第十二章 常系数微分方程组的解法
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
高等数学第十二章第六讲 常系数齐次线性微分方程
特征根: r1 , r 2
(1) 当 r1 r 2 时, 通解为 y C 1 e
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 r1 r 2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x ) e
r1 x
(3) 当 r1, 2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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第十二章
2 p 3. 当 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 则微分
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
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第十二章
2 p 2. 当 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
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第十二章
.
例1 求方程 y 3 y 2 y 0 的通解.
2 r 解: 特征方程 3 r 2 0, 特征根: r 1 , r 2 ,
1 2
因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 4r 1 0
2
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
常系数微分方程通解
广东省佛山市高三毕业班语文综合测试（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2020高三上·芜湖期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。
宜兴手工紫砂陶技艺是指分布于江苏省宜兴市丁蜀镇的一种民间传统制陶技艺，迄今已有600年以上的历史。
紫砂陶制作技艺，每件紫砂陶制品都是以特产于宜兴的一种具有特殊团粒结构和双重气孔结构的紫砂泥料为原料，采用百种以上的自制工具，经过的步骤制作完成的。
用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
紫砂器内外一般均不施釉，以纯天然质地和肌理为美。
作为上品茶具，（），因此紫砂器与中国传统的茶文化相契合，成为茶文化的重要组成部分。
代表性的陶刻是由诗文、金石、书画等艺术与紫砂制作技艺完美结合而成的，符合中华民族传统的审美标准，尤与文人阶层的审美情趣相___________。
但由于紫砂制陶的原料是一种稀缺矿产资源，目前已被过度开发和滥用，加之紫砂制陶精品越来越少，如何这一优秀的民间手工技艺已成为一个亟待解决的课题。
（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 独一无二繁冗融合传承B . 独占鳌头繁冗契合继承C . 独占鳌头繁复融合继承D . 独一无二繁复契合传承（2）下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A . 有良好的透气性，能使人尽享茶之色香味B . 其良好的透气性能使人尽享茶之色香味C . 其透气性良好，茶之色香味能使人尽享D . 它能使人尽享茶之色香味，透气性良好（3）文中画线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 宜兴紫砂陶用这种技艺制作的成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
B . 用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
2.2线性常系数微分方程的解法
16
dnx d n 1 x dx （1） a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3）
类似地，假设方程（3）的其他根 2 , 3 ,m 的重数依次为 k2 , k3 ,km ;
2.2常系数线性方程的解法
在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法， 但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，
可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数
齐次方程通解的解法。
1
一
复值函数
如果 (t ) 和 (t ) 是区间(a,b)上定义的实函数， 称 z (t ) (t ) i (t )为该区间上(a,b)的复值函数 . 1 连续 如果实函数 (t ) 和 (t ) 在区间(a,b)上 连续,
3
3
欧拉公式
1) 复指函数与欧拉公式
e t e( i )t e t ei t
2 3 ( i t ) ( i t ) 其中 e 1 i t 2! 3! ( t ) 2 ( t ) 4 ( t )3 ( t )5 [1 ] i[ t ] 2! 4! 3! 5! i t e cos t i sin t cos t i sin t
15
dnx d n 1 x dx （ 1 ） a a a x 0 1 n 1 n dt n dt n1 dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3） 1t （2）若 1 0 ,作变换 x ye ,代入方程： n n d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n bn y)e1t L1[ y ]e1t （6） dt dt n n 1 d y d y dy L1[ y ] n b1 n 1 bn1 bn y 0 （7） dt dt dt 特征方程： G( ) n b1 n1 bn1 bn 0（8）
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程的求解
2(#
,(#
.
