26章二次函数的综合复习

x 25 35即x1 60, x2 10
售价为：（40 15）元 （40 60）元
• （1） y = -10 ( x – 25 )2 + 12 250 (0 ≤ x ≤60)
• （3）请分析并回答售价在什么范围内商家 就可获得利润。
• 解：售价在大于30元且小于100元时，均 可获得
• 15、已知二次函数的图象经过点 • A（3,0），点B（2,3），C（0,-3）。 • （1）求此函数的解析式和对称轴; • （2）在对称轴上是否存在一点P，使得 • △PAB中PA＝PB，若存在，求出点P的坐标，
•
一元二次方程的根
范例：
• 例3、一农场用60m长的篱笆围一矩形的 养鸡场的围墙，场地面积为S，其中一边长 为x，当x取多长时，场地的面积S最大？并 写出x的取值范围。
• 解：一边长为x，则另一边长为
(60 2x)m 2
60 2x
• 则：S x(60 2x),即S＝x(30 x)
2
2
S x2 30x (0x30)
• 解：10 000元不是最大利润。
• 当售价为65元时，可得最大利润为12 250元;
• （1） y = -10 ( x – 25 )2 + 12 250 (0 ≤ x ≤60) • （3）请分析并回答售价在什么范围内商家
就可获得利润。
0 10(x 25)2 12250 10(x 25)2 12250 x 25 12250
• 7、抛物线y = -5x2 -4x + 7与y轴的交点坐 标为 （ ）
• 8、将抛物线y = 5x2向左平移2个单位，再 向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
• A、 y = 5(x+2)2+ 3; B、 y = 5(x+2)2 -3; • C、 y = 5(x-2)2 + 3; D、 y = 5(x-2)2 -3
• （1）求这个函数关系式： y = (x – 1)2 – 4
• （3） 根据图象说明：当x为何值时，函数 值为0？当x为何值时，
• 函数y随着x的增大而 • 增大？当x为何值时，
y (x 1) 2 4
• 函数y随x的增大而减小
●
●
• 解：当x 1或 3时，y＝0
当x1时，y随x的增大而增大
• 解：y = (40 – 30 + x )( 600 – 10x)
•
=-10 ( x – 25 )2 + 12 250 (0 ≤ x ≤60)
• 14、（1） y = -10 ( x – 25 )2 + 12 250
• （2）设某月的利润为10 000元。10 000元的 利润是否为该月最大利润？如果是，请说明 理由;如果不是，请求出最大利润，并指出 此时书包的售价应定为多少元。
n
2 9 6,n 6 3
练一练：
• 6、在直角坐标系xOy中，o是
• 坐标原点，抛物线y =x2 – x – 6 与
• x轴交于A，B两点
• （点A在点B的
• 左侧，与y轴相
• 交于点C。如果
• 点M在y轴右侧
•
的抛物线上，SAMO
2 3
S COB
•
那么点M的坐标是
(4,6)或(1,6)
;
练一练：
• 12、已知二次函数的图象经过点（0,-3)，且 顶点坐标为（1,-4)。
• （1）求这个函数关系式; • 解：设这个函数为y = a（x－1）2 – 4, • ∵图象经过点（0,-3） • ∴ -3 = a (0 – 1)2 – 4, • ∴a = 1 • 所以这个函数关系式为y = (x – 1)2 - 4
求m的值
• 解：根据题意：m2 +2m – 1 =2
•
m – 1 ≠0
• ∴m2 + 2m – 3 = 0
• ∴m1 = - 3, m2 = 1 (舍去） • ∴m = - 3
范例：
• 例2、已知二次函数图象的顶点坐标为
• （－2，3），且图象经过（1，2），求（1） 此抛物线的解析式;（2）图象与x轴的交点坐 标。
• 1、二次函数的定义：
• y = ax2 + bx + c (a≠0)
顶点坐标：(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
当x
b 2a
时，y有极值，且
y极值＝
4ac 4a
b
2
• y = a(x – h)2 +k (a ≠0)
顶点坐标：（ h, k)
范例：
例1、已知y (m 1)xm22m1 5x 4是二次函数，
