(完整)福建省福州市2019届高三第三次(5月)质量检测数学(理)试题(wor版,图片答案)
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
分）
（3）因为 X ~ N(110,144) ，所以 110 ， 144 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
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，
消去
y
，整理得 k 2 x2
(2k 2
4)x k2
0 ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ，则
x1 +x2
2k 2 k2
4
=2+
4 k2
，
x1 x2
1，
|
MF
|
|
NF
|
(1
k2
)
|
x1
1|
|
x2
1|
=
(1
k2)
|
x1x2
(x1
x2
)
1|
=
4(1
1 k2
)
．因为
|
MF
(a, a
2) 的长度不小于
3T 4
（其中 T
为函数
f
(x) 的最小正周期），即 2
3 4
2π
，即
3π 4
，故选
A．
12．【答案】C
【解析】由 (a 1)x ln x b 2 0 ，得 ln x (a 1)x b 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则
直线 y (a 1)x b 2 与曲线 y ln x 相切，设切点为 P(t,ln t) ，则切线方程为 y ln t 1 (x t) ，即 t
5
5
∴ CD AC cosC 7 5 7 5 ，∴ BC 2CD 14 5 ，（3 分）
55
5
∴ BE2 BC2 EC2 2BC EC cosC 196 22 2 14 5 2 5 32 ，
2019年福建省高考理科数学试卷及答案【word版】
2019年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
试卷第1页，总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ，则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ，则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ，或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ，则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162，且2θπ0,，则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PAl ，A 为垂足．若直线AF的斜率为3，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数，h x 为奇函数，且满足2xg x h x．若存在11x，，使得不等式0m g x h x有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1AB x x =>-，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ．5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯．故选B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =，所以23n =±，又因为24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141xy =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ．10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n ++=++，则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
【全国百强校】福建省福州第三中学2019届高三5月模拟考试数学(理)试题word版含解析
【全国百强校】福建省福州第三中学2019届高三5月模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题）一、单选题1．设全集，则图中阴影表示的集合为( )A. {－1}B. {2}C. {3，4，5}D. {3，4}2．若{a n}为等比数列，且，则公比q＝( )A. B. C. D.3．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.4．已知函数的最小正周期为，为了得到函数.的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5．如图所示的程序框图，若输入的x∈[1,13]，则时，的取值范围为( )A. [7,55]B. [15,111]C. [31,223]D. [65,447]6．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF2的中点在y轴上，则|PF2|是|PF1|的( )A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍7．已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A. 10000立方尺B. 11000立方尺C. 12000立方尺D. 13000立方尺9．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种10．直线与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若，，（λ∈R），则λ=（）A. 2B.C. 3D. 511．过双曲线的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题13．若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为________.14．设变量、满足，若直线经过该可行域，则的最大值为 ．15．正三棱锥A-BCD 外接球半径为1， M 为AC 中点， AB MD ⊥， 123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的值是____________. 16．对于函数，若在定义域内存在．．实数，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是______ 三、解答题17．如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，，，．（1）若，求△DEF 的面积；（2）若，求的大小．18．若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字1,2,3,4,5,6．抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如9=32,9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A 发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019届福建省福州市高三3月质量检测数学(理)试题word版含解析
2019届福建省福州市高三3月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由题易得：∴对应的点为，在第二象限，故选：B2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样C. 按年龄段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大. 了解某地区的“微信健步走”活动情况，，按年龄分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B4．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意易得：，，故选：B5．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，且，若平面截球所得截面的面积为，则球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵AB⊥BC，平面截球所得截面的面积为，∴AC为截面ABC的直径，AC=6，∴PC=，∵PA⊥平面ABC，∴PC的中点为球O的球心，∴球O的半径r==5，∴球O的面积S=4πr2=．故选：D．6．函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】的定义域为，为偶函数，排除C；当x时，，排除B，D故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7．下面程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. “”和“输出”B. “”和“输出”C. “”和“输出”D. “”和“输出”【答案】D【解析】执行程序框图：，得到，判断不符合，∴“”排除A，B选项；，判断不符合，，判断不符合，，，判断符合，则“输出”故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )A. 90种B. 180种C. 270种D. 360种【答案】B【解析】第一步，为甲地选一名志愿者，有=6种选法；第二步，为乙地选一名志愿者，有=5种选法；第三步，为剩下两个展区各安排两个人，有种选法．