! 11（+））］*（$&1"）+那么右端为：5*（4（+））%［0（+）./0"+&1（+）012"+］*$+所以#%%&1"， 32+.(2 2(#
%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
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%（7’./0!+&7!012!+）*+&’+,［!（(+&’）./0!+&（$+&)）012!+］*+。
（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法
常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。
例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。
矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。
更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。
例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。
然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。
矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。
用复变函数方法求解常系数线性微分方程组
用复变函数方法求解常系数线性微分方程组
复变函数法是求解常系数线性微分方程组的一种有效的数值解法。
它可以将常系数线性微分方程组转换为求解一个复变函数集合的纯算法问题，从而较容易求解它们。
复变函数法的基本思想是将所有微分方程均转换为复变函数的基本微分方程，使得问题的解可以以满足复变函数的形式存在。
因此，当我们处理常系数线性微分方程组时，可以将微分方程组表述为复变函数的集合，从而获得解的形式。
然后，可以采用拟合的方法计算所得复变函数的参数，以解决问题。
因此，复变函数法是常系数线性微分方程组的有效解决方案。
它可以以简单而有效的步骤解决问题，从而获得有效的近似解。
综上所述，复变函数法是一种高效的数值算法，可用于求解常系数线性微分方程组。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
(整理)常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients LinearAbstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysisand synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficientmethod前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。
它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。
本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。
1．预备知识 复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ϕψ=+与它对应，其中()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，i =是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ，()t ψ当t 趋于0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义()()()0lim lim lim t t t t t t z t t i t ϕψ---=+.如果()()00lim t t z t z t -=，我们就称()z t 在0t 连续.显然，()z t 在0t 连续相当于()t ϕ，()t ψ在0t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a tb ≤≤上连续.如果极限()()000limt t z t z t t t ---存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为()0dz t dt或者()'0z t ，显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ，()t ψ在0t 处有导数，且()()()000dz t d t d t i dt dt dtϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.设()1z t ，()2z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，容易验证下列等式成立：()()()()1212dz t dz t dz t z t dt dt dt +=+⎡⎤⎣⎦，()()11dz t d cz t c dt dt⎡⎤=⎣⎦， ()()()()()()122211dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt⎡⎤•=•+⎣⎦. 在讨论常系数线性微分方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 时复值常数.我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
常系数微分方程组的解法
将高阶线性微分方程转化为幂级数形式，然后通过幂 级数的性质求解方程。
高阶非线性微分方程的解法
分离变量法
将非线性微分方程转化为多个一阶微分方程 ，然后分别求解。
迭代法
通过迭代公式逐步逼近非线性微分方程的解。
数值解法
利用数值计算方法求解非线性微分方程的近 似解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
05
解决微分方程组对于理解复杂系统的 行为和预测未来发展趋势具有重要意 义。
常系数微分方程组的定义