• 解：(1)设此抛物线为y = a (x + 2)2 + 3
• 由于图象经过（1，2）
• ∴ 2 ＝ a (1 + 2)2 + 3 ，即
a1 9
•
∴此抛物线的解析式为：y
1 9
(x
2) 2
3
知识归纳2：
• 2、判断二次函数中的待定系数符号：
• （1）a看开口方向;
●
• （2） b找顶点的横坐标所在的象限 ●
练一练：
• 6、在直角坐标系xOy中，o是
• 坐标原点，抛物线y =x2 – x – 6 与
• x轴交于A，B两点
• （点A在点B的
• 左侧，与y轴相
• 交于点C。如果
• 点M在y轴右侧
源自文库
•
的抛物线上，SAMO
2 3
S COB
• 那么点M的坐标是
;
练一练：
S AMO
2 3
S COB
• 6、在直角坐标系xOy中，o是
0 (x 1) 2 4
x 1 2
x 1 2
直角坐标系中，你能求出两点间的距离吗？ 它有规律吗？
• 请同学们试一试，求下图AB的距离。
AB (3 1)2 (2 2)2 4 2
●
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )两点间的距离公式
●
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
• 14、某商场将进货价为30元的书包以40元 售出，平均每月能售出600个。调查表明： 这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减 少10个。
• （1）请写出每月售出书包的利润y（元） 与每个书包涨价x（元）间的函数关系式;
• 分析：利润＝售价 － 进价 售价40元 600个
售价（40＋1）元 600个－10
设点M的坐标为(0, m) (2 3,4)
则m 8
4 3
(2 3,4)
MN OM ON 8 4 4 (2 6,0) 4 6米 (2 6,0)
则水过警戒线所需的时间为：4 （8 小时） 0.5
• 14、某商场将进货价为30元的书包以40元 售出，平均每月能售出600个。调查表明： 这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减 少10个。
• 12、已知二次函数的图象经过点（0,-3)， 且顶点坐标为（1,-4)。
• （1）求这个函数关系式： y = (x – 1)2 – 4 • （2）在直角坐标系中，画出它的图象; • 解：
x -1 0 1 2 3
y (x 1) 2 4
y 0 -3 -4 -3 0
●
●
●
●
●
• 12、已知二次函数的图象经过点（0,-3)， 且顶点坐标为（1,-4)。
练一练：
• 9、抛物线y = -3x2 – x +4与轴的交点个 数是（ ）
练一练：
• 10、已知二次函数y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象 如图所示，则下列结论中，正确的是 （ ）
• （A）a＜0，b＞0，c ＞0; • （B）a ＜ 0，b ＞0 ，c ＜0; • （C）a ＜ 0， b ＜0 ，c ＞0; • （D）a ＜ 0， b ＜0 ， c ＜0
练一练：
•
11.函数y = ax2 – a与
y a (a 0) x
在同一直角
坐标系中的图象可能是（ ）
•
A
B
•
C
D
练一练：
• 12、已知二次函数的图象经过点（0,-3)， 且顶点坐标为（1,-4)。
• （1）求这个函数关系式;
• （2）在直角坐标系中，画出它的图象;
• （3）根据图象说明：当x为何值时，函数 值为0？当x为何值时，函数y随着x的增大而 增大？当x为何值时，函数y随x的增大而减 小？
• （1）请写出每月售出书包的利润y（元） 与每个书包涨价x（元）间的函数关系式;
• （2）设某月的利润为10 000元。10 000元的 利润是否为该月最大利润？如果是，请说明 理由;如果不是，请求出最大利润，并指出 此时书包的售价应定为多少元。
• （3）请分析并回答售价在什么范围内商家 就可获得利润。
• 坐标原点，抛物线y =x2 – x – 6 与
0 x 2 x 6得(x 3)( x 2) 0
A点坐标（ 2,0), B点坐标(3,0)
设M点的坐标为(m, n)
1
1
●
SAMO
2
OA
