣），则f′（）＝2cos（2×﹣）＝2cos＝，故选：D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．8【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得答案．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6+a7＝24，S8＝48，∴{a n}的公差为3．故选：B．4．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，由分步计算原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，有＝105种分组方法，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，有A33＝6种情况，则有105×6＝630种安排方案；故选：C．5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．【分析】由题可知，焦距F1F2＝6，设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段PF1和PF2的长的方程组，解之可得PF1和PF2的长，然后在△PF1F2中，结合余弦定理即可得解．解：由题可知，焦距F1F2＝6，不妨设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可知，在△PF1F2中，由余弦定理可知，cos∠F1PF4＝．故选：A．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）6【分析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，由此能求出质点P移动6次后位于点（2，4）的概率．解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，因此质点P移动6次后位于点（2，2）的概率为：故选：B．7．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】将原式化为[1+2（x﹣1）]5，然后利用通项求出含（x﹣1）2的系数即可．解：原式＝[1+2（x﹣1）]5，故展开式中（x﹣1）3项为．故选：A．8．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，a），B（x2，a），依题意，可得|AB|＝a2+3﹣lna，设f（a）＝a2+3﹣lna，利用导数求其最小值即可得解．解：依题意，设A（x1，a），B（x2，a），则，即，由指数函数及根式函数的图象及性质可知，x6＜x2，设f（a）＝a2+3﹣lna，则，∴，即A，B之间的最短距离是．故选：C．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设PF2＝m，PF1＝n，由于＝3，M为PQ的中点，且，∴M为QF1的三等分点，且△F2PQ为等腰三角形，于是可得QF1＝3PF1＝3n，QF2＝PF2＝m，由双曲线的定义可知，，即，可解得m和n．在Rt△MPF2和Rt△MF1F2中，通过中间量MF2，利用勾股定理可建立关于a和c的等量关系，即16a2+3×4a2＝4c2，化简得，故而可求得离心率．解：设PF2＝m，PF1＝n，∵＝3，且M为PQ的中点，∴M为QF1的三等分点，QF1＝3PF1＝3n，由双曲线的定义可知，，即，解得．在Rt△MF1F2中，，∴，故选：B．10．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）【分析】根据条件，构造函数g（x）＝x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．解：构造函数g（x）＝x3f（x），g′（x）＝x2（3f（x）+xf′（x））；当x＜0时，∴g′（x）＜0；g（x+2020）＝（x+2020）3f（x+2020），g（﹣2）＝﹣7f（﹣2）；（x+2020）3f（x+2020）＜﹣8f（﹣2）∴x+2020＞﹣2，且x+2020＜3；∴原不等式的解集为（﹣2022，﹣2020）．故选：C．11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a＝a2b，所以a2b＝4；所以a2＝，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】求出x1＝，即x2＝lnx1，＝＝k，得到e k＝k3e k，令h（k）＝k3e k，k＜0，根据函数的单调性求出h（k）的最小值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（4）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f（x）＞4，则0＜x1＜6且f（x1）＝g（x2）＝f（），故e k＝k3e k，令h（k）＝k5e k，k＜0，令h′（k）＜0，解得k＜﹣3，令h′（k）＞5，解得：﹣3＜k＜0，∴h（k）min＝h（﹣3）＝﹣，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是或．【分析】由题意设出抛物线的标准方程，分类代入P点坐标求解p，则答案可求．解：由抛物线过点P（﹣2，3），可设抛物线方程为y2＝﹣7px（p＞0）或x2＝2py（p ＞0）．若抛物线方程为y2＝﹣2px（p＞0），则32＝﹣2p×（﹣7），得p＝，若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则（﹣2）2＝2p×3，得p＝，故答案为：或．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．解：函数f（x）＝x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）＝x+alnx的导数为：f′（x）＝1+，当a＜0时，函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．【分析】学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n ＝＝384，其中学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，由此能求出在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率．解：某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n＝＝384，学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，学生丙第一个出场的概率为p＝＝．故答案为：．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为131022．（参考数据：X，X，P）【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为2，2，1，对应杨辉三角形的第3行，第1行为23，第2行为21，第3行为27，以此类推则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣6，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，则杨辉三角形的前17项的和为S17＝417﹣1，且前17行中有15×2+3＝33个4，故答案为：131022．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）利用数列是等比数列，结合等差数列，求出数列的首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），可得数列{a n}是公比为2的等比数列，又知a2，a8+2，a4成等差数列，可得8（a3+2）＝a7+a4，（2）由（1）知a n＝2n，所以b n＝＝＝（），则T n＝．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．【分析】（1）当a＝1时，对f（x）求导，由函数的单调性可得函数的最大值；（2）对f（x）求导，分类讨论求得函数在（0，e]的单调性，求出函数的最大值为﹣2，求得a的值．解：（1）a＝1时f（x）＝lnx﹣x，则f'（x）＝﹣1＝（x＞8），令f'（x）＝0，x＝1，x∈（0，1），f'（x）＞6，所以函数f（x）单调递增，所以x∈（0，+∞）时，f（x）≤f（1），即f（1）为最大值且为﹣1，（2）f'（x）＝﹣a，x∈（0，e]，∈[，+∞），①当a≤0时f'（x）＞0，可得函数f（x）在（0，e]上单调递增；所以f（e）最大为lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；②当a＞0时f'（x）＝0，则x＝，x∈（0，），f'（x）＞0，函数f（x）单调递增x∈（，+∞），f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x∈（0，e]，f（e）为最大值且lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；所以x∈（0，e]，当x＝时，即f（）最大，且为ln﹣•a＝﹣2，解得a＝e，满足条件，综上所述满足条件，a的值为e．