常系数微分方程组是指方程中的系数 为常数的一类微分方程组。
常系数微分方程组的一般形式为 dy/dx = f(x, y)，其中 f(x, y) 是已知 的函数。
02
线性常系数微分方程组的解法
特征根法
总结词
神经传导
在神经传导过程中，微分方程组可以用来描述神 经信号的传递速度和传导通路的建立。
生态系统的稳定性
微分方程组可以用来分析生态系统的稳定性，如 物种之间的相互作用和生态平衡的维持。
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特征根法是一种通过解方程的特征方程来求解线性常系数微 分方程组的方法。
详细描述
特征根法的基本思想是，对于形如$y'' + py' + qy = 0$的一阶 线性常系数微分方程，通过求解其特征方程$lambda^2 + plambda + q = 0$，得到其特征根$lambda_1$和 $lambda_2$，然后利用这些特征根来求解原微分方程。
线性微分方程的方法。
02
通过将多个变量分离，可以将一个复杂的微分方程组
分解为多个简单的微分方程，从而简化求解过程。
03
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。
解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。
一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。
它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。
代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。
解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。
根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。
2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。
常系数微分方程
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keys (1)前言 (1)1. 定积分的定义 (1)2. 定积分的基本性质 (2)3. 定积分的应用 (2)3.1用定积分求平面图形的面积 (3)3.2定积分在物理中的某些应用 (5)参考文献 (7)常系数微分方程的解法姓名：XXX 学号：XXXX数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：XXXX 职称：副教授摘 要：本文主要介绍了解常系数微分方程的三种解法:1,欧拉待定指数函数法；2，比较系数法；3，拉普拉斯变换法.而每一种方法后面又列举一些例子,进一步巩固了这三种算法.最后又列举了常微分方程在实际生活中的应用. 关键词：齐次线性微分方程;非齐次线性微分方程;特征方程,拉普拉斯变换法.The solution of differential equation with constant coefficientsAbstract: This article mainly introduced three solution of differential equation with constant coefficients:one,the method of undetermined Euler index function;two,The method of compared coefficients;three, the method of Laplace transformation.However,we take some examples behind every method to consolidate them.Finally,we also list the application of differential equation with constant coefficients in life.Key Words:the homogeneous linear differential equation;the nonhomogeneous linear differential equation;the characteristic equation; the method of Laplace transformation前言 本文介绍能够彻底解决的一类方程——常系数线性方程及可以化为这一类的方程的求解问题.求得常系数线性微分方程的通解,只须解一个代数方程而不必通过积分运算.对于某些特殊的非其次线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解.我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性1.常系数齐次线性微分方程的解法 1.1齐次线性微分方程方程有如下形状1111[]0n n n n n n d x d x dL x a a x a x dt dtdt---≡++++=, （1.1） 其中1a ,2a ,,n a 为常数.我们称（1.1）为n 阶常系数齐次线性微分方程.1.2 特征方程1111[]n t n tttt n n n n d e d e d L e a a e a e dt dt dtλλλλλ---=++++ 111()()n n t t n n a a a e F e λλλλλλ--=++++≡,其中111()n n n n F a a a λλλλ--=++++是λ的n 次多项式.我们称111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=, （1.2）是方程（1.1）的特征方程.它的根λ就称为特征根. 1.3欧拉待定指数函数法它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程的解法.按照线性方程的一般理论,为了求方程（1.1）的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求（1.1）的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称特征根法）.