故不同的安排方案共有6×5×6=180种．故选：B．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为组合体：上方为半个圆锥，下方为放倒的直四棱柱，∴该几何体的体积为：故选：C点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10．设函数，则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象，如图：等价于：或解得：或故选：C11．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线交于两点，交于点，直线交于点.若，且.则( )A. 1B. 3C. 3或9D. 1或9【答案】D【解析】连接BD，易知：BD轴，G为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BD|，|AF|=|AH|=3，∵，∴|BE|=2|BD|，∴∠BED=30°，故|AE|=2|AH|=6，∴,∴，交换A与B的位置，同理可得：故选：D12．已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则( )A. B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】直线,即，直线过定点，函数的图象与直线恰有三个公共点即直线与的图象相切于B，C两点，,,，且∴∴∴.故答案为：B点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，充分利用函数的中心对称性及相切的关系布列方程即可.二、填空题13．已知集合，，则集合中元素的个数为____________.【答案】6【解析】∵，，∴，∴∴集合中元素的个数为6.故答案为：614．在钝角三角形中，，，，则面积为____________.【答案】或【解析】当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=3，∴BD=，由勾股定理可得：AD==，∵BC=，∴由勾股定理得：CD==，∴AC=CD+AD=2，∴S=AC•BD=×2×=；△ABC当∠C为钝角时，如图2，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=3，∴BD=，∵BC=，∴由勾股定理得：CD==，AD==，∴AC=AD﹣DC=，=AC•BD=××=．∴S△ABC故答案为：或．15．设变量满足约束条件，则的取值范围为____________.【答案】【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过B时取到最小值，没有最大值。
2019年福州市质检理科数学试卷
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 326.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题 含答案
是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线 C : x2 − y2 = 1的右支与直线 39
x = 0 ， y = 4 ， y = −2 围成的曲边四边形 MABQ 绕 y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）. N , P 分别为
C 的渐近线与 y = 4 ，y = −2 的交点，曲边五边形 MNOPQ 绕 y 同旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅
y
满足约束条件
x
+
y
−1
0,
则
z
=
x
+
2
y
的最小值是（
）
y +1 0,
A． −5
B． −4
C． 0
D． 2
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积是（ ）
A． 8 2 3
B． 4 3
C．12
D．32 3
6．将函数
y
=
sin
2x
+
6
的图象向右平移
6
个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（
）
A．
12
,
0
B．
4
,
0
C．
3
,
0
D．
2
,
0
7．已知 a = 2 ， b = 5 5 ， c = 7 7 ，则（ ）
福建省福州市2019届高三第三次(5月)质量检测数学(理)试题(wor版,图片答案)
第6题福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理科注意事项:1.本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分;2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分在每小出的四个选项中只有一项是符合题目求的。
1.已知集合2={|230},{|11}M x x x N x x+-<=-≤≤，则=M N⋂( )A.{|31}x x-<≤ B. {|11}x x-≤< C. {|11}x x-<≤ D. {|31}x x-≤<2.已知复数z满足(z()34)25ii+=-，则|z|=( )B.C.3D.3.已知等比数列{}n a满足1,n na a+<且24320,8a a a+==，则数列{}na的前10项的和为( )A.1022B.1024C.2046D.20484.已知向量(2,1),(m,1)a b==-，且2),b a b⊥-（则m的值为( )A.1B.3C.1或3D.45.已知不等式组0208xy≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域为M，记直线4y x=与曲线3y x=在第一象限内围成的封闭图形为D.若随机从M内取一个点，则该点取自D内的概率为( )A.58B.12C.13D.146.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3+B. 3+C. 2D.2+7.执行如图所示的程序框图，若输人1a=时，运行输出的结果为m则4(1)mx-展式中第3项的系数为( )A.24B.6C.-6D.-248.已sin(026)()t tαπ+>＝，则2cos()3sin()26πααπ-+的取值范围是( )A.( 1.1]- B.0+∞（，） C.(,1)-∞, D.(,1]-∞第12题9.若，y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2y z x +=的取值范围为( ) A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.42][,)3(-∞-+∞， C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ D. 4]([2,)3-∞-+∞， 10.已知O 为坐标原点，过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作一条直线，与圆222=x y a +相切于点T ，与双曲线右支交于点P ，M 为线段FP ，则|MF||OM||TF |-=() A.4B.2D.2 11.数列{}n a ，满足*121111(1)(1)(1),n n n N a a a a ---=∈，记n b =，则数列{}n b 的最大项是( )A.8bB. 7bC.6bD. 5b12.如图所示，四边形ABCD 和BEFC 是两个边长为1的正方形，点P 是边BC 上的一个动点设CP ＝x ，函数)(.g x AP PF +=函数()f x 满足()1()f x x f =+ 且当1][0.x ∈时())(f x g x =，则函数()cos22y f x x π=+-在区间[0.3]内的零点之和为( )A.3B.5C.7D.9二填空题:本题共4小题每小题5分共20分13.已知函数()()2x x f -，则不等式(lg )0f x >的解集为 。
福州市2019届5月高三综合质量数学理科试题含答案(WORD版)
2019年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=,4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 20030X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2- （B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50 ()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．2019年福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--，(1,2,3)PC =--，33(,0,)22EC =--， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'ECODF BA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分） 13.3π14.2- 15.3 16.6 三．解答题（必考题每题12分，选考题每题10分）17.解：（1）易得λ=2a ，13+=λa ，λ24=a ..............................（2分） 1a ，2a ，4a 成等比数列4122a a a ⋅=∴，λλ212⋅=∴，2=∴λ或0=λ（舍去）2=∴λ..............................