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．【分析】（1）连接AC交BD于N，连接MN，证明MN∥PA，可得MN⊥底面ABCD，得到AC⊥MN，由直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面MBD，再证明即EF∥AC．可得EF⊥平面MBD，从而得到平面PEF⊥平面MBD；（2）设BE＝BF＝x，由题意，，写出三棱锥F ﹣PEC的体积，由基本不等式求最值，可得E，F分别为AB，BC的中点，以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面MEF的一个法向量与平面MEC的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得二面角C ﹣ME﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC交BD于N，连接MN，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AN＝NC，由PA⊥底面ABCD，知MN⊥底面ABCD，又BD∩MN＝N，BD，MN⊂平面MBD，∴AC⊥平面MBD，∴EF⊥平面MBD，（2）解：设BE＝BF＝x，由题意，，当x＝2时，三棱锥F﹣PEC的体积最大．以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．，，．由，取x6＝1，得；由，取z2＝1，得．由图可知，所求二面角为锐二面角，则二面角C﹣ME﹣F的余弦值为．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？【分析】（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应概率，由此能求出X的分布列．（2）选择延保方案一，求出所需要费用Y1元的分布列，从而EY1＝1000元，选择延保方案二，求出所需要费用Y2元的分布列，EY2＝1030元，因此能求该工厂选择延保方案一较合算．解：（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，6，5，6，P（X＝0）＝，P（X＝7）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝，Y1700900110013001500PEY1＝+（元），Y2100011001200PEY2＝＝1030（元），∵EY1＜EY6，∴该工厂选择延保方案一较合算．21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），把点A的坐标代入圆的方程有，x2+（2y）2＝4，即，此即为点P的轨迹Γ的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），然后分两类讨论：①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），将其与椭圆的方程联立，写出韦达定理，再用M、N和Q的坐标表示出直线QM，QN的斜率，利用斜率之和为3，得，结合之前得出的韦达定理，化简整理后有，所以直线l：恒过定点；②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，仍然利用直线QM，QN的斜率之和为3，可求得直线l：，也恒过定点，故而得解．解：（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），∵A在圆C上，∴x2+（5y）2＝4，即．（2）设M（x8，y1），N（x2，y2），①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），联立，得（4k3+1）x2+7kmx+4m2﹣4＝0，∵直线QM，QN的斜率之和为3，∴，即，∵4k7﹣m2+1＞0，∴8k2+3k＞0，即，②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，∴，此时直线l：，也恒过定点．综上所述，直线l恒过定点，定点的坐标为．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g （x）．【分析】（Ⅰ）求出导函数，再分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）先依题意容易求得m＝1，n＝2，再将问题等价于证明x（e2x﹣2）﹣lnx≥1，构造函数h（x）＝x（e2x﹣2）﹣lnx，利用导数求出函数h（x）的最小值即可得出结论．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．显然当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f'（x）无零点．则，即f'（x）单调递增，所以导函数f'（x）存在唯一零点．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）单调递增，所以，所以a＝0．所以，所以m＝1．根据题意，要证f（x）≥g（x），即证，只需证x（e2x﹣2）﹣lnx≥1．令，则，又，，当x∈（0，x0）时，F（x）＜8，即h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以．故f（x）≥g（x）．。
湖北省“荆荆襄宜四地七校考试联盟”2020届高二数学(理科)第二学期期中联考试题及答案
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考试题数学（理）本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2019年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：X1y2y总计1xa 10 10a +2xc 30 30c +总计 6040100注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为( )A ．5B ．22C ．14D ．1710．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ． 833D ．163311．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233； ④该曲线的离心率为33． 其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．总体由编号为01,02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第 ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：2;s bn a s bn a =+=+①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依．．．．．．．．．．．．．．．．．据．） 参考公式：线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑；7 2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑621()43ii w w =-≈∑，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若5AP =AP 与BC 5A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程；（Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科） 参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 2- 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3. ……10分18.