第十二章 常系数微分方程组的解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy x et dt 2 dt 例2 解微分方程组 d 2 y dx dt 2 dt y 0. d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) ( D 1) x Dy e 2 (２) Dx ( D 1) y 0
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系．
解得特征根为
r1, 2Байду номын сангаас
1 5 , r3,4 i 2
5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C2e t C3 cos t C4 sint e t .
将(６)代入(３)得
(６)
x 3C1e t 3C2e t 3C3 cos t 3C4 sint 2e t .
(5)
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x . (6) 再把(5)代入(3)式, 得 2
原方程组的通解为
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x 2 , z (C C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y e t ,
( D4 D2 1) y De t .
4 2 t
(３)
(４)
(５)
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0
步骤:
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy (1) dx 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz 2 , 两边求导得， dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3 t C4 sin t 2e t t t y C1e C 2e C 3 cos t C4 sin t e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
例如， y
(n)
a1 y ( n1) an1 y an y f ( x )
n 1
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 an1 D an 是 D 的多项式
常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法
d 2 x dy x et dt 2 dt 例2 解微分方程组 d 2 y dx dt 2 dt y 0. d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) ( D 1) x Dy e 2 (２) Dx ( D 1) y 0
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系．
解得特征根为
r1, 2Байду номын сангаас
1 5 , r3,4 i 2
5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C2e t C3 cos t C4 sint e t .
将(６)代入(３)得
(６)
x 3C1e t 3C2e t 3C3 cos t 3C4 sint 2e t .
(5)
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x . (6) 再把(5)代入(3)式, 得 2
原方程组的通解为
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x 2 , z (C C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y e t ,
( D4 D2 1) y De t .
4 2 t
(３)
(４)
(５)
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0
步骤:
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy (1) dx 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz 2 , 两边求导得， dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3 t C4 sin t 2e t t t y C1e C 2e C 3 cos t C4 sin t e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
例如， y
(n)
a1 y ( n1) an1 y an y f ( x )
n 1
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 an1 D an 是 D 的多项式
常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法