（4分）（2）方法一：2=λ ，121+=+∴+n a a n n ..............................（5分） n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++⋅⋅⋅++++=- )12(1173-+⋅⋅⋅+++=n22)123(22n n n n+=-+=..............................（8分） n 为奇数时，)()()(154321n n n a a a a a a a S ++⋅⋅⋅+++++=- )12(13951-+⋅⋅⋅++++=n22)121(212n n n n +=-++=..............................（11分） 综上，{}n a 的前n 项和.22nn S n +=..............................（12分） 方法二：2=λ ，121+=+∴+n a a n n由⎩⎨⎧+=++=++++3212211n a a n a a n n n n ，得，22=-+n n a a ..............................（6分）n 为奇数时，n n a a n =⋅-++=2)121(1..............................（8分） n 为偶数时，n na a n =⋅-+=2)12(2..............................（10分）n a n =∴..............................（11分）22nn S n +=∴..............................（12分）方法三：2=λ ，121+=+∴+n a a n n0)1(1=-++-∴+n a n a n n ..............................（7分）设n a b n n -=01=+∴+n n b bn n b b -=∴+1，0111=-=a b ，0=∴n b ，n a n =∴..............................（10分）22nn S n +=∴..............................（12分）18.解：（1） CD ∥平面PAB ，⊂CD 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD = CD ∴∥AB ..............................（1分） BC AB ⊥∴设E 为AB 边的中点，连结PE DE ,；CD AB 2= ，∴四边形BCDE 为平行四边形 DE AB ⊥∴..............................（2分） 又 PAB ∆为等边三角形PE AB ⊥∴..............................（3分） E PE DE =⊥∴AB 面PDE ..............................（4分） PD AB ⊥∴..............................（5分） （2） ⊥AB 面PDE ，⊂AB 平面ABCD ∴面⊥PDE 面ABCD在面PDE 中，作DE PF ⊥于点F ，∴⊥PF 平面ABCD ..............................（6分）以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴，方向为z 轴建立空间直角坐标系 如图所示. 则)0,2,2(A ，)0,2,0(B ，)0,0,1(D ，)23,21,1(P ........................（7分）则，)23,23,1(--=AP ，)0,2,1(= 设),,(z y x =为平面PAD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--0202323y x z y x ， 取)33,1,2(-=..............................（8分） 显然，)1,0,0(=为平面ABCD 的法向量..............................（9分）则，.4133433311433==++==..............................（11分） 因为二面角B AD P --显然为锐角，所以，二面角B AD P --的余弦值为.41..............................（12分）19.（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=， 满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，................（2分） 故所求概率为5551111600320=．..............................（3分） （2）0ξ=，1，2．..............................（4分）设事件A 为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件． 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2．则()()()()()()0110.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=；..............................（5分） ()()()()()()()()()()111P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=；..............................（6分）()()()()20.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯=．..............................（7分）ξ的分布列为................................................................................................................................................（8分）ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．..............................（9分）（3）13245D D D D D ηηηηη>>=>．..............................（12分）20.解：（1）设以AE 为直径的圆的圆心为O '，半径为r ，则r O O -='2， 由4)2(222=-+='+=+r r O O EA EB EA 所以，EA EB +为定值..................................（2分） 由AB EB EA >=+4................................（3分）所以，点E 的轨迹为以B A ,为焦点的椭圆，................................（4分） 则1,42==c a ，3222=-=∴c a b所以，点E 的轨迹方程为：.13422=+y x ................................（5分） （2）方法一：设1:-=my x l MN ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m 易得，.0>∆⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+∴439436221221m y y m m y y ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MNOMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11y y y y m y y m MN -++=-+=4336)436(12222+++⋅+=m m m m43)1(1222++=m m ..............................（8分） 又O 到l 的距离211md +=所以，d MN S OMN⋅=∆21431622++=m m ..............................（9分） 设t m =+21，则1≥t 所以，tt t t S OMN 1361362+=+=∆ 记,13)(tt t f +=)(t f 在[)+∞,1上递增，4)1()(min ==f t f ， 所以，OMN S ∆的最大值为2346=，即，DMN ∆的面积的最大值为.23.........................（12分）方法二：前面同法一21221214)(2121y y y y y y OA S OMN -+=-⋅=∆ 4336)436(21222+++=m m m 431622++=m m ...............................（9分） 下同法一.方法三：前面同法一由1:-=my x l MN ，则)1(:+-=x m y l PQ由⎩⎨⎧+-==+)1(422x m y y x ，消去y 得，042)1(2222=-+++m x m x m 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+∴12122212221m m y y m m x x ，则)1,1(222+-+-m m m m D 所以，点D 到l 的距离为112+m所以，d MN S DMN⋅=∆21431622++=m m 下同法一.方法四：前面同法一 点D 到l 的距离为222221111mm m OD OA DA +=+-=-=所以，DA MN S DMN⋅=∆21431622++=m m下同法一.