（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C 解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =，5cos 5C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分1377.950.99375828256r ∴==≈-=-，2830.9658643256r ==-≈-⨯ ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b -==-，则503462a s bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362s n =-+ ………7分结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分s 56 53 50P14 12 14∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP 的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin33OD CD π== 故(0,3,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D - ………6分设(0,,)(0)P y z z > 由5AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+ (3,1,0)BC =-由5cos ,5AP BC <>=35525y += ② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴(3,3,0)AB =，(3,1,1)BP =--，(3,1,0)BC =- 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111133030x y x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩取11y =-得1(3,1,2)n =- ………10分同理可得BCP 的一个法向量为2(3,3,6)n = ………11分∴121212126cos ,42243n n n n n n <>=== 故钝二面角A BP C --的余弦值为4-………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-；………2分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m--==++,且0∆>恒成立， ………7分 连结OB ，由OA OC =知2ABCAOBS S=，112ABCSOF y y ∴=⋅-=， ………9分t =，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m tt S a b t b t b tt=-≥∴===+-++，①若11b ≥，即1a <≤，则212b t b t+≥=，当且仅当1t b =，即m =时，max ()()ABC S a S ∆== ……… 10分②若101b <<，即a >21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩………12分。
2020届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三理科数学答案
19． 解法一：（Ⅰ）当 20 t 40 时， y 0.12t 15 ………………………………………………2 分 当 40 t 60 时， y 0.12 40 0.20(t 40) 15 0.2t 11.8 ……………………………4 分
得：
y
0.12t 15, 0.2t 11.8,
2
4
（Ⅱ） a 2 ， b 5 ，由余弦定理可得：
( 5)2 （ 2）2 c2 2 2 c 2 ，即 c2 2c 3 0 …………………………………8 分 2
解得 c 3或 c 1（舍去），故 c 3. ……………………………………………………10 分
消去 y 得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 ，
所以 8km2 4 1 4k2 4m2 4 0，即 m2 4k2 1…………①
由根与系数关系得
x1
x2
1
8km 4k
2
，则
y1
y2
2m 1 4k 2
，……………………………………
分
又 0 t 1，∴t 0 ，∴ t 在0,1 上是増 函数，
则
t
1
0
，即当0
t
1
时，lnt
2
t 1
t 1
0
，从而
lnx1
lnx2
2
x1 x2
x1 x2
0
，
又0
x1
湖北省2020荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020学年高二数学下学期期中联考试题 理(含解析)
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020学年高二数学下学期期中联考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：“若，则”的逆否命题为（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则且D. 若，则且【答案】C【解析】命题：“若，则”的逆否命题为若，则且。
故答案为：C.2.已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩近似地服从正态分布，估算这些考生中数学成绩落在内的人数为（）（附：，则）A. 4560B. 13590C. 27180D. 311740 【答案】B【解析】【分析】先求得的值，再利用正态分布计算出数学成绩落在内的概率，由此计算出人数. 【详解】依题意可知，故,，故选B.【点睛】本小题主要考查正态分布的知识，考查正态分布在实际生活中的应用，属于基础题.3.对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题得,当时,满足,但是,所以.若,则,所以.综上,是的必要不充分条件,故选B.考点：新概念逻辑关系4.展开式中含的项是（）A. 第8项B. 第9项C. 第10项D. 第11项【答案】B【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此求得含的项是第几项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故含的项是第项.故选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.5.CPI是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2020年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（）A. 2020年1月—7月CPI 有涨有跌B. 2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C. 2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D. 2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌【答案】D【解析】【分析】根据同比增长和环比概念，对四个选项逐一分析，由此得出结论错误的选项.【详解】根据环比增长的概念可知，2020年1月—7月CPI 有涨有跌，2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳，故A,B两个选项结论正确.根据同比增长的概念可知，2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大，故C选项结论正确.由于同比增长的百分比都为正数，故2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，CPI都是增长的，故D选项结论错误.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理能力，属于基础题.6.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得双曲线的标准方程，结合双曲线的离心率，求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意可得，故双曲线的焦点在轴上，设双曲线的半焦距为，则，解得，故双曲线的渐近线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的渐近线的求法，考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.由于题目所给条件中的和双曲线标准方程中的不一样，解题过程中要注意区分清楚.7.为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为，若圆环的半径为1，则比值的近似值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面积的比等于点数的比，计算出“五环及其内部所占面积”，除以“单独五个圆环及其内部面积之和”，求得的值.【详解】设“五环及其内部所占面积”为，则，故，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查利用随机模拟的方法计算面积的比，属于基础题.8.假设有两个分类变量和的列联表如下：总计总计注：的观测值.对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出四个选项中的观测值，值最大的即为正确选项.【详解】对于A选项，，对于B选项，，对于C选项，，对于D选项，.由于最大，故可以判断出，于有关系可能性最大的是A选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.9.