专题五 方案设计问题

所以可以采用的方案：
A种产品2件，B种产品8件； A种产品3件，B种产品7件； A种产品4件，B种产品6件； A种产品5件，B种产品5件； A种产品6件，B种产品4件； A种产品7件，B种产品3件.共6种方案；
(3)由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当A种产品
生产2件，B种产品生产8件时可获得最大利润，其最大利润为
2
购进A,B两种树苗所需费用为 80x+60(17-x)=20x+1 020, 则费用最省需x取最小整数9，此时17-x=8,
这时所需费用为80×9+60×8=1 200(元).
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵. 这时所
需费用为1 200元.
4.(2012·嘉兴中考)某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，
专题五
方案设计问题
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方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多， 不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等.方案设计 型题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决 问题的要求，要求学生运用学过的知识和方法，进行设计和操 作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要 求判断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少 元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
【解析】(1)∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每
辆车的日租金为400元时，可全部租出；
当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；
∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1 400元， ∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为1 400-50x. (2)根据题意得出： y=x(-50x+1 400)-4 800， =-50x2+1 400x-4 800， =-50(x-14)2+5 000．
△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下 面给出的图中画出4个这样的△DEF.
【思路点拨】确定一条直线为对称轴，然后再画出△DEF，使
其与△ABC关于这条直线成轴对称. 【自主解答】答案不惟一，如图所示：
【对点训练】
5.(2010·温州中考)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它 可以拼出多种图形.请你用七巧板中标号为①，②，③的三块 板(如图1)经过平移、旋转拼成图形． (1)拼成矩形，在图2中画出示意图； (2)拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图． 注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小 方格顶点上．
方案三：297×4 000+99×15 000=2 673 000(元)
因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2 673 000元．
【对点训练】
1.(2012·资阳中考)为了解决农民工子女就近入学问题，我市 第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八 万元用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与 办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16 000元， 但不超过24 000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元， 用2 000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．(课桌凳
【解析】(1)设生产A种产品x件， 则生产B种产品(10-x)件， 则x×1+(10-x)×3=14，解得x=8， 所以应生产A种产品8件，B种产品2件. (2)设应生产A种产品x件， 则生产B种产品(10-x)件，
2x 5 10 x 44, 由题意有 解得2≤x＜8； x 3 10 x ＞14,
当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租
金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y 元．(日收益=日租金收入-平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元(用含
x的代数式表示)；
3.与几何图形有关的方案设计，一般是利用几何图形的性
质，设计出符合某种要求和特点的图案.
方程、不等式方案设计 【技法点拨】
方程、不等式方案设计的主要步骤
(1)利用方程、不等式建立相应的数学模型； (2)列出方程(组)或不等式(组)； (3)通过解方程(组)或不等式(组)，确定未知数的值； (4)确定方案.
地到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨.
(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式; (3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【思路点拨】
【自主解答】(1)
(2)由题意，得 W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1), 整理得,W=5x+1 275.
【解析】(1)，(2)参考图形如下(答案不惟一).
6.(2011·长春中考)在正方形网格图①、图②中各画一个等腰
三角形.要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点
从格点B，C，D，E，F，G，H中选取，并且所画的两个三角形
不全等．
【解析】以下答案仅供参考(答案不惟一).
∵a为正整数， ∴a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案： 方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块； 方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块； 方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块． (3)购买笔记本电脑和电子白板的总费用为： 方案一：295×4 000+101×15 000=2 695 000(元) 方案二：296×4 000+100×15 000=2 684 000(元)
答：购买1块电子白板需要15 000元，一台笔记本电脑需要 4 000元．
(2)设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，
由题意得：
396 a 3a， 15 000a 4 000 396 a 2 700 000， 解得：99 a 101 5 . 11
(3)上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少
钱？
【思路点拨】
(3)根据(2)中的方案算出每个方案的费用，求出结果.
【自主解答】(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑 需要y元，由题意得：
x 3y 3 000, 4x 5y 80 000，
解得
x 15 000， y 4 000.
【对点训练】 3.(2012·益阳中考)为响应市政府“创建国家森林城市”的号 召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵 80元，B种树苗每棵60元． (1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树
苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种
费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【解析】(1)设购进A种树苗x 棵， 则购进B种树苗(17-x)棵， 根据题意得：80x+60(17-x)=1 220,
解得x=10，∴17-x=7.
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵.
(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17-x)棵，根据题意 得：17-x<x,解得 x 8 1 .
【例1】(2012·广安中考)某学校为了改善办学条件，计划购 置一批电子白板和一批笔记本电脑.经投标，购买1块电子白板 比买3台笔记本电脑多3 000元，购买4块电子白板和5台笔记本
电脑共需8万元.
(1)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ (2)根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数 为396，要求购买的资金不超过2 700 000元，并且购买笔记本 电脑的台数不超过电子白板数量的3倍.该校有哪几种购买方案？
2×1+8×3=26(万元).
函数方案设计 【技法点拨】 函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确定函 数关系式.利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法.解决 此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键是熟悉函数
的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围.
【例2】(2012·德州中考)现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A， B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地 需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B
当x=14时，y有最大值5 000. ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5 000 元. (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0. 即-50(x-14)2+5 000=0，
解得x1=24，x2=4.
∵x=24不合题意，舍去. ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.
图形方案设计
【技法点拨】 方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关知 识，建立相应的数学模型，利用列方程(组)和不等式(组)，通过 有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，再结合题
目要求，确定未知数的具体数值.未知数有几个值，即有几种方
案.
【例3】(2010·枣庄中考)在3×3的正方形格点图中，有格点
和办公桌椅均成套购进)
(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ (2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．
【解析】(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元和
y元，得
y x 80， 解得， x 120， 10x 4y 2 000， y 200，
∵m为整数，∴m=22,23,24，有三种购买方案.
2.(2011·湛江中考)某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其 生产成本和利润如下表：
(1)若工厂计划获利14万元，问A,B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元， 问工厂有哪几种生产方案？ (3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利 润．
(3)∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
x 0, 14 x 0, ∴ 15 x 0, 解不等式组，得1≤x≤14, x 1 0,
在W=5x+1 275中，W随x的增大而增大, ∴当x最小为1时，W有最小值1 280元. ∴当A运往甲地蔬菜为1吨，运往乙地蔬菜为13吨；B运往甲地 蔬菜为14吨，运往乙地蔬菜为0吨时，运费最少，为1 280元.
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元和200元.
(2)设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意
有16 000 80 000 120 20m 200m，
80 000 120 20m 200m 24 000， 解得， 7 m 24 8 . 21 13 13
与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计.
方案设计问题常见类型： 1.解决与方程、不等式有关的方案设计题目，通常利用方 程或不等式求出符合题意的方案； 2.与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题 的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最 大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；