方法五：当l 斜率存在时， 设)1(:+=x k y l MN ，.0≠k由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消去y 得， 01248)43(2222=-+++k x k x k 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴2221222143124438k k x x k k x x ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MN OMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11x x x x kx x k MN -++=-+=222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+-⋅+= 2243)1(12kk ++=..............................（8分） 又O 到l 的距离21kkd +=所以，d MN S OMN ⋅=∆21224316k k k +⋅+=..............................（9分） 设t k =+243，则.3>t所以，215)311(427)123(494)32(922222++-=+--=--=∆t t t t t t S OMN 因为,3110<<t 492<∴OMN S ，23<∴OMN S ，当l 斜率不存在时，易得，OMN S ∆23=，所以，OMN ∆的面积的最大值为.23即，DMN ∆的面积的最大值为.23........................（12分）21解：（1）a x x x f -+-='1ln )(.............................（1分） 设a x x x g -+-=1ln )(xxx x g -=-='111)(，令0)(='x g ，得1=x )1,0(∈x ，0)(>'x g ，)(x g 递增；),1(+∞∈x ，0)(<'x g ，)(x g 递减.a g x g -==∴)1()(max .............................（2分） ①当0≤-a ，即0≥a 时，0)(≤x g ，即0)(≤'x f ，所以，)(x f 递减，)(x f 无极值，不合题意，舍去...........（3分） ②当0>-a ，即0<a 时， 则0)1(>g101<<-a e ，01ln )(1111<-=-+-=----a a a a e a e e e g 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在)1,0(有唯一零点.1x .............................（4分）又 11>-ae，且a a a a e a a e e e g ------=-+-=1111)1(21ln )(设a e a a h ---=1)1(2)(，022)(1>->-='-e e a h a)(a h ∴在)0,(-∞上递增，02)0()(<-=<∴e h a h . 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在),1(+∞有唯一零点.2x .............................（5分） 从而，)(,0)(),,0(1x f x f x x <'∈递减； )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增； )(,0)(),,(2x f x f x x <'+∞∈递减；所以，21,x x x x ==为)(x f 的两个极值点，符合题意. 综上，).0,(-∞∈a .............................（6分） （2）方法一：不妨设2110x x <<<，a x x a x x x g --+-=-+---=-1)2ln(1)2()2ln()2(11111 0)(1='x f ，∴a x x =+-1ln 11， ∴22ln )2ln()2(1111-+--=-x x x x g记10,22ln )2ln()(<<-+--=x x x x x F ，0)2()1(22121)(2<--=+--='x x x x x x F ，)(x F ∴递减，0)1()(=>∴F x F所以，0)2(1>-x g ，即0)2(1>-'x f ，.............................（8分） )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增 ∴211210x x x <-<<<)()2(21x f x f <-∴.............................（9分） )2()()()(1121x f x f x f x f -+>+∴设10),2()()(<<-+=x x f x f x ϕ)2()()(x f x f x -'-'='ϕ[]a x x a x x -+-----+-=1)2()2ln()1(ln22)2ln(ln +---=x x x .............................（10分）0)2()1(22211)(2>---=---=''x x x x x x ϕ)(x ϕ'∴递增，0)1()(='<'ϕϕx)(x ϕ∴递减，02)1(2)1()(>-==>a f x ϕϕ .0)()(21>+∴x f x f .............................（12分）（2）方法二：不妨设2110x x <<<，)2121ln ()2121ln ()()(222221211121+--++--=+ax x x x ax x x x x f x f ......................（7分）由,0)(0)(21⎩⎨⎧='='x f x f 有,1ln 1ln 2211⎩⎨⎧=+-=+-a x x a x x .............................（8分）∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=+21)1(ln 21ln )()(111211121x x x x x x x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---+21)1(ln 21ln 2222222x x x x x x )2121()2121(222121+-++-=x x x x .............................（10分） .0)1(21)1(212221>-+-=x x .............................（12分） 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）曲线1C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，............................（1分） 即，0222=-+y y x由θρρsin ,222==+y y x ，得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=.........................（3分）曲线2C 的极坐标方程为θρ22sin 18+=8sin 222=+∴θρρ由y y x =+=θρρsin ,222，得曲线2C 的直角坐标方程为.14822=+y x ..................（5分） （2）设),(),,(αραρN M N Mααρρ222222sin 18)sin 2(++=+=+∴N M ON OM ............................（6分） 42843224sin 18)sin 1(4sin 18sin 42222-=-≥-+++=++=αααα............（8分）当且仅当12sin 2-=α时等号成立，............................（9分）所以，22ON OM +的最小值为.428-............................（10分） 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）方法一：原不等式等价于41212≥++-x x ............................（1分）①21≥x 时，原不等式化为：44≥x ，得，1≥x ............................（2分） ②2121<<-x 时，原不等式化为：42≥，得，∅∈x ............................（3分）③21-≤x 时，原不等式化为：44≥-x ，得，1-≤x ............................（4分） 综上：(][)+∞-∞-∈,11, x .............................（5分）方法二：设)1()()(++=x f x f x h ，则，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4)(x x x x x x h ............................（2分）作出)(x h y =的图像，............................（4分）由图像可得：(][)+∞-∞-∈,11, x ......................（5分）（2）方法一：)1()()1()(22222)(++⋅≥+=x f x f x f x f x g)1()(22++=x f x f121222++-=x x)12()12(22+--≥x x4222==............................（7分）当且仅当),1()(+=x f x f 且0)12)(12(≤+-x x ，即0=x 时，等号成立，................（9分） 故，()g x 的最小值为4.............................（10分）方法二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤+<<-+≥+=+=---+-+-+-21,222121,2221,2222)(1221122112121212x x x x g x x x x x x x x ............................（6分）①21≥x 时，)(x g 递增，5)21()(min ==g x g ；............................（7分）②2121<<-x 时，422222)(21221==⋅≥+-x x x g ，当且仅当0=x 等号成立，4)(min =∴x g ；............................（8分）③21-≤x 时，)(x g 递减，5)21()(min =-=g x g .............................（9分）综上，4)(min =x g ............................（10分）。