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得，进而得到的长度．【详解】因为，所以||2=()2=||2+||2+||2)．故A1C的长为．故选A．【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．10.已知点在抛物线，过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则三角形的面积（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得两点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】将点坐标代入抛物线方程得，故抛物线方程为，故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为，代入抛物线方程并化简得，解得或.故，故选C.【点睛】本小题主要考查利用抛物线上一点的坐标求抛物线方程，考查直线和抛物线的交点坐标的求法，考查三角形的面积的求法，属于中档题.11.用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分成用种颜色、种颜色、种颜色三种情况，分别计算出涂色种数，然后相加得到总的方法数..【详解】先涂“A,B,C ”，后涂“D,E,F ”.若用种颜色，先涂A,B,C 方法数有,再涂D,E,F 中的两个点，方法有，最后一个点的方法数有种.故方法数有种.若用种颜色，首先选出种颜色，方法数有种，先涂A,B,C 方法数有种，再涂D,E,F 中的一个点，方法有种，最后两个点的方法数有种.故方法数有种.若用种颜色，首先选出种颜色，方法数有，先涂A,B,C 方法数有种，再涂D,E,F 方法数有种.故方法数有种.综上所述，总的方法数有种.故选 D.【点睛】本小题主要考查排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.12.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；④该曲线的离心率为．其中正确命题的序号为（）A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④【答案】A【解析】【分析】画出轴截面的图像.根据选项可判断出①正确.解直角三角形计算出的长以及长轴的长，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.由此得出正确结论.【详解】根据选项可知①正确，即曲线形状为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于，所以,，即，所以，而曲线上任意两点最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.总体由编号为的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为___________．【答案】【解析】试题分析：应抽取的数字依次为：，故正确答案为．考点：简单随机抽样.14.已知向量，，则在方向上的投影为________．【答案】【解析】【分析】根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.【详解】依题意在方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.15.右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则的值为___________．【答案】10【解析】【分析】由平均数可得总数，从而可得未知数，由中位数是位于从小到大排序的中间位置，从而得y，即可得解.【详解】由茎叶图知，甲的平均数为17时，总数为：.所以得未知数为：，所以；乙的中位数为17时，可知；.所以.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了茎叶图的平均数和中位数的计算，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．【答案】【解析】 【分析】由抛物线定义可知M 的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知B 点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值. 【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M 到定点A 的距离等于动点M 到直线的距离，故动点M 的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD 为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为：【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，涉及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，考查数形结合的思想，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知命题:实数使得二项分布～满足成立；命题：实数使得方程表示焦点在轴上的椭圆．若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】先分别求得命题为真命题时，的取值范围.由于为假命题，为真命题，故一真一假，分别求得真假以及假真时的取值范围，取并集得到实数的取值范围.【详解】对于命题：由知，且，得. 对于命题：由得.为假命题，为真命题，则一真一假，若真假，则且，得.若真假，则且，得.综上可知，满足条件的实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题真假性的应用，考查二项分布以及椭圆的知识，属于中档题. 18.在中，内角，，所对的边分别是，，.已知，.（1）求的值；（2）若的面积为3，求的值.【答案】（1）2；（2）3 【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得，进而求得，再运用正弦定理求的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于方程求解.试题解析：（1）由余弦定理可得，即，将代入可得，再代入可得，所以，即，则，所以；（2）因，故，即.考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．19.已知等差数列中，，前项和.（1）求数列的通项公式； （2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.【答案】(1)(2)，【解析】(1)由题意得，解得，所以．(2)，则==20.某农科所发现，一种作物的年收获量（单位：）与它“相近”作物的株数具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近作物的株数为时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）根据研究发现，该作物的年收获量可能和它“相近”作物的株数有以下两种回归方程：，利用统计知识，结合相关系数比较使用哪种回归方程更合适；（2）农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．1．）中选择的回归方程计算所得数据为依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．）参考公式：线性回归方程为，其中，，相关系数；参考数值：，，，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据，计算出两个回归方程的相关系数，相关系数绝对值越接近的，越合适.（2）根据（1）的结论，计算出回归直线方程，求得时，与之相对应的值，由古典概型概率计算公式计算出分布列，进而求得数学期望.【详解】（1）(60+55+53+46+45+41)，，，知，回归方程更合适，（2）由（1），则故所求的线性回归方程为结合图形可知当时，与之相对应，，，∴它的年收获量的分布列为∴（）【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，属于中档题.21.如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，.（1）证明：；（2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）分析条件易得平面, ∵平面, ∴；（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用向量求解即可.试题解析：（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面，平面底面，∴平面, ∵平面,∴.（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，而,得,又，故.设，则由，得，而，由，得，则,所以.