回顾一阶常系数齐次线性微分方程0dxax dt+=. 我们知道它有形如at x e -=的解,且它的通解就是at x ce -=.这启示我们对于方程（1.1）也去试求指数函数形式的解t x e λ= , （1.3）其中λ是待定常数,可以是实的,也可以是复的. 1.31特征根是单根的情形 设1λ,2λ,,n λ是特征方程（1.2）的几个彼此不相等的根,则相应地方程（1.1）有如下几个解:1t e λ,2t e λ,,n teλ. (1.4)1212121211112()n n nt tt tt tn tt tn n n n e e e e e e w t e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=1212()11112111n n n n n ne λλλλλλλλλ+++---=1()ijj i nλλ≤≤≤=-∏.由于假设i j λλ≠,故()0w t ≠.从而解组（1.4）线性无关.如果i λ(1,2,,)i n =均为实数,则（1.4）是方程（1.1）的n 个线性无关的实数解.而方程（1.1）的通解可表示为:1212n t t t n x c e c e c e λλλ=+++,其中1c ,2c ,,n c 为任意常数.如果i λ为复根,则因方程的系数是实常数,复数将成对共轭出现.设1i λαβ=+是一特征根,则1i λαβ=-也是一特征根,从而方程（1.1）有两个复值解:1(cos sin )i t e e t i t λαβαββ=+=+, 1(cos sin )i t e e t i t λαβαββ=-=-.例 1 求方程440d xx dt-=通解.解 特征方程410λ-=的根为11λ=,21λ=-,3i λ=,4i λ=-.有两个实根和两个复根,均为单根,故方程的通解为1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++,这里1c ,234,,c c c 为任意常数.1.32特征根是重根的情形 设特征方程有k 重根1λλ=,则'(1)111()()()0k F F F λλλ-====, ()1()0k F λ≠.设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是110n n n k a a a --+===,即特征方程的形状为110n n k n k a a λλλ--+++=.而对应的方程（1.1）变为1110n n k n kn n kd x d xd xa a dt dtdt ---+++=. 从而方程的k 个解为211,,,,k t t t -.设10λ≠时,我们做变量变换1tx ye λ=即 1()()t m x ye λ=1()(1)2(2)111(1)[]2!t m m m m m m e y m y y y λλλλ---=++++,从而 111111[]()[]n n t t tn n n d y d yL ye b b y e L y e dt dtλλλ--=+++=,则积分方程（1.1）可化为 1111[]0n n n n n d y d yL y b b y dt dt--=+++=. （1.5）其中12,,n b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++=. （1.6）直接计算易得11()()1()[]t t F e L e μλμλμλ+++=11()1[]()t t t L e e G e λμλμμ+==, 因此 1()()F G μλμ+=, 从而 ()()1()()j j F Gμλμ+=, 1,2,.j k =可见（1.2）的根1λλ=对应于（1.6）的根10μμ==,而且重数相同,这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.例 3 求方程3232330d x d x dxx dt dt dt-+-=的通解.解 特征方程323310λλλ-+-=,,或3(1)0λ-=,即1λ=是三重根,因此方程的通解具有形状2123()t x c c t c t e =++,其中123,,c c c 为任意常数.例 4 求解方程424220d x d xx dt dt++=.解 特征方程为42210λλ++=,即特征根是i λ=±重根,因此,方程有四个实值解为cos ,cos ,sin ,sin ,t t t t t t 故通解为1234()cos ()sin ,c c t t c c t t +++其中1234,,,c c c c 为任意常数.2.常系数非齐次线性微分方程的解法2.1 非齐次线性微分方程有形状1111[]()n n n n n n d x d x dL x a a x a x f t dt dtdt---≡++++=. (2.1) 的方程称为非齐次线性微分方程. 2.2 比较系数法 类型I设1011()()m m t m m f t b t bt b t b e λ--=++++,其中λ及i b (0,1,)i m =实常数,那么方程（2.1）有形如1011()k m m t m m x t B t Bt B t B e λ--=++++ （2.2）特解,其中k 为特征方程()0F λ=的根λ的重数,而01,m B B B 是待定常数,可以通过比较系数来确定.2.21 当0λ=时,则1011()m m m m f t b t bt b t b --=++++.现在再分两种情况讨论.(a ) 当0λ=不是特征根时,即(0)0F ≠,因而0n a ≠,这时取0k =,以1011m m m m x B t Bt B t B --=++++代入方程(2.1)并比较的同次幂系数,得到常数01,m B B B必须满足的方程001011n n n m n mB a b B a mB a b B a b -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ (2.3) 注意到0n a ≠,这些待定常数01,m B B B 可以从方程组唯一地逐个确定出来.例 4 求方程222331d x dxx t dt dt--=+的通解.解 先求对应的齐次线性微分方程22230d x dxx dt dt--=的通解.这里特征方程2230λλ--=有两个根13λ=,21λ=-.