福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题
福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2|931A x x =-<，{}|2B y y =<，则()R C A B =I （ ） A ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．∅ C ．22,,233⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a = A ．99 B ．101 C ．2500 D ．4592⨯ 4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:)1D ．1:(3- 5．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( )A ．40B ．40C ．80D ．80- 6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是( )①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入m =10，则输出的S =（ ）A ．100B ．140C ．190D ．2508．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 9．将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( )A ．π18x =B ．π6x =C ．7π18x =D ．11π18x = 10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( ) A ．5 BC ．53D ．5411．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n =+-（*N n ∈），则22n nS n -的最小值为( )A ．2-B ．1-C ．23D ．312．若关于x 的不等式()210x ae x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为( )A ．241[,)32e e B ．391[,)42e e C ．391[,]42e e D ．3294[,)43e e 13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.14．椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，焦距为点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距），则C 的方程为__________. 15．已知点(,)P x y 满足14x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_________.16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球nO 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.17．如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且2BC =，DE =.（1）求B ；（2）求ABC △的面积.18．如图，在五面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值.19．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.20．已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()x f x e ->.21．某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤.若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η.(i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ|的最小值为2，求m 的值． 23．已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c ++++„； （2）1111222a b c+++++„.参考答案1．C【解析】【分析】先化简集合A ，求出R C A ，即可求出结果.【详解】 由题意得，2233A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则2233R C A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或， ∴()22,,233R C A B ⎛⎤⎡⎫=-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭I U . 故选:C .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可.【详解】 4312i z i +===- 故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.3．A【解析】依题意212d a a =-=5549a S S =-=50545945299a a d ∴=+=+⨯=故选A4．C【解析】【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.【详解】因为截面面积与底面面积之比为1:2,且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为1:故小棱锥与大棱锥的高比值也为故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为1:)1.故选：C【点睛】本题主要考查了立体几何中相似比的问题,需要注意高为一维的量,面积为二维的量,体积为三维的量,故若立体图形的相似比为1:a ,则高的比为1:a ,各面积的比为21:a ,体积比为31:a .属于基础题.5．C【解析】【分析】将()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 化为 ()525012521t a a t t a t a +=++++L ，利用展开式的通项求解即可.【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t + ∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【解析】【分析】根据图中条形统计图与折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】对①,由条状图可知, 中国雪场滑雪人数逐年增加正确.故①正确.对②, 2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加正确. 故②正确.对③,中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,但2018年同比增长率为0012.6,相比 2017年同比增长率为0015.9有所下降.故③错误.对④, 2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率为001970151030.51510-≈.故④错误. 故①②正确.故选：C【点睛】本题主要考查了根据图表分析所给结论是否正确的问题,需要注意图中的横纵坐标的意义,再进行判断分析.属于基础题.7．C【解析】由题意得，当输入m =10时，程序的功能是计算并输出S =12−12+222+32−12+422+⋯+92−12+1022．计算可得S =12(8+24+48+80)+12(4+16+36+64+100)=190．选C ． 8．B【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<， 所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===， 所以a b c <<，故选：B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9．D【解析】【分析】你根据三角函数图像平移求解()g x 的解析式,再求解对称轴逐个选项判断即可.