•
n
2• 2
n
n
抛物线y x 2 x 6与y轴交于C(0,6)
S COB
1 2
OB
•
OC
1 369 2
售价（40＋2）元 600个－10 2
售价（40＋x）元 600个－10x
一个书包的利润：（40－30＋x）元
• 14、某商场将进货价为30元的书包以40元 售出，平均每月能售出600个。调查表明： 这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减 少10个。
• （1）请写出每月售出书包的利润y（元） 与每个书包涨价x（元）间的函数关系式;
• y 4x 2 260 x 4000 ;
练一练：
• 5.已知二次函数y= ax2 +bx + c (a ≠0)的顶
点坐标(-1,-4)及部分图象，由图象可知关于
的一元二次方程ax2 + bx + c=0 的两个根分别
是x1 ＝ 1和x2 ＝
。
y a(x 1)2 4
0 a(11)2 4 a 1
若不存在，说明理由。
• 15、已知二次函数的图象经过点
• A（3,0），点B（2,3），C（0,-3）。
• （1）求此函数的解析式和对称轴;
• 解：设此函数为y = ax2 + bx + c
第26章 二次函数的综合复习
蒙自县第三中学 傅伟
知识归纳1：
• 1、二次函数的定义：
• (1)y = ax2 + bx + c (a≠0)
顶点坐标：( b , 4ac b 2 ) 2a 4a
当x
b 2a
时，y有极值，且
y极值＝
4ac 4a
b
2
• (2)y = a(x – h)2 +k (a ≠0)
范例：
• 例3、一农场用60m长的篱笆围一矩形的 养鸡场的围墙，场地面积为S，其中一边长 为x，当x取多长时，场地的面积S最大？并 写出x的取值范围。
• 解：S x2 30x (0x30)
• ∵a = -1 , b = 30, c = 0
当x b 30 15(m)时， 2a 2 (1)
60 2x 2
y最大值
4ac b2 4a
4 (1) 0 302 4 (1)
225 (m2 )
练一练：
• 1、抛物线y = -2 (x + 1)2 + 3的顶点坐标是
•
;
• 2、已知二次函数y = -x2 + 4x +5.用配方法 化为y = a (x – h )2 + k的形式为
• y (x 2)2 9 ;
• （3）c看图象与y轴的交点;
• （4）a + b +c 找x＝1时，对应的y值;
• （5）a – b + c找x＝－1时，对应的y值;
• （6）b与2a的关系，找顶点的横坐标所在的象 限及横坐标的值。
知识归纳3：
• 二次函数的应用中，求极值时，一 般都与二次函数有关。
知识归纳4：
• 3、二次函数与一元二次方程的关系 • △＝b2 – 4ac与x轴交点情况 • 图象与x轴交点的横坐标（ax2 +bx +c = 0)
●
●
●
当x1时，y随x的增大而减小
• 13、如图，有一抛物线拱桥，已知水位在 AB位置时，水面的宽为 4 6 ;水位上升4米， 就达到警戒线CD，这是的水面宽为 4 3 米
• 若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上 升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处。
解：设此函数为 y ax2 b
(2 3,4)
练一练：
• 3、已知二次函数的图象如图所示，这个二
次函数的关系式为
y 1 (x 1)2 2 ;
2
y a(x 1) 2 2
0 a(1 1) 2 2,
a 1 2
练一练：
• 4、如图，在一幅长80cm,宽50cm的矩形风 景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩 形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色 纸边宽为xcm，则y与x的关系是
图象经过 A（ 2 6,0), D(2 3,4)
4 3
(2 3,4)
(2 6,0)
4 6米 (2 6,0)
• 13、解：设此函数为 y ax2 b
图象经过 A（ 2 6,0), D(2 3,4)
0 a(2 6)2 b 4 a(2 3)2 b
a 1,b 8 3
此函数的解析式为：y 1 x 2 8 3