初中数学几何专题-勾股定理与等腰三角形夹半角模型

勾股定理与等腰三角形夹半角模型（适合八下+九年级）

【模型入门】

（1）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明．

（2）将问中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明．

【简单应用】

1、如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 是BC 上的两点，且∠DAE ＝45°，若BD ＝6，EC ＝8，则DE ＝___________．

2、（2017武汉中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝

BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为__________．

3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝150°，点D 、E 在BC 边上，且∠DAE ＝75°，BD ＝DE ，若△ADE 的面

积为27

4

，则线段DE 的长为__________．

F

E C

B

A

A

B

C

E F

C B

A

E

D

E D C

B A

E

D C B A

【变式训练】

1、如图，B ，C 为△ADE 的边DE 上两点，∠DAE ＝135°，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，若BD ＝2，CE ＝3，则AB 的长 为 ．

2、若∠BAC ＝150°，D 、E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ．若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为___________.

【模型隐藏】 1、如图，在长方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝∠CEF ＝45°，若BE ＝3，DF ＝1，则EF 的长为__________．

2、在□ABCD 中，∠A ＝60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE ＝DF ，且∠EBF ＝60°，若AE ＝2，FC ＝3， 则EF 的长度为（ ）

A

B ．

C ．

D ．5

【模型隐藏】

1、如图，△AEF 中∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于G ，且GF ＝2，GE ＝3，求S △AEF .

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B C

D E F

F

E D C

B A

G F

E A

2、如图，∠AOB ＝45°，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，连OP ，C 是CP 上一点，OC ＝PC ，连BC 交OA 于D 点，若OD ＝4， AD ＝6，则PB 的值为__________．

3、如图，点D 在△ABC 的BC 边上，∠ABC ＝15°，∠ACB ＝37.5°，∠DAC ＝75°，CD ＝2，则线段BD 的长为__________．

【备选】

C

P B

O

D

A

D

C

B

A