【详解】易得()f x 周期为23π,故12周期为3π,故()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()g x 对称轴为53,32183k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈.当1k =时11π18x =满足条件. 故选：D【点睛】 本题主要考查了三角函数图像变换求解析式以及根据解析式判断对称轴的问题,属于基础题.【解析】 【分析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形, 如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.又O 到直线43200x y -+=的距离4d ==,所以228PF d ==,6PF ==,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率5ca=.故选：A 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.【解析】 【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系()11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,将2(1)n n Sa n n =+-转换为1,n n S S -的递推公式,继而构造数列求出n S ,再得到22n nS n -关于n 的表达式,进而根据函数的性质可得22n nS n -的增减性求解即可.【详解】由题,当2n ≥时, 12(1)n n n S S S n n -+--=,整理得112n n S S n n --=-,即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首 项,2为公差的等差数列.所以()12121nS n n n=+-=-,故22n S n n =-. 所以232232n nS n n n =--,令函数3223,1y x x x =-≥,则()266610y x x x x ='=--≥.故数列{}22n nS n -是一个递增数列,当1n =时,22nnSn -有最小值121-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系，构造函数求解递推公式与通项公式,并根据函数性质解决数列的最值问题.属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】将原不等式化简成()21xx ae x >+,设()2f x x =,()()1x g x a x e =+再分0a ≤与0a >两种情况,构造函数并分析函数的单调性与最值,再数形结合根据函数零点存在定理列出区间端点满足的不等式求解即可. 【详解】将原不等式化简可得()21xx ae x >+.设()2f x x =,()()1xg x a x e =+,则原不等式等价于()()f x g x >.若0a ≤,则当0x >时, ()0f x >,()0g x ≤,所以原不等式的解集中有无数个正整数解,不符合题意,所以0a >.因为()00f =,()00g a =>,所以()()00f g <. 当()()11f g ≤,即12a e≥时,设()()()()2h x f x g x x =-≥, 则()()()2'2222x xx e h x x a x ex e+=-+≤-. 设()()()2222x x e x x x eϕ+=-≥,则()()()35'2'22022x x e ex eϕϕ+=-≤=-<, 所以()x ϕ在[)2,+∞上为减函数,所以()()()2220x e ϕϕ≤=-<, 所以当2x ≥时, ()'0h x <,所以()h x 在[)2,+∞上为减函数,所以()()23243402eh x h ae ≤=-≤-<, 所以当2x ≥时,不等式()()f x g x <恒成立.所以原不等式的解集中没有正整数. 所以结合()(),f x g x 的函数图像可得,要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则()()()()()()112233f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩,即23124394ae ae ae >⎧⎪>⎨⎪≤⎩,解得329443a e e ≤<. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值,从而结合零点存在性定理分析零点存在,从而求得参数范围的问题.需要根据题意将原不等式分成两个函数,再求导分析函数的单调性,进而根据区间端点满足的不等式求解.属于难题. 13．6. 【解析】 【分析】求出2(32)a b -r r 即得解.【详解】由题意，向量,a b r r 的夹角为60,2,3a b ==or r ，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=o r r r r r r ，所以326a b -=r r.故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．22163x y +=【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系分析焦点12EF F V 中三边的关系,再根据椭圆的定义列出关于12EF F V 三边的等式求解即可.【详解】因为12EF EF ⊥,且直线1EF 的斜率为b c,根据斜率的定义可知,倾斜角的正切值21EF bEF c=,故根据比例关系有2112:::::EF EF F F b c b c a==. 故离心率122122F F c c a a a EF EF b c ===++,即c a a b c=+. 故22222a bc c a c bc b bc =+⇒-=⇒=,故b c =.又2c =故b c ==故a ==故C 的方程为22163x y +=.故答案为：22163x y +=【点睛】本题主要考查了根据焦点三角形中的关系求解椭圆方程的问题,需要根据题意,结合三角形中的比例关系以及椭圆的定义进行求解.属于中档题. 15．4 【解析】 【分析】画出可行域,根据直线与圆的位置关系可知,当圆2214x y +=的圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.故求解OP 的最大值,再用垂径定理求解AB 的最小值即可. 【详解】画出可行域,易得当圆2214x y +=圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.由图可知,点为()1,3P 时, OP 取最大值,此时AB 取最小值为4==.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,当圆心到直线的距离最大时弦长最小.属于中档题.16 164n π- 【解析】 【分析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R R =+-，R R =，所以113412r AO AO AO R a a =-=-=-=， 114r AO =，1333144)33O V r a ππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即11()1222n n n r a -=⨯=，2216444n n n S r πππ-==⨯=．；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．17．(1) 60B ︒=【解析】 【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B 。
福建省福州市2019届高三质检数学(理科)试题及答案
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D.z z {}n a n n S6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A.B. 23C. D.3211.如图，以棱长为1的正方体的顶点A正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 第7题图第10题图第11题图A.34πC. 32πD.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892-B.32892-C.16892-D.7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b r r，满足a b += ，则与的夹角为__________．14.已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是．15. ()()2511ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________． 16.已知函数()2e()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）ABC △的内角，，的对边分别为，，．若角，，成等差数列，且b =（1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围．ab A B C a bc A B C如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点． (1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ； (2)求二面角B PC D --的余弦值．