设平面的法向量为，平面的法向量为，由得可取，由得可取，从而法向量的夹角的余弦值为.由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22.已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若的斜率为，为的中点，且的斜率为，求椭圆的方程；（2）连结并延长，交椭圆于点，若椭圆的长半轴长是大于的给定常数，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出点的坐标，利用点差法求得的数值，结合以及，求得的值，由此求得椭圆方程.（2）根据已知得到，设出的坐标和直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.求得三角形面积的表达式，利用基本不等式和单调性，求得面积最大值的表达式.【详解】（1）设，则，，.由此可得；因为，，，所以又由左焦点为，故，因此.所以的方程为（2）因为椭圆的半焦距，所以，设，直线的方程，由方程组消去得:,,且恒成立，连结，由知，，令，则，①若，即，则，当且仅当，即时，；②若，即，设，则时，在上单调递增，所以，当且仅当，即时，；综上可知：【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积的最值问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
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2020年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数学（理） 试 题本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且 2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2020年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：X1y2y总计1xa 10 10a +2xc 30 30c +总计 6040100注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=o ，且13A A =，则1A C 的长为( )A ．5B ．22C ．14D ．1710．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ． 833D ．163311．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30o，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233； ④该曲线的离心率为33． 其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．总体由编号为01,02,,19,20L 的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114．已知向量(1,2,1)a =-r ，(2,2,0)b =-r，则a r 在b r 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第ΛΛ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：$$2;s bn a s bn a =+=+$$$$①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 参考公式：线性回归方程为$$y bxa =+$，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$， 相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑；参考数值：7 2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑，621()43ii w w =-≈∑，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若5AP =AP 与BC 5A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程； （Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科）参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 2- 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞U ，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞U ，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3U . ……10分18.（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C ¹解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =，5cos 5C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin B =，由正弦定理得223c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分1377.950.993758828256r ∴==-≈-=-，2830.9658643256r ==-≈-⨯ ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b-==-$，则$503462as bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362sn =-+$ ………7分 结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分s 56 53 50P14 12 14∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC I 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin3OD CD π==故(0,3,0)A -，B ，(0,1,0)C，(D ………6分设(0,,)(0)P y z z >由AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+u u u r(BC =u u u r由cos ,AP BC <>=u u u r u u u r5=② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴AB =u u u r，(1,1)BP =-u u u r，(BC =u u u r设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =u r由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g即11111300y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取11y =-得11,2)n =-u r………10分同理可得BCP的一个法向量为2n =u u r………11分∴121212cos ,n n n n n n <>===u r u u ru r u u r g u r u u r g 故钝二面角A BP C --的余弦值为………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b+=，2222221x y a b +=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-； (2)分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m --==++,且0∆>恒成立， ………7分连结OB ，由OA OC =知2ABC AOB S S =V V ，2211222221ABCab m S OF y y a b m +∴=⋅-=+V ，………9分令21m t +=，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m t t S a b t b t b t t=-≥∴===+-++V ， ①若11b ≥，即12a <≤，则221221b t b a t+≥=-，当且仅当1t b =，即2221a m a -=±-时，2max ()()1ABC S a S a a ∆==-； ……… 10分②若101b <<，即2a >，设21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：221,12()2(1), 2 a a a S a a a a ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩ (12)分。