因此 312t t x c e c e -=+,其中12,c c 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里()31f t t =+,0λ=又因为0λ=不是特征根,故可取特解形如x A Bt =+,其中,A B 为待定常数,为了确定,A B ,将x A Bt =+代入原方程,得到23331B A Bt t ---=+,比较系数得,33,231B B A -=⎧⎨--=⎩ 因此得1B =-,13A =从而13x t =-.因此,原方程的通解为 31213t t x c e c e t -=+-+(b ) 当0λ=是k 重特征根时,有'(1)(0)(0)(0)0k F F F -====,且()(0)0k F ≠,即 110n n n k a a a ---====,且 0n k a -≠.则方程(2.1)将变为111()n n k n kn n kd x d xd xa a f t dt dtdt ---+++=. (2.4) 令k k d xz dt=,则方程(2.4)可化为 111()n k n k n k n k n k d z d za a z f t dt dt-------+++=， (2.5)即特解为1011m m m m z B t Bt B t B --=++++.故方程(2.4)有特解x 满足1011k m m m m k d xz B t B t B t B dt--==++++.则它的一个特解为101()k m m m x t t t γγγ-=+++,这里01,,,m γγγ是已确定的常数.2.22 当0λ≠时,则做变量变换1t x ye λ=,将方程(2.1)化为11101n n m n n m n n d y d ydyA A A y b t b dt dtdt---++++=++,其中11,,n n A A A -都是常数.特征方程(1.2)的根对应于方程(2.6)的特征方程的零根,且重数也相同.因此,我们得到以下结论:在λ不是特征方程(1.2)的根时,方程(2.6)有特解1011m m m m y B t Bt B t B --=++++,从而方程(2.1)有特解1011()m m t m m x B t Bt B t B e λ--=++++；在λ是特征方程(1.2)的k 重根时, 方程(2.6)有特解1011()k m m m m y t B t Bt B t B --=++++,从而方程(2.1)有特解1011()k m m t m m x t B t Bt B t B e λ--=++++..例 5 323233(5)t d x d x dxx e t dt dt dt-+++=-解 特征方程323331(1)0λλλλ+++=+=有三重根1,2,31λ=-,对应齐次方程的通解为2123()t x c c t c t e -=++,且方程有形状为3()t x t A Bt e -=+的特解,将它带入方程得 (624)(5t t A Bt e e t --+=-, 比较系数求得56A =-,124B =.从而31(20)24t x t t e -=-.故方程的通解为 231231()(20)24tt x c c t c t e t t e --=+++-, 其中123,,c c c 为任意常数. 类型II设 ()[()cos ()sin ]t f t A t t B t t e αββ=+,其中,αβ为常数,而(),()A t B t 是带实系数t 的多项式,其中一个的次数为m ,而另一个的次数不超过m ,那么我们有如下结论:方程(2.1)有形如[()cos ()sin ]k t x t P t t Q t t e αββ=+ (2.6)特解,这里k 为特征方程()0F λ=的根i αβ+的重数,而(),()P t Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式.事实上,回顾一下类型I 的讨论过程,当λ是复数时,有关结论仍然成立.现将()f t 表为指数形式()()()()()()()22i i A t iB t A t iB t f t e e αβαβ+--+=+. 根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程()1()()()()2i A t iB t L x f t e αβ-+=≡与()2()()()()2i A t iB t L x f t e αβ+-=≡的解之和必为方程(2.1)的解.例 6 求方程2244cos 2d x dxx t dt dt++=的通解.解 特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-,因此,齐次线性微分方程的通解为 212(),t x c c t e -=+ 其中12,c c 为任意常数.因为2i ±不是特征根,我们求形如cos 2sin 2x A t B t =+的特解,将其带入原方程并化简得到 8c o s 28s i n 2c oB t A t t -= 比较同类项系数得10,,8A B ==从而1sin 28x t =,因此原方程的通解为2121()sin 2.8t x c c t e t -=++2.3 拉普拉斯变换法设函数()f t 在区间[0,)+∞上有定义,如果含参变量s 的无穷积分0()lim ()st T stT e f t dt ef t dt +∞--→∞=⎰⎰, 对的某一取值范围是收敛的,则称0()()stF s e f t dt +∞-=⎰ （2.7）为函数()f t 的拉普拉斯变换, ()f t 称为原函数, ()F s 称为象函数,并且记为[()]()f t F s ζ=.定理 1 如果函数()f t 在区间[0,)+∞上逐段连续,且存在数0,M >00,s ≥使得对于一切0,t ≥有0|()|,s t f t Me <则当0s s >时, ()F s 存在.为了使用拉普拉斯变换来求解初值问题,还需要知道他的几个性质:2.31 线性性质.设函数满足定理1的条件,则在他们的象函数的定义域的共同部分上,有11221122[()()][()][()]C f t C f t C f t C f t ζζζ+=+,其中12,C C 是任意常数.2.32 原函数的微分性质. 如果'"()(),(),,()n f t f t f t 均满足定理1的条件,则'[()][()](0)f t s f t f ζζ=-，或更为一般地,有()12'(1)[()][()](0)(0)(0).n n n n n f t s f t s f s f f ζζ---=---2.33 象函数的微分性质如果[()]()f t F s ζ=,则0()(1)()[()]n st d F s te f t dt tf t dsζ+∞-=--=-⎰ 或一般地,有0()(1)()(1)[()]n n n st n nn d F s t e f t dt t f t dsζ+∞-=--=-⎰. 