第18题最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率；（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.附：临界值表参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. （12分）已知圆O ：222x y r +=，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点12D ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.21. （12分） 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，[]12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.xOy l x l l M2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i - 【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1A B x x =>-U ，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63z z {}n a n n S【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ． 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1D. 【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF的斜率为，2FQ =，60AFQ ∴∠=o，4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △224FA =B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF的斜率为2FQ =，60AFQ ∴∠=o ，所以AQ =n =±24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11422PA n ⨯⨯=⨯⨯B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得=6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ． 9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35-第7题【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141x y =-+为增函数，∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ． 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A. B. 23C. D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt FQF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得的离心率27e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A.34πC. 32πD.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心, 1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C.12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892- B.32892- C.16892- D.7892-【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C 第10第11题图所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n nb a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1l g 2l g n n b b +=，又111l g l g 2l g 3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n n a -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
2019届福建高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题及答案
2019届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合,,则=A．B．C．D．【答案】C【】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．，；∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：C．【】考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．2．若复数满足,则A．B．C．D．1【答案】D【】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解．由（z+1）i＝1+i，得z+1，∴z＝﹣i，则|z|＝1．故选：D．【】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．经统计,某市高三学生期末数学成绩,且,则从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85【答案】A【】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．∵学生成绩X服从正态分布N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，∵P（X≥90）[1﹣P（80＜X＜90）]，∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．故选：A．【】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4．若满足约束条件,则的最小值是A．－5 B．－4 C．0 D．2【答案】B【】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y x z平移直线y x z，由图象可知当直线y x z经过点A（﹣2，﹣1）时，直线y x z的截距最小，此时z最小．将A（﹣2，﹣1）的坐标代入目标函数z＝x+2y，得z＝﹣4．即z＝x+2y的最小值为﹣4；故选：B．【】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是A．B．C．D．【答案】B【】由三视图还原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2，然后将其放入正方体进行求解．由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为．体积V．故选：B．【】本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．6．将函数的图像向右平移个单位长度后,所得图像的一个对称中心为A．B．C．D．【答案】A【】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后的式，再令2x kπ，求得结论．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数式为y ＝sin（2x），令2x kπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，故选：A．【】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．已知,,,则A．B．C．D．【答案】A【】根据幂函数的单调性即可求出．a，b，c，则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选：A．【】本题考查了不等式的大小比较，掌握幂函数的单调性是关键，属于基础题8．某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动,当指针指向阴影区域时为中奖.规定每位顾客有3次抽奖机会,但中奖1次就停止抽奖。
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第6题福州市2019届高三毕业班第三次质量检测
数学理科
注意事项:
1.本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分;
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分在每小出的四个选项中只有一项是符合题目求的。
1.已知集合2
={|230},{|11}
M x x x N x x
+-<=-≤≤，则=
M N
⋂( )
A.{|31}
x x
-<≤ B. {|11}
x x
-≤< C. {|11}
x x
-<≤ D. {|31}
x x
-≤<
2.已知复数z满足(z()34)25
i
i
+=
-，则|z|=( )
B.
C.3
D.
3.已知等比数列{}n a满足1,
n n
a a
+
<且
243
20,8
a a a
+==，则数列{}
n
a
的前10项的和为( )
A.1022
B.1024
C.2046
D.2048
4.已知向量(2,1),(m,1)
a b
==-，且2),
b a b
⊥-
（则m的值为( )
A.1
B.3
C.1或3
D.4
5.已知不等式组
02
08
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
所表示的平面区域为M，记直线4
y x
=与曲线3
y x
=在第一象限内围成的封闭图形为D.若随机从M内取一个点，则该点取自D内的概率为( )
A.
5
8
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
4
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A.3+
B. 3+
C. 2
D.2+
7.执行如图所示的程序框图，若输人1
a=时，运行输出的结果为m则4
(1)
mx
-展式中第3项的系数为( )
A.24
B.6
C.-6
D.-24
8.已sin(0
26
)()
t t
απ
+>
＝，则
2
cos()
3
sin()
26
π
α
απ
-
+
的取值范围是( )
A.( 1.1]
- B.0+∞
（，） C.(,1)
-∞, D.(,1]
-∞
第12题
9.若，y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩
，则2y z x +=的取值范围为( ) A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.42][,)3(-∞-+∞， C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ D. 4
]([2,)3
-∞-+∞， 10.已知O 为坐标原点，过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F 作一条直线，与圆222=x y a +相切于点T ，与双曲线右支交于点
P ，M 为线段FP ，则|MF||OM||TF |
-=(
) A.4
B.2
D.2 11.数列{}n a ，满足*121111(1)(1)(1),
n n n N a a a a -
--=∈，记n b =，则数列{}n b 的最大项是( )
A.8b
B. 7b
C.6b
D. 5b
12.如图所示，四边形ABCD 和BEFC 是两个边长为1的正方形，点P 是边BC 上的一个动点设CP ＝x ，函数)(.g x AP PF +=函数()f x 满足()1()f x x f =+ 且当1][0.x ∈时())(f x g x =，则函数()cos22y f x x π=+-在区间[0.3]内的零点之和为( )
A.3
B.5
C.7
D.9
二填空题:本题共4小题每小题5分共20分
13.已知函数()()2x x f -，则不等式(lg )0f x >的解集为 。
14.某市电视台对本市2019年春晚的节日进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，5分五个等级已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评委的分数的方差为 。
第14题
B D
第17题
D B
C 15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑“.如图，平面四边形ABC
D 中， AB ＝AD ＝CD ＝1, BD
，BD ⊥CD.将其沿对角线BD 折成一个鳖臑'A BCD -，则该鳖臑内切球的半径为 。
16.已知抛物线2(:0)2C y p p x >=上一点P 到焦点F 和到点(2.0)的距离之和的最小值为3，过点F 作斜率
的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A,B,C.则|AF||AF |||||
BF CF += . 三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或清算步.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分
17.(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上,且AE ＝2EC ，BE
＝
3
. (1)求AC 的长
(Ⅱ)若60ADC ∠︒＝
,AD =ACD ∠的大小.
18.(12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C , D 为1AB 的中点1B C 交1BC 于点E, AC ⊥BC, BC ＝AC ＝2.
(1)证明:DE ⊥平面11BB C C ;
(2)若11C B AB ⊥求二面角11A B C A --的余弦值.
第18题
B 11A
19.(12分)2019年在节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段,因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响.大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包金额x (元)得
到下面的频数分布表:
(1)若以每组数据的中间值为代表，求这20位同学抢到的红包金额的平均值;
(2)将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表,并根据列联表判断是否有90％ 的把握认为红包金额的大小与近视有关;
(3)若从红包金在[80，160]的人中任取2位，设这2位同学的红包金额在[120，160)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望。
附：参考公式和数据：22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 临界值
表：
20.(12分)已知椭圆C ：22
2210()x y a b a b
+=>>的左焦点为()10F -，，过F 的直线l 与C 交于A ，B
两点.当l 的斜率为3
时，被222x y b +=。
（I ）求椭圆C 的方程；
（2）已知点(0)4,M -，证明:FMA FMB ∠=∠.
21.(12分)已知函数()2
()210()x x f x xe e a x a =-+-< （1）讨论()f x 的单性；
（2）若函()f x 在点(0,(0))f 处的切线的料率为l ，明:当0x >时1()2()1x f x e lnx e
->-+
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.[选4-4:坐标与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=-+⎩ (t 为多数)，以坐标原点为点,x 轴正半
轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2cos()2=04πρθ-+
-.
(1)求曲线C 的直角坐标方程;
(2)若直线l 与曲线C 的交点为P ，Q.求弦长|PQ|的最小值.
23.[选4-5不等式选讲](10分)已知()|1||4|x x f x +-=-
（1）求不等式()5f x ≥的解集； （2）已知2
(x)||f x x a ≥++的解集包含[-1,1],求实数a 的取值范围。