2.34 如果()[()]F s f t ζ=,则[()]()at e f t F s a ζ=-.例 7 解方程"4sin 5cos2;x x t t -=+ '(0)1,(0) 2.x x =-=- 解 对于方程两端同时进行拉普拉斯变换,得到22245()2(),14ss X s s X s s s ++-=+++ 22245()(1)2,14sX s s s s s -=+--++或222222452(),(1)(1)(4)(1)11s s X s s s s s s s =+--+-+--- 由于2222422(1)(1)11s s s s =-+--+,22225(4)(1)14s s ss s s s =-+--+,故222222222()111411s s s X s s s s s s s =-+----+-+-- 22214s s s =--++.最后可得()2s i n c o sx t t t =-- 例 8 解方程"''4290;(0)0,15.y y y y y ++===解 由于"'[429]0,y y y ζ++= 2()154()29()0s Y s Y s s Y s -++=,即 222155()3429(2)5Y s s s s ==++++, 最后得到2()3sin5t y t e t -=.2.3 常数变异法 设12(),(),()n x t x t x t 是方程(1.1)的基本解组,因而"1cos x x t+=1122()()(),n n x c x t c x t c x t =+++(2.8)为(1.1)的通解.我们把其中任意常数i c 看作t 的待定函数()i c t (1,2,)i n =.这时(2.8)变为1122()()()()()(),n n x c t x t c t x t c t x t =+++ (2.9)将其带入方程(2.1)就得到12(),()()n c t c t c t 必须满足的一个方程,进而对方程进行直到n 阶的微分方程.即''''1122()()()()()(),n n x c t x t c t x t c t x t =+++ 1122"()"()()"()()"(),n n x c t x t c t x t c t x t =+++()()()()1122()()()()()(),n n n n n n x c t x t c t x t c t x t =+++将'"(),,,n x x x 代入方程(2.1)中,得到'(1)'(1)'(1)1122()()()()()()().n n n n n f t c t x t c t x t c t x t ---=+++假设我们求得'()()i c t t ϕ=,(1,2,)i n =积分得()()i i i f t c t dt ϕγ==+⎰,(1,2,)i n =这里i γ是任意常数.将所得()i c t (1,2,)i n =的表达式代入(2.9),记得方程的解11()()().n ni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰结束语本文主要介绍了解常微分方程的三种解法,并通过一些实例进一步验证了这些方法.参考文献：[1]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,1982.。
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１． 从方程组中消去一些未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy (1) dx 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法
解得特征根为
r1, 2
1 5 , r3,4 i 2
5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C2e t C3 cos t C4 sint e t .
将(６)代入(３)得
(６)
x 3C1e t 3C2e t 3C3 cos t 3C4 sint 2e t .
(5)
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x . (6) 再把(5)代入(3)式, 得 2
原方程组的通解为
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x 2 , z (C C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系．
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3 t C4 sin t 2e t t t y C1e C 2e C 3 cos t C4 sin t e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz 2 , 两边求导得， dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y e t ,
( D4 D2 1) y De t .
4 2 t
(３)
(４)
(５)
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0
例如， y
(n)
a1 y ( n1) an1 y an y f ( x )
n 1
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 an1 D an 是 D 的多项式
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy x et dt 2 dt 例2 解微分方程组 d 2 y dx dt 2 dt y 0. d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) ( D 1) x Dy e 2 (２) Dx ( D 1) y 0